1. РАСЧЕТ МОНОХРОМАТОРА
1.1. Габаритный расчет

1.1.1. Исходные данные

Вариант № 1.

Рассчитаем монохроматор для следующих условий:

спектральная область, = (300 - 800) нм,

обратная линейная дисперсия, = 8 нм/мм,

фокусные расстояния сферических зеркал  = 300 мм
1.1.2. Выбор оптической схемы.

 

Для обеспечения работы в широком диапазоне длин волн при отно­сительно небольших габаритах прибора выгодно использовать оптическую схему монохроматора, построенную по схеме Эберта-Фасти. В качестве диспергирующего элемента применяем дифракционную решётку.

Рис. 1.1.


 и  - входная и выходная щели,

 и  - объективы,

 и   - поворотные зеркала,

 - диспергирующий элемент,

  - фильтр.
1.1.3. Общие соотношения для дифракционной решетки
 Распределение интенсивности света дифрагированного решеткой

определяется выражением [I]

 
                                                (1.1)
Где   - интенсивность падающего света,

- число штрихов решетки,

- множитель,  определяющий  дифракцию от каждого элемента решётки.
При этом
                                                      (1.2)
- ширина рабочей грани штриха,

- рабочая длина волны,

- угол падения,

- угол дифракции,

         - множитель, определяющий положение главных дифракционных максимумов.
                                             (1.3)
 - постоянная решетки.

Интенсивность  = 0, если второй или третий член в формуле (1.1) равен нулю. Для второго члена (1.2) минимум будет иметь место при условии

,  где  = 1, 2…

т.е. когда ,

Так как "" очень мало, минимумы, определяемые этим множителем,

редкие. За счёт третьего множителя (1.3) образуются частые минимумы

вследствие большого количества штрихов N.

Условие минимумов определяется соотношением

При этом  - принимает значение целых чисел, кроме значений крат­ных N , т.е. кроме значений  = 0, N , 2 N ... m
N.

В этих случаях , третий множитель принимает значение, равное  и вместо минимумов появляются главные максимумы, интенсив­ность которых определяется соотношением:
                                             (1.4)
Формула решетки для условия главных дифракционных максимумов опре­деляется выражением:
                            (1.5)
где     m  = 1,  2, 3....

Каждому значению  m  соответствует спектр   m-го порядка.

                                                                         

1.1.4. Основные характеристики решетки
Из формулы (1.5) после дифференцирования по  непосредствен­но следует выражение для угловой дисперсии
                     (1.6)
Из (1.6) видно, что для данной длины волны угловая дисперсия в ос­новном определяется углом дифракции  (при условии, что угол падения  остается постоянным).

Свободный спектральный интервал между налагающимися длинами волн соседних порядков определяется при выбранных  и  соот­ношением
                                                    (1.7)
Разрешающая способность решетки при заданных углах падения и дифракции, может быть повышена только за счет увеличения размеров решетки. Это следует из соотношения [I]
                                                        (1.8)                            
где  - полное сечение дифрагированного пучка.
1.1.5. Выбор параметров основных элементов монохроматора
Так как заданная дисперсия прибора относительно невысока вы­бираем стандартную решетку-реплику с 600 штр/мм, работающую в пер­вом левом порядке [I]. Размеры решетки 50х60  (заштрихованной части), толщина 15 мм, диаметр заготовки 90 мм. Решетку уста­навливаем в параллельном пучке, в этом случае она практически не вносит искажения изображения.

         В качестве объективов выбираем два сферических зеркала с фо­кусными расстояниями в соответствии с заданием  = 300 мм, диа­метром  = 60 мм. Фокусное расстояние в значительной мере опреде­ляет значение светосилы и линейной дисперсии.

Выбираем угол между падающим и отраженным от зеркального объек­тива  центральными лучами, идущими от центра входной щели к цент­ру решетки = 15°.

           Угол между центральными падающим и дифрагированным от решетки лучами принимаем  =35°.

Апертура монохроматора определяется

Где - диаметр сферического зеркала

Угол падения и угол дифракции (рис. 1.2.) связаны соотношением (1.5)  

                

                                           (1.9)



Рис.  1.2.
В монохроматоре при изменении длины волны углы   и   изменяются одновременно, но их разность    остается постоянной.

 После преобразования   формула (1.9)   приводится к виду
                                             (1.10)
Для определения правильного положения дифракционной решетки произ­ведем расчет для середины рабочего диапазона,  а затем для крайних длин волн,  что позволит определить угол поворота решетки.

Примем: нм;  = 300 нм; =800 нм.

Учитывая, что  мм; ; = 15°; - определим углы   и  для длины волны  нм


Имеем систему уравнений





Из ее решения получим

;

Меридиональное увеличение будет


и      
Угол между нормалью к поверхности дифракционной решетки и опти­ческой осью определяет угол поворота решетки для различных длин волн. Угол поворота решетки  от начального положения определится, из со­отношения     


Для = 300 hm
        

        
Для = 800 hm
        


Для последовательного выведения всего спектра на щель необхо­димо повернуть решетку на угол



Считаем, что входная щель помещена в меридиональном астигматическом фокусе зеркального объектива , а выходная в фокальной плоскости коллиматорного объектива .

Тогда, расстояние входной щели от зеркального объектива  определится из соотношения                                                                
= 300• 0,9914 = 297,42 мм
А расстояние от выходной щели до объектива  будет
= 300 • 0,984 = 295,2 мм
1.1.6. Расчет характеристик монохроматора
 Линейная дисперсия

Обратная линейная дисперсия 

Ширина спектра 

                                      

 (800 - 300) нм = 102 мм
Разрешающая способность определяется параметрами дифракционной ре­шетки, расстоянием ее до сферических зеркал и шириной входной щели. Параметры решетки известны. Ширина входной щели определяется соот­ношением    



где - требуемое разрешение.

Рассчитаем ширину щели, задаваясь  в пределах от 1 до 8 нм (таблица 1.1.)   

                             

Таблица 1.1.

[нм]	1	2	3	4	5	6	7	8
[мм]	0.2	0.4	0.6	0.8	1.01	1.21	1.42	1.62

Для ориентировочного определения ширины щели и разрешающей способности проведем приближенный расчет аберрационного пятна, ширина которого "b", зависит от ширины решетки (60 мм) и фокусного рас­стояния сферического зеркала


Ширина щели должна быть больше аберрационного пятна, т.е. в соот­ветствии с данными таблицы 1.1. можно получить разрешение порядка  1 - 2 нм.                                                                     

Уточним значение кружка рассеяния, обусловленного сферическими аберрациями.

Обозначим через  и  координаты лучей в плоскости пер­пендикулярной дифрагированному пучку и проходящей через центр решетки

f’ - фокусное расстояние зеркала,

L
- расстояние точки изображения входной щели от горизонтальной

плоскости симметрии,

    и  - углы между падающими и отраженными от зеркал глав­ными лучами, идущими от центра входной щели  к центру выходной щели  .

Составляющие аберраций 3-го порядка в направлении дисперсии определяются выражением

  

                                                                                                                                                     (1.11)
Где       - меридиональное увеличение решетки,

и  - координаты лучей в плоскости, перпендикулярной дифрагированному пучку и проходящей через центр решетки.

Для сферических зеркал коэффициенты аберраций 3-го порядка равны

;  ;  ;  ;

где       x -расстояние от решетки до зеркал.

        

Из аберраций 3-го порядка в монохроматоре со сферическими зер­калами наибольшую роль играет сферическая аберрация,  определяемая коэффициентом   . Формула для аберрации децентрировки для случая, когда входная щель помещена в меридиональном астигматическом фокусе коллиматорного объектива имеет вид  [2].
        (1.12)
Расчет     и   по формулам (1.11) и (1.12) позволяет уточнить полученные ранее значения разрешения и ширины щели.
1.1.7. Устранение наложения спектров

 Из соотношения


следует, что в области спектра от 400 до 600 нм происходит наложе­ние спектра 2-го порядка от = 400нм/2 = 200 нм до =600нм/ 2= 300 нм.

Для устранения наложения порядков в этой области введем светофильтр БС 10, который не пропускает эту часть спектра.

Для области 600 - 800 нм наложение спектров второго порядка будет от = 600/2 = 300 нм до = 800/2 = 400 нм.

Для устранения порядков в этой области используем светофильтр КС 10.
1.1.8. Расчет осветительной системы
При выборе осветителя основное внимание следует уделить подбо­ру источника света и способа освещения щели.

В заданном рабочем диапазоне (300 - 800 нм) можно использовать галогенную лампу КИМ-10-90, обладающую более высокой стабильностью в ультрафиолетовой области спектра по сравнению с ртутными лампами. Окончательный выбор источника света будет проведен на основе энер­гетического расчета.      

           Для освещения щели используем конденсор с минимальными хро­матическими аберрациями.

Проведем габаритный расчет конденсора.


                                                                                                                 Рис.1.3.      


Из конструктивных соображений принимаем расстояние от нити накала лампы до щели монохроматора равным 120 мм.    

Конденсор обеcпечивает эффективное действие при увеличении . Принимаем .

Фокусное расстояние конденсора определяется из решения систе­мы уравнений





 и учитывая,  что   - S
+  = 120 мм,  получим

= 120 мм.  Откуда S = 33,85 мм и =86,15 мм.

Фокусное расстояние конденсора
   
Для равномерного освещения щели и согласования апертур моно­хроматора и осветителя выбираем угол охвата конденсора в диапазоне  =

Пусть = 40°,  тогда световой диаметр будет равен



Относительное отверстие конденсора


При полученном относительном отверстии, угле охвата, увеличении и фокусном расстоянии хорошее качество изображения дает конденсор, со­стоящий из двух плосковыпуклых линз.

По каталогу подбираем двухлинзовый конденсор из стекла КУ, с фокусным расстоянием близким к требуемому. Для конденсора с         = 25,18 м  на рис. 1.4 показаны уточнённые значения геометрических размеров



Рис. 1.4.

1.2. Энергетический расчет

1.2.1. Оптическая схема и исходные данные для расчета



Рис. 1.5.
1 - источник света, КИМ-10-90,

2 - конденсор двухлинзовый, стекло КУ, толщина по оси каждой линзы 5,5 мм,

3 - входная щель, в соот­ветствии с габаритным расчетом монохроматора размеры щели 0,3х14м,

4 - отражающие сферические зеркала, выбираем покрытие марки 1И21Е,

5  - отражающие плоские зеркала,  выбираем покрытие марки 1И21Е,

6  - дифракционная решетка,  параметры ее приведены в разделе 3.1.4.

7  - светофильтр отрезающий,  принимаем коэффициент пропускания  = 0.89

8  - выходная щель, размеры щели 0,3х14 мм.
1.2.2. Расчет светового потока на выходе оптической системы
Для лампы КИМ-10-90 полный световой поток     равен 1980 лм. В приборе используется часть светового потока    ,  заключенного внутри телесного угла  опирающегося на световой диаметр конденсора

                                                                 (1.13)

где        - радиус конденсора,  = 12 мм,

 - расстояние от источника до конденсора  

 R
= 27,6 мм


Учитывая потери в оптической системе , световой поток на выхо­де оптической системы определится из соотношения

                                                          (1.14)

Потери в данной оптической системе определяются:

а) Потерями на отражение от поверхностей деталей на границе воздух-стекло

                   (1.15)

где    - число деталей с коэффициентами отражения ,

Коэффициент отражения для полированных оптических деталей, не име­ющих просветляющих поверхностей, определяется для случая нормального падения из соотношения:

                                                       (1.16)

В общем случае нужно использовать полную формулу Френеля

                            (1.17)

где      - показатель преломления стекла,

- углы падения и преломления,

 определяется из закона преломления  

Линзы конденсора изготовлены из стекла КУ с    = 1.4584, поэтому

        

        

б) Потерями на поглощение в стекле

                       (1.18)

где       - длина хода луча в средах с коэффициентами поглощения

Коэффициент поглощения оптических деталей из стекла КУ равен =0,002, длина хода =1,1 см

         0,99

в) потерями на отражение от зеркальных поверхностей с зеркальным покрытием 1И21Е с коэффициентом отражения 0,86



г) Ослаблением светового потока на входной щели

                                                      (1.19)

         - площадь щели,    = 0,3х14 мм;

          - диаметр светового пучка на входной щели принимаем          = 15мм

        

 д) Особый случай представляет учет потерь на отражение, обусловлен­ных дифракционной решеткой.

Коэффициент отражения дифракционной решетки рассчитывается с использованием формулы распределения энергии между главными макси­мумами монохроматического излучения в зависимости от длины волны

                                      (1.20)

где      - порядок спектра,

 - длина волны с максимальной концентрацией энергии в порядке . Из зависимости ,  приведенной в  [3]  можно определить спектральный коэффициент отражения для любой длины волны если известен спектральный коэффициент отражения решетки в максиму­ме концентрации энергии,  который обычно указывается в паспорте на решетку.

В данном случае     = 435.8 нм,   = 0.6
Результаты расчета для выбранных длин волн сводим в таблицу 1.2.
Таблица 1.2.

            [нм]                                                 

300	0,688	0.60	0.360
350	0,803	0,84	0,504
400	0,92	0,97	0,582
500	1,15	0,97	0,582
600	1,38	0,77	0,462
700	1,61	0,61	0,366
800	1,84	0,47	0,282

Принимаем значение = 0,282, как наиболее худший вариант. Ис­пользуя полученные данные, определим суммарные потери в системе

 0.87 0.99  0.55  0.06  0.282  0.89 = 0.0027

Тогда световой поток на выходе монохроматора

=79 лм • 0.0027 = 0.2133 лм

Это значение вполне достаточно для регистрации потока фотоприемни­ком, например, фотоэлектронным умножителем типа ФЭУ-4, предназна­ченным для работы в заданной области спектра.