Министерство образования и науки Украины

Днепропетровский Национальный Университет

Факультет электроники, телекоммуникаций и компьютерных систем

Кафедра АСОИ

Расчётная задача №2

«Исследование операций»

Выполнил:

Ст. группы РС-05

Проверил:

Доцент кафедры АСОИ

Саликов В.А.

г. Днепропетровск

2007г.

Условие задачи

1)Решим графическим методом

Следовательно, оптимальное решение: X1=4/9

Х2=35/9

Минимальное значение целевой функции: Z=55/9

2)Симплекс-метод

В случае, когда одно или несколько ограничений имеют знаки ³ или = невозможно получить решение. Для получения начального допустимого базиса вводят искусственные переменные R1,R2,R3,R4. Поскольку R1,R2,R3,R4 не имеют отношение к содержательной постановке задачи, то за их применение назначается штраф. В ходе решения задачи на заключительной итерации эти переменные должны принять нулевое значение и выйти из базиса.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план.

Приведем задачу к каноническому виду:

Z=5x1+x2 min

Добавим в систему уравнений искусственные переменные R

при ограничениях:

x1 >= 0; x2 >= 0; x3 >= 0; x4 >= 0; x5 >= 0; x6 >= 0; x7 >= 0; x8 >= 0; x9 >= 0; R1 >= 0; R2 >= 0; R3 >= 0; R4 >= 0

Существуют базисные и небазисные переменные.

Включающиеся переменные называются небазисными в данный момент переменными, которые включаются в состав базиса на следующей итерации.

Исключаемые - базисные переменные, которые на следующей итерации подлежат исключению.

На следующем шаге необходимо подставить значение в целевую функцию:

Таким образом, задача в стандартной форме имеет следующий вид:

x1 >= 0; x2 >= 0; x3 >= 0; x4 >= 0; x5 >= 0; x6 >= 0; x7 >= 0; x8 >= 0; x9 >= 0; R1 >= 0; R2 >= 0; R3 >= 0; R4 >= 0

Перенесем члены целевой функции влево

z -5x1-1x2 = 0

Далее задача решается обычным симплекс-методом

Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы, определяют начальное допустимое базисное решение путем приравнивания к нулю n- m небазисных переменных.

Шаг 1. Из числа небазисных переменных (равных нулю) выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает больший по сравнению с остальными рост целевой функции (условие оптимальности). Если такой переменной нет, вычисления прекращаются и полученное решение является оптимальным. В противном случае, переходят к шагу 2.

Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, значение которой быстрее всех стремится к нулю при переходе к новой смежной точке (становящаяся небазисной и равной нулю при введении в базис новой переменной - условие допустимости).

Шаг 3. Определяется новое базисное решение (соответствующее новой смежной точке, т.е. новому составу базисных и небазисных переменных) и осуществляется переход к шагу 1.

Строим симплекс таблицу:

Базис

										Решение	Оценка
Z				0				0	0	0	0	0	0
	-2	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6	6
	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	6	-
	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	7	7
	1	7	-1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	7	1
	2	5	0	0	-1	0	0	0	0	0	1	0	0	10	2
	5	2	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	1	0	10	5
	7	1	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	1	7	7

- ведущий столбец

- ведущая строка

Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение целевой функции

Для определения нового базисного решения (шаг 3) воспользуемся методом Гаусса-Жордана:

А) новая ведущая строка = предыдущая ведущая строка / ведущий элемент;

Б) новое уравнение = предыдущему уравнению – {старый коэффициент ведущего столбца, соответствующий искомому уравнению * новую ведущую строку}

Новая симплекс – таблица будет иметь следующий вид:

Базис														Решение	Оценка
Z		0		0				0	0		0	0	0
		0		1	0	0	0	0	0		0	0	0	5	-
	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	6	6
		0		0	0	0	0	0	1		0	0	0	6	-
		1		0	0	0	0	0	0		0	0	0	1	7
		0		0	-1	0	0	0	0		1	0	0	5
		0		0	0	-1	0	0	0		0	1	0	8

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

1

6

- ведущий столбец

- ведущая строка

В столбцах векторов, входящих в базис, на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляются единицы, а все остальные элементы данных столбцов полагают равными нулю.

В состав таблицы входят столбцы для базисных переменных и всех переменных, входящих в целевую функцию и ограничения, и, кроме того, столбец решений и отношений. Строками таблицы являются строки из коэффициентов при переменных в соответствующих уравнениях для базисных переменных.

Для решения задачи шага 1 из числа небазисных (равных нулю) переменных выбираем включаемую переменную, имеющую наибольший отрицательный коэффициент в z – уравнении (условие оптимальности), т.к. при этом обеспечивается максимальный прирост целевой функции в стандартной форме. Столбец с включаемой переменной становится ведущим.

Исключаемую переменную (шаг 2) определяем по минимальному положительному отношению правой части уравнения к соответствующему коэффициенту ведущего столбца (условие допустимости - обращение в нуль данной переменной в смежной точке). Строка, соответствующая исключаемой переменной, становится ведущей. Далее определяем ведущий элемент таблицы на пересечении ведущего столбца и строки

Во вводимой переменной в задаче минимизации является небазисная переменная, имеющая в Z-уравнении наибольший положительный коэффициент.

Базис														Решение	Оценка
Z	0	0		0				0	0		0	0
	0	0		1	0	0		0	0		0	0
	0	0		0	0	0		1	0		0	0			-
	0	0		0	0	0		0	1		0	0			42
	0	1		0	0	0		0	0		0	0			-
	0	0		0	-1	0		0	0		1	0
	0	0		0	0	-1		0	0		0	1
	1	0		0	0	0		0	0		0	0			42

- ведущий столбец

- ведущая строка

Базис														Решение	Оценка
Z	0	0	0	0				0	0			0
	0	0	0	1		0		0	0	0		0			-
	0	0	0	0		0		1	0	0		0
	0	0	0	0		0		0	1	0		0			-
	0	1	0	0		0		0	0	0		0			28
	0	0	1	0		0		0	0	-1		0
	0	0	0	0		-1		0	0	0		1
	1	0	0	0		0		0	0	0		0			-

- ведущий столбец

- ведущая строка

Базис														Решение	Оценка
Z	0	0	0	0			0	0	0
	0	0	0	1			0	0	0	0			0
	0	0	0	0			0	1	0	0			0		-
	0	0	0	0			0	0	1	0			0
	0	1	0	0			0	0	0	0			0		-
	0	0	1	0			0	0	0	-1			0		-
	0	0	0	0			1	0	0	0			-1
	1	0	0	0			0	0	0	0			0		15

- ведущий столбец

- ведущая строка

Базис

Решение Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -1 0 0 0 0 -1 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Если переменной для включения в базис нет и все коэффициенты при небазисных переменных - отрицательны, то полученное решение оптимально. Таким образом, оптимальное решение задачи имеет вид: , Так как, значение целевой функции, вычисленное симплекс методом, совпало со значением, полученным в результате решения графическим методом, можно сделать вывод, что найденные значения верны. 1. Реферат на тему Социальная коммуникация и ее выражение в справочном консалтинге 2. Курсовая Проектирование технологического процесса механической обработки детали шкив 3. Контрольная работа Комплекс химической индустрии 4. Реферат Незаконное предпринимательство и лжепредпринимательство 2 5. Реферат Графическое оформление обстановки на пожаре и его результатов 6. Реферат Філіпіни 7. Реферат на тему Shooting An Elephant Essay Research Paper ImperialismLacking 8. Курсовая на тему Аудит фінансових інвестицій 9. Реферат на тему Schizophrenia Essay Research Paper Schizophrenia A Life 10. Сочинение Стихотворение Жуковского Песня Bukvasha Правила Контакты