Федеральное агентство по образованию

Филиал

Государственное образовательное учреждение  высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

в городе Тула
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Экономико-математические методы и прикладные модели»
Вариант 10
Тула 2009г.


Содержание:

1. Задача 1……………………………………………………….………..3

2. Задача 2………………………………………………………………...7

3. Задача 3………………………………………………………………..13

4. Задача 4………………………………………………………………..17

Список использованной литературы…………………………………..30


Задача 1.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Обозначим через x₁ и x₂ количество напитка «Лимонад» и «Тоник» соответственно (в литрах). Составим математическую модель задачи.
max f () = 0,10x₁ + 0,30x₂
при условии выполнения ограничений:



x₁ ≥0, x₂ ≥0.
Решаем задачу графическим методом:

1600

x2

1600

Областью допустимых решений системы является многоугольник ОАВС.

Построим линию уровня 0,10 x₁  + 0,30 x₂ и вектор .

При перемещении линии уровня в направлении вектора  значении функции   возрастает.  Наибольшее значение достигается в точке B.

B =    (× 100)
B =    


- 4 x₂ = - 800

x₂ = 200

x₁ + 4·200 = 1600

x₁ = 800
B (800; 200)


Проверим правильность расчетов с помощью средств MS Excel:
1. Ввели зависимость для целевой функции и ограничений:

3. Из меню Сервис выберали Поиск решения.

Назначили целевую функцию, ввели ограничения и на вкладке Параметры установили Линейная модель и Неотрицательные значения.

4. Щелкнули Выполнить.

Значит, требуется изготовить 800 л. напитка «Лимонад» и 200 л. напитка «Тоник», что обеспечит получение прибыли 140 ден. ед.

При решении задачи на min линию уровня следует сдвигать в противоположную сторону от вектора .  Наименьшее значение будет достигнуто в точке О (0;0). Значит x₁ = 0, x₂ = 0, . Это значит, что не надо ничего выпускать и прибыль будет равна 0.


Задача 2.

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на единицу продукции			Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
труд	3	6	4	2000
сырье 1	20	15	20	15000
сырье 2	10	15	20	7400
оборудование	0	3	5	1500
цена изделия	6	10	9

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

·            проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

·            определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы;

·            оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

Решение:

1) Обозначим  - план выпуска продукции I, II, III вида соответственно.

Так как требуется получить максимум выручки от реализации готовой продукции, то математическая модель будет иметь вид:

max f () = 6x₁ + 10x₂ + 9x₃

при условии выполнения ряда ограничений:


x₁ ≥ 0, x₂ ≥, 0 x₃ ≥ 0
Решаем задачу симплексным методом.

Вводим дополнительные неотрицательные переменные x₄, x₅, x₆, x₇ и сводим систему ограничений-неравенств к системе уравнений, т.е. приводим задачу к каноническому виду:
max f () = 6x₁ + 10x₂ + 9x₃



x_j ≥ 0, j =
Решим задачу с использованием симплекс-таблицы:

Сj	Базисные переменные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x4	2000	3	6	4	1	0	0	0
0	x5	15000	20	15	20	0	1	0	0
0	x6	7400	10	15	20	0	0	1	0
0	x7	1500	0	3	5	0	0	0	1
	f ()	0	-6	-10	-9	0	0	0	0
9	x3	300	0		1	0	0	0
0	x4	800	3		0	1	0	0	-
0	x5	9000	20	3	0	0	1	0	-4
0	x6	1400	10	3	0	0	0	1	-4
	f ()	2700	-6	-	0	0	0	0
6	x1	140	1		0	0	0		-
9	x3	300	0		1	0	0	0
0	x4	380	0		0	1	0	-
0	x5	6200	0	-3	0	0	1	-2	4
	f ()	3540	0	-	0	0	0		-
6	x1	520	1		0	1	0	-	0
9	x3	110	0	-2	1	-	0		0
0	x5	2400	0	-55	0	-10	1	1	0
0	x7	950	0	13	0		0	-	1
	f ()	4110	0	5	0		0		0

Все оценки свободных переменных положительны, следовательно, найденное опорное решение является оптимальным.

  

max f () = 6·520 + 10·0 + 9·110 = 4110

Решим данную задачу используя средства MS Excel:

1. Ввели исходные данные и указали адреса ячеек, в которые будет помещен результат.


2. Ввели зависимость для целевой функции и ограничений:


3. Из меню Сервис выберали Поиск решения.

Назначили целевую функцию, ввели ограничения и на вкладке Параметры установили Линейная модель и Неотрицательные значения.

4. Щелкнули Выполнить.

Основные переменные показывают, что продукции I вида надо выпускать 520 ед., продукции III вида надо выпускать 110 ед, а продукцию II вида выпускать нецелесообразно.

Проверим как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом x₁ = 520, x₂ = 0, x₃ = 110

 3·520 + 6·0 + 4·110 = 2000

 20·520 + 15·0 + 20·110 = 10400 + 2200 = 16600 < 15000  (*)

 10·520 + 15·0 + 20·110 = 5200 + 2200 = 7400

 0·520 + 3·0 + 5·110 = 550 < 1500

Значение целевой функции при этом плане f () = 4110.
2) Двойственная задача имеет вид:
min f() = 2000y₁ + 15000y₂ + 7400y₃ +1500y₄


y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃ ≥ 0, y₄ ≥ 0
Для нахождения  значений y₁, y₂, y₃, y₄ используем вторую теорему двойственности. Так как второе и четвертое ограничение в (*) выполняются  как строгие равенства, то y₂ = 0, y₄ = 0. Так как x₁ > 0 и  x₃ > 0, то


Решаем систему уравнений:



, , , .

Значение целевой функции равно:

f() = 2000∙+ 7400∙ = 3000+1100 = 4110.

3) При увеличении объема ресурса “труд” на 1 ед. общая стоимости выпускаемой продукции увеличилась бы  на у.е., а при увеличении “сырье 2” на   1 ед. целевая функция увеличится на  у.е.

А ресурсы “сырье 1” и “оборудование” являются недефицитными, поскольку y₂ = 0, y₄ = 0. Более дефицитным является ресурс “труд” (y₁ =), чем “сырье 2” (y₁ =).

Относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением:

, значит 1 ед. ресурса “труд” можно компенсировать 10 ед. ресурса “сырье 2”
4) При увеличение запаса ресурса “сырье 1” на 24 ед. имеем:

- ресурс “сырье 1”  является недефицитным (), значит увеличение запасов этого ресурса не приведет к изменению оптимального плана и значения целевой функции.



f () = 4110
5) a₁ = 8, a₂ = 4, a₃ = 20, a₄ = 6, c = 11

 Определим целесообразность включения в план изделия IV вида:

 

> 0, значит данное изделие выпускать нецелесообразно.

Задача 3.

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий

 Промышленная продукция предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида; второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы A = () (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат, aij			Конечный продукт, y
	1	2	3
1	0,1	0,1	0,2	160
2	0,1	0,2	0,3	180
3	0,1	0,2	0,3	170

Решение:
1. Оценим продуктивность матрицы
A =
Оценку произведем по первому признаку: матрица (E – A) неотрицательно обратима, значит, есть обратная матрица.

В = E – А =  –  =

Используя формулу , находим обратную матрицу с помощью MS Excel:

Получим:

 =

Обратная матрица существует и все ее элементы неотрицательны, значит матрица A – продуктивна.

Найдем вектор Х величин валовой продукции по отраслям используя формулу Х = B×Y, где

В – матрица коэффициентов полных материальных затрат;

Y – вектор столбец конечной продукции.


В результате получили:

.
Таким образом, валовая продукция предприятия

x₁ = 314,52, x₂ = 416,90, x₃ = 406,90.

Распределение продукции между предприятиями:

x_ij = a_ij·x_ij

x₁₁ = 0,1·314,52 = 31,45

x₂₁ = 0,1·314,52 = 31,45

x₃₁ = 0,1·314,52 = 31,45
x₁₂ = 0,1·416,90 = 41,69

x₂₂ = 0,2·416,90 = 83,38

x₃₂ = 0,2·416,90 = 83,38
x₁₃ = 0,2·406,90 = 81,38

x₂₃ = 0,3·406,90 = 122,07

x₂₃ = 0,3·406,90 = 122,07




Задача 4.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

Номер наблюдения (t = 1,2,…,9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
33	35	40	41	45	47	45	51	53

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания α = 0.4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

4. Оценить  адекватность построенных моделей, используя свойства  независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании - критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.
Решение:

1) Используя метод Ирвина проверим наличие аномальных наблюдений:
, где

 - среднеквадратическое отклонение


Выполним все вычисления, используя MS Excel:


В результате получим:


Так как по всем уровням t значение  не превосходит табличное 1,6, то аномальных наблюдений нет.

2) Построим линейную модель вида Y(t) = a₀+a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем по следующим формулам:

;    
Построим следующую таблицу, используя MS Excel:


Получим таблицу:


Уравнение регрессии зависимости Y_t  от t_t  имеет вид: Y(t) = 31,3 + 2,4t
Для получения коэффициентов регрессии можно использовать настройку MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

Воспользуемся пунктом Сервис → Анализ данных → Регрессия:


Результат регрессионного анализа:

Средствами MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а₀=31,3, а₁=2,4, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии и статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии имеет вид: Y(t) = 31,3+ 2,4t

3) Для построения адаптивной модели Брауна воспользуемся схемой адаптивного прогнозирования.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам с помощью метода наименьших квадратов.


;     

;   

а)         

_;   













б)         

_;   






Для того чтобы выбрать лучшее значение α, найдем суммы квадратов отклонений для каждого значения  α.

При α = 0,4



При α = 0,7

Т.к. 38,67 < 65,82, то значение α= 0,4 лучше.

Строим модели:

4) Используя свойство случайности остаточной компоненты (по критерию пиков – поворотных точек) оценим адекватность моделей.


Количество поворотных точек сравнивается с величиной в квадратных скобках:

P >

P >

P > 2

Так как число повторных точек для всех моделей равно 6 и больше 2, то свойство случайности выдержано и все модели считаются адекватными.

Для оценки адекватности моделей используем свойство независимости остаточной компоненты.

Применим метод Дарбина – Уотсона. Критерий рассчитывается по формуле:



Получим:


Для линейной модели:



Для модели Брауна с α = 0,4:



Для модели Брауна с α = 0,7:


Полученные значения сравним с табличными.

Для линейной модели и модели Брауна с α = 0,4 значения d попадают в интервал (d_в; 4 - d_в), т.е. (1,36 < d < 2,64), значит гипотеза о независимости остаточной компоненты принимается.

Значение d модели Брауна с α = 0,7 попадает в интервал (4 – d_н < d < 4), т.е. (2,92 < d < 4), поэтому принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции.
Оценим адекватность моделей, определив соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.

Используем  - критерий, где

R = E_max – E_min  - размах выборки

S =  - среднеквадратическое отклонение

для линейной модели:

E_max = 1,7;  E_min = -3,1

R = 1,7 – (-3,1) = 4,8

S =

=  = 3,2

Расчетное значение  - критерия попадает в интервал [2,7; 3,7], значит гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

Для модели Брауна с α = 0,4:

E_max = 2,0;  E_min = -5,2

R = 2,0 – (-5,2) = 7,2

S =

=  = 3,3

Гипотеза принимается.

Для модели Брауна с α = 0,7:

E_max = 5,3;  E_min = -4,7

R = 5,3 – (-4,7) = 10,0

S =

=  = 3,4

Гипотеза принимается.
5) Для оценки точности моделей применим среднюю относительную ошибку аппроксимации:




Для линейной модели:

E_отн =

Для модели Брауна с α = 0,4:

E_отн =

Для модели Брауна с α = 0,7:

E_отн =

Так как для всех моделей ошибка не превосходит 15%, то их точность считается приемлемой.

6) Доверительный интервал:


Прогноз на неделю вперед:

- линейная модель:



Точечный прогноз:

y = 31,3 + 2,4·10 = 55,3

Интервальный прогноз:

нижняя граница = 55,3 – 1,95 = 53,35

верхняя граница = 55,3 + 1,95 = 57,25
- модель Брауна с α = 0,4:



Точечный прогноз:

y = 52,9 + 2,4·1 = 55,3

Интервальный прогноз:

нижняя граница = 55,3 – 2,9 = 52,4

верхняя граница = 55,3 + 2,9 = 58,2
- модель Брауна с α = 0,7:



Точечный прогноз:

y = 53,0 + 2,7·1 = 55,7

Интервальный прогноз:

нижняя граница = 55,7 – 3,8 = 51,9

верхняя граница = 55,7 + 3,8 = 59,5

Прогноз на две недели вперед:

- линейная модель:



Точечный прогноз:

y = 31,3 + 2,4·11 = 57,7

Интервальный прогноз:

нижняя граница = 57,7 – 2,1 = 55,6

верхняя граница = 57,7 + 2,1 = 59,8
- модель Брауна с α = 0,4:



Точечный прогноз:

y = 52,9 + 2,4·2 = 57,7

Интервальный прогноз:

нижняя граница = 57,7 – 3,0 = 54,7

верхняя граница = 57,7 + 3,0 = 60,7
- модель Брауна с α = 0,7:



Точечный прогноз:

y = 53,0 + 2,7·2 = 58,4

Интервальный прогноз:

нижняя граница = 58,4 – 4,0 = 54,4

верхняя граница = 58,4 + 4,0 = 62,4
Представим графически результаты моделирования и прогнозирования

- для линейной модели:



- для модели Брауна с α = 0,4:



- для модели Брауна с α = 0,7:


Список использованной литературы.
1. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.

2. Экономико-математические методы и прикладные модели. Задания для выполнения контрольной и лабораторной работ. – М.: ВЗФЭИ, 2006. – 40 с.

3.  Экономико-математические методы и прикладные модели. Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. – М.: ВЗФЭИ, 2002. – 104 с.

4. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 391 с.