Задача №1
Исходные данные:

№ наблю-дения	Уровень фактора (или тип региона)
	Кировская область	Архангельск. область	Республика Карелия	Ленинград. Область	Калинингр. область	Псковская область	Новгород-ская область
1	2,90	3,90	4,90	2,10	6,10	7,00	8,00
2	2,10	5,00	3,50	6,90	10,0	10,00	1,00
3	10,30	2,80	4,00	2,00	15,1	12,10	1,10
4	4,90	8,90	3,00	3,10	5,00	5,90	2,00
5	4,00	4,10	1,90	5,90	5,10	6,10	2,00
6	2,90	4,90	1,20	7,90	6,00	5,10	1,10
7	1,10	1,50	4,10	6,10	5,00	6,10	1,19
8	2,30	3,90	3,00	2,70	6,10	8,90	1,10
9	2,00	1,80	2,90	7,00	3,10	5,00	3,19
10		1,00	3,00	5,90	3,00	2,00	5,91
11		1,00	2,50	2,90	5,20	3,10	4,80
12		1,10	3,90	5,00	13,00	10,90	1,00
13		1,01	4,50	5,00	3,00	5,10	0,19
14		1,91	1,91	2,00	2,10	1,00	1,00
15		1,09		1,10		9,00	3,00
16		1,10		1,10		8,10	2,10
17		2,10		1,90		15,9	2,90
18		2,91		2,10		6,20	1,00
19		2,09					2,20
20		3,90
21		2,90
22		2,10
23		2,50

Решение:
1.                Находим сумму квадратов всех наблюдений (Q1), сумму квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце (Q2), квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (Q3).

№ наблю-дения	Квадрат наблюдений
	Кировская область		Архан-гельская. область		Республика Карелия		Ленинград. Область	Калинингр. область	Псковская область		Новго-родская область
1	8,41	15,21		24,01		4,41		37,21		49,00	64,00
2	4,41	25,00		12,25		47,61		100,00		100,00	1,00
3	106,90	7,84		16,00		4,00		228,01		146,41	1,21
4	24,01	79,21		9,00		9,61		25,00		34,81	4,00
5	16,00	16,81		3,61		34,81		26,01		37,21	4,00
6	8,41	24,01		1,44		62,41		36,00		26,01	1,21
7	1,21	2,25		16,81		37,21		25,00		37,21	1,41
8	5,29	15,21		9,00		7,29		37,21		79,21	1,21
9	4,00	3,24		8,41		49,00		9,61		25,00	10,17
10	0	1,00		9,00		34,81		9,00		4,00	34,92
11	0	1,00		6,25		8,41		27,04		9,61	23,04
12	0	1,21		15,21		25,00		169,00		118,81	1,00
13	0	1,02		20,25		25,00		9,00		26,01	0,03
14	0	3,64		3,64		4,00		4,41		1,00	1,00
15	0	1,18		0		1,21		0		81,00	9,00
16	0	1,21		0		1,21		0		65,61	4,41
17	0	4,41		0		3,61		0		252,81	8,41
18	0	8,46		0		4,41		0		38,44	1,00
19	0	4,36		0		0		0		0	4,84
20	0	15,21		0		0		0		0	0
21	0	8,41		0		0		0		0	0
22	0	4,41		0		0		0		0	0
23	0	6,25		0		0		0		0	0
Q1-сумма квадратов												2997,78
кол-во наблю-дений	9	23		14		18		14		18	19	115
Q2	19,759	10,893		11,063		20,223		53,036		62,897	9,256	187,127
												26,068

2.                Вычисляем оценку дисперсии фактора:


3.                Вычисляем оценку дисперсии, связанной со случайностью:

4.                Рассчитываем значение F-статистики (статистики Фишера):

5.                Проверяем значимость фактора (q =0,05; h₁ = K-1; h₂ = N-K)
F = 2,29, так как расчетное меньше табличного, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между сроком окупаемости и типом региона не существенна.
6.                Строим диаграмму средних значений сроков окупаемости для всех рассматриваемых регионов.
Средние сроки окупаемости:

Показатель	Кировская область	Архангельск. область	Республика Карелия	Ленинград. Область	Калинингр. область	Псковская область	Новго-родская область
Ср.срок окупаемости	3,54	2,76	3,17	3,93	6,27	7,08	2,36

  \s
Согласно таблицы и диаграммы самый маленький срок окупаемости инвестиционных проектов сложился в Новгородской области, следовательно, данная область является приоритетной.
Задача 2
Исходные данные:

Моменты времени (дни)	0	20	40	60	80	100	120
	-60	-40	-20	0	20	40	60
Расчет для варианта(убрать)	340+510	400+59	440+610	430+69	520+79	570+710	550+89
У-физ.объем товарооборота (шт.)	850	459	1050	499	599	1280	639

Решение.
1.                Изобразить данные графически.
\s
2.                Составить уравнение линейной регрессии.
3.                Для расчета параметров уравнения регрессии (y_t = a₀ + a₁t) составляем вспомогательную таблицу:

Моменты времени (дни)	У-физ.объем товарооборота (шт.)	t	t^2	y*t	Урасч.	У^2
0	850	-60	3600	-51000	708,24	722500
20	459	-40	1600	-18360	728,16	210681
40	1050	-20	400	-21000	748,08	1102500
60	499	0	0	0	768	2493001
80	599	20	400	11980	787,92	358801
100	1280	40	1600	51200	807,84	1638400
120	639	60	3600	38340	827,76	408321
∑	5376	0	11200	11160	5376	6934204

Для нахождения a₀ и a₁ составляем систему уравнений:
∑у =n*a₀ + a₁ ∑t
∑уt =a₀ ∑t + a₁ ∑t²
Так как при t =60мин = 0, ∑t=0, система принимает вид:
5376 =7*a₀
11160 = a₁ *11200
Откуда:
a₀ = 768 и a₁ = 0,996
Уравнение регрессии имеет вид:
y_t = 768 + 0,996 t
Задача 3
Исходные данные:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
	231+8	171+10	291+8	309+10	317+28	362+210	351+8+10	361+10+8
Спрос	239	181	299	319	345	572	369	379

Решение
1.                Находим среднее значение, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов τ=1;2) и частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка.
2.                - среднее значение:
 

 - среднее квадратическое отклонение:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
У	239	181	299	319	345	572	369	379
У-Уср	239	181	299	319	345	572	369	379
(У-Уср)^2	57121	32761	89401	101761	119025	327184	136161	143641
∑(У-Уср)^2	1007055

-                     Найдем коэффициент автокорреляции r(τ) временного ряда (для лага τ=1), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями семи пар наблюдений:

Год	1	2	3	4	5	6	7
Уt	239	181	299	319	345	572	369
Уt+ τ	181	299	319	345	572	369	379

Вычисляем необходимые суммы:
∑ Уt = 239+181+…+369 =2319
∑ Уt² = 239² + 181² + … + 369² = 860449
∑ Уt+ τ = 181+ 299+ … +379 = 2464
∑ У² t+ τ = 181² +299² + … +379² =949934
∑ Уt *Уt+ τ = 239*181 + 181*299 + … + 369*3729=851073
Находим коэффициент автокорреляции:

-                     Найдем коэффициент автокорреляции r(τ) временного ряда (для лага τ=2), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями шести пар наблюдений:

Год	1	2	3	4	5	6
Уt	239	181	299	319	345	572
Уt+ τ	299	319	345	572	369	379

Вычисляем необходимые суммы:
∑ Уt = 239+181+…+572 =1955
∑ Уt² = 239² + 181² + … + 572² = 727253
∑ Уt+ τ = 299+ 319+ … +379 = 2283
∑ У² t+ τ = 299² +319² + … +379² =917173
∑ Уt *Уt+ τ = 239*299 + 181*319 + … + 572*379 =758916
Находим коэффициент автокорреляции:

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка найдем коэффициент автокорреляции между членами ряда У_е+1 и У_е+2:

Год	1	2	3	4	5	6
Уt+ 1	181	299	319	345	572	369
Уt+ 2	299	319	345	572	369	379

Вычисляем необходимые суммы:

∑ Уt+1= 181+299+…+369 =2080
∑ У²t +1= 181² + 299² + … + 369² = 806293
∑ Уt+ 2 = 299+ 319+ … +379 = 2283
∑ У² t+ 2 = 299² +319² + … +379² =917173
∑ Уt+1 *Уt+ 2 = 181*299 + 299*319 + … + 369*379 =807814
Находим коэффициент автокорреляции:

- Найдем частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка:

3.                Найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда, полагая тренд линейным.
4.                Находим коэффициенты для системы нормальных уравнений:




Система нормальных уравнений имеет вид:
8b₀ + 36b₁ = 2703
36b₀ + 204b₁ = 13546
Отсюда находим b₀ = 189,068;b₁ =33,068
Уравнение тренда:
Y_t = 189,068+33,068t
То есть спрос ежегодно увеличивается в среднем на 33.068 ед.
5.                Провести сглаживание временного ряда методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m = 3 года.
6.                у₂ = 1/3 (у₁ + у₂ + у₃) = 1/3 (239+181+299)=239,7
7.                у₃ = 1/3 (у₂ + у₃ + у₄) = 1/3 (181+299+319)=266,3
У₄ =1/3(у₃+ у₄+ у₅)=1/3(299+572+345)=405.3
У₅ =1/3(y₄+y₅+y₆)=1/3(319+345+572)=412
У₆=1/3(у₅ + у₆ + у₇₎=1/3(345+572+369)=428,7
У₇=1/3(у₆ + у₇ + у₈₎=1/3(572+369+379)=440
В результате получим сглаженный ряд:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
Уt	-	239,7	266,3	405,3	412,0	428,7	440,0	-

8.                Дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар в момент времени t=взятый год. (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели).
По полученному выше уравнению регрессии Y_t = 189,068 + 33,068t оценим условное математическое ожидание. Оценкой у(9) является групповая средняя:

У_t=9 = 189,068 + 33,068*9 =486,68(ед)
Составим вспомогательную таблицу для оценки дисперсии.

Год	У	Уt	еt = У-Уt	et-1	et *et-1	et ^2
1	239	222,1	16,9	0,0	0,0	285,6
2	181	252,2	-74,2	16,9	-1253,98	5505,6
3	299	288,3	10,7	-74,2	-793,94	114,5
4	319	321,3	2,3	10,7	24,6	5,3
5	345	354,4	-9,4	2,3	-21,62	88,4
6	572	387,5	184,5	-9,4	-1734,3	34040,3
7	269	420,5	-51,5	184,5	-9501,8	2652,3
8	379	453,6	-74,6	-51,5	384,19	5565,2
					9439,02	48257,2

Вычислим оценку s² дисперсии  QUOTE   ^

Вычислим оценку дисперсии групповой средней:


Значение t_0.95;6 = 2,45, критерий Стьюдента. Теперь находим интервальную оценку прогноза среднего значения спроса:
486,68 – 2,45*69,76 ≤у(9)≤ 486,68+2,45*69,76
Или
315,77≤у(9)≤ 657,59
Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения вычислим дисперсию его оценки:


Теперь находим интервальную оценку:
486,68-2,45*113,69 ≤ у^* (9) ≤ 486,68+2,45*113,69
Или
208,14 ≤ у^* (9) ≤ 765,22
Вывод:
Следовательно, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на 9-й год будет заключено от 315,77 до 657,59 (ед.), а его индивидуальное значение – от 208,14до 765,22 (ед.)