Шпаргалка

Шпаргалка Формулы шпаргалка

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 20.2.2025



1.    

2.   
Предел функции:
Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.

Lim f(x) =A

x->x0

2. Теоремы о пределах:

·        Limc=c,где с-это число

·        Lim(f(x)+-g(x))=lim f(x)+-lim g(x)

·        Lim(f(x)*g(x))=lim f(x)*lim g(x)

·        Lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x),где g(x)<>0

·        Lim(c*f(x))=c*limf(x)

·          Lim(f(x)g(x))=(lim f(x))lim g(x)

·          Lim(f(g(x)))=f(lim g(x))

3.Методы нахождения пределов:

·        непосредственное вычисление пределов (вместо ч подставляем ч0 и считаем что получится)

·        раскрытие неопределенностей вида 0/0 (числитель и знаменатель раскладывается на множители а затем сокращают дробь)

·        раскрытие неопределенностей вида ∞/∞ (числитель и знаменатель делим на x в старшей степени)

·        применение замечательных пределов. Lim sinx/x=1- первый зам. Предел

lim(1+x)1/x=e; lim(1+1/x)x=e – 2-ой зам.предел

·        применение эквивалентных бесконечно малых ф-ий

sinx ~x

tgx~x

arcsinx~x

arctgx~x        X - > 0

ln(1+x) ~x

ex-1~x

ax-1~x*lna

4. Замечательный пределы:Lim sinx/x=1 -первый зам. Предел

lim(1+x)1/x=e; lim(1+1/x)x=e - 2 зам. Предел

5. эквивалентные бесконечно малые ф-ии

sinx ~x

tgx~x

arcsinx~x

arctgx~x        X - > 0

ln(1+x) ~x

ex-1~x

ax-1~x*lna

6.Ф-ия
f
(
x
) называется непрерывной в точке
x
0
если


1)ф-ия определена в точке x0

2) существует предел ф-ии f(x) в точке x0

3)этот предел равен значению ф-ии в точке x0

Ф-ия f(x) называется непрерывной на промежутке если она непрерывна в каждой точке этого прмежутка.

7. Условия непрерывности ф-ии в точке

1)ф-ия определена в точке x0

2) существует предел ф-ии f(x) в точке x0

3)этот предел равен значению ф-ии в точке x0

9. Точки разрыва:Если хотябы одно из 3 условий непрерывности ф-ии в точке не выполняются, то ф-ия называется разрывной в точке x0, а сама точка x0 называется точкой разрыва

Типы точек разрыва:

1)если ф-ия f(x) имеет предел в точке ч0 неравный значению ф-ии в точке, то x0-называется точкой устранимого разрыва.                 Lim f(x) <>f(x0)

                                                                                                x - > x0

2) если сущ-ют односторонние пределы ф-ии f(x) в точке x0, но они различные, то точка x0 называется точкой разрыва первого рода       limf(x)<>limf(x)

         xx0-0      xx0+0

3)если хотябы один из односторонних пределов ф-ий f(x) в точке x0 равен бесконечности то точку x0 называют точкой разрыва 2 рода.   

Limf(x)= ∞ или limf(x)= ∞

 xx0-0                xx0+0       

11.

Производная
– предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к 0.

Правила дифференцирования:

(cf(x))’=c*f’(x);

(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)

(f(x)-g(x))’=f’(x)-g’(x)

(f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+g’(x)+f(x)

(F(x)/g(x))’= f’(x)*g(x)-g’(x)+f(x)/g2(x)

(F(g(x)))’=f’(g)*g(x)

12. Таблица производных:

(с)’=0

(xα)’ = α× xα-1

(√x)’=1/2√x

(x)’=1

(1/x)’=-1/x2

(ax)’ =  ax× ln a

(ex)’= ex

(lnx)’=1/x

(logax )’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ =  - 1/sin²x

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²)

(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)

(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²)

13.

Вторая производная
– производная от первой производной.

14.Дифференциал dy ф-ии y=f(x) называется произведения производной этой ф-ии на приращение независимого аргумента x. Dy=f’(x)*∆x

Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента.

15.для приближенных вычислений дифференциалом используется формула:
f(x0+∆x)≈f(x0)+f’(x0) *∆x

16 Нахождение монотонности:

1) найти 1 производ.

2)найти критическую точку 1 рода-это внутрен точки d(y) d кот. Первая произ равна 0 или не сущ

3) разбиваем D(y) критич точками 1 пода на промежутке моннотоности.Находим знак первой производ на каждом промежутке, если y’>0,то  ф-ия возрастает,если y’<0 , то ф-ия убывает

4)если при переходе через точку ч0 – производ сменила знак с+ на- то x0 точка максимума,если с- на +  то x0 точка мин.

17.экстемумы- это значения в точках мин и макс.

18.Выпуклось:

Кривая наз. выпуклой вверх в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже касательной, проведённой в этой точке.

Вогнутость:

Кривая наз. вогнутой вниз в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена выше касательной, проведённой в этой точке.

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости:

·  найти вторую производную

·  найти критические точки 2-го рода(внутренние точки области определения, в которых 2-ая производная равна 0 или не сущ.)

·  разбиваем область определения критическими точками 2-го рода на промежутки выпуклости

·  находим знак 2-ой производной на каждом промежутке, если y’’>0, то график ф-ии вверх, если y’’<0, то график ф-ии вниз.

·  Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба

·  Найти значение ф-ии в точке прегиба

19.Точки прегиба Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба

20\21. асимптоты:

Если точка (y;x) непрерывно перемещается по кривой так, что хотя бы одна координата точки стремится к бесконечности и при этом расстояние от точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая наз.асимптотой.

Виды асимптот:

·  Вертикальная асим., находят лишь тогда, когда есть точки разрыва области определения.

Lim f(x)= ∞, где a-точка разрыва D(y)

  x - > a

·  Горизонтальная асим.

Lim f(x)= b, где b-число,b<>∞

  x - > ∞

·  Наклонная асим

y=kx+b

k=lim f(x)/x, где k-число,k<>∞, k<>0,

  x - > ∞

b=lim(P(x)-kx, где b-число,b<>∞

x - > ∞

22.

Схема исследования ф-ии:


1)D(y),ф-ия дробная, то знаменатель <>0

2) четность

·  D(y) симметрично относительно 0

Y(-x)=y(x) => ф-ия четная

Y(-x)=-y(x) => ф-ия нечетная или ф-ия общего вида

3)пресечение с осями координат

·  С осью ОХ:y=0

·  С осью OY:х=0

4)асимптоты

5)монотонность

6)выпуклость точки перегиба

7)график(пробный точки)

8)E(x)

23. первообразная – на промежутке, если для всех x этого промежутка выполняется равенство f’(x)=f(x).

Основное св-во: ф-ия имеет бесконечно много первообразной, которые отличаются друг от друга на постоянную c.

24.Интеграл – множество всех первообразных на промежутке.

Св-ва:

1)(∫f(x)*d(x))’=f(x)

2)∫c*f(x)*dx=c∫f(x)dx

3)∫(f(x)+-g(x)dx=∫f(x)dx-+∫g(x)dx

25. Таблица интегрлов:

ò xn dx = xn+1/(n+1) + c

ò ax dx = ax/ln a + c

ò ex dx = ex + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos² x =  tg x + c

ò 1/sin² x = - ctg x + c

ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x² dx =  arctg x + c 

ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c 

26.
Методы нахождения неопределенных интегралов:


1)непосред. Интегрирования – при котором интегралы сводятся к табличным путем первообразной, применения к ним основных св-в интеграла.

2)подстановки – некоторое выражение заменяется новой переменной для того чтобы интеграл относительно новой переменной стал табличным. В результате необходимо вернуться к первоначальным переменным.

3)интегрирование по частям:

Формула: òu*=-òυ*du

·  В интегралах вида:

òP(x)*eax*dx

òP(x)*cosax*dx

òP(x)*sin ax dx, где P(x)-многочлен от x,a-любое число

Полагают:

u=P(x)

=всё остальное

·  В интегралах вида:

òP(x)* ln(ax)dx

òP(x)*arcsin(ax)dx

òP(x)*arcos(ax)dx

òP(x)*arctg(ax)dx

òP(x)*arcctg(ax)dx

Полагают:

= P(x) dx

u- всё остальное

·  В интегралах вида:

ò eax*cosbx dx

ò eax*sinbx dx

Полагают:

u- eax

=всё остальное

27.формула Ньютона-Лейбница - эта формула применяется для точного вычесления опред. интеграла: òf(x)dx=F(x)│=F(b)-F(a)

28.
Методы вычисления определённого интеграла:


·  Табличное интегрирование

·  Метод подстановки: в результате возвращаться к первоначальной переменной не нужно потому что перечисляются новые пределы интегрирования

·  По частям

29. метод прямоугольников для приближённого вычисления интегралов:

·  òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*(y0+y1…yn-1)

·  |δn|=< M1*(b-a)2/2n.,где M1-макс|f’(x)|

30.Метод трапеций:

·  òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*( y0+2y1+2y2…2yn-1+ yn)

·  n|=<M2*(b-a)3/12n2. где M1-макс|f’(x)|

31.Применение опред. Интегралов в физике:

·  Нахождение пути при прямолинейном движении:

S=òV(t)*dt, где V(t) – закон изменения скорости, t ε[a;b]

·  Вычисление работы, силы, произведённой при прямолинейном движении тела

A=òF(x)dx, где F(x) – закон изменения силы, a и b – крайние положения тела.

32.Применение определенных интегралов в геометрии:

·  Площадь криволинейной трапеции:

S=òF(x)*dx

·  S фигуры ограниченной двумя непрерывными кривыми y=f(x) y=g(x) и прямыми x=a x=b:

S=ò(f(x)-g(x))dx

·  Длина дуги плоской  кривой:

L= ò Ö1+(f’(x)2 dx, где y=f(x) – уравнение кривой x ε[a;b]

1. Реферат Управленческое решение 3
2. Реферат на тему Електронний паблік рілейшнз як засіб формування зовнішньополітичного іміджу держави
3. Доклад Дания социальное и экономическое развитие
4. Курсовая Шляхи підвищення рівня управлінської культури організації на прикладі Приватного підприємства qu
5. Реферат на тему Analysing Sports Statistics Essay Research Paper Aim
6. Курсовая на тему Содержание ДНК в нервных клетках
7. Реферат на тему Безопасность Linux Удаленные атаки
8. Курсовая Розвиток туризму в Єгипті
9. Реферат на тему Capital Punishment History Essay Research Paper Capital
10. Реферат на тему Theodore Hrezl The Father Of Essay