Кто открыл множество Мандельброта?

Этот вопрос не является тестом на сообразительность — и ответить на него оказывается не просто. Множество было названо (как мы писали в нашем журнале) «сложнейшим математическим объектом». Это утверждение можно оспаривать, бесспорно, однако, то, что множество Мандельброта является самым известным математическим объектом. Бесконечно сложное изображение множества, сгенерированное компьютером, стало символом процветающей теории хаоса и привлекает к себе огромное внимание общественности.

Множество названо в честь Бенуа Р.Мандельброта, математика из Исследовательского центра им.Томаса Уотсона корпорации IBM. Он стал известен в основном после того, как ввёл термин «фрактал» для описания объектов, структура которых многократно повторяется при переходе ко всё более мелким масштабам (примерами могут служить очертания береговых линий, снежинок, горных хребтов и ветвей дерева).

Мандельброт утверждал, что он и только он открыл это множество, обладающее фрактальными свойствами, около десяти лет назад. Об изображении множества он говорил как о своей «подписи».

Трое других математиков оспаривают его утверждение. Двое настаивают на том, что они открыли и описали множество приблизительно в то же самое время, что и Мандельброт. Третий же говорит, что его работа над множеством не только предшествовала исследованиям Мандельброта, но и помогла последнему в его исследованиях. Эти утверждения долгое время циркулировали в математических кругах, но лишь недавно впервые появились в печати.

У математиков редко возникают споры относительно того, кто является первооткрывателем, однако Мандельброт, который сам себя называет «чёрной овечкой», часто вступает в конфликты со своими коллегами. «Если бы не его личные качества, — заметил Р.Л.Дивейни из Бостонского университета, который, между прочим, восхищается исследованиями Мандельброта, — то и не возникло бы никаких противоречий».

В данном случае «ставки» научного престижа достаточно велики. Даже те, кто посмеивается над широкой популярностью множества, всё же признают его значение в математике. Д.Р.Салливен из Нью-Йоркского городского университета называет его пробным «тигелем», в котором тестируются идеи, касающиеся поведения динамических (нелинейных, сложных или хаотических) систем. «Оно действительно имеет фундаментальное значение», — говорит он.

Привлекательность этого множества отчасти заключается в простоте порождающего его уравнения: z²+c. Здесь z и c — комплексные числа, состоящие из мнимого числа (сомножителем которого является корень квадратный из –1) в сочетании с действительным числом. Сначала величине c присваивается фиксированное значение, z приравнивается к нулю и вычисляется результат выражения. Затем этот результат присваивается переменной z, выражение вычисляется снова и снова — оно, как говорят, итерируется, и каждый раз его результат присваивается переменной z. Некоторые значения c, подставляемые в эту итерационную формулу, дают результаты, быстро нарастающие до бесконечности. При других же значениях c результаты всё время скачут в определённых границах. Эта последняя группа значений c, или комплексных чисел, и составляет множество Мандельброта.

Нанесённые на плоскость, которую образуют все комплексные числа, точки, принадлежащие множеству, образуют кластер своеобразного очертания. Издали объект как будто не представляет собой ничего особенного, его сравнивают с изображением сердца, на котором образовались опухоли, с жуком, зажаренным цыплёнком, неуклюжей восьмёркой, лежащей на боку.

При более близком рассмотрении можно обнаружить, что границы множества не образуют чётких линий. Они несколько размыты и слегка «мерцают». При всё бóльших и бóльших увеличениях видно, как границы погружаются в бесконечную фантасмагорию затейливых узоров. Некоторые формы, в частности серцевидные, всё время повторяются, но всякий раз с едва заметными вариациями.

Сейчас практически каждый, кто обладает персональным компьютером, может сам «открыть» множество (см. статью в рубрике «Занимательный компьютер» в журнале «В мире науки», №10 за 1985г.). Но 11 лет назад компьютеры были значительно менее мощными, и немногие математики возлагали на них надежду как на средство, способное помочь в решении сложных научных задач.

Даже сам Мандельброт в 1979г. охарактеризовал свои первые пробные шаги по исследованию множества как «бессмысленную забаву». Он начал пользоваться компьютером, чтобы получать изображения множеств Жюлиа, которые вычисляются путём подстановки комплексного числа в итерационные функции. Необычные свойства этих множеств были описаны ещё в 1906г. французским математиком Пьером Фату. Множества были позже названы в честь Гастона Жюлиа, который доказал, спустя десятилетие, что его исследования множеств имели более важное научное значение по сравнению с работами Фату. Мандельброт, родившийся 65 лет назад в Польше, читал работы обоих учёных, а позднее учился у Жюлиа в 40-х годах.

Уже первые компьютерные изображения подтвердили подозрения Мандельброта, что множества Жюлиа обладают фрактальными свойствами. По его словам, он начал получать изображения множества (позже названные его именем), которые в определённом смысле являются обобщением всех множеств Жюлиа, в конце 1979г. Впоследствии Мандельброт опубликовал изображения множества и подчёркивал его значение в своих публичных выступлениях, статьях и книгах. Это открытие и другие его работы в области фракталов широко освещались в прессе, в многочисленных книгах (в частности, в бестселлере «Хаос», который был написан бывшим репортером «Нью-Йорк таймс» Дж.Глейком), а также в рекламных изданиях корпорации IBM.

Никто не отрицает, что изображения и описания Мандельброта стимулировали интерес других математиков к множеству. В качестве двух ярких примеров можно привести Дж.Хаббарда из Корнеллского университета и Э.Дуади из Парижского университета. В начале 80-х годов доказывая, что крошечные «островки», окружающие тело множества, связаны с ним бесконечно тонкими отростками, они назвали его множеством Мандельброта. «Мандельброт был первым, кто получил изображение множества на дисплее компьютера и описал его в литературе», — писал не так давно Дуади.

Однако теперь, по словам Дуади, другие математики стали считать, что Мандельброт присвоил себе слишком большие заслуги в том, что было сделано другими, а именно в исследованиях, посвящённых этому множеству и связанных с ним областям теории хаоса. «Он любил цитировать самого себя, — говорил Дуади, — и очень неохотно цитирует других, ещё не умерших исследователей».

Прошлой осенью С.Кранц из Вашингтонского университета затронул эту тему в статье, опубликованной в журнале "Mathematical Intelligencer". Главный его вывод заключался в том, что фракталы, графика, генерируемая компьютером, и другие «популярные» математические явления, связанные с множеством Мандельброта, не внесли сколько-нибудь существенного вклада в математику, особенно на фоне завоёванной ими популярности.

Это мнение — впрочем, как и противоположное, согласно которому «широко известные» исследования Мандельброта послужили стимулом для дальнейшего прогресса в математике, — высказывались и раньше. Однако Кранц привнёс в эти дебаты новый аспект, утверждая, что множество Мандельброта не было открыто Мандельбротом и упоминалось явно в литературе ещё за два года до того, как родился термин «множество Мандельброта». И он назвал работу Р.Брукса и Дж.Мателски, опубликованную в докладах конференции, состоявшейся в 1978г. в Стоун-Бруке (шт. Нью-Йорк).

И действительно, статья содержит знаменитую формулу z²+c и не совсем чёткую, но всё же безошибочную компьютерную распечатку основного изображения множества Мандельброта. Брукс и Мателски говорят, что в действительности они не представили эту работу на конференцию 1978г., но распространили её в качестве препринта в начале 1979г. Брукс, работающий сейчас в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, представил статью также в Гарвардском университете весной того же года (Мандельброт, в то время посетивший Гарвард, говорит, что не слышал доклада Брукса и впервые увидел статью лишь спустя несколько лет.) Однако статья так и не была опубликована до начала 1981г.

Множество Мандельброта может порождаться различными способами и принимать различные формы. Изображение, опубликованное Р.Бруксом и Дж.Мателски в 1981г. (слева) было получено по стандартной формуле z²+c. Статья, написанная Мандельбротом в 1980г., содержит изображение, полученное с помощью несколько отличающейся функции (в центре). Дж.Хаббард несколькими годами позже установил, что с помощью итерационного процесса, называемого методом Ньютона, можно также получить отчётливое изображение множества Мандельброта (справа).

Опровергая статью Кранца, озаглавленную «Некоторые "факты", испаряющиеся при внимательном рассмотрении», Мандельброт отметил, что он «достаточно полно опубликовал» информацию о множестве Мандельброта до того, как это сделал Брукс и Мателски. (В статье Мандельброта, опубликованной 26декабря 1980г. в сборнике "Annals of the New York Academy of Sciences", представлены функция и изображение, являющиеся одной из разновидностей того множества Мандельброта, которое он впервые описал в печати в 1982г.)

Мандельброт говорил также, что даже если публикация Брукса и Мателски предшествовала его публикациям, то их всё же нельзя считать первооткрывателями множества, поскольку они не поняли его истинного значения. «Они были очень близки к тому, что позже окажется важным, но не задумались над полученным изображением».

В следующем номере журнала "Intelligencer" Брукс ответил: «Я не понимаю, как он может так уверенно судить, о чём мы задумывались и о чём не задумывались». Брукс заявил, что относится с уважением к деятельности Мандельброта в качестве популяризатора и не возражает, чтобы множество носило его имя. «Наверное, это будет лучше, чем называть его «большой кардиоидой», — сказал он, вспоминая, как он и Мателски первоначально назвали множество. — Просто хотелось бы , чтобы Мандельброт вёл себя повежливее».

Мателски из Хартфордского центра по подготовке аспирантов в Коннектикуте отмечает, что ни он, ни Брукс не просили Кранца защищать их права на открытие множества Мандельброта. (Кранц подтвердил, что его внимание к их статье привлёк другой математик.) Но теперь, когда этот вопрос стал достоянием общественности, Мателски настаивает, чтобы его и Брукса признали соавторами открытия наряду с Мандельбротом.

«Совсем не обязательно полностью освоить все минеральные ресурсы континента, чтобы быть его первооткрывателем». Это высказывание Мателски было приведено в газете "Hartford Courant", опубликовавшей в декабре прошлого года статью, посвящённую этому спорному вопросу. «Достаточно опуститься на колени и поцеловать берег».

Несколько другое утверждение об авторском приоритете было сделано Хаббардом, который в настоящее время считается одним из ведущих в мире специалистов по множеству Мандельброта. По его словам, в 1976г. он начал пользоваться компьютером для получения карты множеств комплексных чисел, генерируемых в ходе итерационных процессов, известных как метод Ньютона. Хаббард говорит, что хотя в то время и не осознавал этого, ему удалось найти другой способ порождения множества Мандельброта.

В конце 1978г. один из студентов-дипломников Хаббарда, Ф.Кочмен, подошёл на конференции к Мандельброту и показал ему изображения Хаббарда. Мандельброт, «казалось бы, не проявил к ним большого интереса», вспоминает Кочмен. Однако вскоре после этого Мандельброт написал письмо Хаббарду, пригласив его к себе в IBM, чтобы обсудить его исследования. В письме, которое Хаббард сохранил, Мандельброт писал: «Читая работы Фату и Жюлиа, я подумывал о том, чтобы заняться этим самому, но так и не собрался с духом. Тем не менее я могу сказать, что очень долго ждал этих изображений...»

Хаббард утверждал, что он в начале 1979г. поехал в IBM и там рассказал Мандельброту, как можно составить компьютерную программу для отображения результатов итерационного процесса. Хаббард признаёт, что не осознавал в полной мере значения своего изображения и что оно показывало лишь отдельные участки множества Мандельброта. Он также не отрицает, что Мандельброт нашёл более эффективный способ порождения изображений. Тем не менее Хаббард заявил, что его «не перестаёт возмущать» тот факт, что Мандельброт не упомянул о нём ни в своей статье в 1980г., ни в более поздних публикациях. «Это было нарушением математической этики», — говорит он.

Мандельброт вспоминает, что однажды видел «довольно раннее изображение множества Жюлиа», принадлежавшее Хаббарду, но отрицает, что это способствовало его собственному открытию. В ответ на обвинения Хаббарда и Дуади, что он неохотно признаёт заслуги других, Мандельброт отвечает, что в то же время его обвиняли и в слишком частом цитировании. Более того, он говорил, что придание большей известности работе Брукса и Мателски могло бы лишь привести к «насмешкам» по поводу того, что «они так ничего и не смогли сделать со своими результатами».

Ну а как следует отнестись к предложению Хаббарда, Мателски и Брукса считать действительным первооткрывателем множества Фату, который впервые определил множество Мандельброта и заинтересовался его свойствами? Брукс говорит даже, что «если бы Фату имел доступ к современной вычислительной технике, он несомненно получил бы по существу те же изображения, которые были получены Мателски, Мандельбротом и мной». Мандельброт называет это бесплодными измышлениями и настаивает на том, что определение множества Мандельброта, сделанное Фату, не является его открытием. «Само по себе определение ещё ничего не означает, — говорит он. — Вы должны сказать, почему это важно».

Другие математики, знающие об этих спорах, слегка надоумевают: «Лично мне весь этот шум кажется странным», — говорит Дж.Милнор из Принстонского университета. Он утверждает, что ни Брукс, ни Мателски, ни Мандельброт не сделали ничего, что имело бы важное значение в математике. «Хаббард и Дуади были первыми, кто действительно получил некоторые интересные результаты, — заявил он, — и они первыми рассказали нам кое-что существенное об этом множестве».

Споры о приоритете, по мнению Милнора, возможно объясняются столкновением различных математических традиций. «В чистой математике, — объясняет он, — существует традиция предоставлять другим хвалить ваши работы». Мандельброт же, отмечает он, работает в сфере прикладной математики.

«Прогресс в математике не достигается в одиночку, — отмечает У.Тёрстон из Принстонского университета, — довольно часто теории не называются в честь первого человека, открывшего их. Так было и с множеством Мандельброта». Тем не менее, с его точки зрения, никто бы не стал возражать против признания достижений Мандельброта, если бы он, в свою очередь, несколько больше уважал заслуги других. «Ему следовало бы проявить немножко больше щедрости», — считает Тёрстон.

Салливен, также известный своими исследованиями множества Мандельброта, называет себя «защитником Мандельброта». Мандельброт заслуживает того, чтобы множество было названо его именем, утверждает Салливен, потому что благодаря его усилиям оно привлекло внимание как любителей, так и профессиональных математиков.

Тот факт, что «по чистому совпадению» множество позже оказалось математически важным объектом, говорит Салливен, ни в коей мере не умаляет заслуги Мандельброта. «Это одна из замечательных особенностей математики, — добавляет он. — Даже любители иногда вносят важный вклад в её развитие».

Так кто же всё-таки открыл множество Мандельброта? Салливен говорит, что это бессмысленный вопрос. Возможно, он прав. Ш.Акслер, редактор журнала "Intelligencer", планирует опубликовать письмо, из содержания которого следует, что венгерский математик Ф.Рисс опубликовал работу, имеющую отношение к множеству Мандельброта, в 1952г.

Окончательный ответ, похоже, подобно фракталу, теряется в бесконечных замысловатых узорах.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/