Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.
            Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y

y

            y = arcsin(1/x)

π/2

-π/2

Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,
            | x | ≥ 1 ,
( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

0

1

-1

x

		y
				x

 

Функция нечетная
( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )

y

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

π

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)
 

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

π/2

0

1

-1

 

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x²).

π/2

Решение:
Д(f): [-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]

-1

0

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

	1		x

 

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos²(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z²
f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.
f(y) убывает на пр. [-1;1] от π² до 0.

0

1

-1

x

 

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x²-1))
Решение:
Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

y

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )
 

π/2   X	0	< x <	1	< x <	+∞
1   -1   u=1/(x2-1)	-1	↘	+ ∞ - ∞	↘	0
0   x   y=arctg(u)	- π/4	↘	π/2 - π/2	↘	0

-π/4

-π/2

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически  одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x ,                                           cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x ,                                              ctg(arcctg(x)) = x
            (справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:
                                y=x                                  и                                  y=sin(arcsin(x))

x

y

0

x

y

0

1

-1

 

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
 

Аргумент функция	arcsin(x)	arccos(x)	arctg(x)	arcctg(x)
sin	sin(arcsin(x))=x
cos		x
tg			x	1 / x
ctg			1 / x	x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:
1.      Т.к. cos²x + sin²x = 1 и φ = arcsin(x)


Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.
Значит, имеем

2.      Из тождества следует:
 
3.      Имеем

4.     
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.
Пример №1. Преобразовать выражение
Решение: Применяем формулу , имеем:
Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:


Пример №3. Пользуясь ...

            Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:






Пример №5. Положив в формулах
,       и         
, получим:
,                       
Пример №6. Преобразуем
Положив в формуле ,             
Получим:
           
Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

arccos(x)

arcsin(x)

 

-1

1

y

x

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:


Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
1.      Выражение через арктангенс.
Пусть , тогда

Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный  и расположена в интервале (-π/2; π/2).
Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).
Следовательно,
                                                                                 (1)
(в интервале ( -1 : 1 )
2.      Выражение через арксинус.
Т.к. ,    то                              (2)
в интервале
3.      Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество
                                                                               (3)
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга  не может быть значением арксинуса. В этом случае

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.
4.      Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому
При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае
, а для функции имеем:
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное.
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
 

                        Х>0                                                                 X<0
При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

Таким образом, имеем окончательно:
если ,                    (4)
                 , если
 

График функции

		-1		1

 

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4),  закон соответствия можно выразить следующим образом:

                        , если
, если
5.      Аналогично установим, что при имеем:
, если же , то

Таким образом:
       , если                                                (5)
                        , если
6.      Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
 при имеем:

Если же х<0, то

Итак,
         , если                                                    (6)
                        , если
7.      Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то
При   имеем:

Итак,
       , если                                                 (7)
                        , если
8.      Выражение арктангенса через арккотангенс.
         , если х>0                                                                (8)
                        ,если x<0
При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
.
9.      Выражение арксинуса через арккотангенс.
       , если                                               (9)
                        , если
10.  Выражение арккотангенса через арксинус.
       , если 0<x                                                       (10)
                        , если х<0
11.  Выражение арккотангенса через арктангенс.
         , если x>0                                                                  (11)
                        , если x<0
Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

	Y

 

y=        0 , если x>0
            -π , если x<0

X

 

На чертеже изображен график
данной функции
 

Пример №2. Исследовать функцию
Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к. , то получаем
,
откуда:
 на сегменте [0;1]
Пример №3. Исследовать функцию
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство
      , если
                        , если
получим:
y =       0 ,                                если
             , если
Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;
    и         
Областью определения функции  служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

но при х=5π/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.
Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как
, то имеем  y=π-х;
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2π
Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то
y=-π-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то
y=х+2π
Вообще, если , то
y=х-2πk
и если , то
y=(π-х)+2πk
График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

-π

π

X

Y

 

Рассмотрим функцию
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y = cos x, где
Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и , поэтому:

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x
Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π
Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x
Вообще, если , то y = x - 2πk
Если же , то y = -x + πk
Графиком функции является ломаная линия

-π

π

0

Х

Y

 

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух  (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где
;              
В данном случае  (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .
Вычислив синус дуги γ, получим:

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем
В рассматриваемом примере , так как дуги γ и заключены в различных интервалах,
, а  
В данном случае
Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.
Решение: имеем

Обе дуги γ и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:
Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):
, и  
Сумма α + β заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
;
 
Разность α – β заключена в правой полуокружности:
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
;

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1.      Преобразуем в арккосинус , где  и
Имеем:

Откуда
           
2.      Аналогично
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1



Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
1.      Выразить сумму через арксинус
По определению арксинуса
        и          ,
откуда
              
Для дуги γ возможны следующие три случая:
Случай 1:
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.
            В самом деле, при и , имеем:
            ,         и          ,
откуда
           
При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:
а)                 б)
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
 в случае а)  и   в случае  б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия  и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.
Вычислив , получим:

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или

Откуда
             и, следовательно, 
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
            ;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
             или 
Случай 2.
            В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим 
Случай 3.
            Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
           
откуда  
            Дуги γ и  имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1  ;
в случае 2   и в случае 3  .
Итак, имеем окончательно:
                                                 ,  или 
               ; x > 0, y > 0, и      (1)
                                                ; x < 0, y < 0, и
Пример:

;        
2. Заменив в (1) x на –x получим:
                                                 ,  или 
               ; x > 0, y > 0, и      (2)
                                                ; x < 0, y < 0, и
3. Выразить сумму через арккосинус
          и         
имеем
           
Возможны следующие два случая.
Случай 1:  если  , то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно,  ,  откуда 
Случай 2: . Если , то
,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если
.
            Из равенства   следует, что дуги
 и   имеют одинаковый косинус.
            В случае 1  , в случае 2  , следовательно,
              , 
                                                ,                          (3)
4. Аналогично
              , 
                                    ,                          (4)
пример:
5.
                                                ;  xy < 1
                   ; x > 1, xy > 1                                                (5)
                                                ; x < 0, xy > 1
При xy=1 не имеет смысла
6.
                                               
            ;  xy > -1
                   ; x > 0, xy < -1                                   (6)
                                                ; x < 0, xy < -1
7.
                                    ; 
                 ;                                           (7)
                                    ;
8.
                ;                                                       (8)
                                    ; 
9.
                                    ;
                  ; x > 1                                                            (9)
                                    ; x < -1
10.                                                                        (10)
                                                                                          (11)
                 , если                                  (12)
                                    , если