Элементарные конфортные отображения

 

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому  точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)

Задание функции  эквивалентно заданию двух действительных функций  и тогда  , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.

1.   - линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость  . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в  раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2.  . Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3.   - показательная функция. По определению , т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера:

   ; ;       ;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной  в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие:  ,

    4.  - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: .   Выражение          называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме .  - бесконечно-значная функция, обратная к . ,

5.   - общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции ;;;  По определению, ;   ;

                                ;      

7.  Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

                          ,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: ,  , , ,

Решение. По определению,    ,, ; если , то очевидно, , ,

                    ,  , 

                ,   , ,

                , , ,

Найти суммы:

                   1)     

                   2)     

Решение. Пусть:      , а

                                . Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:

; Преобразуя, получим:

              ,    

3. Доказать, что:      1)         2)

                                       3)           4)

Доказательство:

  1) По определению,

  2)

  3)  ;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ;

Решение:  и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

, , ,



Напомним, что

2)

,  ,



3)

  ,   ,

            ,  .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:        ;   ;

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

 ;   ;   ; ;

               ;

Вычислить:      1) ;          3)   ;               5) ;

2) ;     4)  ;       6)  ;

Решение. По определению, ,

1),          ,       ,    

                                          

2) ,       ,        ,   

                                         

3) ,          ,       ,

4),      ,   ,

                                         

 5), ,  ,

                                           

 6),      ,   ,     

Найти все значения следующих степеней:

    1) ;        2)  ;       3) ;         4);

Решение. Выражение   для любых комплексных  и определяются формулой

1)

2)

3)  

4) .

8. Доказать следующие равенства:

                            1)   ;

                            2)  ;

                            3)  

Доказательство:   1) , если , или  , откуда  , или .

Решив это уравнение, получим , т.е.  и

2) , если , откуда  , или , следовательно,

             ,    

3) , если , откуда , или

     .

Отсюда  , следовательно,