Реферат Уравнения поверхности и линии в пространстве
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Основные понятия
Поверхность и ее уравнение
Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О1 на расстоянии R.
Прямоугольная система координат Оxyz
в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y и z – их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.
Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Оxyz
называется такое уравнение F
(
x
,
y
,
z
)=0 с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка М1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки M1 в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют – не лежит.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R
c центром в точке О1
(
x
0
;
y
0
;
z
0
). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(x
,
y
,
z
) от центра О1
(
x
0
;
y
0
;
z
0
) равно радиусу R, т.е. О1
М =
R. Но О1
М=|
-
x
0
;
y
-
y
0
;
z
-
z
0
). Следовательно,
или
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.
Если центр сферы О1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид
Если же дано уравнение вида F
(
x
;
y
;
z
) =0, то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F
(
x
;
y
;
z
) =0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».
Так, уравнению
,
y
,
z
. Уравнению
(из уравнения следует: y
=0,
z
=0, а x
- любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение F
(
x
;
y
;
z
)=0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.
Уравнение линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 1) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.
Если F
1
(
x
;
y
;
z
)=0 и F
2
(
x
;
y
;
z
)=0 – уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
Уравнения этой системы называются уравнениями линии в пространстве. Например,
.
Рис. 1 Рис. 2
или параметрическими уравнениями
Проекцией вектора на оси координат.
Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
Рис. 3
