Гіпербола

Визначення 1. Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною величиною, називається гіперболою.

- канонічне рівняння гіперболи.

Досліджуємо форму гіперболи.

1. Знайдемо точки перетинання з осями.

OX: y = 0, , , A(a;0) , B(-a;0).

OY: x = 0, , .

Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.

2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і початку координат.

3. Þ Þ .

Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.

Побудуємо дану криву.

Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а параметр b називається мнимою піввіссю.

Визначення 4. Прямі називаються асимптотами гіперболи.

При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.

Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі називається ексцентриситетом.

.

Визначення 6. Криві елліпс, гіпербола, окружность називаються кривими другого порядку з ексцентриситетом, причому для окружності , для еліпса і для гіперболи . При гіпербола вироджується в дві рівнобіжні прямі.

Задачі з гіперболою

Задача 1. Знайти канонічне рівняння гіперболи.

1 крок. Будуємо креслення відповідно до умов задачі. По визначенню маємо дві точки — фокуси. Відзначимо ці точки на одній горизонталі, назвемо їх . Проведемо через ці точки пряму лінію. Ця лінія буде віссю ОХ. Із середини відрізка проведемо перпендикуляр. Це буде вісь OY. У такий спосіб ми ввели систему координат і тепер кожна точка на площині має координати.

2 крок. Візьмемо поточну точку , тобто лежачу на гіперболі.

3 крок. Робимо необхідні геометричні побудови: з'єднуємо відрізками прямих точку М с фокусами.

4 крок. Зв'яжемо алгебраїчним вираженням координати поточної точки М(x;y) з даними по визначенню гіперболи. Позначимо відстань (фокусна відстань) через 2с. По визначенню гіперболи різниця відстаней від точки М до фокусів є величина постійна незалежно від того, де на гіперболі знаходиться точка М. Позначимо цю відстань через 2а:

Розпишемо відстань по формулі (1). Для цього ми повинні знати координати фокусів (координати точки М — (х;у)). Т.к. відстань те фокуси мають координати Тоді по формулі (1) маємо:

Підставивши ці вираження в рівність (17), одержимо:

.

Цим рівнянням зв'язані координати поточної точки М(х;у) з даними задачі. Отже, воно є рівнянням гіперболи.

5 крок. Спростимо отримане вираження, двічі звівши його в квадрат і позначивши через

(11)

Через громіздкість викладень приводити їхній не будемо. Одержимо:

Ми одержали канонічне рівняння гіперболи. Для неї як і для еліпса існує поняття ексцентриситету, що позначається буквою (епсилон) і характеризує ступінь сплющеності гіперболи. Ексцентриситет обчислюється по формулі:

Побудова гіперболи.

Будуємо прямокутну систему координат. На осі ОХ від початку координат відкладаємо вліво і вправо відрізки а (довільної довжини). А на осі OY — відрізки b. Через точки на осях проводимо прямі, рівнобіжні осям координат. Одержали прямокутник зі сторонами 2а і 2b. Проведемо діагоналі прямокутника. Вони називаються асимптотами гіперболи. Галузі гіперболи як завгодно близько наближаються до асимптотам, але не перетинають їх. Вершини гіперболи знаходяться на відстані а від початку координат вліво і вправо.

Побудуємо галузі гіперболи. Відстань АВ = 2а — називається дійсною віссю гіперболи, CD = 2b — мнимою віссю гіперболи. З рівності (11) випливає, що , тобто з > 0 = ОК і фокуси будуть розташовуватися усередині вісей гіперболи.

2. Побудувати гіперболу і визначити її фокуси й ексцентриситет.

Рішення: Щоб побудувати гіперболу, треба знати параметри а і b, а для цього рівняння гіперболи треба привести до канонічного виду, тобто

Отже ,.

Будуємо прямокутну систему координат, на осі ОХ відкладаємо вліво і вправо від початку координат відрізки 4,2, на осі OY нагору і вниз — відрізки 2,1. Проводимо прямі, рівнобіжні осям координат, одержуємо прямокутник зі сторонами 8,4 і 4,2. Проведемо діагоналі цього прямокутника, це асимптоти гіперболи, креслимо галузі гіперболи.

Знайдемо фокуси. Координати фокусів . Для перебування зі скористаємося співвідношенням (11).

Координати фокусів :

Знайдемо ексцентриситет гіперболи:

. Ексцентриситет гіперболи завжди більше 1.

Використана література:

Математика. Підручник. – К., 2000.

Математичний словник-довідник. – К., 2001.