Задача Построение модели парной регрессии

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………...….….3

1.1. Задача 1

Построение модели парной регрессии…………………………………..5

1.2. Задача 2

Построение модели множественной регрессии………………..……….9

Заключение………………………………………………………....…………...14

Список использованных источников……………………………...…………..16

ВВЕДЕНИЕ

         Эконометрика является одной из основных базовых дисциплин подготовки экономистов и менеджеров. Она позволяет оперативно строить математические модели экономических процессов, по которым можно спрогнозировать как будут изменятся экономические показатели развития рыночной среды. Исходя их этого, контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» является актуальной для моей будущей деятельности.

         Целью работы является получение практических навыков построения экономических моделей.

         Основными задачами работы являются.

1.     Посторонние экономической модели парной регрессии.

2.     Построение экономической модели множественной регрессии.

При построении экономической модели парной регрессии мною были решены следующие частных задачи.

1.     Рассчитаны параметры уравнения линейной парной регрессии.

2.     Оценена теснота связи зависимой переменной с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.     На основе использования коэффициента эластичности выполнена количественная оценка влияния объясняющей переменной на результативную переменную.

4.     Определена средняя ошибка аппроксимации.

5.     с помощью F – Фишера выполнена статистическая оценка надежности моделирования.

При построении экономической модели множественной регрессии мною были решены указанные выше частные задачи и дополнительно выполнена оценка статистической значимости полученных коэффициентов регрессии.

Задача 1

В соответствии с вариантом задания, используя статистический материал, необходимо:

1.     Рассчитать параметры уравнения парной регрессии.

2.     Оценить тесноту связи зависимой переменной с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.     Используя коэффициент эластичности выполнить количественную оценку влияния объясняющей переменной на результативную переменную.

4.     Определить среднюю ошибку аппроксимации.

5.     Оценить с помощью F–критерия Фишера статистическую надежность моделирования.

Таблица 1 – Исходные данные

№ п/п	Область	Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, у.д.е., У	Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, у.д.е., Х
1	Брянская	240	178
2	Калужская	226	201
3	Орловская	232	166
4	Рязанская	215	199
5	Смоленская	220	180
Итого		1133	924

Решение

Для определения неизвестных параметров b₀ и b₁ уравнения парной линейной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

n b₀+ b₁∑X = ∑Y,

b₀∑X + b₁∑X² = ∑XY.

Для решения этой системы вначале необходимо определить значения величин ∑X, ∑Y, ∑X², и ∑XY. Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 2).
Таблица 2 – К расчету коэффициентов регрессии

№	Y_i	X_i	X_i²	X_iY_i
1	240	178	31684	42720
2	226	201	40401	45426
3	232	166	27556	38512
4	215	199	39601	42785
5	220	180	32400	39600
∑	1133	924	171642	209043

Тогда система приобретает вид:

5b₀ + 924b₁ = 1133,

924b₀ + 171642b₁ =209043.

Выражая из первого уравнения b₀ и подставляя полученное выражение во второе уравнение, получим:

b₀ = (1133–924b₁)/5 =226,6–184,8b₁.

924 (226,6–184,8b₁) + 171642b₁ =209043.

Производя почленное умножение и раскрывая скобки, получим:

886,8b₁ = -335,4, откуда b₁ = -0,378 .

Тогда

b₀ = 226,6–184,8b₁= 226,6-184,8×(-0,378)=296,454.

Окончательно уравнение парной регрессии, связывающее средний размер назначенных ежемесячных пенсий (У) с прожиточным минимумом в среднем на одного пенсионера (Х) имеет вид:

У = 296,454-0,378·Х.
Далее оценим тесноту статистической связи зависимой переменной У с объясняющей переменной Х с помощью показателей корреляции и детерминации.

Так как построено уравнение парной линейной регрессии, то определяем линейный коэффициент корреляции по зависимости:

,

где σ_х и σ_у – значения среднеквадратических отклонений соответствующих параметров.

Для расчета линейного коэффициента корреляции выполним промежуточные расчеты:

;

;

;

;

;

;

.

Подставляя значения найденных параметров в формулу, получим:

.

Полученное значение линейного коэффициента корреляции свидетельствует о наличии очень слабой прямой статистической связи между средним размером назначенных ежемесячных пенсий (У) с прожиточным минимумом в среднем на одного пенсионера (Х).

Коэффициент детерминации равен r_ху² = (-0,572)² = 0,327 , что означает, что 32,7% объясняется регрессией объясняющей переменной Х на величину У. Соответственно величина 1–r_ху², равная 67,3%, характеризует долю дисперсии переменной У, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных.

Коэффициент эластичности равен:

.

Следовательно, при изменении величины прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера на 1%, средний размер назначенных ежемесячных пенсий изменяется на -0,308%.
Для определения ошибки аппроксимации воспользуемся расчетными данными таблицы 3.

Таблица 3 – К расчету средней ошибки аппроксимации

№	Y_i	X_i
1	240	178	229,2	0,045
2	226	201	220,5	0,024
3	232	166	233,7	0,007
4	215	199	221,2	0,029
5	220	180	228,4	0,038
∑	1133	924	1133	0,143

Тогда средняя ошибка аппроксимации равна:

.

Полученное значение не превышает (12…15)%, что свидетельствует о несущественности среднего отклонения расчетных данных от фактических, по которым построена эконометрическая модель.
Надежность статистического моделирования выполним на основе F–критерия Фишера.

Теоретическое значение критерия Фишера Fт определяется из соотношения значений факторной D_{факторная} и остаточной D_ост дисперсией, рассчитанных на одну степень свободы по формуле:
.

;

;

где n – число наблюдений, m – число объясняющих переменных (m=1).

Тогда:

.

Критическое значение Fкрит определяется по статистическим таблицам и для уровня значимости α=0,05 равно 10,13. Так как Fт < Fкрит, то нулевая гипотеза не отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается статистически незначимым.

Задача 2

В соответствии с вариантом задания, используя статистический материал, необходимо:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии, пояснить экономический смысл его параметров.

2. Дать сравнительную оценку тесноты связи зависимой переменной с объясняющими переменными с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

3. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия и нулевую гипотезу о значимости уравнения с помощью F–критерия.

4. Оценить качество уравнения посредством определения средней ошибки аппроксимации.

Таблица 4 – Исходные данные

№ п/п	Чистый доход, млн.долл США, У	Оборот капитала, млн.долл. США, Х₁	Использованный капитал, млн.долл. США, Х₂
1	6,6	6,9	83,6
2	6,5	18	6,5
3	2,4	107,9	50,4
4	3,0	16,7	15,4
5	2,4	79,6	29,6
6	1,8	13,8	6,5
7	2,4	64,8	22,7
8	1,6	30,4	15,8
9	1,4	12,1	9,3
10	0,9	31,3	18,9
S	29	352,6	247,3

Решение

Для определения неизвестных параметров b₀, b₁,b₂ уравнения множественной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

nb₀ + b₁∑X₁ + b₂∑X₂ = ∑Y

b₀∑X₁ + b₁∑X₁² + b₂∑X₁X₂ = ∑X₁Y

b₀∑X₂ + b₁∑X₁X₂ + b₂ ∑X₂²= ∑X₂Y.

Для решения этой системы вначале необходимо определить значения величин, которые определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 4).

Таблица 4 – К расчету коэффициентов регрессии

№ п/п	У_i	Х₁_i	Х₂_i	Х₁_iУ_i	Х₂_iУ_i	Х₁_iХ₂_i	Х₁_i²	Х₂_i²
1	6,6	6,9	83,6	45,54	551,76	576,84	47,61	6988,96
2	6,5	107,9	50,4	701,35	327,6	5438,16	11642,41	2540,16
3	2,4	18,8	11,2	45,12	26,88	210,56	353,44	125,44
4	3,0	35,3	16,4	105,9	49,2	578,92	1246,09	268,96
5	2,4	31,5	12,5	75,6	30	393,75	992,25	156,25
6	1,8	13,8	6,5	24,84	11,7	89,7	190,44	42,25
7	2,4	64,8	22,7	155,52	54,48	1470,96	4199,04	501,76
8	1,6	30,4	15,8	48,64	25,28	480,32	924,16	249,64
9	1,4	12,1	9,3	16,94	13,02	112,53	146,1	86,49
10	0,9	31,3	18,9	28,17	17,01	591,57	979,69	357,21
∑	29	352,6	247,3	1247,62	1106,93	9943,31	20721,23	11317,12

Тогда система приобретает вид:

10b₀ + 352,6b₁ + 247,3b₂= 29

352,6b₀ + 20721,23b₁ + 9943,31b₂ = 1247,62

247,3b₀ +9943,31b₁ + 11317,12b₂= 1106,93.

Для решения данной системы воспользуемся методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

→.

После преобразования имеем:

b₀ + 35,26b₁ + 24,73b₂= 2,9

b₁ + 0,148b₂ = 0,027

5020,311b₂=356,725.

Откуда:

b₂= 0,07, b₁ = 0,017, b₀ = 0,57.

Тогда окончательно зависимость чистого дохода от оборота капитала и использованного капитала в виде линейного уравнения множественной регрессии имеет вид:

У = 0,57 + 0,017Х₁ + 0,07Х₂

Из полученного эконометрического уравнения видно, что с увеличением используемого капитала чистый доход увеличивается, и с увеличением оборота капитала чистый доход увеличивается. Кроме того, чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние объясняющей переменной на зависимую переменную. В данном случае величина b₂ больше, чем величина коэффициента b₁, следовательно, используемый капитал оказывает значительно большее влияние на чистый доход, чем оборот капитала.

Для количественной оценки указанного вывода определим частные коэффициенты эластичности:

;

.

Анализ полученных результатов также показывает, что большее влияние на чистый доход оказывает используемый капитал. Так, в частности, при увеличении используемого капитала на 1% чистый доход увеличивается на 0,6 %. В то же время, с ростом оборота капитала на 1% чистый доход увеличивается на 0,21 %.
Теоретическое значение критерия Фишера Fт:

,

Критическое значение Fкрит определяется по статистическим таблицам и для уровня значимости 0,05 равняется 4,74. Так как Fт > Fкрит, то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается статистически значимым.
Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии b₁ и b₂ сводится к сопоставлению численного значения этих коэффициентов с величиной их случайных ошибок m_b₁ и m_b₂ по зависимости:

Рабочая формула для расчета теоретического значения t–статистики имеет вид:

где парные коэффициенты корреляции и коэффициент множественной регрессии рассчитываются по зависимостям:

Тогда теоретические значения t–статистик соответственно равны:

t_b₁=–741,66, t_b₂ = -589,6.

Поскольку критическое значение t–статистики, определенное по статистическим таблицам для уровня значимости 0,05 равно tкрит=2,36, больше по величине обеих значений, то нулевая гипотеза не отвергается, и обе объясняющие переменные являются незначимыми.
Для определения средней ошибки аппроксимации составим таблицу.

Таблица 5 – К расчету средней ошибки аппроксимации

№ п/п	У_i	Х_1i	Х_2i
1	6,6	6,9	83,6	6,54	0,0091
2	6,5	107,7	50,4	5,93	0,088
3	2,4	18,8	11,2	1,67	0,304
4	3,0	35,3	16,4	2,32	0,2267
5	2,4	31,5	12,5	1,98	0,175
6	1,8	13,8	6,5	1,26	0,3
7	2,4	64,8	22,7	3,26	0,3583
8	1,6	30,4	15,8	2,19	0,369
9	1,4	12,1	9,3	1,43	0,0214
10	0,9	31,3	18,9	2,43	1,7
S	29	352,6	247,3	29,01	3,5515

Тогда средняя ошибка аппроксимации равна:

Полученное значение превышает допустимый предел 12-15%, поэтому построенную модель нельзя назвать точной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.     Сформирована экономическая модель в виде линейного уравнения парной регрессии, связывающая величину доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (у) с величиной среднемесячной начисленной заработной платы (х)

2.     На основании анализа численного значения коэффициента корреляции r_xy=-0,572 установлено наличие слабой прямой статистической связи между величиной доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (у) и величиной среднемесячной начисленной заработной платы (ч).

3.     Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением парной регрессии, которая составила 2,86 %. Полученное значение не превышает установленные практикой пределы (12,,,15)%, что свидетельствует о не существенности среднего отклонения расчетных данных от фактических, по которым построена экономическая модель.

4.     С использованием F- критерия установлено, что полученное управление парной регрессии в целом является статистически незначимым, и не адекватно описывает изучаемое явление связи величины доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (У) с величиной среднемесячной начисленной заработной платы (ч).

5.     Сформирована экономическая модель множественной линейной регрессии, связывающей величину чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х₁ и использованным капиталом х₂

6.     Путем расчета коэффициентов эластичности показано, что при изменении оборота капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,21%, а при изменении используемого капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,6%.

7.     С использованием t-критерия выполнена оценка статистической значимость коэффициентов регрессии установило, что обе объясняющая переменная х₁, которые является статистически незначимыми.

8.     С использованием F – критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически значимыми, и адекватно описывает изучаемое явление связи величины чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х₁ и использованным капиталом х₂.

9.     Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением множественной регрессии, которая составила величину 35,5%, превышающую рекомендованных практикой пределов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.     Эконометрика. /под ред. Члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой./ М.: Финансы и статистика, 2001г.

2.     Доугорки К. Введение в эконометрику: пер. с англ. – М.:ИНФРА-М, 2001г.

3.     Эконометрика: курс лекций: Степанов В.Г. – М.:МИЭМП, 2004г.

4.     Практикум по эконометрике: Учебн. Пособие /И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Горденко и др.; под ред. И.И. Елисеевой С Финансы и статистика, 2003г.

5.     Эконометрика: Учебн. Программа для студентов высших учебных заведений /сост.: С.А. Харламов. –М, МИЭМП, 2004г.

Bukvasha