Метод контурных токов
Ранее рассматривались простейшие одноконтурные (двухконтурные) электрические цепи и схемы с двумя узлами. Были описаны способы преобразования схем, с помощью которых в ряде случаев удаётся упростить расчёт разветвлённой электрической цепи.
В случае, когда электрическая схема достаточно сложна и не приводится к схеме одноконтурной цепи, пользуются более общими методами расчёта. Описанные ниже методы применимы для цепей постоянного и переменного тока.
Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа
 - число уравнений (сост. по II закону Кирхгофа).
Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не меняющими проводимость (они могут содержать источники тока), то число уравнений К, составляемых по методу контурных токов уменьшается на N_T.
Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви.
При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный ток).
- число независимых контурных токов, их необходимо выбирать проходящими по ветви, не содержащими источников тока.
Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений:

При этом следует считать , если условные положительные направления контурных токов в одной ветви контуров K и m совпадают, и , если они противоположны.

где D₁ D₂ D_n - дополнение
 D - определитель системы.

Расчёт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным методом выполняется в следующей последовательности:
1.      Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные элементы представляются комплексными величинами соответственно напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей).
2.      Выбирается условно положительное направление для комплексных значений напряжений, ЭДС и токов.
3.      Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи.
4.      Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов, напряжений) в их комплексной форме.
Метод узловых потенциалов
Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа , где N_y – число узлов электрической схемы.
Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью законов Ома.
При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю потенциал какого-либо узла, для оставшихся  составляют уравнения по I-му закону Кирхгофа.
Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число K_I уравнений, составленных по МУП, уменьшается на N_н (число ветвей с нулевыми сопротивлениями).
 - число уравнений по МУП.
Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае, когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной схеме.

Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с источниками ЭДС даёт нам право без ограничения общности считать, что между любой парой узлов включена только одна ветвь.

Дальше будем предполагать, что , т.е. между узлами цепи не включены идеальные источники ЭДС.
В качестве примера составим уравнение по методу узловых напряжений для цепи, изображённой на рис. 3.
Задано:

и параметры всех элементов.
Расчёт цепи производим комплексным методом:


Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения:
 (1)
Y₁₁=Y₁₂+Y₁₀+Y₁₃; Y₂₂=Y₂₀+Y₁₂+Y₂₃; Y₃₃=Y₃₀+Y₁₃+Y₂₃

Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений, находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений применим к независимым контурам.
Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу.
Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать:
 (1)
Для 1-ого узла:
Значения Z₁; Z₂; Z₃; E₁ и  E₂ у нас были определены ранее (см. 1-ый способ решения).



Ответ:
Между узлами  К и m имеется ветвь с источниками ЭДС (E_Km), сопротивлением Z_Km, то ток в этой цепи (ветви), направленный от К к m связан соотношениями:

Первый закон Кирхгофа для рис. 1 имеет вид (1).
Напряжение можно выразить через узловые напряжения в виде:
.
Получаем:
или
Обозначив , где Y_KK – сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к К-ому узлу, имеем:
- что и является основным уравнением для К-ого узла по МУП.
В развёрнутой форме совокупность уравнений по МУП имеет вид:

Решая эту систему, найдём узловые напряжения, причём для К-ого узла величина  будет:
,
где D - главный определитель системы, D_mK – его алгебраическое дополнение.
После того, как узловые напряжения найдены, определения токов в ветвях цепи имеют вид:
Если в ветви содержатся ЭДС, то ток равен
Метод узловых напряжений применяется к независимым узлам.
Если к К-ому узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток I_KK со знаком «+», если утекает, то со знаком «-».
Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна 0.
Y_ii – собственная проводимость всех ветвей, подходящих к узлу i (всегда со знаком «+»).
Y_iк – взаимная проводимость между узлами  i и к (входит в уравнение всегда со знаком «-» при выбранном направлении всех узловых напряжений к базисному узлу).
Ток I₁ называется узловым током 1-ого узла. Это расчётная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к 1-ому узлу, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «+» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлена к 1-ому узлу.
Y₁₁ – проводимость всех ветвей, сходящихся в 1-ом узле.
Y₁₂ – проводимость взаимная – равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2 (берётся со знаком «-»).
Пример:
Е₂=Е₃ = 1 В
I_K3 = 1 A
I_K2 = 1 A
R₁ = 13 Ом
R₂ = 5 Ом
R₃ = 9 Ом
R₄ = 7 Ом
R₅ = 1 Ом
R₆ = 4 Ом
Определить токи в ветвях.
Для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы необходимо ввести в левую часть уравнений искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого.