Реферат Исчислителые системы с древнейших времен до наших дней
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Содержание:
1. Введение……………………………………………………………………3
2. Древнеегипетская десятичная непозиционная система………………..4
3. Числовая система индейцев Майя……………………………………….4
4. Вавилонская шестидесятеричная система………………………………5
5. Римская система……………………………………………………………7
6. Двенадцатеричная система счисления……………………………………8
7. Алфавитные системы счисления………………………………………….9
8. Десятичная система……………………………………………………….10
9. Двоичная система…………………………………………………………12
10. Обозначения чисел………………………………………………………14
11. Заключение………………………………………………………………15
12. Список литературы………………………………………………………16
Введение
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.
Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами.
Но что же люди понимают тогда под словом "число"?
Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.
Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.
Сегодня, в XI веке, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система
В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 0, 102,103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.
Число 345 древние египтяне записывали так:
где
В основе древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.
Числовая система индейцев Майя
"В письменности Майя, как и в других иероглифических системах письма, употребляются знаки фонетические (алфавитные и слоговые), идеографические (обозначающие целые слова) и ключевые (поясняющие значения слов, но не читающиеся). Один и тот же знак в разных сочетаниях может употребляться то как фонетический, то как ключевой, то как идеограмма..."
Юрий Кнорозов
Иероглифические символы чисел майя от 1 до 10.
| | | | | | | | | | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Вавилонская шестидесятеричная система
Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации — вавилонской — люди записывали цифры по-другому.
Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин
| Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево. | |
| | |
| | |
| | |
Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учетом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.
Число 92=60+32 записывали так:
Все числа от 1 до 59 вавилонян записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом — в позиционной системе с основанием 60.
Запись числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведенная выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, 3632=3600+32=602+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда —
Число 3632 теперь нужно было записывать так:
Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.
Шестидесятеричная вавилонская система — первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.
Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной, другое — десятичной.
Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минутам, 1 градус = 60 минутам. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.
Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуты на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).
Римская система
Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.
| I | V | X | L | C | D | M |
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:
1) сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовем их группой первого вида);
2) разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L (50) и C (100) из "младших" может стоять только X (10), перед D (500) и M(1000) — только C (100), перед V (5) — только I (1);
3) сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.
Например, IX обозначает 9, XI обозначает11. Десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII=10+10+5+1+1+1, а десятичное число 99 имеет вот такое представление: IC= -1+100.
Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).
Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).
Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры"). Вы видели подобные обозначения года выпуска в титрах голливудских фильмов.
Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, разделов и глав в книгах.
Двенадцатеричная система счисления
Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления.
Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, последующие числа являются составными.
| 1 -- one | 2 -- two | 3 -- three | 4 -- four | 5 -- five | 6 -- six |
| 7 -- seven | 8 -- eight | 9 -- nine | 10 -- ten | 11 -- eleven | 12 -- twelve |
Для чисел от 13 до 19 -- окончание слов -- teen. Например, 15 -- fiveteen.
Алфавитные системы счисления
Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите.
Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак -- "титло" (отсюда - число). Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.
Алфавитная система счисления была распространена у древних армян , грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.
Десятичная система
В древнем Китае, Индии и некоторых других странах существовали системы записи чисел, построенные на мультипликативном принципе. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен и т.д. применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. Так, если десятки обозначить Х, а сотни Y, то запись числа 548 схематично будет выглядеть: 5Y4Х8. На аналогичном принципе основаны наши счеты: одно и то же количество косточек означает число десятков, сотен, тысяч и т.д., в зависимости от того, в каком ряду они расположены. Именно такой способ счета применялся при счете "числами-совокупностями". Постепенно заметили, что даже если не указывать имена разрядов, то число все равно можно прочитать, т.к. у каждого разряда есть свое "посадочное место" (позиция). Но при записи чисел требовался символ для обозначения пустой позиции.
Современная десятичная система счисления возникла примерно в V веке до н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего открытия - цифры "0" для обозначения отсутствующей величины.
Как мы уже знаем, в поздних вавилонских текстах стал появляться такой знак, однако в конце числа его никогда не ставили. Примерно во II веке до н.э. с многовековыми астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Но самое замечательное было то, что для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого слова Ouden - ничто).
Индийцы, владевшие уже мультипликативным принципом записи чисел, между II и VI веками н.э. познакомились с греческой астрономией. Это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины. Одновременно они познакомились с шестидесятеричной системой и круглым греческим нулем. Индийцы соединили принципы греческой нумерации со своей десятичной мультипликативной системой. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления.
Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, а затем и в Западную Европу. О ней подробно рассказал среднеазиатский математик Аль Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной. А так как труд Аль Хорезми был написан на общем для мусульманского мира языке - арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.
С начала XII века десятичная система получила распространение во всей Европе. Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел.
В России, как уже говорилось, в старину употреблялась алфавитная система. Но и здесь новая нумерация быстро вошла в употребление. При Петре I индийские цифры уже вытесняют на монетах славянские, а позднее славянские исчезают совсем.
Двоичная система
Из всех позиционных систем счисления наибольшее распространение после десятичной получила двоичная система счисления. Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием.
Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов - чередованием звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние. Таким образом "работал" полинезийский "телеграф". В телеграфе XIX - XX веков информация передавалась с помощью азбуки Морзе - в виде последовательности из точек и тире.
Двоичная система счисления явилась одним из истоков произошедшей в ХХ веке грандиозной компьютерной революции. Технически две цифры воспроизвести просто: 1 - ток в полупроводниковом элементе проходит, 0 - ток не проходит. Состояния элемента "ток проходит" и "ток не проходит" могут сменять друг друга за очень короткие промежутки времени - миллионные доли секунды. Это позволяет производить арифметические действия над двоичными числами с неимоверной скоростью.
По сравнению с громоздкими таблицами умножения и сложения чисел в десятичной системе таблицы сложения и умножения двоичных чисел миниатюрны.
| 0+0=0 | 0х0=0 |
| 0+1=1 | 0х1=0 |
| 1+0=1 | 1х0=0 |
| 1+1=10 | 1х1=1 |
Более того, умножение на 1 вообще не меняет числа. Поэтому, чтобы перемножить два многоразрядных двоичных числа, достаточно несколько раз сдвинуть верхний сомножитель на соответствующее количество разрядов влево и суммировать все полученные числа.
Следует отметить, что двоичная система издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Великий немецкий математик Г.В.Лейбниц, создавший в 1692 году первую механическую счетную машину, выполнявшую все арифметические операции, видел в двоичной системе "…прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а ноль - небытие, и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица с помощью нуля выражает все числа".
Некоторый недостаток двоичной системы состоит в том, что поскольку основание системы мало, для записи даже не очень больших чисел приходится использовать много знаков (1000 = (1111101000) ).Однако этот ее недостаток окупается рядом преимуществ, которые и служат причиной того, что двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах.
Заключение
Человек, совершенствуя искусство счета, проделал огромный путь - от засечек на дереве до современного компьютера. Все достижения вычислительной культуры человека берут свое начало в единичной системе.
В ходе своего развития человечество стремилось совершенствовать запись чисел. У разных народов в разное время употреблялись различные системы счисления. Непозиционные системы счисления не получили широкого распространения в современном обществе.
Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления. Хотя все позиционные системы счисления являются равноправными, в повседневной жизни мы обычно пользуемся десятичной системой.
Список литературы
1. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm
2. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/TSIFRI_I_SISTEMI_SCHISLENIYA.html
3. http://lukped.narod.ru/internet/binary/theor.htm
4. http://yarik2000.narod.ru/cc/hist10.html
