Содержание



Введение

В коммерческих вузах и училищах в дореволюционной России курс Финансовая математика преподавали под названием Высшие финансовые вычисления. В условиях административно-командной экономики, эта научная дисциплина в значительной степени утратила актуальность. Однако со становлением рыночных отношений вновь появилась потребность в использовании количественных методов оценки финансовых операций.

Практическая необходимость в применении методов финансовой математики обусловлена переходом к экономическим методам управления, функционированием новых коммерческих структур, становлением рынка ценных бумаг, развитием банковского сектора, коренными изменениями условий проведения хозяйственных операций и т.д. В этих условиях управленческие решения нецелесообразно принимать лишь на интуитивной основе. Гораздо более качественные результаты могут быть достигнуты с помощью формализованных методов оценки, основанных на применении финансовой математики.

В настоящее время Финансовая математика является одним из наиболее динамично развивающихся разделов экономической науки, направленных на оптимизацию принимаемых решений при проведении финансовых и коммерческих операций. Любая такая операция предполагает согласование ее участниками целого ряда условий (параметров сделки): сумму кредита (займа, инвестиций), сроки, способы начисления процентов и погашения долга и т.д. При этом на результат финансовой операции в каждом случае оказывает влияние множество факторов, определяющих конъюнктуру финансового рынка. Без проведения количественного анализа затруднительно, а иногда и невозможно определить доходность той или иной финансовой операции и параметры финансовой сделки. Для решения этих и других задач служат методы финансовой математики.

В пособии изложены следующие разделы:

1) логика финансовых вычислений;

2) вычисления по простым процентам;

3) вычисления по сложным процентам;

4) финансовая эквивалентность обязательств;

5) оценка эффективности финансовых операций;

6) финансовые ренты;

7) кредитные расчеты;

8) финансовые расчеты в инвестиционном анализе;



9) инвестиционный анализ на рынке ценных бумаг;

10) экономические расчеты при проведении валютных операций;

11) финансовые расчеты в страховании.

В данной курсовой работе будут рассмотрены теоретические основы финансовых вычислений, расчет плана погашения кредита на примере Банка Москвы и влияние валютного курса и инфляции на кредит.



Глава 1. Теоретические основы финансовых вычислений.

1.1.Сущность предмета финансовые вычисления.

Финансовые вычисления – это наука, изучающая методы и методики определения стоимостных и временных параметров финансовых и инвестиционных операций, процессов и сделок, а также модели управления инвестициями, капиталом и его составляющими.

Объект финансовых вычислений – финансовые операции и сделки и их технико-экономическое обоснование, направленное на извлечение прибыли. Предмет – финансовые и актуарные оценки показателей эффективности этих операций и сделок, а также доходов отдельно взятых участников этих сделок, определяемых в виде процентных ставок, норм и коэффициентов, скидок, доходов и дивидендов, ренты и маржи, котировок ценных бумаг, курсов валют, курсовых разниц и пр.

В курсе финансовой математики систематически излагаются методы количественного анализа, используемые при принятии управленческих решений в финансовой сфере. Рассматриваются методы учета факторов времени, инфляции, оценки потоков платежей, операций с ценными бумагами и др.

Методы финансовой математики используются в расчетах параметров, характеристик и свойств инвестиционных операций и стратегий, параметров государственных и негосударственных займов, ссуд, кредитов, в расчетах амортизации, страховых взносов и премий, пенсионных начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке прибыльности финансовых сделок.

Методы финансовой математики чаще всего применяются при решении следующих практических задач:

1. 
   исчисление конечных сумм денежных средств, находящихся во вкладах, займах, ценных бумагах путем начисления процентов;
   
2. 
   учет ценных бумаг;
   
3. 
   установление взаимосвязи между отдельными параметрами сделки и определение параметров сделки, исходя из заданных условий:
   
4. 
   определение эквивалентности параметров сделки для получения равной отдачи от затрат, произведенных различными способами;
   
5. 
   анализ последствий изменения условий финансовой операции;
   
6. 
   исчисление обобщающих характеристик и отдельных параметров денежных средств, рассматриваемых как финансовые потоки;
   
7. 
   разработка планов выполнения финансовых операций;
   
8. 
   расчет показателей доходности финансовых операций и др.
   

На практике методы финансовой математики применяют в работе финансовых организаций, торговых фирм и инвестиционных компаний, фондовых и валютных бирж.

Финансовая математика охватывает определенный круг методов вычислений, необходимость в которых возникает всякий раз, когда в условиях сделки или финансово-банковской операции оговариваются конкретные значения трех видов параметров:



1) стоимостные характеристики (размеры платежей, долговых обязательств, кредитов и т. д.);

2) временные данные (даты и сроки выплат, продолжительность льготных периодов, отсрочки платежей и т. д.);

3) процентные ставки (последние иногда задаются в открытой форме).

В условиях рыночной экономики при проведении долгосрочных финансовых операций важную роль играет фактор времени. «Золотое» правило бизнеса гласит: «Денежная сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра». Поэтому в финансовых расчетах фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени.

Зависимость ценности денег от времени обусловлена следующим: 1) деньги можно использовать как финансовый актив, приносящий доход;

2) в связи с инфляционными процессами денежная единица может быть обесценена;

3) неопределенность связана с риском не получить будущие деньги.

Данный подход используется в финансовом анализе, финансовом менеджменте, где фактор времени играет решающую роль, и его необходимо обязательно учитывать.

1.2. Основные категории финансовых вычислений.

В финансовой математике широко представлены все виды статистических показателей: абсолютные, относительные и средние величины.

Процентные деньги или просто проценты в финансовых расчетах представляют собой абсолютную величину дохода (приращение денег) от предоставления денег в долг в любой его форме (причем эта финансовая операция может реально и не состояться):

• 
  выдача денежной ссуды;
  
• 
  продажа в кредит;
  
• 
  сдача в аренду;
  
• 
  депозитный счет;
  
• 
  учет векселя;
  
• 
  покупка облигаций и т.п.
  

Таким образом, проценты можно рассматривать как абсолютную "цену долга", которую уплачивают за пользование денежными средствами.

Абсолютные показатели чаще всего не подходят для сравнения и оценки ввиду их несопоставимости в пространстве и во времени. Поэтому в финансово-коммерческих расчетах широко пользуются относительными показателями.

Относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, – процентная ставка. Методика расчета проста: отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Таким обра

зом, процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование в течение определенного периода времени 100 единицами первоначальной суммы долга.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название "
период начисления
", – это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час.

Рис. 1. Период начисления процентов

Период времени от начала финансовой операции до ее окончании называется сроком
финансовой операции.

Для рассмотрения формул, используемых в финансовой математике, необходимо ввести ряд условных обозначений:

I – проценты за весь срок ссуды (interest);

PV – первоначальная сумма долга или современная (текущая) стоимость (present value);

i – ставка процентов за период (interest rate);

FV – наращенная сумма или будущая стоимость (future value), т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;

n – срок ссуды в годах.

После начисления процентов возможно два пути:

• 
  либо их сразу выплачивать, по мере их начисления,
  
• 
  либо отдать потом, вместе с основной суммой долга.
  

Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма – наращенной суммой. Отсюда можно выделить еще один относительный показатель, который называется коэффициент наращения или множитель наращения, – это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга, т.е. по существу является базисным темпом роста.

Основу коммерческих вычислений составляют ссудо-заемные операции, в которых проявляется ярче всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе таких расчетов заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду многообразия условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления процентов, а также вариантов предоставления и погашения ссуд.

Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды процентных ставок.



Рис. 2. Виды процентных ставок

Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же.

Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, – таким образом, исходная база постоянно увеличивается.

Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах.

Постоянная процентная ставка – неизменная на протяжении всего периода ссуды.

Переменная процентная ставка – дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику.

Плавающая процентная ставка – привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной. Примером базовой ставки для зарубежных финансовых рынков могут служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR – London Interbank Offered Rate) или ставка ЛИБИД (LIBID – London Interbank Bid Rate), для России это ставка МИБОР (MIBOR – Moscow Interbank Offered Rate) или ставка МИБИД (MIBID – Moscow Interbank Bid Rate), а также ставка МИАКР (MIACR – Moscow Interbank Actual Credit Rate).

1.3. Операции наращения.

1.3.1.Простые проценты.

Рассмотрим процесс наращения (accumulation), т.е. определения денежной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас. Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от на-стоящего к будущему.

Величина FV показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов i.



Рис. 3. Логика финансовой операции наращения

При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги) определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.

Из определения процентов не трудно заметить, что проценты (процентные деньги) представляют собой, по сути, абсолютные приросты:

I = FV - PV,

а поскольку база для их начисления является постоянной, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или произведение абсолютных приростов на количество лет ссуды:

I = (FV - PV) n = [(FV - PV) / PV • PV] n = i • PV • n,

где i = (FV - PV) / PV по определению процентной ставки.

Таким образом, размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции.

Тогда наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом:

FV = PV + I = PV + i • PV • n = PV (1 + i • n) = PV • k_н,

где k_н – коэффициент (множитель) наращения простых процентов.

Данная формула называется "формулой простых процентов".

Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение функции от числа лет и уровня процентной ставки, то его значения легко табулируются. Таким образом, для облегчения финансовых расчетов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам.

К простым процентам прибегают в случаях:

• 
  выдачи краткосрочных ссуд, т.е. ссуд, срок которых либо равен году, либо меньше его, с однократным начислением процентов;
  
• 
  когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.
  

В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит модификация формулы:

а) если срок ссуды выражен в месяцах ( М ), то величина n выражается в виде дроби:

n = М / 12,

тогда все формулы можно представить в виде:

FV = PV (1 + М / 12 • i);

I = PV • М / 12 • i;



k_н = 1 + М / 12 • i.

б) если время выражено в днях (t), то величина n выражается в виде следующей дроби:

n = t / T,

где t – число дней ссуды, т.е. продолжительность срока, на который выдана ссуда;

T – расчетное число дней в году (временная база).

Отсюда модифицированные формулы имеют следующий вид:

FV = PV (1 + t / T • i );

I = PV • t / T • i;

k_н = 1 + t / T • i.

Здесь возможны следующие варианты расчета:

1. 
   Временную базу ( T ) можно представить по-разному:
   
   • 
     условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идет об обыкновенном (ordinary interest), или коммерческом проценте;
     
   • 
     взять действительное число дней в году (365 или 366 дней). В этом случае получают точный процент (exact interest).
     
2. 
   Число дней ссуды ( t ) также можно по-разному определять:
   
   • 
     условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца составляет 30 дней, а оставшиеся дни от месяца считают точно, – в результате получают так называемое приближенное число дней ссуды;
     
   • 
     используя прямой счет или специальные таблицы порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое число дней между датами, – в этом случае получают точное число дней ссуды.
     

Таким образом, если время финансовой операции выражено в днях, то расчет простых процентов может быть произведен одним из трех возможных способов:

1. 
   Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, или, как часто называют, "германская практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а целого месяца – за 30 дней. Этот способ обычно используется в Германии, Дании, Швеции.
   
2. 
   Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или "французская практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии.
   
3. 
   Точные проценты с точным числом дней ссуды, или "английская практика расчета", когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю. Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.
   

Чисто формально возможен и четвертый вариант: точные проценты с приближенным числом дней ссуды, – но он лишен экономического смысла.

Вполне естественно, что в зависимости от использования конкретной практики начисления простых процентов их сумма будет различаться по абсолютной величине.



Для упрощения процедуры расчета точного числа дней финансовой операции пользуются специальными таблицами порядковых номеров дней года, в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Точное количество дней получается путем вычитания номера первого дня финансовой операции из номера последнего дня финансовой операции.

В банковской практике размещенный на длительное время капитал может в течение этого периода времени изменяться, т.е. увеличиваться или уменьшаться путем дополнительных взносов или отчислений. Таким образом, при обслуживании счетов банки сталкиваются с непрерывной сетью поступлений и расходованием средств и начислени-ем процентов на постоянно меняющуюся сумму. В этой ситуации в банковской практике используется правило: общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.

Это касается и дебетовой, и кредитовой части счета. Разница лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются.

В таких случаях для расчета процентов используется методика расчета с вычислением процентных чисел: каждый раз, когда сумма на счете изменяется, производится расчет "процентного числа" за период, в течение которого сумма на счете была неизменной. Процентное число вычисляется по формуле:

Процентное число =

= (Сумма на счете • Длительность периода в днях) / 100 =

= (PV • t) / 100

Для определения суммы процентов за весь срок их начисления все "процентные числа" складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, который носит название "процентный ключ" или дивизор, определяемый отношением количества дней в году к годовой процентной ставке:

I = ΣПроцентных чисел : Постоянный делитель,

где

Постоянный делитель =

Продолжительность года в днях / Годовая ставка процентов = T / i

Проценты, вычисляемые с использованием дивизора, рассчитанного исходя из 365 дней в году, будут меньше, чем проценты по дивизору, где количество дней в году принято за 360, поэтому при обслуживании конкретного клиента всегда используется один из дивизоров.

Методика с использованием процентных чисел по своей сути является последовательным применением формулы простых процентов для каждого интервала постоянства суммы на счете:

I = I₁ + I₂ + I₃ = P₁ • t₁ / T • i + P₂ • t₂ / T • i + P₃ • t₃ / T • i

Переменные ставки. Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать процентной ставкой. В таких случаях наращенную сумму определяют, используя следующую формулу:



FV = PV • (1 + n₁ • i₁ + n₂ • i₂ + … + n_k • i_k),

где k – количество периодов начисления;

n_k – продолжительность k-го периода;

i_k – ставка процентов в k-ом периоде.

Определение срока ссуды и величины процентов. В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

n = (FV - PV) : (PV • i),

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

t = [(FV - PV) : (PV • i)] • T.

Необходимость определения уровня процентной ставки возникает в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить, воспользовавшись следующими формулами:

i = (FV - PV) : (PV • n) = [(FV - PV) : (PV • t)] • T.

1.3.2.Сложные проценты.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

• 
  проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
  
• 
  срок ссуды более года.
  

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

FV = PV + I = PV + PV • i = PV • (1 + i)



– за один период начисления;

FV = (PV + I) • (1 + i) = PV • (1 + i) • (1 + i) = PV • (1 + i)²

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

FV = PV • (1 + i)ⁿ = PV • k_н ,

где FV – наращенная сумма долга;

PV – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

k_н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

(1 + i).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + i)ⁿ .

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i.

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

Рис. 4. Наращение по простым и сложным процентам.



Как видно из рисунка 4, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)ⁿ ;

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)ⁿ ;

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)ⁿ .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

• 
  более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
  
• 
  более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
  
• 
  обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
  

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

• 
  общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:
  

FV = PV • (1 + i)ⁿ,

n = a + b,

где n – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

• 
  смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:
  

FV = PV • (1 + i)^a • (1 + bi).

Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)^a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка ( j ).

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка

• 
  во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;
  
• 
  
  
• 
  во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.
  

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

N = n • m

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

FV = PV • (1 + j / m)^N = P • (1 + j /m)^mn ,

где j – номинальная годовая ставка процентов.

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j / m:

(1 + i)ⁿ = (1 + j / m)^{m • n},

следовательно,

i = (1 + j / m)^m - 1.

Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений. Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

где i_k – последовательные во времени значения процентных ставок;

n_k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

1.3.3. Эквивалентность процентных ставок.

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.



Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i = (1 + j / m)^m - 1.

j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1].

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

простая процентная ставка:

i = [(1 + j / m)^{m • n} - 1] / n;

сложная процентная ставка:

.

1.4.Операции дисконтирования.

1.4.1. Сущность дисконтирования.

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount):

D = FV - PV



Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Рис. 6. Логика финансовой операции дисконтирования.

Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной или текущей) величиной FV. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:

• 
  математическое дисконтирование по процентной ставке;
  
• 
  банковский учет по учетной ставке.
  

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

• 
  в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:
  

i = (FV - PV) / PV

• 
  в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:
  

d = (FV - PV) / FV


Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными, а по учетной ставке – декурсивными.

Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке.



1.4.2. Математическое дисконтирование.

Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки ( i ) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму:

для простых процентов

PV = FV : (1 + n • i ) = FV • 1 / (1 + n • i ) =

= FV • (1 + n • i ) ^-1 = FV • k_д,

где k_д – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.

Для сложных процентов

PV = FV • (1 + i) ^-n = FV • k_д,

где k_д – дисконтный множитель для сложных процентов.

Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:

PV = FV • (1 + j / m) ^{-m • n} .

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

1.4.3. Банковский учет.

Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.

Для расчета дисконта используется учетная ставка:

• 
  простая учетная ставка:
  

D = FV - PV = FV • n • d = FV • t / T • d ,

где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.

Отсюда:

PV = FV - FV • n • d = FV • (1 - n • d),

где (1 - n • d) – дисконтный множитель.



Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.

• 
  по сложной учетной ставке:
  

PV = FV • (1 - d) ⁿ

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.

Объединение платежей можно производить и на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей формуле:

FV_oб = ΣFV_j • (1 - d • t_j) ^-1 ,

где t_j – интервал времени между сроками векселей.

В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке:

PV₂ = PV₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ),

где PV₁ – первоначальная сумма долга;

PV₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

n₁ – общий срок платежного обязательства;

n₂ – срок от момента учета до погашения.

1.5.Финансовые потоки.

1.5.1. Сущность потока платежей и основные категории.

В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

• 
  
  
• 
  член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;
  
• 
  период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;
  
• 
  срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;
  
• 
  процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.
  

Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

• 
  В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют
  
  • 
    годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;
    
  • 
    срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.
    
• 
  По числу начислений процентов различают
  
  • 
    ренты с начислением 1 раз в год;
    
  • 
    ренты с начислением m раз в год;
    
  • 
    непрерывное начисление.
    
• 
  По величине членов ренты могут быть
  
  • 
    постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;
    
  • 
    переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.
    
• 
  По числу членов ренты они бывают
  
  • 
    с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;
    
  • 
    с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.
    
• 
  По вероятности выплаты ренты делятся на
  
  • 
    верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;
    
  • 
    условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.
    
• 
  По методу выплаты платежей выделяют
  
  • 
    обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);
    
  • 
    ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).
    

1.5.2. Наращенная величина аннуитета.

Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.

Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.



Рис. 7. Логика финансовой операции наращения финансовой ренты

Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).

Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:

где FVA – наращенная сумма ренты;

R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

n – срок ренты в годах,

s _n;i – коэффициент наращения ренты.

Однако рассматриваемая формула используется только при начислении процентов один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов в течение года, тогда используют следующую формулу:

где j – номинальная ставка процентов.

Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:

Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m. Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.

Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:



Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:

1.5.3. Современная (текущая) величина аннуитета.

Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.

Рис. 8. Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей

В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.

В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:

Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (a_n;i), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i) и от числа лет (n)

Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:

годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:

срочная рента при начислении процентов один раз в год:

;

срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ≠ m :

.



Глава 2. Расчетно-аналитическая часть с планом погашения кредита (на примере кредита «Рефинансирование – евро» Банка Москвы).

Одним из практических приложений финансовой математики является разработка плана погашения средне- и долгосрочных кредитов.

К среднесрочным, как правило, относят кредиты, выданные на срок от 2 до 5 лет. Кредиты, выданные на более длительный срок, являются долгосрочными.

Расходы, связанные с погашением займа, должны включать как текущие выплаты процентов, так и средства, предназначенные для погашения суммы займа, или основного долга. В совокупности они называются расходами заемщика по обслуживанию долга или амортизацией займа.

Существуют различные способы погашения задолженности. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности. Одним из важнейших элементов плана является определение количества выплат в течение года, т.е. определение числа так называемых срочных уплат и их величины.

Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначение для погашения, как основного долга, так и текущих процентных платежей. При этом средства, направляемые на погашение (амортизацию) основного долга, могут быть равными или изменяющимися, а плата за кредит, вычисленная по сложным процентам, может выплачиваться отдельно. Иногда в течение ряда лет выплачиваются только проценты за кредит, а сам долг погашается в оставшееся время в рассрочку, т.е. несколькими платежами, или разовым платежом.

Погашение кредита может также производиться в виде финансовой ренты, т.е. платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом. Величина срочных уплат зависит от величины кредита, его срока, наличия и продолжительности льготного периода, размера процентной ставки и т.п. Однако, как правило, проценты за кредит должны выплачиваться и в льготном периоде. Рассмотрим некоторые методы разработки планов погашения кредитов.



Банком Москвы выдан кредит в иностранной валюте, евро, на рефинансирование ранее взято ипотечного кредита под залог имеющегося жилья в размере не более 80% стоимости этого жилья. Обеспеченностью кредита выступает приобретаемая недвижимость.

Для плана погашения кредита необходимо использовать следующие обозначения:

Y – годовая срочная уплата;

R – годовой расход по погашению долга;

I – процентный платеж;

D – долг;

i – процентная ставка;

n – срок финансовой операции.

Формулы, необходимые для расчетов:

<sub>.


Таблица 1. План погашения кредита сроком на 6 лет под 11,5% годовых в размере 40 000 евро.</sub>

Года	D	I	R	Y
1	40000	4600	4991,65	9591,65
2	35008,35	4025,96	5565,69	9591,65
3	29442,66	3385,906	6205,744	9591,65
4	23236,92	2672,245	6919,404	9591,65
5	16317,51	1876,514	7715,136	9591,65
6	8602,377	989,2733	8602,377	9591,65
Итого:	-	17549,9	-	57549,9

При выдаче кредита на данных условиях сроком на 6 лет ежегодный разовый платеж будет составлять 9 591,65 евро. В течение 6 лет годовой расход по погашению долга будет увеличиваться с 4 991,65 до 8 602,377 евро, в то время как величина процентного платежа упадет с 4 600 до 989,2733 евро.
_{Таблица 2. План погашения кредита сроком на 6 лет под 10% годовых в размере 40 000 евро.}

Года	D	I	R	Y
1	40000	4000	5184,3	9184,3
2	34815,7	3481,57	5702,72	9184,3
3	29113	2911,3	6273	9184,3
4	22840	2284	6900,3	9184,3
5	15939,7	1593,97	7590,33	9184,3
6	8349,36	834,936	8349,36	9184,3
Итого:	-	15105,8	-	-

<sub>В таблице 2 рассматривается кредит выданный также на сумму 40 000 евро на 6 лет, но уже после регистрации ипотеки и под 10% годовых. Сравнивая эти кредиты, можно заметить, что ежегодный разовый платеж меньше и составляет 9 184,3. Следовательно, и сумма процентного платежа будет составлять уже 15 105,8 евро. Итак, получателю кредита выгоднее взять кредит после регистрации ипотеки в пользу банка, т.к. процентная ставка при этом будет снижена и как следствие сумма процентного платежа будет меньше.



Далее рассмотрим планы погашения кредитов, взятых в размере 60 000 евро при выдаче кредита до регистрации ипотеки в пользу банка.

Таблица 3. План погашения кредита сроком на 5 лет под 10,5% годовых в размере 60 000 евро.</sub>

Года	D	I	R	Y
1	60000	6300	9730,53	16030,5
2	50269,5	5278,29	10752,2	16030,5
3	39517,2	4149,31	11881,2	16030,5
4	27636	2901,78	13128,7	16030,5
5	14507,3	1523,26	14507,3	16030,5
Итого:	-	20152,6	60000	80152,6

<sub>Проанализировав данные Таблицы 3,можно сказать, что ежегодные аннуитетные платежи составляют 16 030,5 евро, в сумме составив 80 152,6 евро за 5 лет выплаты кредита. При чем 20 152,6 евро составляют проценты, возросшие с 6 300 до 1 523,26 евро, составив 25,14% от общей суммы выплат.

Таблица 4. План погашения кредита сроком на 9 лет под 11% годовых в размере 60 000 евро.</sub>

Года	D	I	R	Y
1	60000	6600	4236,1	10836,1
2	55763,9	6134,03	4702,07	10836,1
3	51061,8	5616,8	5219,3	10836,1
4	45842,5	5042,68	5793,42	10836,1
5	40049,1	4405,4	6430,7	10836,1
6	33618,4	3698,03	7138,07	10836,1
7	26480,3	2912,84	7923,26	10836,1
8	18557,1	2041,28	8794,82	10836,1
9	9762,25	1073,85	9762,25	10836,1
Итого:	-	37524,9	60000	97524,9

<sub>Разовый платеж составляет 10 836,1 евро, состоящий из годового расхода по погашению долга и процентов. По окончанию выплаты кредита сумма разовых годичных платежей составит 97 524,9 евро, что превышает сумму взятого кредита на 37 524,9 евро, таким образом 38,5% от общей суммы выплат пошло на погашение процентов.



Таблица 5. План погашения кредита сроком на 25 лет под 11,2% годовых в размере 60 000 евро.</sub>

Года	D	I	R	Y
1	60000	6720	508,673	7228,67
2	59491,3	6663,03	565,645	7228,67
3	58925,7	6599,68	628,997	7228,67
4	58296,7	6529,23	699,445	7228,67
5	57597,2	6450,89	777,782	7228,67
6	56819,5	6363,78	864,894	7228,67
7	55954,6	6266,91	961,762	7228,67
8	54992,8	6159,19	1069,48	7228,67
9	53923,3	6039,41	1189,26	7228,67
10	52734,1	5906,21	1322,46	7228,67
11	51411,6	5758,1	1470,57	7228,67
12	49941	5593,4	1635,28	7228,67
13	48305,8	5410,24	1818,43	7228,67
14	46487,3	5206,58	2022,09	7228,67
15	44465,2	4980,11	2248,57	7228,67
16	42216,7	4728,27	2500,41	7228,67
17	39716,3	4448,22	2780,45	7228,67
18	36935,8	4136,81	3091,86	7228,67
19	33843,9	3790,52	3438,15	7228,67
20	30405,8	3405,45	3823,23	7228,67
21	26582,6	2977,25	4251,43	7228,67
22	22331,1	2501,09	4727,59	7228,67
23	17603,5	1971,6	5257,08	7228,67
24	12346,5	1382,81	5845,87	7228,67
25	6500,61	728,068	6500,61	7228,67
Итого:	-	120717	60000	180717

<sub>Кредит на данных условиях, выданный на 25 лет является долгосрочный. При увеличении срока кредита и годовой процентной ставки значительно увеличились проценты за кредит до 120 717. Из плана погашения кредита видно, что брать в банке кредит на такую сумму на долгий срок невыгодно. По расчетам суммарный платеж за весь период составит 180 717 евро и превысит выданный кредит на 120 717, т.е. в 2 раза.


Таблица 6. Сравнение расчетных данных по выданных кредитам.</sub>

Годы	I	R	Y	i, %
5	20152,6	60000	80152,6	10,5
9	37524,9	60000	97524,9	11,0
25	120717,0	60000	180717,0	11,2

<sub>Сравнивая итоговые данные по последним трем кредитам, можно сделать следующие выводы. Во-первых, при одинаковой сумме выдаваемого кредита с увеличением срока финансовой операции увеличивается процентная ставка. Во-вторых, значительно увеличиваются суммарный платеж выплат за кредит и проценты. Таким образом, банку выгоднее выдавать долгосрочные кредиты, в то время как заемщику выгоднее выплачивать краткосрочные кредиты с меньшими процентами.

Теперь рассмотрим планы погашения кредитов с теми же самыми сроками, но выдача кредита производиться после регистрации ипотеки в пользу банка, следовательно, годовые процентные ставки снижены на 0,5%.

Таблица 7. План погашения кредита сроком на 5 лет под 9% годовых в размере 60 000 евро.</sub>

Года	D	I	R	Y
1	60000	5400	10025,5	15425,5
2	49974,5	4497,7	10927,8	15425,5
3	39046,6	3514,19	11911,4	15425,5
4	27135,3	2442,17	12983,4	15425,5
5	14151,9	1273,67	14151,9	15425,5
Итого:	-	17127,7	60000	77127,7

<sub>В сравнении с кредитом в таблице 3 также предоставляемым на 9 лет, где процентная ставка составляла 10,5%, разовый годичный платеж уменьшился с 16 030,5 до 15 425,5 евро. Как следствие общая сумма долга также уменьшается с 80 152,6 до 77 127,7 евро. Таким образом при выдаче кредита после регистрации ипотеки в пользу банка мы получаем снижение процентной ставки на 1,5% , что позволит нам сэкономить при выплате общей суммы долга 3 024,9 евро.

Аналогичное сравнение можно провести с таблицами 4 и 5.



Таблица 8. План погашения кредита сроком на 9 лет под 9,5% годовых в размере 60 000 евро.</sub>

Года	D	I	R	Y
1	60000	5700	4512,27	10212,3
2	55487,7	5271,33	4940,94	10212,3
3	50546,8	4801,94	5410,33	10212,3
4	45136,5	4287,96	5924,31	10212,3
5	39212,2	3725,15	6487,12	10212,3
6	32725	3108,88	7103,39	10212,3
7	25621,6	2434,06	7778,22	10212,3
8	17843,4	1695,13	8517,15	10212,3
9	9326,28	885,996	9326,28	10212,3
Итого:		31910,5	60000	91910,5

<sub>Из данной таблицы видно, что плата за пользование кредита в 60 000 евро составит 31 910,5 евро, т.е. более чем в 2 раза превышая сам кредит. Годовой расход на погашение кредита с каждым годом будет увеличиваться, в то время как проценты уменьшаться, т.к. сумма основного долга будет сокращаться с каждым годом.

Таблица 9. Сравнение расчетных данных по выданных кредитам №4 (таблица 4) и №7(таблица 8).</sub>

Годы	I	R	Y	i,%
9	37524,9	60000	97524,9	11
9	31910,5	60000	91910,5	9,5
Отклонение:	5614,45	0	5614,45	1,5

Проведем анализ данных Таблицы 9. При одинаковом сроке произойдет увеличение суммы процентов и суммы общего долга на 5 614,45 евро за счет увеличения процентной ставки на 1,5%. Следовательно, банку выгоднее выдать кредит до регистрации ипотеки, т.к. это даст ему возможность увеличить процентную ставку и, как следствие, свой доход.
<sub>

Таблица 10. План погашения кредита сроком на 25 лет под 9,7% годовых в размере 60 000 евро</sub>

Года	D	I	R	Y
1	60000	5820	638,182	6458,18
2	59361,8	5758,1	700,086	6458,18
3	58661,7	5690,19	767,994	6458,18
4	57893,7	5615,69	842,489	6458,18
5	57051,2	5533,97	924,211	6458,18
6	56127	5444,32	1013,86	6458,18
7	55113,2	5345,98	1112,2	6458,18
8	54001	5238,09	1220,09	6458,18
9	52780,9	5119,75	1338,44	6458,18
10	51442,5	4989,92	1468,26	6458,18
11	49974,2	4847,5	1610,69	6458,18
12	48363,5	4691,26	1766,92	6458,18
13	46596,6	4519,87	1938,31	6458,18
14	44658,3	4331,85	2126,33	6458,18
15	42531,9	4125,6	2332,58	6458,18
16	40199,3	3899,34	2558,85	6458,18
17	37640,5	3651,13	2807,05	6458,18
18	34833,5	3378,84	3079,34	6458,18
19	31754,1	3080,15	3378,03	6458,18
20	28376,1	2752,48	3705,7	6458,18
21	24670,4	2393,03	4065,16	6458,18
22	20605,2	1998,71	4459,48	6458,18
23	16145,7	1566,14	4892,04	6458,18
24	11253,7	1091,61	5366,57	6458,18
25	5887,13	571,052	5887,13	6458,18
Итого:		101455	60000	161455

При кредитовании сроком на 25 лет и с процентной ставкой равной 9,7% ежегодно клиент будет выплачивать 6 458,18 евро, что в итоге после 25 лет составит 161 455 евро. Сумма процентов в 1,7 раза больше величины взятого кредита в 60 000 евро. Таким образом, для заемщика данный кредит крайне не выгоден, т.к. он переплачивает 101 455 евро.

В завершении рассмотрим кредит, выданный на максимальный срок и с максимальной процентной ставкой при той же сумме в 60 000 евро.
<sub>

Таблица 11. Сравнение расчетных данных по выданных кредитам №5 (таблица 5) и №8(таблица 10).</sub>

Годы	I	R	Y	i,%
25	120716,8	60000,0	180716,8	11,2
25	101454,6	60000,0	161454,6	9,7
Отклонение:	19262,3	0,0	19262,3	1,5

При сравнении данных видно, что экономия общего долга для заемщика составила

19 262,3 евро за счет уменьшения годовой процентной ставки на 1,5%.
В завершении рассмотрим кредит, выданный на максимальный срок и с максимальной процентной ставкой при той же сумме в 60 000 евро.
Таблица 12. План погашения кредита сроком на 30 лет под 12% годовых в размере 60 000 евро.

Года

D

I

R

Y

1

60000,00

7200

248,619

7448,62

2

59751,38

7170,17

278,454

7448,62

3

59472,93

7136,75

311,868

7448,62

4

59161,06

7099,33

349,292

7448,62

5

58811,77

7057,41

391,208

7448,62

6

58420,56

7010,47

438,152

7448,62

7

57982,41

6957,89

490,731

7448,62

8

57491,68

6899

549,618

7448,62

9

56942,06

6833,05

615,573

7448,62

10

56326,48

6759,18

689,441

7448,62

11

55637,04

6676,45

772,174

7448,62

12

54864,87

6583,78

864,835

7448,62

13

54000,03

6480

968,615

7448,62

14

53031,42

6363,77

1084,85

7448,62

15

51946,57

6233,59

1215,03

7448,62

16

50731,54

6087,78

1360,83

7448,62

17

49370,70

5924,48

1524,14

7448,62

18

47846,57

5741,59

1707,03

7448,62

19

46139,54

5536,74

1911,88

7448,62

20

44227,66

5307,32

2141,3

7448,62



21

42086,36

5050,36

2398,26

7448,62

22

39688,11

4762,57

2686,05

7448,62

23

37002,06

4440,25

3008,37

7448,62

24

33993,69

4079,24

3369,38

7448,62

25

30624,31

3674,92

3773,7

7448,62

26

26850,61

3222,07

4226,55

7448,62

27

22624,06

2714,89

4733,73

7448,62

28

17890,33

2146,84

5301,78

7448,62

29

12588,55

1510,63

5937,99

7448,62

30

6650,55

798,066

6650,55

7448,62

Итого:

 

153066

33149,4

186215

При максимальных годовой процентной ставке и сроке кредите ежегодный платеж составит 7 448,62 евро. И по истечении 30 лет клиент выплатит 186 215 евро, что в 3.1 раза больше взятой в кредит суммы, т.к. сумма процентов за пользование кредитом составит 255% от 60 000 евро.

Таблица 13. Итоговые данные вышерассмотренных креитов.

Срок	Процентная ставка (i), %	Основная сумма долга (D), евро	Сумма уплаченных процентов (I), евро	Размер годовой срочной платы (Y), евро
6	11,5	40000	17549,9	57549,9
6	10	40000	15105,8	55105,8
5	10,5	60000	20152,6	80152,6
9	11	60000	37524,9	97524,9
25	11,2	60000	120716,8	180716,8
5	9	60000	17127,7	77127,7
9	9,5	60000	31910,5	91910,5
25	9,7	60000	101454,6	161454,6
30	12	60000	153066,1	186215,5

Итак, проанализировав все планы погашения кредита можно заметить, что сумма общего долга зависит от годовой процентной ставки и срока кредитования. Чем ниже процентная ставка и меньше срок финансовой операции, тем выгоднее брать кредит в банке, т.к. уменьшается сумма процентов по использованию кредита размер годовой срочной уплаты. И наоборот, банку выгоднее, если эти показатели как можно выше, так 

как при этом проценты увеличиваются в разы по сравнению с выдаваемой кредитной суммой. Более наглядно это видно на графиках Рис.9 и Рис.10.

Рис.9. Зависимость суммы срочной уплаты и процентов от головой процентной ставки.

Рис.10. Зависимость размера годовой срочной уплаты от процентной ставки.

Как видно, с увеличением процентной ставки годовой платеж уменьшается. Колебания графика зависят от срока кредитования. Чем выше долг, тем выше срочная уплата и соответственно процентный платеж. Это происходит, потому что растет база для начисления процентов (размер кредита). Потому для заемщика выгоднее брать кредиты в меньших размерах, а банку выгоднее выдать долгосрочный кредит в большом размере.



Глава 3. Влияние валютного курса и инфляции на кредит.

Влияние инфляции.

Инфляция – это экономическое явление, которое возникает вследствие целого комплекса как политических, так и социально-экономических событий. Уровень инфляции выступает обобщающим показателем финансово-экономического положения страны. Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Инфляция – многомерное и многоаспектное явление, которое можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т.е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу приходится меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются.

Если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

Темпы инфляции определяются с помощью индекса – относительного показателя, характеризующего среднее изменения уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за данный период времени.

Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены (J_τ), а уровень инфляции показывает, насколько процентов возросли цены (τ), т.е. по своей сути это соответственно темп роста и темп прироста:
J_τ = 1 + τ
Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен.

Индекс потребительских цен (ИПЦ) – это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI – Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.

Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства.

Расчет ИПЦ в России осуществляется за каждый месяц и нарастающим итогом с начала года (к декабрю прошлого года).

Отечественные исследователи часто расценивают уровень инфляции как темп прироста потребительских цен:
τ = ИПЦ - 100 (%)
В зависимости от уровня инфляции в год выделяют:

• 
  нормальную (ползучую) – от 3% до 10%;
  
• 
  галопирующую – от 10% до 100%;
  
• 
  гиперинфляцию – свыше 50% в месяц.
  

Еще одним важным показателем международной статистики, оценивающим инфляцию, является дефлятор валового внутреннего продукта, который характеризует изменение стоимостного объема ВВП за счет его ценностного фактора. Дефлятор ВВП также дает обобщенную характеристику инфляции, поскольку характеризует движение цен на потребительском рынке, а также на рынке инвестиционных товаров и услуг.



Для характеристики инфляции могут применяться и другие показатели: размер эмиссий, сокращение товарных запасов и т.п.

Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Графически это представлено на рис. 9.

Рис. 9. Факторы изменения стоимости денег

Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, принимает следующий вид:
FV = PV(1 + i)ⁿ / (1 + τ) ⁿ
Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Поскольку ставка доходности ( i ) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции ( τ ) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.

Владельцы денег не могут мириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.

Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, поскольку:

• 
  если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (τ = i), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;
  
• 
  если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (τ > i),то происходит "проедание" капитала, и реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;
  
• 
  если уровень инфляции ниже процентной ставки (τ < i), то это будет соответствовать росту реальной денежной суммы.
  

В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставки с поправкой на инфляцию ( i_τ ).

Общая формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:
i_τ = [(1 + n i) • J_τ - 1] : n
где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка);

i_τ – процентная ставка с поправкой на инфляцию.

Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле


i_τ = i + τ + iτ

Для расчета номинальной ставки можно использовать следующую модель:

,

из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.

При начислении процентов несколько раз в год

Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.

На практике довольно часто довольствуются сравнением i и τ путем вычисления реальной ставки, т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:
i = (i - τ) / (1 + τ)

Влияние валютного курса.

Влияние валютного курса на план погашения кредита рассматривается на примере. Взят кредит в 2005 г. сроком на 5 лет под 10,5% годовых в размере 60 000 евро. Проследив динамику курса евро, можно оценить рассчитанные платежи в рублях.

Таблица 14. План погашения кредита сроком на 5 лет под 10,5% годовых в размере 60 000 евро с влиянием валютного курса.

№ п/ п	Год		Курс		Остаток долга, D				Процентный платеж, I			Погашение долга, R			Годовая срочная уплата, Y
					евро	руб	евро		руб	евро		руб	евро	руб
1		2005		36,1		60000	2166000	6300		227430	9731		351272	16031	578702
2		2006		34,9		50269	1751891	5278		183949	10752		374715	16031	558664
3		2007		35,2		39517	1391007	4149		146056	11881		418219	16031	564275
4		2008		37,8		27636	1044641	2902		109687	13129		496267	16031	605954
5		2009		44,6		14507	647024	1523		67938	14507		647024	16031	714962
Итого:		*		*		20153	735059	*		*	80153		3022556

Проанализировав данные таблицы 14, можно сделать вывод, что размер годовой срочной уплаты в рублях варьируется от курса евро, составив в итоге 3 022 556 руб. (максимальный платеж в руб. приходится на 2009 г., а минимальный на 2006 г.). Взяв кредит в 2005 г. по 36,1 руб. за 1 евро (в итоге вся сумма кредита в рублях составила 2 166 000), мы теряем в 2009 г. 856 556 руб. засчет разницы курса евро, т.к. на протяжении пятилетнего периода евро вырос с 36,1 до 44,6 руб.



Заключение

Количественный финансовый анализ предназначен для ре

шения разнообразных задач. Эти задачи можно разделить на две большие группы: традиционные или "классические", и но

вые, нетрадиционные, постановка и интенсивная разработка которых наблюдается в последние два—три десятилетия. Разу

меется, такое деление условно. То, что было новым словом, скажем, еще десять лет назад, часто оказывается рутинным се

годня и должно рассматриваться в ФМ.

Количественный финансовый анализ применяется как в ус

ловиях определенности, так и неопределенности. В первом слу

чае предполагается, что данные для анализа заранее известны и фиксированы. Например, при выпуске обычных облигаций од

нозначно оговариваются все параметры — срок, купонная до

ходность, порядок выкупа. Анализ заметно усложняется, когда приходится учитывать неопределенность — динамику денежно

го рынка (уровень процентной ставки, колебания валютного курса и т.д.), поведение контрагента.

Рамки финансовых вычислений достаточно широки — от элементарных начисле

ний процентов до относительно сложных расчетов, например оценки влияния различных факторов на эффективность выпус

ка облигаций или методов сокращения риска путем диверсифи

кации портфеля финансовых инвестиций и т.д. К основным за

дачам финансовых вычислений относятся:

• 
  измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;
  
• 
  разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности;
  
• 
  измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров;
  
• 
  определение допустимых критических значений этих па
  
• 
  раметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточ
  
• 
  ного) изменения первоначальных условий операции.
  

Знание методов, применяемых в ФМ, необходимо при непо

средственной работе в любой сфере финансов и кредита, в том числе и на этапе разработки условий контрактов. Нельзя обой

тись без них при финансовом проектировании, а также при сравнении и выборе долгосрочных инвестиционных проектов. Финансовые вычисления являются необходимой составляющей расчетов в долгосрочном личном страховании, например проек

тировании и анализе состояния пенсионных фондов (расчет та

рифов, оценка способности 

фондов выполнить свои обязатель

ства перед пенсионерами и т.д.), долгосрочном медицинском страховании.

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные. Очевидным следствием принципа «неравноценности» является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени. В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.

В данной курсовой работе были рассмотрены теоретические основы курса финансовых вычислений, произведен практический расчет плана погашения кредита с различными условиями на примере кредита «Рефинансирования – евро» Банка Москвы, а также рассмотрены влияние инфляции и валютного курса на кредит.



Список литературы:

1. 
   Бочаров П.П., Касимов Ю. Ф. Финансовая математика.: Учебник. – М.: Гардарики, 2002
   
2. 
   Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов.- М.: Финансы и статистика, 2003.
   
3. 
   Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. – 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2002.
   
4. 
   Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: «Дело-Ltd», 1995. гл. 12 «Изменение эффективности инвестиций».
   
5. 
   Малыхин В.И. Финансовая математика/ Учебное пособие для вузов. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.
   
6. 
   Кузнецов Б. Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов – М.: Издательство «Экзамен», 2005.