Автор инженер-механик
Козий Николай Михайлович
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аⁿ + Вⁿ = Сⁿ, (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аⁿ = Сⁿ - Вⁿ (2)
Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).
ЛЕММА: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел:
Nⁿ = U² – V² (3)
Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nⁿ и неизвестными переменными U и V. Уравнение (3) запишем следующим образом:
Nⁿ = U² – V² = (U-V)∙(U+V) (4)
Пусть: U – V=M (5)
Тогда: U = V + M (6)
Из уравнений (4), (5) и (6) имеем:
Nⁿ=M∙ (V+M+V)=M∙(2V+M) = 2V∙M+M² (7)
Из уравнения (7) имеем:
Nⁿ - M²=2V∙M (8)
Отсюда: V =  (9)
Из уравнений (6) и (9) имеем:
U =  (10)
Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа U и V были целыми, является одинаковая четность чисел Nⁿ и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа U и V были целыми, является делимость числа Nⁿ на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nⁿ. Следовательно, должно быть:
Nⁿ =D·M (11)
где D - натуральное простое или составное число.
С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа U и V, удовлетворяющие условиям уравнения (3).
Отсюда следует:
Следствие 1-е: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.
Следствие 2-е: Число N=2 в степени n≥3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:

Следствие 3-е: Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:

Доказательство теоремы Ферма
С учетом доказанной леммы можно записать:
Nⁿ = Аⁿ = U² – V² (12)
Допустим, что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства:
Nⁿ = D·M =Аⁿ = Сⁿ - Вⁿ = U² – V² (13)
Вⁿ = V²  (14)
Cⁿ = U² =  (15)
В  (16)
C  (17)
В соответствии с формулами (13) и (14) число Вⁿ равно:
Вⁿ =  (18)
Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует:
Cⁿ =  (19)
Из уравнений (18) и (19) имеем:
В  (20)
C  (21)
Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В – целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C – дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.