Шпаргалка

Шпаргалка Шпаргалка по Математике 2

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024





1.1.Математика-наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров выделяет 4 периода развития математики: зарождение матем., элементарной матем., математики переменных величин, современной математики. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточного большого фактического материала и возникло впервые в Др. Греции в 5-6 вв. д.н.э. Это было началом периода элементарной математики(Геометрия Евклида). В 17 в. Запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин(метод координат Р.Декарта). В 19 в. связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и в следствие внутренней потребности самой математики. Примером такой теории яв-ся «вооброжаемая» геометрия Лобачевского. Развитие таких исследований в математики 19-20 вв. позволяет отнести ее к периоду современной математики. В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемыми аксиомами теории, а все остальные предположения теории получаются как логические следствия аксиом. Основным методом в  математических исследованиях яв-ся математические доказательства – строгие логические рассуждения. Также в математики используют 2 вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот – на основании частных случаев об общих суждения.         

2. Применение функций в экономике. Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени. Наиболее часто используются в экономике следующие функции:1. Функция полезности (функция предпочтения)- зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия. 2. Производственная функция- зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.( Функция выпуска- зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов. Функция издержек- зависимость издержек производства от объема продукции.3. Функция спроса, потребления и предложения- зависимость объема спроса, потребления или предложения на



3.4 Производной функции f
(
x
)
в точке х=х0 называется отношение приращения функции  в этой точке к приращению  аргумента, при стремлении последнего к нулю.

Нахождение производной называется дифференцированием. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция наз-ся дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, наз-ся дифференцируемой на этом промежутке. Широко применяются в физике, математике, геометрии.. 4.Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0. Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы



одна точка x, а < x < b, такая, что f '(x) = 0. Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке

[a,b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что



отдельные товары или услуги от различных факторов( например, цены, дохода и т.п.). При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию (интерполяции)- приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках. Наиболее простым яв-ся линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргументу. Если заданное значение х лежит м\у приведенными в таблице значениями Хо и Х1=Хо+h, которым соответствует значения функции Уо=f(Хо) и У1=f(х1)=f(Хо)+∆f, то считают, что f(x)=f(Xo)+f

1. Говоря о «применении математики в экономике», мы подразумеваем не просто выполнение различного рода экономических расчетов, а использование математики для нахождения наилучших экономических решений, изучения экономических закономерностей, получения новых теоретических выводов. Главные преимущества математики как средства научного познания раскрываются при построении математических моделей, заменяющих в определенном отношении исследуемые объекты. Математические модели экономики, отражающие с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования экономических проблем. Основными этапами экономико-математического моделирования считаются: 1) постановка экономической проблемы и её качественный анализ (главное – четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы);  2) построение математической модели - этап формализации экономической ситуации (выражение её в виде конкретных математических зависимостей и отношений – функций, уравнений, неравенств и т.п.). 3) математический анализ модели с целью выяснить общие свойства модели (чисто математические приемы); 4) подготовка исходной информации - реальные возможности получения информации (сроки, затраты) ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования;

5) численное решение - разработка алгоритмов для решения задачи, программное обеспечение и непосредственное проведение расчетов; 6) анализ численных результатов и их применение - по результатам этого этапа, помимо прочего, определяются и направления совершенствования модели, её информационного и математического обеспечения.




5.Использование понятия производной в экономике. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть /\ x - прирост продукции, тогда /\ y - приращение издержек производства и /\ y / /\ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная







/\
y


y'

=

lim

-----





/\
x -> 0


/\
x


выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.



11. Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Первый замечательный предел:

\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.

Второй замечательный предел:

\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.



16. Виды матриц и операции над ними. Матрицей размера mn наз-ся прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Для обозначения элементов матрицы используется строчные буквы с двойной индексацией: аij, где i-номер строки, j-номер столбца.  Виды матриц: Матрица состоящая из одной строки, наз-ся матрицей-строкой(А=(а11а12,….а1n), а из одного столбца -матрицей-столбцом: B=

Матрица наз-ся квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица наз-ся диагональной. А=

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица наз-ся единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой Е. Е=




Нулевая матрица, если все ее элементы равны 0: =

Операции над матрицами: 1 умножение матрицы на число: А=, то 5А=

Сложение матриц: А=, В=, С=А+В=

Вычитание матриц.

А-В=А+(-1)•В

Умножение матриц. А=, В=

С=    






26. Сис-ма
m
линейных уравнений с
n
переменными
наз-ся системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

(2.11)

27.Сис-ма линейно независимых решений e1,e2,…ek наз-ся фундаментальной, если каждое решение сис-мы 2.11 яв-ся линейной комбинацией решений e1,e2,….,ek. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введем следующие обозначения: xi - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);  xij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);  yi - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.  Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен




31. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

 У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:



где Затем применяются следующие формулы:



 Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

Интегрирование некоторых иррациональностей

 


15. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: Аx2 + 2Вxy + Сy2 + 2Dx + 2Еy + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю. Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):  - эллипс,



- гипербола,

 

 






px  - парабола.



1.  Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. При интегрировании тригонометрических функций используются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения $ \tg x$и $ \ctg x$, как функции отношения $ \sin x$к $ \cos x$и $ \cos x$к $ \sin x$соответственно, для эффективной замены переменных. Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций. Для понижения четных степеней используются следующие формулы:

$\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2},\
\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
$ Для избавления от произведения используются следующие формулы:

$\displaystyle \sin x\sin y= \frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y)),\
\sin x\cos y=\frac{1}{2}(\sin(y-x)+\sin(x+y)),\
$$\displaystyle \cos x\cos y=\frac{1}{2}(\cos(x-y)+\cos(x+y)).
$

Также нужно помнить формулы двойных углов:

$\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x,\
\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x.
$

суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то xi = (xi1 + xi2+ ... + xin) + yi , (i = 1,2,...,n). Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение. Введем коэффициенты прямых затрат: aij = xij / xj , (i,j = 1,2,...,n), показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли. Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. xij = aijxj , (i,j = 1,2,...,n), вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса примут вид: xi = (ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn) + yi , (i = 1,2,...,n), Обозначим








||

x1

||







||

a11

a12

...

a1n

||







||

y1

||









||

x2

||







||

a21

a22

...

a2n

||







||

y2

||





X

=

||

...

||

,

A

=

||

...

...

...

...

||

,

   Y

=

||

...

||

,







||

xn

||







||

a1n

a2n

...

ann

||







||

yn

||

















































Где X - вектор валового выпуска; A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);  Y - вектор конечного продукта.  Тогда соотношения баланса можно записать в виде: X = AX + Y. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Перепишем матричное уравнение в виде: (E - A) X = Y. Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:X = (E - A)-1 Y. Матрица S = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат.



1. Реферат на тему Comparing The Different Types Of Love Evident
2. Реферат на тему Орловско Ливенская епархия
3. Реферат на тему Jean Kerr Essay Research Paper Andrea SchadeMay
4. Реферат на тему Международно правовая ответственность
5. Реферат на тему Mythology And Humanity Essay Research Paper History
6. Статья Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений
7. Реферат Исковой срок давности
8. Реферат Белый медведь
9. Реферат Якобинская диктатура и Конституция 1793 года
10. Реферат на тему The Hindenburg Essay Research Paper The arrival