Геометрия изучает пространственные формы, алгебра — количественные отношения окружающего нас реального мира — так говорил о математике Фридрих Энгельс.

Связи между алгеброй и геометрией были известны еще древним математикам. Например, длина отрезка выражается числом, а ведь отрезок — геометрическая фигура, тогда как числа изучаются в алгебре. Вычисление площадей, свойства подобных фигур и другие факты геометрии также выражаются языком алгебраических формул. Но самая замечательная связь алгебры и геометрии — применение координат и графиков.

Идея координат знакома тебе с раннего детства. На билете в кино значится: 6-й ряд, 9-е место. Числа 6 и 9— это и есть координаты твоего места в зрительном зале. Разыскав город на карте, ты можешь прочитать его широту и долготу — это географические координаты города на земной поверхности. А в математике положение точки на плоскости чаще всего описывается прямоугольными координатами х, у. Применение координат дает наглядный и удобный способ графического изображения различных процессов. По графику, показывающему изменение температуры за сутки, видно, что вскоре после 2 часов и примерно до 7 часов утра температура была отрицательной (заморозки). От 4 часов утра и примерно до 18 часов температура непрерывно повышалась и достигла наибольшего значения, примерно 12 . Эти характерные черты протекания процесса гораздо легче увидеть с помощью графика, чем вывести из таблицы. По графику движения туриста легко определить, что сначала он двигался со скоростью 4 км в час, затем сделал двухчасовой привал, а дальше пошел с меньшей скоростью. Хорошо видим на графике расстояния, пройденные до и после привала. А по графику движения поездов ясно, что скорый поезд двигался быстрее товарного (график поднимается круче), легко время встречи поездов, между поездами через 2 встречи и т. д. Электрокардиограмма представляет собой график изменения электрических сигналов, возникающих при работе сердца. По нему врач может сделать обоснованные выводы о состоянии здоровья пациента.

Умение читать графики является важным элементом математической культуры. Это нужно людям самых разных профессий: математикам, физикам, врачам, инженерам, сталеварам, морякам, криминалистам. Открытие координат и графиков связано с именем замечательного французского ученого Рене Декарта (1596—1650). Вместе с известным французским математиком Франсуа Виетом он является создателем современной буквенной символики, которая использует обозначения х, у, z для неизвестных, а, b, с—для коэффициентов, применяет ставшие теперь привычными записи степеней — х5, а4 и т. д.

Но самое важное открытие Декарта состоит в том, что изобретенная им система координат (которую теперь во всем мире называют декартовой) осуществляет глубокое объединение идей алгебры и геометрии. Стало возможным наглядно изображать алгебраические уравнения в виде линий (графиков этих уравнений). Например, прямая изображается уравнением первой степени, парабола (по дуге которой движется брошенный камень) — уравнением второй степени.

Некоторые ранее неизвестные линии, исследованные Декартом, носят его имя; к ним относятся Декартов лист, овалы Декарта (частными случаями которых являются эллипсы, гиперболы) и другие кривые. Благодаря открытию Декарта теперь можно доказывать геометрические факты, записывая их уравнениями.