Задача  1

         По исходным данным:

1. постройте интервальный ряд распределения магазинов по объему товарооборота, образовав 4 группы с равновеликими интервалами. Изобразите полученный интервальный ряд распределения графически в виде гистограммы распределения;

2. использовав интервальный ряд распределения, для каждой группы подсчитайте:

·        число магазинов;

·        объем товарооборота – всего и в среднем на один магазин;

·        сумму прибыли – всего и в среднем на один магазин;

·        уровень прибыли на единицу товарооборота (в %).

         Результаты представьте в виде групповой таблицы и сделайте выводы о характере зависимости между объемом товарооборота и прибылью (суммой и уровнем в % к товарообороту).

Исходные данные по 30 магазинам торговой ассоциации

Решение

         Для построения равноинтервального ряда распределения определим величину интервала группировки по формуле:


  

где i – величина интервала; х max и х min – соответственно максимальное и минимальное значение группировочного признака; n – число групп, равное 4.

i = (1776-150)/4 = 406,5

Образуем 4 группы с равновеликими интервалами и определим число магазинов

1 группа [150; 150 + 406,5 = 556,5]

количество магазинов равно 13




2 группа [556,5; 556,5 + 406,5 = 963]

количество магазинов равно 9




3 группа [963; 963 + 406,5 = 1369,5]

количество магазинов равно 5





4 группа [1369,5; 1369,5 + 406,5 = 1776]

  

количество магазинов равно 3

         Изобразим полученный интервальный ряд распределения графически в виде гистограммы распределения

        

         Использовав интервальный ряд распределения, для каждой группы определим: объем товарооборота – всего и в среднем на один магазин; сумму прибыли – всего и в среднем на один магазин; уровень прибыли на единицу товарооборота (в %). Результаты представим в виде групповой таблицы.

       Вывод: по итогам распределения магазинов на 4 группы, видим что, 1

группа (13 магазинов) показала минимальную прибыль на 1 магазин 21,15

млн. руб., прибыль на единицу товарооборота 6,3 %, самый высокий показатель. Первой группе магазинов необходимо рекомендовать: расширить клиентскую базу поставщиков и покупателей; для привлечения покупателей организовывать различные акции, бонусные программы; проводить рекламные компании. В четвертой группе 3 магазина, прибыль на 1 магазин 89,13 млн. руб. – максимальный показатель, прибыль на единицу товарооборота 5,7 %.
Задача  2

         На основе интервального ряда распределения магазинов по объему товарооборота, построенного в задаче 1, вычислить по 30 магазинам торговой ассоциации:

1. применяя способ «моментов»:

·        средний товарооборот на один магазин;

·        дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

2. коэффициент вариации;

3. моду и медиану. Сделайте выводы.

Решение

         Интервальный ряд распределения преобразовываем в дискретный путем определения середины интервала X_i для каждой группы

1 группа (150 + 556,5) / 2 = 353,25

2 группа (556,5 + 963) / 2 = 759,75

3 группа (963 + 1369,5) / 2 = 1166,25

4 группа (1369,50 + 1776) / 2 = 1572,75


На основе данных группировки определяем среднюю величину признака () по формуле

 ,            где              

где x_i - среднее значение признака в каждой группе; f – частоты, количество магазинов; А - постоянное число, равно 353,25, i = 406,5.

m₁ = 28 / 30 = 0,933, тогда   =  0,933 * 406,5 + 353,25 = 732,65

         Дисперсия ()

   ,   где            

m₂ = 56 / 30 = 1,866,  = 406,5² (1,866 – 0,933²) = 164507,84

         Среднее квадратическое отклонение = 405,5957
         Коэффициент вариации ( ) по формуле     

 = 405,5957 * 100 / 732,65 = 55,36

         Мода (М₀) – это величина Х товарооборота чаще всего встречающаяся в 30 магазинах, т. е. это Х_i с максимальным f, определяем моду (М₀)по формуле
где х_мо – нижняя граница модального интервала (150), i
_мо – величина равная интервала (405,6), f
_мо – частота модального интервала (13), f
_мо-1 – частота интервала предшествовавшего интервала (0), f
_мо+1 – частота интервала следующего интервала (9).

М₀ = 150 + 406,5 * 13/17 = 460,85 млн. руб.

         Медиана (М_ме) – величина делящая все 30 магазинов на две равные части: 1 часть магазины с величиной товарооборота ≤ медианы; 2 часть магазины с величиной товарооборота > медианы, определим медиану (М_ме) по формуле





где x
_ме – нижняя граница медианного интервала (150), i
_ме – величина равная интервалу (406,5), S_м-1 – накопленная частота интервала предшествующего медианному (13), f_ме – частота (9).

М_ме = 150 + 406,5 * 2/9 = 240,33

Медианная группа > 15.

         Вывод: больше половины магазинов имеет средний товарооборот 732,65, т.к. коэффициент вариации 55,36% > 33%, то средняя величина прибыли является не достоверной из сильных колебаний индивидуальных значений по магазинам (min = 150, max = 1776).

Задача  3

         Производство яиц во всех категориях хозяйств Волгоградской области характеризуется следующими данными:

Годы	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Яйца, млн. шт.	841	797	759	733	723	662	696	491

         Для характеристики динамики производства яиц в области, определите:

1. абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные);

2. абсолютное значение одного процента прироста. Полученные результаты представьте в табличной форме. Динамику производства яиц за изучаемые годы изобразите графически на основе базисных темпов роста;

3. средний годовой темп роста и прироста, средний абсолютный прирост за 1990-1997г.г. (двумя способами);

4. ожидаемый объем   производства яиц в 1998 г. при условии, что средний годовой темп за 1990-1997г.г. сохранится на 1998г.

         Сделайте выводы.

Решение

         Определим абсолютный прирост(у), темпы роста (Т_р) и прироста (Т_р) (цепные и базисные), абсолютное значение одного процента прироста (А). Полученные результаты представим в табличной форме.

  

         Абсолютный прирост (у) рассчитывается по формулам:

      (цепной);                    (базисный)

         Темпы роста (Т_р) :        Т_{р ц} = (у_n / у_n-1)*100% ;   Т_{р б} = (у_n / у₀ )*100%

         Темпы прироста (Т_р) начисляются двумя способами:

Т_рц = Т_рц  – 100% ;  Т_рб = Т_рб  – 100%

Т_рц = у_ц – у_n-1 ;  Т_рб = у_б / у₀

         Абсолютное значение одного процента прироста исчисляется на цепной основе:                       А %  = у_ц / Т _ц 

         Динамику производства яиц за изучаемые годы изобразим графически на основе базисных темпов роста.

        

         Средний годовой темп роста определяем по формулам двумя способами:

;       

       Средний темп прироста исчисляем двумя способами:

   или    

         Средний абсолютный прирост за 1990-1997г.г. исчисляем двумя способами:

1 способ

где n – число уровней в ряду динамики

2 способ        

где m – число абсолютных приростов.

	Средний годовой темп роста	Средний годовой темп прироста	Средний абсолютный прирост
1 способ	0,93	–7,4	– 50
2 способ	0,93	–7,4	– 50

         Определяем ожидаемый объем производства яиц в 1998 г. при условии, что средний годовой темп за 1990-1997г.г. сохранится на 1998г. по формуле:

  ,

где   l – срок прогноза.

Ожидаемый объем яиц в 1998 г.          у_n+1 = 491 * 0,93¹ = 454,67 шт./год

         Вывод:   рассматривая производство яиц в период 1990 – 1997 гг. по показателям абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные), абсолютное значение одного процента прироста и сравнивая их, видим снижение с каждым годом. Также снижение подтверждает динамику производства яиц за изучаемые годы, наблюдаются подъемы производства  в 1993 г. и 1995 г., но незначительные. Средний годовой темп роста составляет 0,93%, средний годовой темп прироста и средний абсолютный прирост отрицательные значения. Ожидаемы объем яиц в 1998 г. 454,67 млн.шт./год, меньше чем было в 1997 г..

Задача  4

         Имеются данные о товарообороте магазина (в ценах соответствующих периодов) и об изменении физического объема товарооборота:

Товарные группы	Товарооборот, млн. руб.		Изменение физического объема товарооборота, %
	в базисном периоде	в отчетном периоде
Сахар	1638,0	2517,5	+2
Масло растительное	1320,0	2150,0	+30
Масло животное	6750,0	11033,0	-25
Мука	187,5	270,0	+20

         Определите:

1.Индивидуальные и общий индексы физического объема товарооборота.

2.Общий индекс товарооборота в действующих ценах.

3.Общий индекс цен, используя взаимосвязь индексов.

4.Сумму дополнительных расходов населения при покупке товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в связи с ростом цен. Сделайте выводы по результатам расчетов.

Решение

Товарные группы	Товарооборот, млн. руб.		Изменение физического объема товарооборота, %	Индивидуальный индекс физ. объема товарооборота iq
	в базисном периоде (p0q0)	в отчетном периоде (p1q1)
Сахар	1638,0	2517,5	+2	1,02	1670,76
Масло растительное	1320,0	2150,0	+30	1,3	1716
Масло животное	6750,0	11033,0	-25	0,75	5062,5
Мука	187,5	270,0	+20	1,2	225
Всего:	9895,5	15970,5			8674,26

         Определим индивидуальный индекс физического объема товарооборота i_q. При наличии информации об изменении изучаемого явления в отчетном периоде по сравнению с базисным в %, индекс цен исчисляют по формуле

i_q = P₁ – P₀

Сахар i_q = (2 +100) / 100 = 1,02

Масло растительное i_q = (30 +100) / 100 = 1,3

Масло животное i_q = (-25 +100) / 100 = 0,75

Мука i_q = (20 +100) / 100 = 1,2

         При расчете общих индексов выбор формулы зависит от характера информации об индексируемой величине и соизмерителе (весе) индексов. Общий индекс физического объема товарооборота:    

,

где  - товарооборот базисного периода, т.к. не известно , то мы преобразовываем агрегатную форму индекса в среднюю арифметическую                                                          

I_q = 8674,26 / 9895,5 = 0,877

         Общий индекс товарооборота в фактических (действующих) ценах:



I_pq = 15970,5 / 9895,5 = 1,614

         Общий индекс цен, используя взаимосвязь индексов:

I_p = I_pq / I_q

I_p = 1,614 / 0,877 = 1,841

         Сумму дополнительных расходов населения в связи с ростом цен на товары определяют:



 = 15970,5 – 8674,26 = 7296,24

         Вывод: Индивидуальный индекс физического объема товарооборота для каждой товарной группы показаны в таблице. Общий индекс физического объема товарооборота равен 0,877. Общий индекс товарооборота в действующих ценах равен 1,614. Рассчитали общий индекс цен, используя взаимосвязь индексов, равен 1,841. Сумма дополнительных расходов населения при покупке товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в связи с ростом цен увеличилась на 7296,24 млн. руб.

Задача  5

         Данные по 30 магазинам принимаются за генеральную совокупность. Произвести 40%-ную бесповторную выборку для определения доли магазинов с товарооборотом до 500 млн. руб. С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборочной доли и границы этого показателя в генеральной совокупности.

         Рассчитайте численность выборки при условии, что ошибка доли выборки с той же вероятностью уменьшится в 1,3 раза.

         Как изменится ошибка выборки, если доля выборки составит 20%?

Решение

         Отбираем случайным образом 12 магазинов (40% от 30 магазинов), из них 5 магазинов с товарооборотом до 500 млн. руб.



         По итогам выборки определяем долю магазинов с товарооборотом до 500 млн. руб.:                        ω = m / n

ω = 5 / 12 = 0,4, или 40%

         Определим предельную ошибку выборочной доли (Δ) по формулам:


Δ = t µ

где t – коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности 0,997, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки ( ), t = 3.

                                              

                                                                                         

Δ = 3 * 0,11 = 0,33 или 33%

         Определяем границы интервалов показателя в генеральной совокупности

ω – Δ ≤ х ≤ ω + Δ

0,4 – 0,33 ≤ х ≤ 0,4 + 0,33

0,07 ≤ х ≤ 0,73   или       7% ≤ х ≤ 73%

         Таким образом, доля магазинов с товарооборотом до 500 млн. руб. составляет от 7% до 73% от общего числа магазинов.

         Рассчитаем численность выборки при условии, что ошибка доли выборки с той же вероятностью уменьшится в 1,3 раза.

Δ_ω = Δ / 1,3 = 0,33 / 1,3 = 0,25




                                                     

         Как изменится ошибка выборки, если доля выборки составит 20%? Определяем выборочную долю для 6 магазинов (20% от 30 магазинов), из них 5 магазинов с товарооборотом до 500 млн. руб.

ω = n / N

ω = 5 / 6 = 0,8, или 80%.

         Определим предельную ошибку выборочной доли (Δ)






Δ = 3 * 0,14 = 0,42 или 42%.

         Определяем границы интервалов показателя в генеральной совокупности                                ω – Δ ≤ х ≤ ω + Δ

0,8 – 0,42 ≤ х ≤ 0,8 + 0,42

0,38 ≤ х ≤ 1,22      или       38% ≤ х ≤ 122%

         Таким образом, доля магазинов с товарооборотом до 500 млн. руб. составляет от 38% до 122% от общего числа магазинов.

         Вывод: Таким образом, для 30 магазинов с 40%-ной бесповторной выборкой, с вероятностью 0,997  доля магазинов с товарооборотом до 500 млн. руб., предельная ошибка выборочной доли  составляет 33%, границы в генеральной совокупности от 7% до 73% .

         Численность выборки, при условии, что ошибка доли выборки с той же вероятностью уменьшится в 1,3 раза, равна 16,17.

         Таким образом, для 30 магазинов с 20%-ной бесповторной выборкой, с вероятностью 0,997  доля магазинов с товарооборотом до 500 млн. руб., предельная ошибка выборочной доли  составляет 42%, границы в генеральной совокупности от 38% до 122% .

        


Литература

         1. Рудакова Р.П., Букин Л.Л., Гаврилов В.И. Практикум по статистике. – СПб.: Питер, 2007 с.: ил. – (Серия «Учебное пособие»).

2. Статистика: учеб. / И.И. Елисеева [и др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2008. – 448 с.