Шпаргалка Шпаргалка по Математике 2

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024

1.1.Математика-наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров выделяет 4 периода развития математики: зарождение матем., элементарной матем., математики переменных величин, современной математики. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточного большого фактического материала и возникло впервые в Др. Греции в 5-6 вв. д.н.э. Это было началом периода элементарной математики(Геометрия Евклида). В 17 в. Запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин(метод координат Р.Декарта). В 19 в. связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и в следствие внутренней потребности самой математики. Примером такой теории яв-ся «вооброжаемая» геометрия Лобачевского. Развитие таких исследований в математики 19-20 вв. позволяет отнести ее к периоду современной математики. В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемыми аксиомами теории, а все остальные предположения теории получаются как логические следствия аксиом. Основным методом в математических исследованиях яв-ся математические доказательства – строгие логические рассуждения. Также в математики используют 2 вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот – на основании частных случаев об общих суждения.

2. Применение функций в экономике. Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени. Наиболее часто используются в экономике следующие функции:1. Функция полезности (функция предпочтения)- зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия. 2. Производственная функция- зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.( Функция выпуска- зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов. Функция издержек- зависимость издержек производства от объема продукции.3. Функция спроса, потребления и предложения- зависимость объема спроса, потребления или предложения на

3.4 Производной функции f
(
x
) в точке х=х₀ называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

Нахождение производной называется дифференцированием. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция наз-ся дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, наз-ся дифференцируемой на этом промежутке. Широко применяются в физике, математике, геометрии.. 4.Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f'(x₀), то f'(x₀) = 0. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы

одна точка x, а < x < b, такая, что f'(x) = 0. Теорема Коши. Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на отрезке

[a,b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

отдельные товары или услуги от различных факторов( например, цены, дохода и т.п.). При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию (интерполяции)- приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках. Наиболее простым яв-ся линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргументу. Если заданное значение х лежит м\у приведенными в таблице значениями Хо и Х1=Хо+h, которым соответствует значения функции Уо=f(Хо) и У1=f(х1)=f(Хо)+∆f, то считают, что f(x)=f(Xo)+ ∆f

1. Говоря о «применении математики в экономике», мы подразумеваем не просто выполнение различного рода экономических расчетов, а использование математики для нахождения наилучших экономических решений, изучения экономических закономерностей, получения новых теоретических выводов. Главные преимущества математики как средства научного познания раскрываются при построении математических моделей, заменяющих в определенном отношении исследуемые объекты. Математические модели экономики, отражающие с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования экономических проблем. Основными этапами экономико-математического моделирования считаются: 1) постановка экономической проблемы и её качественный анализ (главное – четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы); 2) построение математической модели - этап формализации экономической ситуации (выражение её в виде конкретных математических зависимостей и отношений – функций, уравнений, неравенств и т.п.). 3) математический анализ модели с целью выяснить общие свойства модели (чисто математические приемы); 4) подготовка исходной информации - реальные возможности получения информации (сроки, затраты) ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования;

5) численное решение - разработка алгоритмов для решения задачи, программное обеспечение и непосредственное проведение расчетов; 6) анализ численных результатов и их применение - по результатам этого этапа, помимо прочего, определяются и направления совершенствования модели, её информационного и математического обеспечения.

5.Использование понятия производной в экономике. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть /\ x - прирост продукции, тогда /\ y - приращение издержек производства и /\ y / /\ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная

			/\ y
y'	=	*lim*	-----
		/\ x -> 0	/\ x

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

11. Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Первый замечательный предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.$

Второй замечательный предел:

$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.$

16. Виды матриц и операции над ними. Матрицей размера m•n наз-ся прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Для обозначения элементов матрицы используется строчные буквы с двойной индексацией: аij, где i-номер строки, j-номер столбца. Виды матриц: Матрица состоящая из одной строки, наз-ся матрицей-строкой(А=(а11а12,….а1n), а из одного столбца -матрицей-столбцом: B=

Матрица наз-ся квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица наз-ся диагональной. А=

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица наз-ся единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой Е. Е=

Нулевая матрица, если все ее элементы равны 0: =

Операции над матрицами: 1 умножение матрицы на число: А=, то 5А=

Сложение матриц: А=, В=, С=А+В=

Вычитание матриц.

А-В=А+(-1)•В

Умножение матриц. А=, В=

С=

26. Сис-ма
m
линейных уравнений с
n
переменными наз-ся системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

(2.11)

27.Сис-ма линейно независимых решений e1,e2,…ek наз-ся фундаментальной, если каждое решение сис-мы 2.11 яв-ся линейной комбинацией решений e1,e2,….,ek. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введем следующие обозначения: x_i - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n); x_ij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n); y_i - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления. Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен

31. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где

Затем применяются следующие формулы:

Интеграл

может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

Интегрирование некоторых иррациональностей

15. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю. Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

- эллипс,

- гипербола,

px - парабола.

Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. При интегрировании тригонометрических функций используются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения $\tg x$ и $\ctg x$ , как функции отношения $\sin x$ к $\cos x$ и $\cos x$ к $\sin x$ соответственно, для эффективной замены переменных. Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций. Для понижения четных степеней используются следующие формулы:

$\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2},\ \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$ Для избавления от произведения используются следующие формулы:

$\displaystyle \sin x\sin y= \frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y)),\ \sin x\cos y=\frac{1}{2}(\sin(y-x)+\sin(x+y)),\$ $\displaystyle \cos x\cos y=\frac{1}{2}(\cos(x-y)+\cos(x+y)).$

Также нужно помнить формулы двойных углов:

$\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x,\ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x.$

суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то x_i = (x_i₁ + x_i₂+ ... + x_in) + y_i , (i = 1,2,...,n). Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение. Введем коэффициенты прямых затрат: a_ij = x_ij / x_j , (i,j = 1,2,...,n), показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли. Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. x_ij = a_ijx_j , (i,j = 1,2,...,n), вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса примут вид: x_i = (a_i₁x₁ + a_i₂x₂ + ... + a_inx_n) + y_i , (i = 1,2,...,n), Обозначим

x₁

a₁₁

a₁₂

...

a_1n

y₁

x₂

a₂₁

a₂₂

...

a_2n

y₂

...

x_n

a_1n

a_2n

...

a_nn

y_n

Где X - вектор валового выпуска; A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица); Y - вектор конечного продукта. Тогда соотношения баланса можно записать в виде: X = AX + Y. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Перепишем матричное уравнение в виде: (E - A) X = Y. Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:X = (E - A)^-1 Y. Матрица S = (E - A)^-1 называется матрицей полных затрат.

Bukvasha