МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,
МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА
РЕФЕРАТ
по дисциплине: Высшая математика
на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
Выполнила: студентка 1 курса
Экономического факультета
(вечернее отделение)
Козлова М.А.
Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

2

Содержание

 Введение                                                                                                         3

2.   Нахождение асимптоты                                                                                 4
   2.1 Геометрический смысл асимптоты                                                               5
   2.2 Общий метод нахождения асимптоты                                                          6
   3.   Виды                                                                                                                 8
    3.1 Горизонтальная асимптота                                                                            8
   3.2 Вертикальная асимптота                                                                                9
   3.3 Наклонная асимптота                                                                                   10                           

         Использованная литература                                                                        12

3

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
4
2. Нахождение асимптоты
  Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех
x < а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥), то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥).
Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥
(или х ® - ¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.                          
                                                                                          x - 3x - 2
Найдём, например, асимптоту графика функции y =       x +1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, 
                                      2                         2
получим y = x - 4 +  x + 1   Так как   x + 1   = 0 при х ® ± ¥, то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,
так и при х ® - ¥.
5
2.1 Геометрический смысл асимптоты
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М  - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,
q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ¹ ,
MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ  с асимптотой АВ (рис.1).

                             (рис.1)
Тогда ММ  = f (x), QM  = kx + l, MQ = MM  - QM  = f (x) – (kx +l),
MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, и наоборот.                                           х ® + ¥
       х ® + ¥                                                                                                
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® + ¥ или, соответственно, х ® - ¥).
6
2.2 Общий метод отыскания асимптоты
Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.
Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ® - ¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,
f (x) = kx + l + 0
Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + ¥. Тогда
lim  = k.
                                                        х ® + ¥
Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
l = lim (f (x) – kx).
                                    х ® + ¥
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является
                                                 х ® + ¥       
асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем
                                                                                             х ® + ¥         
lim [f (x) - (kx + l)] = 0,
                                              х ® + ¥
то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)
                                 х ® + ¥                 х ® + ¥          
сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует
представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)
                  х ® + ¥                 х ® + ¥          
Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.
Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,
найденную нами выше другим способом:
7

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты
y = x – 4, как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥.
В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.
8
3. Виды
3.1 Горизонтальная асимптота
Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® +¥) (рис.2)

                                                               (рис.2)
хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)


                             (рис.3)
9
3.2 Вертикальная асимптота

                        
                                (рис.4)
Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тогда говорят, что прямая x = a является
                                   х ® ¥
вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или - ¥.
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид
.
Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения
  
10
3.3 Наклонная асимптота

                        (рис.5)
Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть  d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ® ± ¥
lim [f (x) – (ax + b)] = 0.
x ® ¥
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина  
Но тогда мы имеем
и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.
Пример


то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.
11
Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота имеет вид y = - x.
Сам график функции  выглядит так (рис.6)


                                 (рис.6)
12
Использованная литература
1.     Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
2.     Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
3.     Лекции по математике