Тема 2. Основы финансовой математики

1. 
   Виды денежных потоков
   

Рассмотрим денежный поток С₁, С₂, ……., С_n, генерируемый в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования какого-либо вида актива. Элементы потока могут быть независимыми, либо связанными между собой определёнными алгоритмом.

Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Для простоты изложения материала предполагается, что все элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств.

Денежный поток пренумерандо (или авансовый) – это денежный поток, у которого все поступления, генерируемые в рамках одного временного периода, сконцентрированы в его начале (рис. 2.1).

Денежный поток постнумерандо – это денежный поток, у которого все поступления сконцентрированы в его конце, т.е. денежные потоки сконцентрированы на одной из границ, а не распределены внутри (рис. 2.1).






0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
Поток пренумерандо Поток постнумерандо

(авансовый)
Рис 2.1. Виды денежных потоков
На практике наибольшее распространение получил поток постнумерандо, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Объяснение этому можно дать исходя из общих принципов бухгалтерского учёта, согласно которым принято производить итоги и оценивать финансовый результат по окончании отчётного периода.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

1. Прямой
, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения).

Данная задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в его основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления % на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула:
F_n = Р * (1+r) ⁿ, (2.1)
где F_n – будущая стоимость;

Р – текущая стоимость;

r – норма доходности;

n – количество лет вложения капитала.
2. Обратной
, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Данная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведённого) денежного потока.

Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью формулы:

F_n

Р_n = (2.2)

(1 + r)ⁿ ,
где r – ставка дисконтирования (в долях единицы).
2. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями
Ситуация, когда денежные потоки по годам варьируют, является наиболее распространенной.

Пусть С₁, С₂,…………., С_n – денежный поток;

r – ставка дисконтирования.

Поток все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, называется приведённым.

Требуется найти будущую стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

2.1. Оценка потока постнумерандо

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения:


С₁ *(1+r)ⁿ‾¹, С₂ *(1+r)ⁿ‾²,…………С_n-1 * (1+r), С_n
И будущая стоимость F_pst исходного денежного потока постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений:

ⁿ

F_pst = Ck * (1+r)ⁿ‾ ^k (2.3)

k = 1
Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода О. в этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчёты необходимо вести по приведённому потоку.

Приведённый денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:
С₁ С₂ С_n

1+r , (1+r)² , ……………, (1+r)ⁿ
Приведённая стоимость денежного потока постнумерандо Р_pst может быть рассчитана следующим образом:
ⁿ

Р_pst = С _k (2.4)

(1+r)^k

k = 1
Если использовать дисконтирующий множитель, то формулу (2.4) можно представить в следующем виде:

ⁿ

Р_pst = С _k * FM2 (r, k) , (2.5)

k = 1

где FM2 (r, k) – дисконтирующий множитель 2, который равен:

1

FM2 (r, k) = (1+r)^k
Пример. Рассчитать приведённую стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25., если ставка дисконтирования r = 12% годовых.

Для решения воспользуемся данными специальной таблицы, которые можно найти в учебниках и практикумах по финансовому менеджменту (Ковалёв В.В. Введение в финансовый менеджмент и др.). Подставим данные из таблицы в формулу 2.5 и получим приведённый денежный поток.

Год	Денежный поток, тыс. руб.	Дисконтируемый множитель FM2 при r= 12%	Приведённый денежный поток, тыс. руб.
1	12	0,8929	10,71
2	15	0,7972	11,96
3	9	0,7118	6,41
4	25	0,6355	15,89
Итого	61	*	44,97

2.2. Оценка потока пренумерандо
Логика оценки денежного потока в этом случае аналогична рассмотренной выше. Некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подинтервалов.

Для прямой задачи расчёт будущей стоимости исходного денежного потока пренумерандо будет осуществляться по формуле:


F_pre = C_k* (1+r)^n-k+1 (2.6)
или:
F_pre = F_pst *(1+r)
Для обратной задачи расчёт приведённой стоимости потока пренумерандо в общем виде может быть определена по формуле:

ⁿ

P_pre = Ck =

(1+r)<sup>k-1

k=1</sup>


= (1+r) * Ck* FM2(r, k) (2.7)
или:
P_pre= P_pst * (1+r)
Если в предыдущей задаче предположить, что исходный денежный поток пренумерандо, то его приведённая стоимость будет равна: P_pre = 44,97*1,12 = 50,37 тыс. руб.
3. Оценка аннуитетов
Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока.

Известны два подхода к его определению:

● первый: аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы.

● второй: накладывает дополнительные ограничения, а именно элементы потока одинаковы по величине. В дальнейшем мы будем придерживаться именно второго подхода.

Если число временных интервалов ограничено, то аннуитет называется срочным. В этом случае:

С₁ = С₂ = …………….. = С_n = A
Выделяют два типа аннуитетов: постнумерандо и пренумерандо.

Примером аннуитета постнумерандо являются регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода.

В качестве аннуитета пренумерандо выступает схема периодических денежных вкладов на банковский счёт в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Аннуитет называют финансовой рентой или рентой. Любое денежное поступление называется членом ренты, а величина постоянного временного интервала между двумя последовательными денежными поступлениями называется периодом аннуитета (периодом ренты).
3.1. Оценка аннуитета постнумерандо
Прямая задача. Определение будущей стоимости аннуитета постнумерандо при заданных величинах регулярного поступления А и при процентной ставке r основывается на использовании формулы 2.3, которая трансформируется следующим образом:

_n


F^a_pst = A * (1+r)^n-k = A * FM3 (r, n), (2.8)

_k=1
где FM3 (r, n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета, или коэффициент наращения аннуитета (ренты):

(1+r)ⁿ - 1

FM3 (r, n) = r (2.9)
Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM3 (r, n) заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия. Предполагается, что производится только начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Из формулы 2.8 следует, что FM3 (r, n) показывает во сколько раз сумма аннуитета больше денежного поступления А. в связи с этим множитель FM3 (r, n) называют ещё коэффициентом аккумуляции вкладов.

Пример. Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из вариантов оплаты аренды:

а) 10 тыс. руб. в конце каждого года;

б) 35 тыс. руб. в конце трехлетнего периода.

Какой вариант предпочтительнее, если банк предлагает по вкладам 20% годовых?

Первый вариант оплаты – это аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 тыс. руб.

В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм на условиях 20% годовых, если вложить эти средства в банк. К концу трёхлетнего периода сумма будет равна:

F^a_pst = A * FM3 (r, n) = 10* FM3 (20%, 3) = 10*3,640 = 36,4 тыс. руб.

Таким образом, расчёт показывает, что вариант а) более выгоден.
Обратная задача. Формула для расчёта текущей стоимости аннуитета постнумерандо P^a_pst выводится из формулы 2.4. и имеет вид:

_n

1

P^a_pst = A * (1+r)^k = A * FM4 (r, n), (2.10)

_k=1
где FM4 (r, n) – дисконтирующий множитель для аннуитета, или коэффициент дисконтирования аннуитета (ренты), который рассчитывается по формуле:

_n

1

FM4(r, n) = (1+r)^k

_k=1

или:

1 - (1+r)^-n

FM4(r, n) = r . (2.11)
Экономический смысл дисконтирующего множителя FM4(r, n) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

FM4 (20%, 3) = 2,106; поэтому P^a_pst = 10*2,106 = 21, 06 тыс. руб.
3.2. Оценка аннуитета пренумерандо
Соответствующие расчётные формулы для аннуитета пренумерандо можно вывести из формул 2.6 и 2.7.

Так будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:
F^A_pre = F^A_pst * (1+r) = A*FM3(r, n) * (1+r) (2.12)

(1+r)ⁿ - 1

или: F^A_pre = A * r * (1+r) (2.13)


Настоящая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:
P^A_pre= P^A_pst * (1+r) = A * FM4(r,n)*(1+r) (2.14)

или:

P^A_pre = A * 1- (1+r) ^–n

r * (1+r) (2.15)


Пример. Ежегодно в начале года в банк делается взнос в размере 10 тыс. руб. банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счёте через 3 года?

Решение. В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо. Нам нужно найти будущую сумму по формуле (2.12):

F^a_pre = 10*(1+0,2)*FM(20%, 3) = 10*1,2*3,640 = 43,68 тыс. руб.
Пример. Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно безопасно депонировать деньги в банк из расчёта 12% годовых?

Решение. Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. Определим сначала, что получим, если депонируем деньги в банк:

F₅ = P* (1+r)⁵ = 100*(1+0,12)⁵ = 176,23 тыс.руб.

При рассмотрении альтернативного варианта, можно предположить, что возвращаемые суммы по 20 тыс.р. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив, то можно депонировать в банк. Предположим, что вложения будем делать в конце периода, т.е. получим аннуитет постнумерандо с А=20, n=5, r=12%.

F^a_pst = 20 * FM3 (12%, 5)+30 = 20*6,353 + 30 = 157,06 тыс. руб.

Таким образом, предложение нецелесообразно, так как 176,23 тыс. руб. > 157,06 тыс. руб.
4. Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка
Одной из типовых задач, решаемых на практике с помощью методов дисконтирования, является прогнозный анализ фондов, доступных к потреблению.

Аналитик оценивает свои возможные доходы, а также целесообразность предоставления или, наоборот, получения кредита. Анализ производится в условиях свободного рынка, который предполагает существование возможности размещения временно свободных денежных средств путём предоставления кредита или депонирования их в банке на депозитных счетах, а также возможности получения финансовых ресурсов в требуемых объёмах.

При проведении финансовых и коммерческих расчётов необходимо учитывать следующие моменты:

1. 
   проводя количественное обоснование той или иной финансовой операции, необходимо контролировать соответствие % ставки продолжительности базисного периода;
   
2. 
   необходимо отдавать отчёт в том, в каких единицах (% или долях единицы) следует включать в расчёт данные о % ставках;
   
3. 
   реальная эффективность финансовой сделки характеризуется эффективной годовой % ставкой, но во многих контрактах указывается номинальная ставка, которая отличается от эффективной;
   
4. 
   заключая контракт, целесообразно уточнять, о какой ставе идёт речь (%, учётной, эффективной);
   
5. 
   ни одна из схем начисления % не является универсальной и пригодной на все случаи жизни, всё зависит от конкретных обстоятельств;
   
6. 
   при анализе денежных потоков в большинстве случаев его элементы не могут быть просуммированы непосредственно, должен учитываться фактор времени;
   
7. 
   начало денежного потока момент, на который делается оценка, могут не совпадать;
   
8. 
   приведение денежных потоков в сравнительном анализе в принципе можно делать по отношению к любому моменту времени, однако выбирается либо начало, либо конец периода действия.