Реферат Уравнение Лапласа и гармонические функции
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Основные понятия
Мы начнем с самого простого и важного из эллиптических уравнений, а именно с уравнения Лапласа. Это уравнение имеет вид
- ∆
u
=
f
(
x
)
Здесь f
(
x
) — заданная функция. Если f
(
x
)≠0, то уравнение (1) называется неоднородным уравнением Лапласа. При f
(
x
) = 0 имеем однородное уравнение Лапласа
∆
u
=
0
Неоднородное уравнение Лапласа часто называют уравнением Пуассона.
В более подробной записи уравнения Лапласа — неоднородное и однородное — выглядят так:
и соответственно
Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность Г, не обязательно связную» и пусть Г ограничивает область Ω, конечную (рис. 1) или бесконечную (рис.2) В обоих случаях предполагается» что сама поверхность Г конечна. Будемизучать поведение решений однородного уравнения Лапласа в подобных областях.
Функция и (х) называется гармонической в конечной области Ω, если она в этой области дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет однородному уравнению Лапласа.
Будем говорить, что функция и(х) гармоническая в бесконечной области Ω, если в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии or начала, u
(
x
) дважды непрерывно дифференцируема, удовлетворяйi однородному уравнению Лапласа и па бесконечности имеет порядок
где т— размерность пространства, а С — некоторая постоянная. В случае двумерной области (т = 2) условие (3) означает, что гармоническая в бесконечной области функция ограничена на бесконечности.
Подчеркнем, что определение гармонической функции относится только к случаю открытой области (т. е. открытого связного множества); если говорят о функции, гармонической в замкнутой области, то под этим понимают, что данная функция гармонична в более широкой открытой области.
Заметим еще, что определение гармонической функции не накладывает никаких ограничений на поведение функции на границе области.
Пример 1: Если Ω — бесконечная область, то функция и (х) = 1 гармоническая только при т = 2. Если m
>
2, то в бесконечной области эта функции негармонична. Однако она гармонична в любой конечной области при любом т.
Пример 2. В двумерной плоскости функция
где z
= х+
i
у, гармонична в любой области, которая не содержит начала координат.
Пример 3. Функция
=
x
+
iy, гармонична в круге | z
| < R
(
R
— любое положительное число), разрезанном вдоль какого-либо из его радиусов.
Пример 4. Функция двух переменных и = х2+ у2 не является гармонической ни в какой области, так как она не удовлетворяет однородному уравнению Лапласа
∆(
x
2
+
y
2
) = 4 ≠ 0.
Пример 5. Функция u
=
x
2
-
y
2 гармонична в любой конечной области.
На двумерной плоскости конформное преобразование не меняет однородного уравнения Лапласа. В случае любого т это не так, но все же существует преобразование, которое переводит любую гармоническую функцию в гармоническую же. Это пре образование Кельвина,
которое переводит точку
х (хи х2, ... , хт) в точку х’ (х’и х’2, ... , х’т), симметричную с точкой х относительно сферы данного радиуса R
с центром в начале координат, а дан ную функцию и (х) переводит в функцию
Напомним, что точки х и х' называются симметричными относительно названной выше сферы, если они лежат на одном луче, исходящем из начала, и если | х | • | х'| =
R
2. Декартовы координаты симметричных точек связаны соотношением
Простой, хотя и довольно громоздкий подсчет приводит к соотношению
поэтому если
