Реферат Основы внетабличного умножения и деления по программме Школа России
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Оглавление
Введение………………………………………………………………………… 3
Глава 1. Теоретические основы внетабличного умножения и деления по программе «Школа России»
1.1. Методика изучения внетабличного умножения и деления в начальной школе…………………………………………….……. 6
1.2. Система приемов при формировании навыков устного внетабличного умножения и деления…………………………… 16
Глава 2. Опытная работа по обучению приемам внетабличного умножения и деления младших школьников по программе «Школа России»
2.1. Изучение уровня знаний по теме «Внетабличное умножения и
деление»………………………………………………….……….. 24
2.2. Комплекс упражнений по овладению приемами внетабличного
умножения и деления……………………………………………..25
2.3. Результаты работы по овладению приемами внетабличного
умножения и деления…………………………………..…………29
Заключение………………………………………………………………. 32
Список использованной литературы…………………………………… 33
Введение
Тема «Внетабличное умножение и деление», включающая случаи умножения и деления разрядных чисел (20∙3, 3∙20, 60:3, 80:20), двузначного числа на однозначное (23∙4, 4∙23, 46:2, 38:2, 90:5), деление двузначного числа на двузначное (87:29, 56:22), занимает исключительно важное место в курсе математики III класса (по программе четырехлетней начальной школы) и в целом в математической подготовке младших школьников. Она, образно говоря, представляет собой тот мостик, который соединяет табличные случаи умножения и деления с действиями над многозначными числами. Поэтому главная задача в работе над темой состоит в том, чтобы, с одной стороны, в новых условиях совершенствовать знание таблиц умножения и деления, а с другой - начать хорошо продуманную перспективную подготовку к введению и последующему усвоению учащимися приемов письменного умножения и деления. Решение поставленной методической проблемы непосредственно связано с формированием у детей осознанных и прочных навыков в овладении приемами устного внетабличного умножения и деления. Кроме того, эта тема имеет и самостоятельное, чисто практическое значение - повседневные бытовые расчеты, как правило, ограничиваются действиями над однозначными и двузначными числами.
В настоящее время над темой «Внетабличное умножение и деление» работают как авторы многих учебников по математике для начальной школы, так и ученые-методисты: О.В. Узорова, Е.А. Нефедова, Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких и др. Они издают дополнительные комплекты в помощь учителям, разрабатывают свои программы обучения. Постоянно ведется разработка эффективности приемов обучения внетабличному умножению и делению. В чем и заключается актуальность работы.
Цель: определение уровня овладения детьми младшего школьного возраста приемами внетабличного умножения и деления по программе «Школа России».
Объект: приемы изучения внетабличного умножения и деления.
Предмет: изучение арифметических действий по программе «Школа России» в начальной школе.
Задачи:
1. Изучить научную литературу по теме «Внетабличное умножение и деление».
2. Изучить уровень знаний по теме «Внетабличное умножение и деление».
3. Разработать и реализовать комплекс упражнений по обучению приемам внетабличного умножения и деления.
4. Провести анализ полученных результатов
Методы исследования:
1. Анализ теоретических источников.
2. Педагогический эксперимент.
3. Количественная и качественная обработка данных.
Практическая значимость: комплекс упражнений по обучению приемам внетабличного умножения и деления по программе «Школа России» может быть использован в практике педагогов начальной школы.
База исследования: исследование проводилось на базе МОУ СОШ №
Структура курсовой работы.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав (теоретической и практической), заключения, списка использованной литературы.
Во введении представлена актуальность исследовательской деятельности и методологический аппарат.
В первой главе «Теоретические основы внетабличного умножения и деления по программе «Школа России»» рассматриваются законы и правила внетабличного умножения и деления, а также система приемов при формировании навыков устного внетабличного умножения и деления.
Во второй главе «Опытная работа по обучению приемам внетабличного умножения и деления младших школьников по программе «Школа России»» представлен комплекс упражнений по овладению приемами внетабличного умножения и деления и результаты проведенной работы.
Заключение содержит общие выводы по исследуемой деятельности.
Список использованной литературы включает 20 источников.
Глава 1. Теоретические основы внетабличного умножения и деления по программе «Школа России»
1.1. Методика изучения внетабличного умножения и деления в начальной школе
Ведущие принципы обучения математике в младших классах – органическое сочетание обучения и воспитания, усвоение знаний и развитие познавательных способностей детей, практическая направленность обучения, выработка необходимых для этого навыков. Большое значение в связи со спецификой математического материала придаётся учёту возрастных и индивидуальных особенностей восприятия его детьми.
Концентрическое построение курса, связанное с последовательным расширением области чисел, позволяет соблюсти необходимую постепенность в нарастании трудности учебного материала и создаёт хорошие условия для совершенствования формируемых знаний, умений и навыков.
Курс обеспечивает доступность обучения, пробуждение у учащихся интереса к занятиям математикой, формирование знаний, умений, навыков и соответствующего уровня развития детей.
Курс является органической частью единого школьного курса математики.
Внетабличное умножение однозначных чисел и соответствующие случаи деления рассматриваются в теме «Числа от 1 до 100», которая изучается на третьем году обучения. Всего на тему «Внетабличное умножение и деление» отводится 28 часов.
Наряду с устными приёмами в программе уделяется большое внимание обучению детей письменным вычислениям. Эта работа начинается уже в теме «Сотня». При ознакомлении с письменными приёмами выполнения арифметических действий важное значение придаётся алгоритмизации. Все объяснения в виде чётко сформулированной последовательности шагов, которые должны быть выполнены. При рассмотрении каждого алгоритма сложения, вычитания, умножения или деления чётко выделены основные этапы - план рассуждений, подлежащий усвоению каждым учеником. Это поможет правильно организовать процесс формирования вычислительных умений. В этом процессе должен осуществляться современный переход от подробного объяснения каждого шага рассуждений к постепенному свертыванию объяснений, когда выделяются только основные элементы алгоритма.
Уверенное овладение детьми навыками устных и письменных вычислений является одной из основных задач начального обучения математике, так как это необходимо для продолжения обучения [19].
Случаи умножения однозначного числа на однозначное являются табличными. Таким образом, к внетабличным случаям относится умножение двузначного числа на однозначное. Прием устного умножения должен основываться на знании учащимися таблицы умножения. Поэтому двузначные множители необходимо привести к такому виду, который допускал бы использование таблицы умножения. Для этого двузначные множители представляются в виде суммы разрядных слагаемых (одно из слагаемых – однозначное число, второе – круглые десятки). При сложении и вычитании круглых десятков использовался прием замены круглых десятков однозначными именованными числами. Таким же образом, умножение и деление круглых десятков на однозначное число может быть сведено к умножению однозначного именованного числа на однозначное: 40 · 2 = 4 дес. · 2 = 8 дес., т.е. 40 · 2 = 80. Умножение двузначного числа на однозначное выполняется так:
24 · 3 = (20 + 4) · 3 = 20 · 3 + 4 · 3 = 60 + 12 = 72
Операцию разложения числа на разрядные слагаемые учащиеся выполняют устно. К этому времени они умеют устно находить произведение однозначных чисел, сумму двузначных чисел. Поэтому для того чтобы сформировать у учащихся умение устно умножить двузначные числа на однозначные, необходимо ознакомить их еще с двумя операциями: умножением суммы на число и умножением круглых десятков на однозначное число. Методика изучения последней операции, как было показано выше, весьма проста, поэтому остановимся подробно на методике обучения умножению суммы на число.
Методика изучения этой темы (как и изучение всех математических понятий в начальной школе) основывается на использовании системы целесообразных задач, наглядных интерпретациях их содержания. Чтобы выяснить их особенности, воспользуемся определением умножения через сумму для случая, когда один из множителей представлен суммой:
Правую часть этого равенства графически можно представить в виде с рядов объектов одного рода, причем в каждом ряду содержится a
объектов одного вида и b объектов другого. В качестве таких объектов можно взять кружки двух видов – светлые и темные (рис. 1).
……. ……..
………………… ………………… c
а b
Рис. 1
В соответствии с таким рисунком легко составить содержательные задачи, являющиеся средством формирования правила умножения суммы на число. Например: «В отряде 4 звена. В каждом звене 5 девочек и 4 мальчика. Сколько всего человек в отряде?», «На субботнике по благоустройству школьного двора каждому отряду было поручено посадить по 2 клена и по 3 липы. Сколько всего деревьев должны были посадить 5 отрядов?» и т. д.
Для каждой из таких задач составляются выражения двух видов (в соответствии с двумя возможными способами их решения), которые также можно проиллюстрировать графически:
(5 + 4)·4 5·4 + 4·4
(2 + 3)·5 2·5 + 3·5 и т. д.
Соответствие двух разных выражений одной и той же конкретной ситуации делает факт равенства этих выражений очевидным.
Затем учащимся предлагается самостоятельно составить содержательные задачи по выражениям вида (a+b)·c и а · с + b·с.
Прием умножения суммы на число отрабатывается на числовых выражениях. Упражнения подбираются так, чтобы ученики могли выбрать наиболее удобный способ вычислений. Например, значение выражения (2 + 4) · 6 удобнее вычислять как произведение (умножение 6·6 — табличное). Значение выражения (9 + 5) · 8 определяется в три действия: 9·8 + 5·8, поскольку умножать 14 на 8 учащиеся еще не умеют.
Правило умножения числа на сумму особо можно не рассматривать. Пользуясь переместительным законом умножения, младшие школьники самостоятельно могут преобразовать выражение 8 ·(9 + 5) к виду (9 + +5) · 8. Если же учитель найдет нужным подробно остановиться на содержании этого правила, то методика его изучения аналогична методике, рассмотренной выше.
Алгоритм умножения двузначного числа на однозначное можно представить в виде последовательности операций:
(1) — двузначный множитель представляется в виде суммы разрядных слагаемых;
(2) —сумма умножается по правилу умножения суммы на число;
(3) — вычисляется произведение круглых десятков на число;
(4) — определяется произведение однозначных чисел;
(5) — вычисляется полученная сумма.
Например:
28·3= операция (1)
= (20 + 8)· 3= операция (2)
= 20·3 + 8·3= операции (3) и (4)
= 60 + 24 = операция (5)
= 84
На первых порах от учащихся можно требовать комментирования отдельных шагов алгоритма.
При изучении деления в пределах 100 ученики должны овладеть приемами деления двузначных чисел на однозначные (в случаях, не являющихся табличными: 36:2, 45:3, 76:4 и т. д.) и двузначных на двузначные.
Частные, в которых делитель — однозначное число, с методической точки зрения не однородны. Например, при делении 42 на 2 может быть использован прием, похожий на прием устного умножения: (40 + 2):2=40:2 + 2:2. Однако для случаев 84:3, 51:3, 30:2 такой прием нельзя применить.
Таким образом, нужен такой прием устного деления, который был бы пригоден для всех случаев, когда делимое — двузначное, а делитель — однозначное число. Очевидно, что в основе такого приема должно лежать разложение делимого на слагаемые, каждое из которых делится на делитель. В связи с этим учащихся необходимо предварительно ознакомить с правилом деления суммы на число: (а + b):с.
В начале изучения данной темы учащимся предлагается система целесообразных содержательных задач, например таких: «В одной вазе 6 слив, а в другой — 8. Эти сливы разделили поровну между двумя мальчиками. Сколько слив получил каждый мальчик?»; «Ученик купил тетради в линейку и клетку по цене 3 руб. За тетради в линейку он уплатил 12 руб., за тетради в клетку — 6 руб. Сколько тетрадей всего купил ученик?»; «В два ларька привезли ящики с черешней по
Под руководством учителя иллюстрируются два способа решения каждой задачи: (6 + 8):2 и 6:2+8:2; (12 + 6):2 и 12:2 + 6:2; (12 + 24):4 и 12:4 + 24:4.
Так как каждое из двух выражений соответствует одной и той же реальной ситуации, то равенство их значений не вызывает сомнений.
Обобщение двух способов решения разных по содержанию задач подводит к формулировке правила: чтобы разделить сумму на число, нужно на это число разделить первое и второе слагаемые и полученные результаты сложить.
Рассматривается система упражнений вида (а + b):с=? В одних случаях значение частного удобнее найти, не преобразуя частное, а в других случаях — используя изученное правило. При этом школьники могут проговаривать правило, однако требовать его запоминания, очевидно, не стоит.
Вначале изучения деления двузначного числа на однозначное предлагается самый простой вид внетабличных частных: 24:2, 33:3, 36:3, 48:4 и т. д. Школьники могут самостоятельно прийти к выводу, что деление в данных случаях можно выполнить с помощью приема, очень похожего на прием устного умножения: делимое представляется в виде суммы разрядных слагаемых, и деление выполняется по правилу деления суммы на число.
Затем ученикам предлагаются частные, для которых этот прием неприменим: 78:3, 32:2, 92:2 и т. д. Одновременно учитель приводит доказательство того, что в каждом из этих случаев значение частного существует: 78:3=26, так как 26·3=78; 32:2=16, так как 16·2=32 и т. д.
Используя прием деления суммы на число, учащиеся могут предложить (к этому их нужно побудить, подтолкнуть) разложить делимое на «удобные» слагаемые, делящиеся на делитель. На конкретных примерах демонстрируется трудоемкость этого приема. Пусть, например, делимое 78 представлено в виде суммы 21 + 57, тогда процесс деления будет таким:
78:3= (21+57):3=21:3 + 57:3 =
нетабличное деление 7 + (21 + 36):3 = 7 + 21:3 + 36:3 =
нетабличное деление = 14+(30+ 6):3 = 14+ 10 + 2 = 26.
Прием разложения делимого на «удобные» слагаемые использовался в данном случае неоднократно. Возможно, что делимое было представлено не лучшим образом. Было бы легче, если бы оно было заменено суммой, в которой первое слагаемое являлось круглыми десятками, делящимися на делитель, например 60 или 30.
Затем рассматривается частное, в котором делимое представлено суммой, одно из слагаемых которой — круглые десятки, делящиеся на делитель. Причем замена делимого суммой выполняется различными способами:
96:3 = (30+ 66):3 = 30:3+66:3= 10 + (30 + 36):3 = 10 + 30:3 + 36:3
96:3= (60 + 36):3= 60:3 + 36:3= 20+ (30 + 6):3= 20 + 30:3 + 6:3=20+10 + 2=32
96:3 = (90+ 6):3 = 90:3+ 6:3 = 30+ 2 = 32.
Очевидно, что самый простой случай — третий. Его особенность состоит в том, что одно из слагаемых — не просто круглые десятки, делящиеся на делитель, а наибольшее количество десятков, делящихся на делитель.
На конкретных примерах доказывается действенность разработанного приема (в числе примеров встречаются и частные вида 30:2, 50:2, 60:4, 60:5 и т. д.). При делении учащиеся могут проговаривать отдельные операции алгоритма:
(1) — делимое заменяется суммой, где одно из слагаемых — наибольшее количество десятков, делящихся на делитель;
(2) — сумма делится по правилу деления суммы на число;
(3) — вычисляется частное круглых десятков на число;
(4) — вычисляется табличное частное;
(5) — вычисляется полученная сумма.
В начальных классах значение частного двузначных чисел определяется подбором. При этом используются знания учащихся о связи между умножением и делением: если частное подобрано верно, то при умножении его на делитель должно получиться делимое. Отметим, что вопрос о том, сколько цифр должно иметь частное, с учащимися не обсуждается.
Приступая к изучению приема деления двузначного числа на двузначное, учитель предлагает учащимся достаточно простые частные, значения которых учащиеся в состоянии угадать, например 20:10, 60:30, 80:20, 80:40 и т. д.
Затем учащимся предлагается доказать, что угаданное значение частного верно. Здесь возможен, например, такой диалог учителя
с учеником:
Учитель: Угадай, чему равно частное 20 и 10?
Ученик: Мне кажется, частное равно 2.
Учитель: Как убедиться в правильности твоей догадки?
Ученик: Нужно выполнить проверку с помощью умножения.
Учитель: Как делается проверка?
Ученик: Частное умножается на делитель. Если получится делимое, частное угадано правильно; 2 умножить на 10—получим 20. Значит, 20:10 равно двум.
Аналогично выполняются и другие упражнения типа 22:11, 30:15, 24:12 и т. д.
В случаях, когда угадать значение частного трудно, ученикам предлагается находить его подбором, перебирая однозначные числа по порядку, начиная, например, с двух. Когда у учащихся будет накоплен опыт, методика подбора может быть усовершенствована. Подбор, например, можно начинать с числа 5, а затем, в зависимости от результата умножения 5 на делитель, следующее пробное число выбирать большим или меньшим 5. Например, при делении 98 на 14 предполагают, что частное равно 5, 14·5 = 70, значит, число 5 мало, нужно пробовать число 6, 14·6 = 84 — получено число меньше делимого, значит и 6 мало для значения частного. Пробуется число 7, 14·7 = 98. Таким образом, 98:14 = 7.
Можно подсказать учащимся, что при подборе значения частного следует обращать внимание на последние цифры делимого и делителя. Так как делимое оканчивается цифрой 8, а делитель — цифрой 4, то достаточно вспомнить, какое число нужно умножить на 4, чтобы произведение оканчивалось цифрой 8. Таких чисел два — 2 и 7. Число 2 не подходит, так как слишком мало. Значит, частное равно 7. Выполняется проверка.
Наиболее полно результаты изучения темы деления двузначного числа на двузначное могут быть использованы при обучении учащихся письменному делению. А оно изучается в концентре «Многозначные числа». Поэтому деление на двузначные числа целесообразнее изучать непосредственно перед темой «Деление многозначных чисел» [15].
Деление круглых десятков на круглые десятки в методических пособиях рекомендуется рассматривать как деление по содержанию (например, сколько раз в 60 содержится по 30). В таком случае это деление сводится к делению однозначных чисел (6 дес. : 3 дес.) и позволяет ученику легко найти частное. Однако в дальнейшем, при делении многозначных чисел, деление на число с несколькими нулями придется рассматривать как деление на равные части и применять прием последовательного деления, основанный на правиле деления числа на произведение. Например, 6000 : 300 — это значит 6000 : (3 · 100) = 6000 : 3 : 100.
Поэтому полезно познакомить учащихся также и с истолкованием деления на круглые десятки как деления на равные части и с приемом последовательного деления.
Пусть требуется полоску бумаги длиной
Таким образом:
40 : 20 = 40 : (2 · 10) = 40 : 2 : 10 = 20 : 10 = 2 (см).
Для того чтобы облегчить более быстрое нахождение частного, можно составить таблицу, в которой записать произведения, получаемые от умножения двузначных чисел на однозначное в пределах 100.
В таблицу не включаем тех случаев, в которых частное находится легко через сопоставление числа десятков делимого с числом десятков делителя.
Этой таблицей учащиеся могут пользоваться для проверки правильности решения примеров на деление двузначного числа на двузначное. Найдя в таблице произведение, равное данному делимому, и двузначный делитель в верхней строке, ученики отыскивают частное в соответствующей произведению горизонтальной строке.
Особо рассматриваются числа, являющиеся произведением двух различных сомножителей, например, 96 = 12·8 = 16·6, они отмечены в таблице кружками.
Виды упражнений для самостоятельной работы учащихся при прохождении внетабличного умножения и деления могут быть весьма разнообразны.
Одним из видов таких упражнений может быть составление схем, иллюстрирующих умножение и деление двузначных чисел, предложенных методистом М. М. Топор [20]. Вот образец такой схемы, иллюстрирующей умножение числа 12:
96
При составлении такой схемы и ее рассмотрении ученику видно, как образуются произведения: 12 · 2 = 24 24 · 2 = 48 48 · 2 = 96 12 · 4 = 48 12 · 8 = 96 [14].
1.2. Система приемов при формировании навыков устного внетабличного умножения и деления.
Приемы устных вычислений, как известно, отличаются от письменных прежде всего тем, что операции начинают выполнять с высшего разряда, а не с низшего. Следовательно, и в этом случае сохраняется отмеченная аналогия. Ее самостоятельное, интуитивное открытие учащимися (как только для этого возникают объективные условия) приводит к появлению в вычислениях ошибок вида: 54+30=87; 23-4=83; 23-3=29; 66:22=33; 87-3=54; 46:2=26; 38:2=34
В школьной практике для их предупреждения и устранения используются такие методические приемы, как:
1. Противопоставление (выявляются существенные признаки различия в способах нахождения результатов):
23·4 и 23+4 46:2 и 46±2 66:2 и 66:22
2. Сопоставление (выявляются существенные признаки сходства):
46·2 и 46:2
Данные приемы облегчают усвоение детьми каждого нового алгоритма на основе уже хорошо знакомого, а фиксирование внимания на признаках различия предупреждает необоснованно широкий перенос имеющихся знаний на новые случаи.
3. Вооружение учеников знанием различных способов самопроверки и воспитание привычки к самоконтролю.
4. Дополнительная (в том числе и опережающая) работа с теми учениками, которые допускают (или могут допускать) ошибки в вычислениях.
Эффективными являются также следующие методические приемы:
5. Использование системы опорных схем.
6. Организация практических работ по выполнению заданных действий над материализованными образами двузначных чисел - пучками палочек и отдельными палочками.
Проиллюстрируем их использование на примере фрагмента первого урока по теме «Умножение двузначного числа на однозначное» [12].
Работа над новым материалом, проведенная с помощью избранных методов (наблюдение, изложение, беседа, эвристический метод, проблемное изложение, самостоятельная работа и др.), завершается коллективным повторением особенностей новых примеров и последовательности их решения.
— Какое число умножали? (Двузначное.)
— А на какое число умножали? (На однозначное.)
— Как легче умножить двузначное число на однозначное? (Сначала умножить десятки на однозначное число, потом умножить единицы на это же число, а затем сложить результаты.)
Эта беседа сопровождается одновременным пошаговым построением учителем на доске схемы-опоры указанных операций:
23 · 4= (20+3) · 4= 20·4+3·4 = 80+12 = 92
Синхронность в произнесении слов и изображении их на доске символами создает условия для понимания учащимися используемого на схемах символического языка: клеточки, стрелки, цвет, другие обозначения. А последующая систематическая работа со схемами-опорами делает их «говорящими», так как достаточно представить себе зрительный образ процесса решения (схему) и можно точно, лаконично, правильно объяснить решение примера.
Хорошо зная индивидуально-типологические психические особенности учеников своего класса, учитель вызывает затем к доске не сильного ученика, а того, для которого характерны замедленность реакций, рассеянность, невнимательность, преобладание моторной памяти и т. п., и предлагает продемонстрировать классу с помощью палочек, как же мы умножали 23 на 4. При этом осуществляется уже наглядный анализ осо- бенностей примеров нового вида и способа решения.
— Итак, нам надо 23 умножить на 4. Что это значит? (По 23 взять 4 раза.)
— Бери палочки.
Ученик берет 2 пучка и 3 отдельные палочки, повторяя это действие 4 раза.
— Как же лучше увидеть, сколько всего палочек мы взяли?
| + 12 |
Ученик на планке доски (или в карман, наборного полотна) раскладывает пучки и отдельные палочки так, чтоб0ы их было удобно сосчитать:
| |
− Сколько палочек в пучке? Как получили 80? Сколько отдельных палочек? Как получи 12? А теперь что надо сделать, чтобы узнать, сколько всего палочек положили?
Для слабых учеников этот способ обоснования хода решения является более убедительным и понятным, чем ссылка на правиле умножения суммы на число.
Далее учитель снова обращает внимание детей на опорную схему, ведет по ней указкой, а класс хором повторяет: «Умножаю десятки. Умножаю единицы. Складываю».
Алгоритм полезно тут же записать словами на доске. Вместе со схемой это создает прочную ориентировочную основу формируемого умения, что особенно важно для первичного закрепления.
Многократное, но вариативное повторение одного и того же способа действий позволяет довести его до абсолютного понимания всеми учащимися (как средними, так и слабыми, не говоря уже о сильных). А это уже серьезная предпосылка для предупреждения отставания и ошибок, для появления у каждого ученика уверенности в себе. У сильных учащихся интерес к работе при этом не снижается, поскольку изучаемый материал все время рассматривается с разных точек зрения, в разных ситуациях, с помощью разных средств и, следовательно, понимание данного вопроса претерпевает качественные изменения, углубляется.
Таким образом, использование опорных схем и практических действий с пучками палочек позволяет с самых первых шагов дифференцировать работу по формированию навыков вычислений.
На этапе закрепления и применения знаний работа проводится по аналогичной схеме-опоре, но с незаполненными «окошками». Ее лучше всего изготовить на картоне, предусмотрев возможность вставлять в «окошки» карточки с цифрами.
Аналогично может быть организовано изучение и оставшихся случаев внетабличного умножения и деления. Для каждого из них мы приводим образцы опорных схем.
Прием деления двузначного числа на однозначное
б)
Прием деления двузначного числа на двузначное
Слева предложены схемы, которые можно использовать при объяснении нового приема вычислений. Справа они же даны в обобщенном виде. Вместе со схемой умножения двузначного числа на однозначное — это целостная, взаимосвязанная система опор, в которых запрограммирована мыслительная деятельность при решении примеров соответствующего вида. Выбор учеником той или другой схемы-опоры предполагает в первую очередь анализ особенностей решаемого примера, что непосредственно определяет способ вычислений.
Важную методическую функцию в схемах выполняют цветовые сигналы, стрелки, вопросительные знаки, подчеркивания. Каждый из этих символов имеет свою смысловую нагрузку, которая должна стать ясной для любого ребенка. Поэтому рекомендуется вводить новые схемы в той же последовательности, в которой рассматриваются случаи внетабличного умножения и деления. Приобретаемые навыки чтения более простых (первых) схем переносятся на новые схемы, где наряду с известной уже информацией содержится еще и дополнительная. Это особенно важно при изучении темы «Деление двузначного числа на однозначное», где методически обоснованным является выделение трех ситуаций: а) разрядные слагаемые делимого при делении на делитель дают разрядные слагаемые частного; б) чтобы получить разрядные слагаемые частного, в делимом надо выделить столько десятков, сколько единиц в делителе; в) первое из удобных слагаемых, на которые разбивается делимое, является наибольшим (из возможного) кратным делителя.
Для правильного выделения удобных слагаемых в делимом, прежде всего необходимо обратить внимание на делитель. Эта операция в схемах-опорах обозначена стрелкой, связывающей делитель и цифру десятков делимого. Она заменяет устное указание учителя: «Возьми столько же десятков» (в случае а). А в случае б знак вопроса над цифрой десятков делимого вместе со стрелкой нацеливают ученика на поиск ответа на вопрос: «Сколько десятков можно разделить на делитель?»
В схеме-опоре для приема деления двузначного числа на двузначное находит свое наглядное воплощение метод подбора: надо подобрать такое однозначное число, которое при умножении на делитель дает делимое.
Комплексное использование предложенной системы опорных схем (демонстрационный и индивидуальный варианты) в сочетании с другими приемами обучения будет способствовать более успешному достижению запланированных учителем результатов работы по теме «Внетабличное умножение и деление» [13].
Таким образом, «Внетабличное умножение и деление» является одной из важных тем в третьем классе. Ей уделяется немало часов для того, чтобы дети научились выполнять устные вычисления в пределах 100 при помощи специальных приемов.
Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по обучению приемам внетабличного умножения и деления младшего школьника по программе «Школа России»
База исследования: исследование проводилось на базе МОУ СОШ №
В исследовании приняло участие 24 человека младшего школьного возраста (8-9 лет).
Сроки проведения исследования: исследование проводилось с 15.11.09 по 20.12.09.
Цель исследования:
овладение детьми младшего школьного возраста приемами внетабличного умножения и деления по программе «Школа России».
Задачи исследования:
1. Изучить уровень знаний по теме «Внетабличное умножение и деление».
2. Разработать и реализовать комплекс упражнений по обучению приемам внетабличного умножения и деления.
3. Провести анализ полученных результатов.
Исследование проводилось в 2 этапа:
1. Констатирующий.
2. Контрольный.
2.1.
Изучение уровня знаний по теме «Внетабличное умножение и деление»
Цель: выявление уровня знаний детей младшего школьного возраста по теме «Внетабличное умножение и деление».
Задачи:
1. Подобрать упражнения для выявления уровня знаний учащихся.
2. Провести самостоятельную работу и выявить уровень знаний учащихся.
3. Проанализировать полученные результаты.
Для того, чтобы изучить уровень знаний младших школьников по теме «Внетабличное умножение и деление», необходимо было провести самостоятельную работу.
Самостоятельная работа [12].
1. 20 учеников принесли для классной библиотеки по 2 книги, а 20 учеников по 3 книги. Сколько всего книг принесли дети?
2. Найди значения выражений 80:a и 10:a, если a=10, a=8, a=4, a=2, a=1.
3. Реши примеры:
(38+42):40 48∙1-48:6 5∙4+80:40
64:(50-42) 32:8+56:7 24:3+92-41
48∙1:8 64:8-27:9 60:6-42
Таблица 1
Уровень знаний детей младшего школьного возраста на этапе констатирующего исследования
| Уровень знаний | Класс |
| Высокий | 21% |
| Средний | 29% |
| Низкий | 33% |
| Оч.низкий | 17% |
После проведения самостоятельной работы видно, что у детей недостаточно сформированы знания по теме «Внетабличное умножение и деление».
2.2.
Комплекс упражнений по овладению приемами внетабличного умножения и деления
Цель: разработка и реализация комплекса упражнений по обучению приемам внетабличного умножения и деления.
Задачи:
1. Разработать комплекс упражнений, направленный на лучшее усвоение приемов внетабличного умножения и деления.
2. Реализовать комплекс упражнений, направленный на лучшее усвоение приемов внетабличного умножения и деления.
Упражнения на применение знаний в знакомой ситуации.
1.Прочтите примеры и объясните их решение.
| (15 + 5) ∙ 2 | (15 + 3) ∙ 2 | (15 - 5) ∙ 2 |
| 2 ∙ (15 + 5) | 2 ∙ (15 + 3) | 2 ∙ (15 - 7) |
2. Вычислите.
| 15 ∙ 2 + 5 ∙ 2 | 20 ∙ 4 + 2 ∙ 3 |
| 17 ∙ 4 + 9 ∙ 4 | 11 ∙ 2 – 2 ∙ 11 |
| 24 ∙ 3 – 3 ∙ 23 | 6 ∙ 10 – 6 ∙ 2 |
3. Решите по образцу.
23 ∙ 4 = (20 + 3) ∙ 4 + 20 ∙ 4 + 3 ∙ 4 = 80 + 12 = 92
| 36 ∙ 2 | 26 ∙ 3 | 23 ∙ 2 | 24 ∙ 3 |
| 16 ∙ 4 | 12 ∙ 6 | 13 ∙ 3 | 17 ∙ 5 |
4. Решите с устным объяснением.
| 38 ∙ 2 | 16 ∙ 5 | 13 ∙ 7 | 27 ∙ 3 |
| 29 ∙ 3 | 25 ∙ 4 | 46 ∙ 2 | 15 ∙ 4 |
5. Решите круговые примеры.
| (30 + 9) ∙ 2 (78) | (36 + 6):2 (21) | (33 - 3):3 (10) | 10 ∙ 3 + 10 ∙ 2 (50) |
| (85 - 5):4 (20) | (75 - 3):3 (24) | 78:3 + 12:3 (33) | (21 + 2) ∙ 4 (92) |
| 10 ∙ 5 + 7 ∙ 5 (85) | 50 ∙ 2 – 50:2 (75) | 20:2 – 20:4 (5) | (92 - 2):9 (10) |
6. Даны примеры. Найдите значения выражений.
| (60 + 12):2 | (33 - 11):11 | 14 ∙ 2 + 12 ∙ 2 |
| (80 + 4):4 | (25 + 25) ∙ 2 | 15:5 + 45:5 |
| (34 + 4) ∙ 2 | (4 + 4 + 4) ∙ 4 | (70 + 5):15 |
7. Сравните решения, какой способ удобнее?
(17 + 3) ∙ 4 = 17 ∙ 4 + 3 ∙ 4 = 68 + 12 = 80
(17 + 3) ∙ 4 = 20 ∙ 4 = 80
(48 + 20):4 = 48:4 + 20:4 = 12 + 5 = 17
(48 + 20) = 68:4 = 17
8. Проверьте, правильно ли вычислены значения выражений, исправьте ошибки, если они есть:
| 2 3 1 | 3 1 2 |
| 100 – 20 : ( 20 - 10) = 8 | 60 : 12 + 48 : 12 = 12 |
| 3 1 2 | 2 1 3 |
| 45 + (70 - 6) : 2 = 77 | 90 - (35 - 5) : 6 = 10 |
Дополнительный вопрос: значения, каких выражений можно вычислить двумя способами?
9. Найдите и объясните ошибки, допущенные при вычислении значений выражений.
Выполните вычисления правильно.
(10 + 7) ∙ 5 = 10 ∙ 5 + 7 = 57
(60 + 12):4 = 60 + 12:4 = 63
60:3 + 21:3 = (20 + 7):3 = 9
2 ∙ 26 + 2 ∙ 4 = 2 ∙ (26 + 4) = 40
24:2 + 24:4 = 24:(2 + 4) = 4
10. Вычислите, где можно удобным способом.
(64:32):8
14 ∙ 2 + 12:4
30:2 + 50:2
Упражнения на применение знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.
1. Вычислите значения выражений, изменяя, если нужно, порядок выполнения действий на основе изученных свойств арифметических действий. Объясните, какими свойствами при этом пользовались. Почему так вычислить удобнее?
| 1) (42 + 49):7 | 2) (15 + 25) ∙ 2 | 3) 60:6 + 30:6 | 4) 3 ∙ 18 + 3 ∙12 |
2. Сравните способы нахождения значений выражений.
| 24 ∙ 4 и 24 + 4 | 36:2 и 36 – 2 |
3. Вычислите значения только тех выражений, значения которых могут быть вычислены различными способами. Вычислите удобным способом.
| 24:6 + 60:6 | 36:3 + 36:6 | 50:5 + 20:4 | (32 + 4):13 |
| (52 + 28):2 | 48:3 + 51:3 | 48:12 + 12:4 | 70:(7 + 7) |
4. Сопоставьте в каждой паре выражений удобные способы вычисления его значения.
Дополнительный вопрос: «Значения каких выражений удобнее вычислять, изменив порядок выполнения действий, а каких - не изменив?»
| 1) (40 + 3) ∙ 2 | 2) 42:3 + 48:3 | 3) 10 ∙ (3 + 6) |
| (36 + 36):2 | 50:5 + 20:5 | 3 ∙ (20 + 8) |
5. Сопоставьте каждой паре выражений возможные способы вычисления их значения.
| 1)60:4 + 20:4 | 2)10 ∙ 2 + 4 ∙ 2 | 3)(36 + 36):6 |
| 60:20 + 20:4 | 10 ∙ 4 + 2 ∙ 2 | 3 ∙ (6 + 6) |
6. Расставьте между числами знаки действий так, чтобы получились намеченные результаты
| (30 * 2) * 3 = 96 | (14 * 7) * 4 = 84 | (28 * 4) * 6 = 4 |
| (17 * 3) * 2 = 7 | 20 * 3 * 7 * 3 = 81 | 11 * 11 * 88 * 11 = 9 |
7. Замените * нужным действием так, чтобы ответ оказался верным
| (40 * 3) * 2 = 86 | (15 * 3) * 9 = 2 | (20 + 4) * 3 = 8 |
| 2 * 3 + 6 * 3 = 8 | (20 + 6) * 3 = 29 | |
8. Реши примеры, восстанови пропущенные числа
| (53 - 23):10 = 3 | (69 - *):2 = 4 | (36 - *):5 = 6 | (* - 54):6 = 2 |
| (* - 15):5 = 2 | (* - *):1 = 1 | (* - *):3 = 6 | (* + *):7 = 10 |
Творческие упражнения.
1. Составьте разные схемы выражений, при вычислении значений которых деление надо выполнять: 1) первым, 2) вторым, 3) третьим действием.
2. Составьте схемы выражений, содержащих три действия, где: а) вычитание записано вторым, а выполнять его надо третьим; б) сложение записано вторым, а выполнять его надо первым; в) умножение записано третьим, а выполнять его надо вторым действием.
3. Подберите такие числовые значения для А и В, чтобы значение выражений можно было найти двумя (одним) способом.
| (А + В):2 | (А + В):3 | (А + В):5 |
4. Измените, если нужно, одно число в каждом выражении так, чтобы его значение можно было вычислить разными способами и вычисли его удобным способом.
| 13 ∙ 3 + 18 ∙ 2 | 6 ∙ 5 + 5 ∙ 4 | 12 ∙ 3 + 15:3 |
| 40:4 + 40:2 | (12 + 44):8 | 16:4 + 16 ∙ 2 |
В каких выражениях для этого можно изменить знаки действий. Найдите «ловушки».
5. Какое число можно изменить в каждом выражении так, чтобы его значение нельзя было вычислить различными способами.
| 12 ∙ 2 + 2 ∙ 2 | 30:5 + 20:5 | 33:(3 + 8) |
| 99:99 – 99:9 | (14 + 6) ∙ 2 | 10 ∙ 3 + 13 ∙ 3 |
Найдите «ловушки».
6. Составьте по два выражения вида (* + *) : *; * : * + * : *; * ∙ (* + *) так, чтобы значение первого из них можно было вычислить:
- различными способами на основе знания свойств арифметических действий;
- одним способом.
7. Составьте по два выражения вида * ∙ * + * ∙ *, (* + *): *, *: * + *: *, так, чтобы значение первого из них можно было вычислить разными способами, а второго - одним. Выполните вычисления.
Использование разработанного комплекса упражнений способствует более успешному усвоению детьми темы «Внетабличное умножение и деление».
2.3. Результаты работы по овладению приемами внетабличного умножения и деления.
Цель: выявление эффективности комплекса упражнений по овладению приемами внетабличного умножения и деления.
Задачи:
1. Провести контрольную работу и выявить уровень знаний младших школьников.
2. Сравнить уровни знаний младших школьников в классе на констатирующем и контрольном этапах эксперимента.
3. Проанализировать контрольные результаты, сделать вывод об эффективности комплекса упражнений по овладению приемами внетабличного умножения и деления.
Для того чтобы выявить уровень знаний младших школьников после использования разработанного комплекса упражнений, необходимо было провести контрольную работу.
Контрольная работа [5].
I вариант:
1. Решите задачу.
На выставку привезли 35 картин и повесили их в залы, по 7 картин в каждый зал. Экскурсовод уже провел экскурсию по 3 залам. Сколько еще залов осталось показать экскурсоводу?
2. Найдите значения выражений.
26 + 18∙4 = 80:16∙13 = 72 - 96:8 =
31∙3 – 17 = 57:19∙32 = 36 + 42:3 =
3. Реши уравнения.
72:x = 4 42:x = 63:3
4. Сравните выражения (поставьте знак «˃», «˂», «=»).
6 ∙ 3 + 8 ∙ 3 … (6 + 8) ∙ 3
5 ∙ 12 … 5 ∙ (10 + 2)
II вариант:
1. Решите задач.
72 конфеты разложили по новогодним подаркам, в каждый подарок по 9 конфет. 6 подарков уже отдали детям. Сколько подарков еще осталось?
2. Найдите значение выражений.
11 ∙ 7 + 23 = 56:14 ∙ 19 = 72:18 + 7 ∙ 8 =
23 + 27 ∙ 2 = 60:15 ∙ 13 = 86 – 78:13 =
3. Решите уравнение.
x:6 = 11 75:x = 17 + 8
4. Сравните выражения.
(20 + 8) ∙ 2 … 28 ∙ 3
(7 + 4) ∙ 4 … 7 ∙ 4 + 4∙ 4
Таблица 2
Уровни знаний детей младшего школьного возраста на констатирующем и контрольном этапах исследования
| Уровень знаний | Класс | |
| Констатирующий этап | Контрольный этап | |
| Высокий | 21 % | 42 % |
| Средний | 29% | 50% |
| Низкий | 33% | 8% |
| Оч.низкий | 17% | 0% |
При сравнении уровней знаний младших школьников по теме «Внетабличное умножение и деление» видно, что контрольные результаты намного выше констатирующих. Это значит, что комплекс упражнений по овладению приемами внетабличного умножения и деления способствовал лучшему усвоению этой темы.
Заключение
Тема «Внетабличное умножение и деление», включающая случаи умножения и деления разрядных чисел, двузначного числа на однозначное, деление двузначного числа на двузначное, занимает исключительно важное место в курсе математики III класса (по программе четырехлетней начальной школы) и в целом в математической подготовке младших школьников. Она, образно говоря, представляет собой тот мостик, который соединяет табличные случаи умножения и деления с действиями над многозначными числами. Поэтому главная задача в работе над темой состоит в том, чтобы начать хорошо продуманную перспективную подготовку к введению и последующему усвоению учащимися приемов письменного умножения и деления.
Теме «Внетабличное умножение и деление» уделяется немало часов для того, чтобы дети научились выполнять устные вычисления в пределах 100 при помощи специальных приемов.
При изучении уровня знаний младших школьников по теме «Внетабличное умножение и деление» было выявлено, что знания, которые им сформировал учитель, недостаточно сформированы. Это было понятно после проведения самостоятельной работы по данной теме.
После сравнительного анализа, когда был использован разработанный комплекс упражнений, было видно, что он способствует более успешному усвоению детьми данной темы.
Таким образом, цель исследования достигнута и, действительно, дети младшего школьного возраста овладели приемами внетабличного умножения и деления по программе «Школа России».
Список использованной литературы
1. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных классах [Текст]: учебное пособие для пед.училищ / М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова; Под ред. М. А. Бантовой. – М.: Просвещение, 1984. – 35 с.: илл.
2. Бантова, Л.А. Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждение [Текст] // Начальная школа. – 1982. − №8. С. 25 – 29.
3. Бантова, Л.А. Система формирования вычислительных навыков [Текст] // Начальная школа. – 1993. − №11. – С. 19 – 23.
4. Белошистая, А. В. Обучение математике в начальной школе [Текст]: методическое пособие для учителя начальных классов / А. В. Белошистая. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 176 с.: ил. – (Методика). – ISBN 5-8112-1557-6
5. Белошистая, А. В. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 [Текст] // Начальная школа. – 2001. − № 7. – С. 44 – 49.
6. Безруких, М.И. Трудности обучения в начальной школе [Текст]: причины, диагностика, комплексная помощь / М.М. Безруких. − Тула: ООО Издательство «Родничок», М.: 2004. – 350с. – ISBN5-271-09248-8
7. Богданович, М. В. Математика в 3 классе четырехлетней начальной школы [Текст]: пособие для учителей / М. В. Богданович, Т. В. Винеева, Л. С. Шарапова. – Киев: 1988. – 160 с.
8. Гордеев, Э. В. 1200 задач и примеров по математике [Текст]: для начальной школы: 1 – 4 класс. – Тула: Родничок, М.: Астрель, 2000. – 288 с. – ISBN 5-271-00517-8
9. Зайцева, С.А. Методика обучения математике в начальной школе [Текст] / С. А. Зайцева, И. Б. Румянцева, И. И. Целищева. – М.: ВЛАДОС, 2008. – 192 с. − ISBN 978-5-691-01635-6
10. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах [Текст]: учебное пособие для средних и высших учебных заведений. – 2-е изд., испр. – М.: Академия, 1998. – 288 с.
11. Математика: Учебник для 3 класса начальной школы [Текст]: В 2 ч.: Ч. 2: (Второе полугодие) / М. И. Моро, М. А. Бантова, С. И. Волкова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 96 с.: илл. − ISBN 5-09-0131554-6
12. Медведская, В. Н. Система опорных схем при формировании навыков устного внетабличного умножения и деления [Текст]: //Начальная школа. – 1991. − № 11. – С. 18 – 20.
13. Методика начального обучения математике [Текст]: учебное пособие для институтов / Под ред. Л. Н. Скаткина. – М.: Просвещение, 1972. – С. 200 – 201.
14. Методика начального обучения математике [Текст]: учебное пособие для вузов / Под ред. А. Столяра, В. Дрозда. – Минск, 1988. – С. 104 – 109.
15. Мокрушина, О. А. Поурочные разработки по математике [Текст]: 3 класс: к учебному комплекту Моро М. И. и др. / О. А. Мокрушина. – М.: ВАКО, 2007. – 402 с.: ил. – ISBN 978-5-94665-510-1
16. Моро, М. И. Карточки с математическими заданиями для 3 класса [Текст]: пособие для учителей / М. И. Моро, Н. Ф. Вапняр. – 6-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1984. – 318 с.: илл.
17. Моро, М. И. Математика в 3 классе четырехлетней начальной школы [Текст] // Начальная школа. – 1988. - № 8. – С. 9 − 16.
18. Программы общеобразовательных учреждений. Начальная школа [Текст]: 1−4 классы / Учебно-методический комплект "Планета знаний": Обучение грамоте. Русский язык. Математика. Литературное чтение. Окружающий мир. Английский язык. Музыка. − М.: АСТ: Астрель, 2007. – 317 с. − (Планета знаний). − ISBN 5-17-037776-2
19. Топор, М. М. Практические работы по арифметике 1 – 4 классах [Текст] / М. М. Топор. – М.: Учпедгиз, 1959. – С. 72.
20. Узорова, О. В. Контрольные и проверочные работы по математике [Текст]: 1 – 4 классы; 1 – 3 классы / О. В. Узорова, Е. А. Нефедова. – М.: Астрель – АСТ, 2002. – 270 с. – ISBN 5-17-010551-7
