Реферат на тему Основная теорема алгебры
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-05-08Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел
Основная теорема алгебры
Курсовая работа
студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета
Батура Ирина Сергеевна
Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент
Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор
САРАТОВ
2009 год
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
4. Доказательство основной теоремы
5. Список используемой литературы
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле 
. Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Целью моей работы является выявления, что поле 
комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.
При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных чисел 
можно определить как множество упорядоченных пар 
действительных чисел, 
, 
, в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:


В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность 
называется подпоследовательностью 
, если для любого k существует такое натуральное 
, что 
= 
, причем 
Б 
тогда и только тогда, когда 
.
Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается 
. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма 
, где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению 
.
Вещественное число (действительное число) – любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие 
между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).
Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех 
и всех 
выполняется неравенства 
Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого 
существует такой номер 
, что если 
, то для всех 
выполняется неравенство 
. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы рассматриваются только над полями 
и 
как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля 
) носит название основной теоремы алгебры. 
Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел 
. Число 
называется ее пределом, если для любого действительного числа
существует такой номер 
, что при 
выполняется неравенство 
. В этом случае пишут lim 
, а=lim 
, b=lim 
. Предельное соотношение lim 
=c равносильно соотношению 
, ибо
max 





Последовательность 
такая, что 

R, при некотором R, называется ограниченной.
Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть 
ограниченная последовательность, т.е. 
, тогда 
, так что 
есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность 
. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей 
. Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность 
.
Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен 
.
4. Доказательство основной теоремы
Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть 
-полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной 
.Представим себе "график" функции 
, считая , что значения 
изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения 
откладываются вверх в направлении оси 
. Мы установим, что 
являются непрерывными функциями от 
на всей плоскости комплексной переменной. Функция 
от комплексной переменной 
называется непрерывной в точке 
, если достаточно близким к 
значениями 
соответствует сколь угодно близкие к 
значения 
.В более точных терминах - для любого 
найдется такое 
, что 
, как только 
.
Непрерывность 
дает основания представлять себе график 
в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость
, и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение 
, в котором 
, и, тем самым, 
, т.е. что поверхность 
доходит до плоскости 
в точке 
. Мы докажем, что если дана точка на поверхности 
,которая расположена выше плоскости 
, то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности 
существует самая низкая точка, скажем, при 
. Она не может находиться выше плоскости 
, ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно, 
и , следовательно 
, т.е. 
корень полинома 
.
Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.
Лемма 1. Дан полином 
c нулевым свободным членом.
Тогда для любого 
найдется такое 
, что 
, как только 
.
Доказательство: Пусть 
. Тогда

Положим

Если 
то 
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.
Доказательство: Пусть дан полином 
и точка 
. Расположим полином по степеням

,
Тогда 
так что

Правая часть есть полином от 
с нулевым свободным членом.
По лемме 1 для любого 
найдется такое 
, что 
как только 
что и требовалось доказать.
Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.
Доказательство: Из неравенства 
следует, что для данного 
то 
, которое "обслуживает" 
, подходит и для 
. Действительно, при 
имеем

Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если 
-полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что 
M,как только 
.
Это означает, что любая горизонтальная плоскость 
отрезает от поверхности 
конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.
Доказательство: Пусть

где 
полином от 
c нулевым свободным членом.
В силу леммы 1 для 
найдется такое 
, что при 
, будет 
. Модуль 
может быть сделан сколь угодно большим, именно, при 
будет 
. Возьмем 

Тогда при 
будет

и 
так что 
Лемма 5. Точная нижняя грань значений 
достигается, т.е. существует такое 
, что 
при всех 
.
Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань 
через 
. Возьмем последовательностью 

стремящихся к 
сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений 
, ибо 
-точная нижняя грань. Поэтому найдутся 
такие, что 
. Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для 
найдем такое 
, что при 
будет 
Отсюда следует, что 
при все 
. Последовательностью 
оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность 
. Пусть ее предел равен 
. Тогда 
в силу непрерывности 
. Кроме того, 
. Поэтому 
Итак 
, что и требовалось доказать.
Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть 
полином отличный от константы, и пусть 
. Тогда найдется такая точка 
, что

Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности 
дана точка, находящаяся выше плоскости 
, то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.
Доказательство: Расположим полином 
по степеням

Тогда 
Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от 
, а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть 
– первое отличное от нуля слагаемое после 
, так что 
(если k>1). Такое слагаемое имеется, так как 
не константа. Тогда


+
+ 
( 
+…+ 
))=
= c0 (1+ 
+ 

).
Здесь

= 

есть полином от 
с нулевым свободным членом. По лемме 1 для 
= 
найдется такое 
,что | 
|< 
, как только | 
|< 
. Положим 
= 
( 
) и 

. Тогда

.
Выберем 
так, что 
. Для этого нужно взять 
. Далее, положим 
, т.е. возьмем 
. При таком выборе будет 
. Теперь положим

при 
и 
. Тогда 
и
| 
|= 

.
Лемма доказана.
Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять 
при 
так что при k>1 (т.е. в случае, когда 
-корень кратности 
полинома 
)имеется k направлений спуска по поверхности 

. Они разделяются 
направлениями подъема при 
Действительно, в этих направлениях

и 
Так что если 
есть корень производной кратности 
, то поверхность 
в окрестности точки 
"гофрирована" так, что на ней имеется 
"долин" cпуска, раздельных 
"хребтами" подъема.
Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле 
, комплексных чисел алгебраически замкнуто).
Доказательство: Пусть 
- данный полином, отличный от константы. Пусть, далее, 
и 
- точка, в которой 
; Она существует по лемме 5. Тогда 
ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка 
что 
невозможно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.
А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во "Наука", 1971 г. – 431с.
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел
Основная теорема алгебры
Курсовая работа
студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета
Батура Ирина Сергеевна
Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент
Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор
САРАТОВ
2009 год
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
4. Доказательство основной теоремы
5. Список используемой литературы
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле
Целью моей работы является выявления, что поле
При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных чисел
В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность
Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается
Вещественное число (действительное число) – любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие
Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех
Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы рассматриваются только над полями
Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел
max
Последовательность
Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть
Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен
4. Доказательство основной теоремы
Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть
Непрерывность
Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.
Лемма 1. Дан полином
Тогда для любого
Доказательство: Пусть
Положим
то
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.
Доказательство: Пусть дан полином
Тогда
Правая часть есть полином от
По лемме 1 для любого
Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.
Доказательство: Из неравенства
Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если
Это означает, что любая горизонтальная плоскость
Доказательство: Пусть
где
В силу леммы 1 для
Лемма 5. Точная нижняя грань значений
Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань
Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть
Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности
Доказательство: Расположим полином
Тогда
+
= c0 (1+
Здесь
есть полином от
Выберем
|
Лемма доказана.
Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять
Действительно, в этих направлениях
Так что если
Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле
Доказательство: Пусть
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.
А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во "Наука", 1971 г. – 431с.