Задача С 1
Жестяная рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. На раму действуют пара сил с моментом М = 100H*м и две силы F₁ = 10H под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная к точке K, и F₄=40H под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная к точке H.
Определить реакции связей в точках A и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м
                                       2 l            l               
Дано:                      X_A                             F₄^’                                                                      X
М = 100 Н * м                    A                          H     
F ₁ = 10 Н                                 F₄^’’                   F₄     F₁^’’             F₁                      l
£ ₁= 30°                                                   K
F ₄ = 40 HF₁^’
L = 0,5 м                                 М                                3l
£ ₄ = 60°                                                2l
                                                                               R_B
X_А, Y_А, R_B                                                                          Д
Рис. С 1.0.
Решение:
Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси XY (начало координат в точке А). На раму действуют следующие силы: 1 и 4, пара сил моментом М и реакция связи A, A, B (реакция неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).
Составляем три уравнения равновесия:
1)                ∑ FKX=0; XA+F4*coς 60 °+ F1*coς 30 °=0
2)                ∑ FKY=0; YA-F4*ςin 60 °+ F1* ςin 30 °+RB=0
3)                ∑ MA (FK)=0;  -F4*ςin 60 °*2l+ F1* ςin 30 °*3l+F1* coς 30 °*l-M+RB*5l=0
Из уравнений (1) находим XA:
XA= -F4* coς 60 °-F1* coς 30 °= -40*0,5-10*0,866= -28,66H
Из уравнения (3) находим RB:
RB= = 
= =
=49,12H
Из уравнения (2) находим YA:
YA=

Проверка:


ð    все силы реакции найдены правильно:
Ответ:



Задача С 2
Однородная прямоугольная плита весом P=5kH со стороны АВ=3l, ВС=2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС! На плиту действуют пара сил с моментом М=6лН*м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения Н, £1=90°с, Д, £2=30°с; при этом силы  и  лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила - в плоскости, параллельной xz, сила - в плоскости параллельной yz. Точки приложения Д и Н находятся в серединах сторон плиты. Определить реакции связей в(.) А и В, С. При окончательных расчетах принять l=0,5м.

                                                                                                        С1
                                                                              Z
Дано:
                                                                      
Y


Рис С 2.0.
Решение:
1)    Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы:  пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на 3 составляющие:  цилиндрического шарнира (подшипника)  - на две составляющие:  (в плоскости перпендикулярной оси подшипника), реакцию  стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут (рис. С 2.0.)
2)    Для определения  составляем равновесия, действующей на плиту пространственной системы сил:
           (1)
                                    (2)
   (3)
    (4)
   (5)
       (6)
Из уравнения (4) находим N:

Из уравнения (5) находим ZB:

Из уравнения (1) находим XA:

Из уравнения (6) находим YB^


Из уравнения (2) находим YA:

Из уравнения (3) находим ZA:

Ответ:
XA= -1,67kH
YA= -29,11kH
ZA= -0,10kH
YB=25,11kH
ZB=2,60kH
N= -5,39kH
Знаки указывают, что силы  направлены противоположно показанным на рис. С 2.0.
Задача К1
Дано:

Три движения точки на плоскости
Найти:
 - уравнение траектории точки
для момента времени
                                  y
                                                                 B
 

                                                                                 
                                                                                                                                             x
Рис. К 1.0.
Решение:
1)                Для определения уравнения траектории исключим из заданных уравнений движения время t:
                    (1)
Преобразуя систему (1), получим:
                        (2)
Поскольку время е входит в аргументы тригометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу:    то есть:

Итак, получаем:
                   (3)
Преобразуя систему (3), получим:
                     (4)
Преобразуем:
Упрощая выражение, получим:
    (5)
Выражение (5) – это уравнение траектории точки. График – парабола с вершиной в точке (0;11) на рис. К.1.0 а
2)                Скорость точки найдем по ее траектории на координатной оси:
  см/с

                                              y
                                      (0;11)
                                                             y=-0,375x²+11
 

                     (-5,4;0)                                    (5,4;0)
                                                                           x
Рис. К 1.0 а
При t=1 сек, находим


При t=t1=1 сек, находим

Находим скорость точки:

3)           Аналогично найдем уравнение точки:

При t=t1=1 сек, находим

При t=t1=1 сек, находим:

Находим ускорение точки:

Найдем касательное ускорение, дифференцируя по времени равенства:


Учитывая найденные значения  при t= 1 сек, получим:

5)Нормальное ускорение определяется по формуле:


6)Радиус кривизны траектории определяется по формуле:

Ответ:

a1=1,73 см/с2
aT=1,07 см/с2
an=1,36 cм/c2
=7,53 см
Задача К2
Дано:
l1=0,4 м
l2=1,2 м
l3=1,4 м
l4=0,8 м
=60°
=60°
=60°
=90°
=120°
4=3с-2
=10с-2
 

Найти:
-?
                                            
                                                      
 

                                                                   2
                                         
                            
                                                                                                                    
           
                                                    O₁
                                                                                                                                                   4
                                                                                                                                   
                                                                                                                                                    O₂
Рис. К2.0.
Решение:
1)                     Строим положение данного механизма в соответствии с заданными узлами (рис К2.0)
2)                     Определяем скорость точки  по формуле:

Точка  одновременно принадлежит стержню . Зная и направление  воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая )

Точка В одновременно принадлежит к стержню 3 те к стержню АВ. При помощи теоремы о проекциях скоростей определяем скорость точки А:

Для определения скорости точки D стержня АВ построим мгновенный центр скоростей для звенья АВ (рис. К 2.0)
Определяем угловую скорость звенья 3 по формуле:
 
Из треугольника АС3В при помощи теоремы синусов определяем С3В:

Т.О., угловая скорость стержня 3 равна:


Скорость точки D стержня АВ определяется по формуле:

С3D определяем при помощи теоремы синусов:

Итак: =
Определяем ускорение точки А.
Т.к., угловая ускорение  известно, то

Найдем нормальное ускорение точки А определяем по формуле:

Ускорение точки А плоского механизма определяется по формуле:

Ответ:


Задача Д1
Дано:
m=2 кг

 

Найти:
x=f(t) – закон движения груза на участке ВС
                                                                           А
                                                                         

                                                                          
          C                            В                         
                       D
            x                                                                        30°
                                               
Рис. D 1.0.

Решение:
1)              Рассмотрим движение груза D на участке АВ, считая груз материальной точкой.
Изображаем груз (в произвольном положении) и действующее на него силы:
. Проводим ось AZ в сторону движения и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
             (1)
      (2)
Далее, находим:
           (3)
Учитывая выражение (3) в (2) получим:
           (4)
                (5)
Принимая g=10ми/с2 получим:


Интегрируем:


Начальные условия:
При t=0;

или
ln(7-0,2* )= C1



При t=t1=2,5сек,  , получим:

2)                Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС, найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью

Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы:
   (рис. D1.0)
Проведем из точки В ось BX и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
          (6)
Т.к.,  то уравнение   (6) примет вид:
            (7)
Разделив обе части равенства на m=2 кг, получим
              (8)
             (9)
Умножим обе части уравнения (9) на  и проинтегрируя, получим:

Учитывая начальные условия:
При

Т.о.,
Умножим обе части равенства на dt и снова интегрируем, получим:


Начальные условия: при
Итак:

Ответ:

Это закон движения груза D в изогнутой трубе АВС.