Задача

Задача на тему Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха Эйлера

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-11-09

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024


© Н.М. Козий, 2008, [UA]
Свидетельство Украины № 25256
о регистрации авторского права
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА
Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
N = A + B,
где: А и В – простые числа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]
Очевидно, что:
- количество членов прогрессии равно N;
- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:
n = 0, 5 N.
Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:
V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]
U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].
Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:
V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]
U0 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].
При этом:
V0i + U0i = N,
где V0i и U0i - iтые члены прогрессий  V0   и   U0.
При n – четном количество членов прогрессии V0 равно количеству членов прогрессии   U0 и равно:
K = 0,5∙n = 0,25·N.       /1/

Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:
V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :
V3 = [0,5 … N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].
Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:
V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]
U0 = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].
При этом:
V0i + U0i = N,
где V0i и U0i - iтые члены прогрессий  V0   и   U0.
При n –нечетном количество членов прогрессии V0 равно количеству членов прогрессии   U0 и равно:
К=0,5·(n+1) = 0,25·(N + 2).              /2/
Количество пар чисел V0i + U0i прогрессий V0  и   U0 равно: П =К.
В общем случае обозначим:
Zpvколичество простых чисел в прогрессии V0;
Zsv -- количество составных чисел в прогрессии V0;
Zpu -- количество простых чисел в прогрессии U0;
Zsu -- количество составных чисел в прогрессии U0;
Пs/v – количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии U0 и простых чисел прогрессии V0;
Пs/u– количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии V0   и простых чисел прогрессии U0;
Пр --  количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из простых чисел прогрессий V0 и  U0.
Очевидно, что:
П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu ;           /3/
Zsv = K - Zpv; Zsu= K - Zpu.
Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:
-для чисел N ≤ 116: Zpv> Zsu;  Zpu > Zsv;
- для чисел N = 118…136:  Zpv=Zsu;  Zpu = Zsv;
- для чисел N≥138: Zpv<Zsu; Zpu < Zsv.
Составим прогрессии V0  и U0 для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv,  Zpu, Zsu, Пs/v, Пs/u, Пр и соотношения между ними как для прогрессий V0  и U0 в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.
ПРИМЕР 1. N=120; n=0,5N =0,5·120 = 60 –четное число.
В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0i равно:
П = К = 0,25·N=0,25∙120 =30.
V0 ={ V01 =[ 1  3  5   7   9   11  13 ] V02 =[ 15  17  19  21 23] V03=[25 27]
U0 ={U01 = [119 117 115 113 111 109 107 ] U02 =[105 103 101 99 97 ] U03=[95 93]
Пр                        *      *   *            *   *     *  
V04 = [ 29  31 ] V05 = [ 33  35 ] V06= [ 37 39 41  43 45 47 ] V07= [ 49 51 53]
U04= [ 91  89 ] U05= [ 87  85 ] U06= [ 83 81 79  77 75 73 ] U07= [ 71 69 67]
Пр        *                      *     *         *               *
V08 = [ 55  57  59 ] }.
U08 = [ 65  63  61 ] }.
Пр            *
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V0  и  U0 в целом имеем:
Zpv =17,   Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v =5,   Пs/v Пs/u ,
Zpu =13,   Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u =1,   Пр = 12.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 17 – 5 = 12;
Ru = Zpu - Пs/u = 13 – 1 = 12.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует:
Rv =Ru = Пр = 12.
Для подпрогрессий V01  и U01 имеем:
Zpv =6,  Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =3,   Пs/v Пs/u,
Zpu =3,  Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 6 – 3 = 3;  Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 3.
Для подпрогрессий V02  и U02 имеем:
Zpv =3,  Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =0,  Пs/v = Пs/u = 0,
Zpu =3,  Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 3 – 0 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 3.
Для подпрогрессий V04  и U04 имеем:
Zpv =2,  Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1,  Пs/v Пs/u,
Zpu =1,  Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 1.
Для подпрогрессий V06  и U06 имеем:
Zpv =4,  Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =1,  Пs/v Пs/u,
Zpu =3,  Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 1 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 3.
Для подпрогрессий V07 и U07 имеем:
Zpv =1,  Zsv =2, Zpv = Zsu, Пs/v =0,  Пs/v Пs/u ,
Zpu =2,  Zsu =1, Zpu = Zsv, Пs/u =1,   Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 2 – 1 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 1.
Для подпрогрессий V08 и  U08 имеем:
Zpv =1,  Zsv =2, Zpv < Zsu, Пs/v =0,  Пs/v = Пs/u = 0,
Zpu =1,  Zsu =2, Zpu < Zsv, Пs/u =0,   Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 1.
ПРИМЕР 2. N=154; n=0,5N =0,5·154= 77 – нечетное число.
В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0i равно:
П = К=0,5(n+1) = 0,25(N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.
V0 ={V01= [ 1   3   5   7   9 ] V02= [ 11  13   15  17  19  21   23] »
U0 ={U01= [153 151 149 147 145] U02= [143 141 139 137  135 133  131 ] »
Пр            *   *                            *            *
V03=[ 25  27  29  31  33  35   37  39] V04=[ 41  43  45  47  49  51  53]
U03=[129 127 125 123 121 119 117 115] U04=[113 111 109 107 105 103 101]
Пр                                         *          *          *
» V05= [55 57 59 61 63 65 67 69]  V06= [ 71  73 ]  V07 = [ 75  77 ] }.
» U05= [99 97 95 93 91 89 87 85]  U06= [ 83  81 ]  U07 = [ 79  77 ] }.
Пр                              *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V0  и  U0 в целом имеем:
Zpv =21,  Zsv =18, Zpv < Zsu, Пs/v =13,  Пs/v Пs/u ,
Zpu =15,  Zsu =24, Zpu < Zsv, Пs/u =7,   Пр = 8.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 21 – 13 = 8; Ru = Zpu - Пs/u = 15 – 7 = 8.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 8.
Для подпрогрессий V01  и  U01 имеем:
Zpv =4,  Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =2,  Пs/v Пs/u ,
Zpu =2,  Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 2.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 2 = 2; Ru = Zpu - Пs/u = 2 – 0 = 2.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 2.
Для подпрогрессий V02  и U02 имеем:
Zpv =5,  Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =3,  Пs/v Пs/u ,
Zpu =3,  Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =1,   Пр = 2.

Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 5 – 3 = 2; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 1= 2.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 2.
Для подпрогрессий V04  и  U04 имеем:
Zpv =4,  Zsv =3, Zpv > Zsu, Пs/v =1,  Пs/v Пs/u ,
Zpu =5,  Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =2,   Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 1 = 3;
Ru = Zpu - Пs/u = 5 – 2 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 3.
Для подпрогрессий V06  и U06 имеем:
Zpv =2,   Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1,   Пs/v Пs/u ,
Zpu =1,   Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 2 – 1 = 1;  Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 1.
Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Zpv, Zsv,  Zpu, Zsu , Пs/v, Пs/u, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V0i + U0i , удовлетворяющие условию:
V0i + U0i = N:
Вариант 1: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/vs/u = 0 (подпрогрессия V02 - U02 для числа N =120);
Вариант 2: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu,  Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v= Пs/u = 0 (подпрогрессияV08 - U08 для числа N =120);
Вариант 3: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu,  Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/vs/u (подпрогрессии V01 - U01, V04 - U04, V06 - U06 для числа N =120 и подпрогрессии V01 - U01, V06 - U06 для числа 154);
Вариант 4: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/vs/u (прогрессия V0- U0 для числа N =120);
Вариант 5: Zpv>Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/vs/u (подпрогрессия V02- U02 для числа N =154);
Вариант 6: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/vs/u (подпрогрессия V07- U07 для числа N =120);
Вариант 7: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/vs/u (подпрогрессия V04- U04 для числа N =154);
Вариант 8: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/vs/u (прогрессия V0- U0 для числа N =154).
В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu , Пs/v, Пs/u.
Значения количества пар Пp простых чисел для некоторых четных чисел N (количества Пp приведены в скобках рядом с числами N):
80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).
Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар Пp простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар Пp для них.
Из изложенного следует, что любое четное число N>4 равно сумме двух и более пар Пp простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:
6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА
Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:
М = A + B + C,
где: A, B и C – простые числа.
При этом:
A B ≠ С
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обозначим:
A + B =N.
Очевидно, что N – четное число.
Тогда:
M = N + C.
Отсюда:
N = M – C.
Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:
M = N + C = A + B + С,
где: A, B и C – простые числа.
При этом:
A B ≠ С
Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик
E-mail: [email protected]
[email protected]

1. Контрольная работа Основы маркетингового исследования
2. Диплом Психофізіологічні особливості молодших школярів після ЧАЕС
3. Реферат на тему Computer Crime Essay Research Paper Computer CrimeOver
4. Реферат Учет затрат и калькулирование себестоимости продукции в системе директ-костинг преимущества
5. Реферат на тему Advertisment Essay Research Paper Advertising is used
6. Курсовая Этические нормы рекламы в Интернете
7. Реферат на тему Детский церебральный паралич понятие этиология симптомы
8. Биография на тему Фомин ИА
9. Реферат на тему William Gilbert Essay Research Paper LIFE AND
10. Курсовая на тему Проект производственных участков швейного предприятия работающего по индивидуальным заказам