Работа №1

Случайные события

6 вариант.

Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n = 3/8.

Ответ: вероятность 3/8.
Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n = 7!

Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

Таким образом,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Ответ: Р(А) = 1/5040.
Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

n = 11!;    M = 2!*2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Ответ: Р(А) =1/9979200.
Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

8  ч           Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

6  б           событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно



а) А₁ - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

 Р(А₁) = 560/2002 = 280/1001.

б) А₂ - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В₁ - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

В₂ - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

В₃ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А₂ = В₁  В₂  В_3.

Так как события В₁, В₂ и В₃ несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А₂) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃);



Р(А₂) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

в)  - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:



Р(А₃) = 1 - Р() = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Ответ: Р(А₁) = 280/1001, Р(А₂) = 483/1001, Р(А₃) = 973/1001.
Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.
1 урна          2 урна                    Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями   

5     б            6       б                    являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров                

7     ч            4       ч                    из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания

_____           ______                   по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

   2                    2                          а) А₁ - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

                                                   или все черные.

            Определим для каждой урны всевозможные события:

            В₁ - из первой урны вынуты 2 белых шара;

            В₂ - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

            В₃ - из первой урны вынуты 2 черных шара;

            С₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара;

            С₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

            С₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, А₁ = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р(А₁) = Р(В₁) * Р(С₁) + Р(В₃) * Р(С₃).

            Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂  для первой и второй урн соответственно. Имеем:



            Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

В₁ : m₁₁ =          C₁ : m₂₁ =

B₂ : m₁₂ =     C₂ : m₂₂ =

B₃ : m₁₃ =      C₃ : m₂₃ =

Следовательно,

Р(А₁) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

            б) А₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А₂ = (В₁  С₂  (В₂  С₁);

Р(А₂) = Р(В₁) * Р(С₁) + Р(В₂) * Р(С₂)

Р(А₂) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

            в) А₃ - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

 - среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда



Р() = Р(В₃) * Р(С₃) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А₃) = 1 - Р() = 1 - 7/165 = 158/165.

Ответ: Р(А₁) = 46/495, Р(А₂) = 1/3, Р(А₃) = 158/165.
Задача 1.7. В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные.
Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шар, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.

событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события:

В₁ - в урне было 5 белых шара;

В₂ - в урне было 4 белых и 1 черный шар;

В₃ - в урне было 3 белых и 2 черных шара;

В₄ - в урне был 2 белый и 3 черных шара;

В₅ - в урне было 1 белый и 4 черных шара.

В₆ - в урне было 5 черных шара;

Общее число элементарных исходов



Найдем условные вероятности события А при различных условиях.

                                Р(А/В₁) = 1.

                           Р(А/В₂) = 56/84 = 2/3.

                            Р(А/В₃) = 35/84 = 5/12.

                                Р(А/В₄) = 5/21.

                                Р(А/В₅) = 5/42.

                                  Р(А/В₆) = 1/21.

Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Ответ: Р(А) = 209/504.
Задача 1.9. В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно  (для В₁) и  (для В₂); таким образом Р(В₁) = 3/ 11, Р(В₂) = 8/11.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р(А/В₁) = 0,87 и Р(А.В₂) = 0,52.

Следовательно,

Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Ответ: Р(А) =0,615.
Задача 1.10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М₁=13, М₂=12, и М₃=17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем.
Условные вероятности заданы в условии задачи: Р(А/В₁) = 0,91, Р(А/В₂) = 0,82, Р(А/В₃) = 0,77.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

            Р(В₁) = 13/42 = 0,3095;   Р(В₂) = 12/42 = 0,2857;   Р(В₃) = 17/42 = 0,4048;

            Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

            По формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В₁:

Р(В₁/А) =

Р(В₂/А) =

Р(В₃/А) =

Ответ: Р(В₁/А) = 0,3403,    Р(В₂/А) = 0,2831,   Р(В₃/А) = 0,3766
Работа №2

Случайные величины.

6 - вариант.
Задача 2.1.  В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности р_k, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей р_k. Найти наивероятнейшую частоту.

Задано: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Найти: р₀, р₁, р₂ , ..., р₁₁ и k.                                                                

Используя формулу Бернулли. Значение р₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности р_k - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р₀ = *0,36⁰ * 0,64¹¹ = 0,0073787.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство  

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q knp + p,

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32. np + k = 4,32

Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р₃ является максимальным.

Таблица 1

k	(n-k-1)/ k	рk		k	(n-k-1)/ k	pk
0 1 2 3 4 5	- 11/ 1 10/ 2 9/ 3 8/ 4 7/ 5	0,0073787 0,0456556 0,1284066 0,2166861 0,2437719 0,1919704		6 7 8 9 10 11	6/ 6 5/ 7 4/ 8 3/ 9 2/ 10 1/ 11	0,1079833 0,0433861 0,0122023 0,0022879 0,0002573 0,0000131
					-	0,9926213

Рисунок 1 График вероятностей р_k
Задача 2.2.  В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.
а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

    Найти: Р₇₆₀(330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:





Значение функции j(x)  найдем из таблицы :

j(1,98) = 0,0562,   P₇₆₀(330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.
б) Найти: Р₇₆₀(284<k<330).

Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим:                     







Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р₇₆₀(284<k<330) = Ф(-1,98) - Ф(-5,32) = Ф(5,32) - Ф(1,98) = 0,5 – 0,4761 = 0,0239.
в) Найти: Р₇₆₀(330<k).

Имеем:  х₁ = -1,98,

Р₇₆₀(330<k) = Р₇₆₀(330<k<760) = Ф(29,3) + Ф(1,98) = 0,5 - 0,4761 = 0,9761.

Х	8         12          16         24
Р	0,11     0,14      0,50      0,25

Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим задачу по выборке А. Находим: х_min = 0 и х_max = 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1).
Таблица 1

xi	ni	ni/n	Накопленные частости
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	1 1 1 8 9 8 9 14 10 3 8 1	0,0137 0,0137 0,0137 0,1096 0,1233 0,1096 0,1233 0,1918 0,1370 0,0411 0,1096 0,0137	0,0137 0,0274 0,0411 0,1507 0,274 0,3836 0,5069 0,6987 0,8357 0,8768 0,9864 1,0001
å	73	1,0001	-

         Все относительные частоты вычисляем с одинаковой точностью. При построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси n_i/n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).



Рис. 1. Полигон вариационного ряда выборки А


Рис. 2. Гистограмма вариационного ряда выборки А.

            Эмпирическую функцию распределения F^*(x) находим, используя формулу  и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:



           
При построении графика F^*(x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3).


Рис.3. График эмпирической функции распределения выборки А.
            Вычисление сумм для среднего арифметического и дисперсии по формулам и по вариационному ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле вычисляем среднее арифметическое и дисперсию
Таблица 2



           

Стандартное отклонение Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

            Теперь по выборке В найдем х_min = 288 и х_max = 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3).
Таблица 3

Интервалы	ni	ni/n	Накопленные частости
285-292 292-299 299-306 306-313 313-320 320-327 327-334 334-341 341-348 348-355	4 8 22 36 62 50 33 16 5 1	0,017 0,034 0,093 0,153 0,262 0,211 0,140 0,068 0,022 0,004	0,017 0,051 0,144 0,295 0,557 0,768 0,907 0,975 0,996 1,000
å	237	1,000	-

Рис. 4. Полигон вариационного ряда выборки В.


Рис. 5.  Гистограмма  вариационного ряда выборки В.
            При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси n_i/n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

            Далее учитываем, что в качестве представителя каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).



Рис. 6. График эмпирической функции распределения выборки В.
            Для вычисления среднего арифметического и дисперсии по формулам и по табл. 3 определим с = 316 и k = 7. Суммы вычислим  с помощью табл. 4 (табл. 4).

            По формулам вычисляем среднее арифметическое   и  дисперсию

            Стандартное отклонение  Моду находим  по формуле:

Мо = 313 + 7 × = 317,8.

Таблица 4

Интервал	Середина интервала	ni		ni	()2	()2ni
285-292 292-299 299-306 306-313 313-320 320-327 327-334 334-341 341-348 348-355	289 296 303 310 317 324 331 338 345 352	4 8 22 36 62 50 33 16 5 1	-3,8 -2,8 -1,8 -0,8 0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1	-1114,7 -845,7 -562,7 -265,7 45,3 370,3 709,3 1062,3 1429,3 1810,3	14,9 8,2 3,4 0,7 0,02 1,3 4,6 9,9 17,2 26,4	4299,6 2416,3 1045 227,8 6,5 423,2 1519,9 3338,6 5921,3 9310
å	-	237		2637,9	-	28508,3

           

Медиану находим по формуле: Ме =.
            Задача 3.2.

            По формуле находим несмещенные оценки дисперсии и стандартного отклонения:

n = 73,    S^-2 = 5,8143,     S² = 73/72 × 5,8143 = 5,8951,     S =  = 2,43.
            Для выборки В имеем

 = 393,92,   = 177,47,    n = 237,    S² = 237/236 × 177,47 = 178,222,   S = 13,35.

Несмещенные оценки для первого столбца выборки В получаются аналогично (если эта выборка содержит мало повторяющихся элементов, вариационный ряд можно не составлять).