Разработка модели обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе
Выпускная квалификационная работа
по специальности 050201 «Математика»

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДУЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ
1.1 АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ПРОБЛЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1.2 СУЩНОСТЬ МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
1.3 ПРИНЦИПЫ МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ И УСЛОВИЯ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ
1.4 ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНО-ВОСПИТАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
1.5 МОДУЛЬНОЕ СТРУКТУРИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ
Глава 2. РАЗРАБОТКА МОДУЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ В СИСТЕМЕ ШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
2.1 МОДЕЛЬ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНОМУ КУРСУ СТЕРЕОМЕТРИИ НА МОДУЛЬНОЙ ОСНОВЕ
2.2 ОРГАНИЗАЦИЯ ВНЕДРЕНИЯ РАЗРАБОТАННОЙ МОДЕЛИ
2.3 АНАЛИЗ ВНЕДРЕНИЯ МОДЕЛИ
2.4 СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНСТАТИРУЮЩЕГО И КОНТРОЛЬНОГО СРЕЗОВ
ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с современными тенденциями развития общества для системы образования все более характерными становятся такие принципиальные новые черты, как динамизм и вариативность.
Традиционная система организации учебно-воспитательного процесса находится в противоречии с законами и закономерностями психофизиологической деятельности человека и теории управления. Классно-урочная система характеризуется многопредметностью и низкой частотностью учебных предметов, что предопределяет постоянную перегрузку ученика и учителя. Ведущим типом учебного занятия остается комбинированный урок, нарушающий логику учебной деятельности и особенно нежелательный в старших классах школы.
Отечественная и зарубежная практика показывает перспективность принципиально иного по организации и технологии модульного обучения, которое характеризуется опережающим изучением теоретического материала укрупненными блоками-модулями, алгоритмизацией учебной деятельности, завершенностью и согласованностью циклов познания и других циклов деятельности. Поуровневая индивидуализация учебной и дифференциация обучающей деятельности создают ситуацию выбора для учителя и ученика и обеспечивают школьнику возможность дальнейшего успешного самообразования и профессионального образования [49].
 Если рассматривать модульную систему организации учебно-воспитательного процесса утилитарно, то обучающая технология будет сведена к следующему: законченность блоков содержания, интеграция видов и форм обучения, каждый учащийся достигает поставленных целей и может самостоятельно работать с предложенной ему индивидуальной учебной программой. Гибкость такой технологии объясняется адаптацией к индивидуальным особенностям обучаемых за счет исходной диагностики знаний, темпа усвоения и индивидуализации обучения.
В подавляющем большинстве случаев использование технологии модульного обучения осуществляется на эмпирической основе, без должной проработки ее научно-методической стороны, исходя только из опыта и здравого смысла преподавателя. Для перехода педагогической системы обучения стереометрии в новое качество необходима дальнейшая разработка теоретико-методологических оснований модульного обучения и вытекающих из них научных средств познания, форм и методов обучения, соответствующих модульной системе [8].
Таким образом, актуальность темы исследования определяется состоянием практики обучения геометрии в системе школьного образования. Она обусловлена необходимостью обоснованного подхода к разработке средств на базе модульных технологий с диагностированием уровней сформированности знаний, умений учащихся на различных этапах формирования геометрических понятий.
Проблема исследования: каковы теоретико-методологические основы процесса обучения стереометрии школьников 10-11-х классов на модульной основе, влияющие на повышение качественного уровня геометрической подготовки учащихся.
Объектом исследования является процесс обучения геометрии в школе на модульной основе.
Предмет исследования: основные организационные и содержательные компоненты модели обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе.
Цель исследования: теоретически обосновать и разработать модель обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе.
В соответствии с поставленной целью была сформулирована следующая гипотеза исследования: овладение школьным курсом стереометрии будет наиболее эффективным при условии внедрения в процесс обучения разработанной нами модели с использованием модульной технологии, позволяющей осуществлять целенаправленное управление формированием и совершенствованием практических навыков учащихся, адаптировать процесс обучения к индивидуально-психологическим особенностям, способствуя тем самым развитию активного и творческого подхода к изучению стереометрии.
Задачи исследования:
1.     Изучить состояние проблемы использования модульного обучения в психолого-педагогической теории и практике.
2.      Выявить в ходе научно-педагогического анализа основные направления и степень разработанности приемов модульного обучения в средней школе.
3.     Раскрыть сущность и принципы модульной технологии, условия ее реализации в процессе обучения стереометрии.
4.     Определить перспективные направления совершенствования процесса овладения курсом стереометрии, способствующие повышению эффективности геометрической подготовки школьников.
5.     Разработать и теоретически обосновать модель обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе.
6.     Определить педагогическую эффективность использования модульной технологии в преподавании стереометрии.
7.     Экспериментально проверить эффективность и результативность разработанной модели обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе.
Теоретико-методологическую базу исследования составляют:
1.     Философские, психолого-педагогические концепции познания как общественно-исторического процесса (Шамовой Т.И., Гараева В.М., Громковой М.Т., Гальпериным П.Я.)
2.     Использование системного подхода в разработке модульного обучения (Андреева М.В., Лебедевой М.Б., Третьякова П.И., Чернилова Н.Г.).
3.     Методология педагогических исследований, в которых рассмотрены закономерности соотношения обучения и развития интеллекта (Апатова Н.В.).
4.     Теоретической базой исследования послужили работы, посвященные тенденциям развития информатики в современной общеобразовательной средней школе: Н.В. Апатовой, Т.Н. Брусенцовой, Я.А. Ваграменко, Ю.А. Гольцмана, Т.Ю. Ильиной, Т.Б. Казиахмедова, М.П. Лапчика, Н.И. Пака, Ю.А. Первина, И.В. Роберт, И.А. Румянцева, И.В. Симоновой, Е.И. Соколовой.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ педагогической и методической литературы; теоретические методы для разработки модели обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе; эмпирические методы для внедрения разработанной модели обучения стереометрии на модульной основе в процесс овладения предметом; математические методы для обработки данных, полученных в ходе внедрения разработанной методики.
Практическая значимость работы заключается в разработке модели обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе и разработке обучающих модулей по темам: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».
Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:
1.     Проведен анализ педагогической, психологической и методической литературы по проблеме исследования, обобщены и систематизированы научные положения в данной области.
2.     Выделены принципы модульного обучения стереометрии.
3.     Разработана методика обучения стереометрии с использованием модели овладения курсом.
Первая глава посвящена теоретическому обоснованию модульной системы обучения. Проанализирована литература по проблеме исследования. Рассмотрены сущность и принципы модульного обучения. А также разработана модель обучения школьному курсу стереометрии.
Во второй главе представлены результаты внедрения разработанной нами модели в процесс обучения стереометрии, анализ проведенных уроков.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДУЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ

1.1 АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ПРОБЛЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Модульное обучение в первоначальном виде зародилось в конце 60-х годов и быстро распространилось в англоязычных странах, прежде всего, в США, Англии и Канаде. Вскоре им заинтересовались и исследователи России. В настоящее время накоплен достаточный материал научных сведений по вопросам модульного обучения, анализу которых посвящен данный обзор.
В основу модульного обучения положено понятие «модуль», характеристика которого в оценке различных исследователей по одним позициям совпадала достаточно близко, а по некоторым имелись существенные различия. Так, в начальный период внедрения модульного обучения в образовательную систему США и Англии в понятие модуля входил определенный набор учебных материалов, что, по мнению П.А. Юцявичене, отождествляется с методом обучения «пакет». При дальнейшем развитии модульного обучения А.А. Гуцински в понятие модуль включает «выражение самостоятельной группы идей (знаний), которые передаются по дидактическим каналам, соответствующим природе знаний». Б. Гольдшмид и М. Гольдшмид понимают модуль как формирование самостоятельной планируемой единицы учебной деятельности [49]. Примерно такой же точки зрения придерживается В.М. Гараев, С.И. Куликов, Е.М. Дурко, вкладывая в понятие модуль общую тему учебного курса или актуальной научной проблемы [12].
В дальнейшем понятие модуля становится более конкретным. Так, В.М. Гараев [12] формулирует понятие модуль как относительно самостоятельную часть определенной системы, несущую функциональную нагрузку, что в обучении соответствует «дозе» информации или действия, достаточной для формирования тех или иных профессиональных знаний и навыков будущего специалиста. По мнению С.И. Самыгина модуль представляет собой логически завершенную часть учебного материала [32]. П.А. Юцявичене характеризует модуль как функциональный узел, который является основным средством модульного обучения, т.е. законченным блоком информации [49]. Ю.А. Устынюк, конкретизируя характеристику содержания модуля, предлагает определить его как самостоятельную тему или раздел курса, в котором рассматривается одно фундаментальное понятие или группа родственных понятий. Аналогично Н.В. Шумякова считает: каждому модулю должна соответствовать глава или раздел учебника.
Мы будем придерживаться следующей точки зрения: модуль – это логически завершенная часть учебного материала.
Анализируя точки зрения исследуемых авторов, можно увидеть различие в обозначениях проблемы модульности: модульное обучение – МО, модульная система обучения – МСО, модульная технология организации обучения, модульная система высшего образования, рейтинговая интенсивная технология модульного обучения – РИТМ, проблемно-модульный вариант, модульно-блочная система, технология модульного обучения – ТМО и т.д.
Первоначально модульное обучение было положено в основу индивидуального обучения. Впоследствии зона применения модульного обучения стала расширяться. Так, П.А. Юцявичене отмечает, что его сущность состоит в том, что обучающийся более самостоятельно может работать с предложенной ему индивидуальной программой, включающей в себя целевой план действий, банк информации и методическое руководство по достижению поставленных дидактических целей. Функции педагога могут варьировать от информационно-контролирующей, до консультативно-координирующей [49].
Основы модульного обучения разработаны П.А. Юцявичене в монографии "Теория и практика модульного обучения". Основополагающей идеей является идея модуля.
В книге П.И.Третьякова [43] излагается сущность модульного обучения. К его ведущим принципам относятся принципы модульности, структуризации содержания обучения на обособленные элементы, динамичности, деятельности, гибкости, осознанной перспективы, разносторонности методического консультирования и паритетности.
Модуль может выступать как программа обучения, индивидуализированная по содержанию, методам, уровню самостоятельности, темпу учебно - познавательной деятельности ученика. В сущностных характеристиках модульного обучения заложено его отличие от других систем обучения [34].
Во-первых, содержание обучения представляется в законченных самостоятельных комплексах (информационных блоках), усвоение которых осуществляется с целью. Дидактическая цель формируется для обучающегося и содержит в себе не только указания на объем изучаемого содержания, но и на уровень его усвоения. Кроме этого каждый ученик получает от учителя советы в письменной форме, как рациональнее действовать, где найти нужный учебный материал.
Во-вторых, меняется форма общения учителя и ученика. Оно осуществляется через модули и плюс личное индивидуальное общение. Именно модули позволяют перевести обучение на субъект - субъективную основу.
В-третьих, ученик работает максимум времени самостоятельно, учится целеполаганию, самопланированию, самоорганизации, самоконтролю, самооценке. Это дает возможность ему осознать себя в деятельности, самому определить уровень усвоения знаний, видеть проблемы в своих знаниях и умениях. Несомненно, что учитель тоже управляет учебно - познавательной деятельностью учащихся через модуль, но это более мягкое, а главное сугубо целенаправленное управление.
В-четвертых, наличие модулей с негативной основой позволяет учителю индивидуализировать работу с отдельными учениками [26].
Далее при оценке модульной системы необходимо отметить ее значимость стимулирования учебно-познавательной активности школьников, организацию познавательной деятельности по овладению научными знаниями, умениями и навыками. Так, по мнению А.Н. Алексюк и С.А. Кашина, при модульной системе обучения «обучаемый значительно более самостоятельно, чем при традиционной системе, может работает по учебной программе, предполагающей наличие плана работы, банка информации и методических указаний по достижению поставленных в обучении целей». С точки зрения П.И. Третьякова и И.Б. Сенновского модульное обучение формирует навыки самообразования: «каждый учащийся достигает поставленных целей и может самостоятельно работать с предложенной ему индивидуальной учебной программой, включающей в себя целевой план действий, банк информации и методическое руководство по достижению поставленных дидактических целей» [43, с. 31]. В этом же контексте характеризуется Е.И. Поповым рейтинговая интенсивная технология модульного обучения (РИТМ), как технология, которая активизирует работу учащихся в течении года и организацию индивидуальной работы в ходе обычных групповых занятий, повышает творческое начало всех участников педагогического процесса, максимально индивидуализирует обучение, обеспечивает интенсификацию и активизацию самостоятельной работы студентов [35]. По мнению В.Ж. Куклина и В.Г. Наводного эта система для школьников обеспечивает постоянную самодиагностику и стимулирование качественной и ритмичной работы, а для преподавателя – непрерывный контроль учебного процесса, диагностику текущего состояния успеваемости с использованием рейтинговой шкалы оценок [22]. Таким образом, модульное обучение является эффективным средством индивидуализации взаимоотношений преподавателя с обучающимися. П.А. Юцявичене отмечает, что «функции педагога могут варьировать от информационно-контролирующей, до консультативно-координирующей» [49, с. 55]. По мнению П.И. Третьякова и И.Б. Сенновского, при модульном обучении информационные функции преподавателя заменяются консультированием и управлением с сохранением его ведущей роли в рамках субъект-субъектных отношений в педагогическом процессе [40]. Анализируя результаты исследования модульного обучения, выявляется широкий спектр целей его внедрения в современную практику школьного образования. В первоначальный период применения модульного обучения его цель А.А. Гуцински определил как «выражение самостоятельной группы идей (знаний)». В процессе дальнейшего развития модульного обучения его цели стали рассматриваться значительно шире. Так, Б. Гольдшмид и М. Гольдшмид понимают реализацию этого принципа как «формирование самостоятельной планируемой единицы учебной деятельности, помогающей обучающемуся достичь строго определенных целей» [49, с. 56]. По мнению А.Н. Алексюк, С.А. Кашина, переход к модульной организации обучения предполагает существенное увеличение удельного веса и значения самостоятельной работы в учебном процессе, что требует значительного повышения самостоятельности, инициативы, творчества, социально-профессиональной активности будущих специалистов. Это обуславливает необходимость реализации новых методических подходов к решению задач педагогического стимулирования учебной активности студентов.

Рис.7

a

а

Доказательство. Пусть плоскость g пересекает параллельные плоскости l и b по прямой а и b соответственно (рис.18). Докажем, то прямая а и b параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости g. Кроме этого, они лежат в непересекающихся плоскостях, отсюда следует, что и подавно не пересекаются. Значит, они параллельны.
Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство (чертеж выполните самостоятельно). Пусть пересекающиеся прямые а₁, а₂ плоскости a соответственно параллельны прямым b₁, b₂ плоскости b. Покажем, что плоскости l и b параллельны. Предположим противное, т.е. что плоскости l и b пересекаются, и пусть с- линия их пересечения. По признаку параллельности прямых и плоскости прямой а₁úú плоскости b, а по свойству параллельности прямой и плоскости она параллельна прямой с. Аналогично прямая а₂ также параллельна прямой с. Таким образом, в плоскости a мы имеем две пересекающиеся прямые, параллельные одной прямой, что невозможно. Полученное противоречие показывает, что неверным было наше предположение о том, что плоскости a и b пересекаются, и, отсюда следует, что они параллельны.
12. Проверьте усвоение теории материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение двух параллельных плоскостей в пространстве.
2. Какие случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве вы знаете?
3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
4. Сформулируйте теорему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей.
13. Примите участие в учебной беседе. Материалы для беседы:
1. Докажите терему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей методом от противного.
2. Верно ли утверждения: «Если прямая лежащая в одной плоскости, параллельна прямой лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны?»
3. Верно ли утверждение: «Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны?»
4. Используя признак параллельности двух плоскостей, укажите параллельные грани на модели параллелепипеда, призмы.
14. Самостоятельно выполните задание, затем проверьте решение
1. Докажите, что через точку, не принадлежащей данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная исходной плоскости.
2. Плоскость a пересекает плоскости по параллельным прямым в и с соответственно. Будут ли плоскости b и g параллельны? Ответ обоснуйте. Сделайте соответствующий чертёж.
3. Докажите, что если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.
15. Самостоятельно оцените, достигли ли цели. Для этого вернитесь на начало модуля и прочтите, какие перед вами стояли цели
16. Выполните контрольные задания
Основной уровень.1. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. 2. Докажите, что для двух скрещивающихся прямых а и в существует единственная пара параллельных плоскостей a и b, таких, что a проходит через а, b проходит через в.
Повышенный уровень. 1. Как могут быть расположены относительно друг друга три плоскости? Рассмотрите два случая: какие-нибудь две плоскости параллельны; среди плоскостей нет параллельных, они попарно пересекаются.
Комплекс дополнительных задач
1. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости a. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости a.
2. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка СС₁, если: а) точка С – середина отрезка АВ и ВВ₁=7см; б) АС : СВ=3: 2 и ВВ₁=20см.
3. Средняя линия трапеции лежит в плоскости a. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость a? Ответ обоснуйте.
4. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.
5. Плоскости α и β пересекаются. Точка A не лежит ни в одной из этих плоскостей. Сколько прямых, параллельных каждой из этих плоскостей, можно провести через точку A?
6. Точка М не ле жит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВМ.
7. Докажите, что если прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она им параллельна.
8. Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.
9. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ: ВС= 4: 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. докажите, что прямая АD пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.
10. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
11. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
12. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что DE=5 см и BD: DA= 2: 3. Плоскость a проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.
13. В трапеции ABCD основание BC равно 12 см. точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К – середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке H, и найдите отрезок KH.
14. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым она пересекается, либо параллельны, либо имеют общую точку.
15. Прямые a и b скрещиваются. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и параллельных прямой b?
16. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и СD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые.
17. Докажите, что если AB и CD скрещивающиеся прямые, то AD и BC также скрещивающиеся прямые.
18. Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости. Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК. Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и АВ=22,5 см, ЕК=27,5 см.
19. Плоскости a и b параллельны, прямая m лежит в плоскости a. Докажите, что прямая m параллельна плоскости b.
20. Две стороны треугольника параллельны плоскости a. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости a.
21. Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.
22. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно. Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².
23. Плоскости a и b параллельны, А – точка плоскости a. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости b, лежит в плоскости a.
24. Плоскости a и b параллельны g. Докажите, что a и b параллельны.
25. Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых?
26. Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна.
27. Параллельные плоскости a и b пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла – соответственно в точках В₁ и В₂. Найдите: а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂=2А₁А, А₁А₂=12 см, АВ₁=5 см; б) А₂В₂ и АА₂, если А₁В₁=18 см, АА₁=24 см, АА₂=1,5 А₁А_2.
28. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А₁, В₁ и С₁, а другую – в точках А₂, В₂ и С₂. Докажите, что треугольники А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ подобны.

Модуль 2. Перпендикулярность прямых. и плоскостей в пространстве»
Цель:
усвоить понятие угла в пространстве, угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве, перпендикулярных прямых в пространстве, сонаправленных лучей, перпендикулярных скрещивающихся прямых;
рассмотреть случаи нахождения угла между скрещивающимися прямыми и теоремы об углах с соноправленными сторонами;
усвоить понятие прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикуляра, высоты пирамиды, прямого цилиндра, ортографического проектирования;
усвоить понятие расстояние между плоскостью и не принадлежащей ей точкой, расстояние между двумя параллельными плоскостями, общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми; рассмотрим теорему об общем перпендикуляре скрещивающихся прямых и факт, что расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точки;
рассмотреть признак перпендикулярности прямой и плоскости; усвоить понятие наклонной к плоскости, угла между наклонной и плоскостью, между отрезком и плоскостью;
рассмотреть теоремы о трёх перпендикулярах, о перпендикуляре, проведённом из точки к плоскости, об угле между наклонной и плоскостью, научится применять полученные знания при доказательстве определенных фактов и при решении задач практического характера.
Освоение данного модуля необходимо для понимания темы и подготовки к восприятию следующего материала. усвоить понятие двугранного угла в пространстве, линейного данного двугранного, угла между двумя пересекающимися плоскостями, перпендикулярных плоскостей, рассмотреть признак перпендикулярности двух плоскостей,

1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Углом в пространстве называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной.
Определение. Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованный лучами этих прямых с вершиной в их точке пересечения.
Определение. Две пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

C1    b1  γ1                               a1

C2    b2 γ2               а2

Определение. Два луча в пространстве называются сонаправленными, если один из них содержит другой или они лежат на параллельных прямых по одну сторону от прямой, соединяющую их вершины.
Теорема. Углы с сонаправленными сторонами равны.
Доказательство. Пусть лучи a₁,b₁ с вершиной в точке C₁ соответственно сонаправленн лучам a₂,b₂ c вершиной в точке С₂. Предположим, что лучи лежат в разных плоскостях g₁,g₂. Случай, когда лучи лежат в одной плоскости, рассматривается в планиметрии. Заметим, что признаку параллельности плоскостей, g₁ и g₂ параллельны. Параллельное проектирование в направлении прямой С₁С₂ на плоскость g₂ переводит лучи a₁,b₁ в лучи a₂,b₂ соответственно. Отсюда следует, что углы, образованные этими лучами, равны.
Следствие. Углы образованные соответственно параллельными прямыми, равны.

b

а

b'

a'

C

Определение. Пусть a и b – скрещивающиеся прямые. Рассмотрим какую-нибудь точку С в пространстве и проведём через неё прямые a', b', параллельные прямым a и b, соответственно. Угол между пересекающимися прямыми a', b' называется углом между скрещивающимися прямыми a и b.
Определение. Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол.
Определение. Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Угол между двумя отрезками – это угол между соответствующими прямыми.
2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Что называется углом в пространстве?
2. Сформулируйте определение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве.
3. Какие пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными?
4. Какие лучи в пространстве являются соноправленными?
5. Как найти угол между скрещивающимися прямыми?
6. Сформулируйте теорему об углах с соноправленными сторонами.
3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. Докажите, что через точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную прямую. Сколько таких прямых можно провести через данную точку?(бесконечно много).
2. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ найдите углы между скрещивающимися прямыми: а) АD и A₁C₁; б) АС₁ и DD₁; a) 45^o; б) tg 4= Ö2.
3. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ докажите перпендикулярность прямых: АD и А₁B₁; АС и B₁D₁; АС и DD₁.
4. Прямые a и b параллельны. Прямые a и c пересекаются под прямым углом. Изобразите взаимное расположение прямых b и c и укажите угол между ними (рассмотрите различные случаи).
4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение
1. Докажите, что пересекающиеся диагонали двух соседних граней куба образуют угол 60^о.
2. Найдите угол между диагональю куба и пересекающим ее ребром куба.

b

С

а

а'

b1

B1

B

D

O

b

b2

B2

3. В правильной четырех угольной пирамиде со стороной основания, равной боковому ребру, найдите угол между стороной основания и скрещивающимися с ней боковым ребром.
6. Проверьте освоение данного модуля, выполните контрольные задания
Основной уровень:1. В пирамиде все грани которого – правильные треугольники, найдите угол между высотами этих треугольников, проведенных к общему ребру. 2. В треугольной призме, боковыми гранями которого являются квадраты, найдите угол между пересекающимися диагоналями боковых граней.
Повышенный уровень: На поверхности куба найдите точки из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.
Литература:
Перельман Я.И. Занимательная геометрия. – М.: ВАП, 1994.
1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости, достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости).Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Доказательство. Пусть прямая а перпендикулярна прямой b₁,b₂ плоскости b, пересекающиеся в точке О. Рассмотрим произвольную прямую b плоскости b.Проведем через точку О прямые a', b' соответственно, параллельным прямым а и b. Для доказательства параллельности прямой а, b, достаточно доказать перпендикулярность прямых a', b'. Для этого в плоскости b проедем прямую, пересекающую прямую b₁, b₂, b' в точках B₁, B₂, B соответственно. Отложим на прямой а' от точки О равные отрезки ОС, ОD и соединим точки C, D с точками B₁,B₂.В треугольнике OB₁C и OB₁D=(по первому признаку равенства треугольников). Отсюда следует, B₁C=B₁D. Аналогично B₂C=B₂D. Треугольник B₁B₂C = треугольнику B₁B₂D (по третьему признаку равенства треугольников). Отсюда следует, угол CB₁B = углу DB₁B. Треугольник B₁BC = треугольнику B₁BD (по первому признаку). Таким образом, BC=BD. Треугольник OBC = треугольнику OBD (по третьему признаку). Отсюда следует, угол BOC = углу BOD=90^o, т. е. а’ перпендикулярна b’.
Определение. Пусть точка А не принадлежит плоскости p. Проведем прямую а, проходящую через эту точку и перпендикулярную p.Точку пересечения прямой а с плоскостью p обозначим О. Отрезок АО называется перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость p.
Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды.
Определение. Ортогональным проектированием называется параллельное проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости. Ясно, что ортогональное проектирование обладает всеми свойствами параллельного проектирования.
Определение. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскости основания.
2. Проверьте освоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Какая прямая называется перпендикулярной плоскости?
2. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3. Какой отрезок называется перпендикулярным?
4.Что называется ортогональным проектированием.
5. Какой цилиндр является прямым?
6. Что называется высотой пирамиды?
3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?
2. Докажите, что в прямоугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
3. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны a, b, c.
4. Докажите, что если прямая а перпендикулярна плоскости a и прямая b параллельна прямой а, то прямая b также перпендикулярна плоскости a.
5. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, боковое ребро b. Найдите высоту h пирамиды.
4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение
1. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде диагональ основания перпендикулярна пересекающему её боковому ребру.
2. Докажите, что если прямая a перпендикулярна плоскости a и плоскость b÷÷a, то прямая а перпендикулярна плоскости b.
3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а найдите расстояние: от вершины А₁ до плоскостей АВС и АВ₁D₁; от вершины А до плоскости ВВ₁D₁.
4. Докажите, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
6. Выполните контрольные задания
Основной уровень:1. Докажите, что через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. 2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания а, высота h. Найдите боковое ребро пирамиды. 3. Докажите, что плоскость a и прямая b, не лежащая плоскости a, перпендикулярные одной и той же прямой а, параллельны.
Повышенный уровень: Что представляет собой геометрическое место точек, расположенных на прямых, проходящих через данную точку на прямой и перпендикулярных этой прямой?
Литература: Никольская И.Л. Семёнов Е.Е. Учимся рассуждать и действовать. – М.: Просвещение, 1989.
1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной также называют отрезок, соединяющей точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром.
Теорема (о трёх перпендикулярах, достаточное условие перпендикулярности двух прямых). Если прямая лежащая в плоскости, перпендикулярной ортогональной проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

a

О

В

А

а

Доказательство. Пусть прямая а плоскости a перпендикулярна проекции ОВ наклонной АВ. Т. к. прямая АО перпендикулярна плоскости a, то АО перпендикулярна прямой а, лежащей в этой плоскости. Поэтому прямая а будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ОВ. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости АОВ, и Þ она будет перпендикулярна наклонной АВ.

О a

В

А

Теорема. Перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче всякой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости.
Доказательство.
Пусть АО перпендикуляр к плоскости a, АВ – наклонная к этой плоскости. Треугольник АОВ – прямоугольный, АО –катет, АВ – гипотенуза отсюда следует, что АО<АВ.
Определение. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с ней прямой угол.

А      а

O                В         C           п

a

b

c

Теорема. Угол между наклонной и плоскостью является наименьшим из всевозможных углов между этой наклонной и прямыми, лежащими в данной плоскости.
Доказательство.
Пусть а- наклонная к плоскости a, О- их точка пересечения, b- ортогональная проекция наклонной, с- прямая в плоскости a, проходящая через точку О. Требуется доказать, что угол между прямыми а и b меньше угла между прямыми а и с.Для этого на прямой а возьмём точку А, отличную от точки О и ее ортогональную проекцию В. На прямую с отложим отрезок ОС, равный ОВ. На прямую с отложим отрезок ОС, равный ОВ. В треугольниках АОВ и АОС сторона АО- общая, ОВ=ОС, АВ<АС отсюда следует, что угол АОВ меньше угла АОС.
Определение. Углом между отрезком и плоскостью будем называть угол между соответствующей прямой и этой плоскостью.
2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Что называется наклонной к плоскости?
2. Сформулируйте теоремы о трёх перпендикулярах, перпендикуляре, проедённом из точки к плоскости.
3. Что называется углом между наклонной и плоскостью, отрезком и плоскостью.
4. В чём заключается теорема об угле между наклонной и плоскостью?
3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. Докажите утверждение, обратное теореме о трёх перпендикулярах: «Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной».
2. Докажите, что ортогональная проекция наклонной короче ее самой.
3. Точка М равноудалена от всех точек окружности. Верно ли, что она лежит на перпендикуляре к плоскости окружности, проведенной через её центр?
4. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек
4. Самостоятельно выполните задание, затем проверьте решение
1. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ докажите перпендикулярность прямых АС₁ и ВD.
2. Докажите, равные наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, имеют равные ортогональные проекции на эту плоскость.
3. Докажите, что в правильной пирамиде высота h проходит через центр основания.
4. Найдите угол между диагональю куба и плоскостью его основания.
6. Выполните контрольные задания
Основной уровень:1. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде сторона основания перпендикулярна скрещивающемуся с ней ребру. 2. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от трёх данных точек, не принадлежащих одной прямой.
Повышенный уровень: В правильной треугольной пирамиде сторона основания а, боковое ребро b. Найдите угол наклона ребра к плоскости основания.


1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Двугранным углом в пространстве называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла.

β

a1

α

b1

c

b2

a1

β

a

α

b

c

Определение. Пусть a и b-полуплоскости с общей граничной прямой с. рассмотрим плоскость g, перпендикулярную прямой с, и обозначим линии её пересечения с полуплоскостями a и b через а и b соответственно. Угол между этими лучами называется линейным углом данного двугранного угла.
Докажем, что величина линейного угла не зависит от выбора плоскости g.
 Доказательство. Пусть g₁, g₂ – плоскости, перпендикулярные прямой с и пересекающие полуплоскости a и b по лучам а₁, а₂ и b₁, b₂ соответственно. Прямые а₁ и а₂, b₁ и b₂ сонаправлены, так как они перпендикулярны одной и той же прямой с Þ, углы, образованные этими прямыми, равны.
Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. Двугранный угол называется прямым, если его линейный угол прямой.
Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшим из двугранных углов, образованных соответствующими полуплоскостями. Две плоскости называются перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы.
Теорема (признак перпендикулярности двух плоскостей, достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

а

с

β

a

b

Доказательство. Пусть плоскость a проходит через прямую а, перпендикулярную плоскости b, с- линия пересечения плоскостей a и b. Докажем, что a перпендикулярна b. В плоскости b через точку пересечения прямой а с плоскостью b проведём прямую b, перпендикулярную прямой с. Через прямую а и b проведём плоскость g. Прямая с будет перпендикулярна плоскости g, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и b в этой плоскости. Так как прямая а перпендикулярна плоскости b, то угол, образованный а и b, прямой. Он является линейным углом соответствующего двугранного угла отсюда следует, что a перпендикулярна b.
2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение двугранного угла в пространстве.
2. Что называется линейным углом данного двугранного угла?
3. Зависит ли величина линейного угла от выбора плоскости g?
4. Каким является угол между двумя пересекающимися плоскостями?
5. Какие плоскости называются перпендикулярными?
6. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.
3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. В правильной треугольной призме найти угол между боковыми гранями.
2. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол наклона плоскости АВС₁ к плоскости основания.
3. Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой?

S

P

D

A

C

B

Для пирамиды SABCD, в которой ребро SA перпендикулярно основанию (параллелограмм), SP=PC, SA=AD, назовите верные утверждения: угол между плоскостями SAB и DBC прямой; SBC и SAB перпендикуляры; плоскости SAC и DBC перпендикуляры; угол между плоскостями SCD и DBC прямой; плоскости DBC и ASP перпендикулярны; угол между плоскостями SBC и ASP прямой.
4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение
1. Докажите, что пересекающиеся грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны.
2. Докажите, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной плоскости. Сколько таких плоскостей?
3. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она будет перпендикулярна и другой плоскости.
4. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.
6. Выполните контрольные задания
Основной уровень:1. Найдите угол между гранями правильной треугольной пирамиды с равными рёбрами. 2. Докажите, что диагональное сечение АА₁С₁С и BB₁DD₁ куба АBCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярны. 3. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия пересечения первых двух плоскостей будет перпендикулярна третьей плоскости.
Повышенный уровень: Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (угол С=90^о) перегнули по высоте СD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB.
1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Расстояние между плоскостью и не принадлежащей ей точкой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Определение. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от какой-нибудь точки одной плоскости до другой плоскости.
Докажем, что расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точки.

А2

А1

b

a

В1

В2

b

b

a

A

а0

а\

 Доказательство. Пусть даны параллельные плоскости a и b, точки А₁, А₂ плоскости a и их ортогональной проекции В₁, В₂ на плоскость b. Тогда расстояние от точки А₁ до плоскости b равно А₁В₁, а расстояние от точки А₂ до плоскости b равно А₂В₂. четырёхугольник А₁В₁В₂А₂ – прямоугольник Þ А₁В₁=А₂В₂.
Определение. Отрезок, соединяющий точки на скрещивающих прямых и перпендикулярный этим прямым, называется их общим перпендикуляром. Длина общего перпендикуляра, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Теорема. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых существует и единствен.
Доказательство.
Пусть а,b- скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например b, проведём плоскость b, параллельную прямой а. Это можно сделать, проведя прямую а’, параллельную а и пересекающую b. Тогда пересекающие прямые а’, b будут определять искомую плоскость b. Рассмотрим ортогональную проекцию а₀ прямой а на плоскость b. Она пересечёт прямую b в некоторой точке В, которая является ортогональной проекцией некоторой точки А прямой а. Отрезок АВ будет искомым. Действительно, он перпендикулярен плоскости b и, Þ перпендикулярен прямой b и а₀ параллельна а, т. е. он является общим перпендикуляром прямых a и b. Самостоятельно докажите единственность.
2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Что называется расстоянием между плоскостью и не принадлежащей ей точкой?
2. Дайте определение расстояния между двумя параллельными плоскостями.
3. Что является общим перпендикуляром и расстоянием между скрещивающимися прямыми?
4. Сформулируйте теорему об общем перпендикуляре скрещивающихся прямых.
3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. Из точки А, не принадлежащей плоскости a, наклонная к этой плоскости. Определите угол между этой наклонной и плоскостью a, если расстояние от точки А до плоскости a: равно ортогональной проекции наклонной; в два раза меньше самой наклонной.
2. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а найдите расстояние между вершиной А и: ребром CD; диагональю BD; диагональю АС₁.
3. Чему равно расстояние между параллельными гранями куба?
4. Из точки пересечения диагоналей прямоугольника, к его плоскости проведён перпендикуляр. Докажите, что любая точка этого перпендикуляра равноудалена от вершины прямоугольника.
5. Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми являются наименьшим из всевозможных между точками на этих прямых.
4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение
1. Докажите, что плоскости АВ₁D₁ и ВDС₁ куба АBCDA₁B₁C₁D₁ параллельны. Найдите расстояние этими плоскостями, если ребро куба равно а.
2. В прямой четырёхугольной призме, в основании которого ромб со стороной а и острым углом j, найдите расстояние между противоположными боковыми гранями.
3. Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.
4. В правильной треугольной пирамиде с ребром а найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами.
5. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух параллельных прямых. (плоскость, перпендикулярная плоскости данных параллельных прямых и проходящая через прямую, равноудаленную от данных)
5. Самостоятельно оцените, достигли ли цели. Для этого вернитесь на начало модуля и прочтите, какие перед вами стояли цели
6. Выполните контрольные задания
Основной уровень:1. Из точки О пересечения диагоналей ромба АВСD проведён к его плоскости перпендикуляр OS. Докажите, что точка S равноудалена от всех сторон ромба. 2. Для куба АBCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а найдите расстояние между скрещивающимися прямыми: АD иА₁С₁; АС₁ и DD₁; AD и A₁B₁; АС и ВD₁; АС и DD₁; АС₁ и ВD. 3. Докажите, что середины всех отрезков, концы которых принадлежат двум скрещивающимся прямым, лежат в одной плоскости.
Повышенный уровень:1. Докажите, что если прямые параллельны плоскости, то кратчайшее расстояние между этой прямой и всеми прямыми плоскости, ей не параллельными, одно и тоже. 2. Три параллельные между собой прямые не лежат в одной плоскости. Из точки А, принадлежащей первой прямой, проведены перпендикуляры АВ и АС на вторую и третью прямые. Докажите, что длина отрезка ВС служит расстоянием между второй и третьей прямой.
Комплекс дополнительных задач
1. Прямые ОВ и СD параллельные, ОА и СD – скрещивающиеся. Найдите угол между ОА и СD, если: а) ÐАОВ=40°; б) ÐАОВ=135°; в) ÐАОВ=90°.
2. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD и не лежит в плоскости параллелограмма. Найдите угол между а и СD, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.
3. Прямая m параллельна диагонали BD ромба АВСD и не лежит в плоскости ромба. Найдите угол: а) между прямыми m и АС; б) между m и АD, если ÐАВС=128°.
4. В пространственном четырехугольнике АВСD стороны АВ и СD равны. Докажите, что прямые АВ и СD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и АD.
5. Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°.
6. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1. Докажите, что: а) DC^B₁C₁ и АВ^А₁ D₁, если ÐВАD=90°; б) АВ^СC₁ и DD₁^А₁ В₁, если АВ^DD_1.
7. В тетраэдре ABCD известно, что ВС^АD. Докажите, что АD^MN, где M и N – середины ребер АВ и АС.
8. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
9. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СD, если: 1) АВ=3 см, ВС=7 см, АD=1,5 см; 2) ВD=9 см, ВС=16 см; АD=5 см.
10. Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что: а) АВ=DВ; б) АВ=АС, если ОВ=ОС; в) ОВ=ОС, если АВ=АС.
11. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК=b.
12. В треугольнике АВС дано: ÐС=90°, АС=6 см, ВС=8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.
13. Прямая СD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой СD. Известно, что АВ=16Ö3 см, ОК=12 см, СD=16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин А и В треугольника.
14. Докажите, что через любую точку данной прямой можно провести перпендикулярную ей плоскость.
15. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.
16. Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.
17. Прямая PQ параллельна плоскости a. Через точки P и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках P₁ и Q₁. Докажите, что PQ= P₁Q_1.
18. Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a и пересекающие ее соответственно в точках P₁ и Q_1. Найдите P₁Q₁, если PQ=15 см, РP₁=21,5 см, QQ₁=33,5 см.
19. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника MBD, где D – произвольная точка прямой АС.
20. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА=МС, МВ=МD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.
21. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что ÐМВА= ÐМВС=90°, МВ=m, АВ=n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и ВD.
22. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и другая плоскость перпендикулярна этой прямой.
23. Докажите, что если точка Х равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.
24. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.
25. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен φ. Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.
26. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к α перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ÐОАВ=ÐВАС=60°, АО=1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
27. Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.
28. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС=4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ=6 см.
29. Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой α, и притом только одна.
30. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.
31. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, М – середина стороны ВС. Докажите, что МК^ВС.
32. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ=АС=5 см, ВС=6 см, АD=12 см. Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.
33. Прямая СD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что: а) треугольник АВС является проекцией треугольника АВD на плоскость АВС; б) если СH – высота треугольника АВС, то DH – высота треугольника АВD.
34. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF=8 дм, АВ=4 дм.
35. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС=4 см, а СМ=2Ö7 см.
36. Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ=25 см, ÐВАD=60°, ВМ=12,5 см.
37. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости АDМ и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.
38. Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла СВD. Докажите, что если ÐАВС=ÐАВD, причем ÐАВС<90°, то проекцией луча ВА на плоскость СВD является биссектриса угла СВD.
39. Под углом j к плоскости a проведена наклонная. Найдите j, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.
40. Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120°. Найдите ВС.
41. Неперпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой МN. В плоскости b из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости a. Докажите, что ÐАВС – линейный угол двугранного угла АМNС.
42. Двугранный угол равен j. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
43. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.
44. Гипотенкза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости a, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью a и плоскостью треугольника.
45. Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости a, а угол между плоскостями a и АВС равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости a, если АС=5 см, АВ=13 см.
46. Через сторону АD ромба АВСD проведена плоскость АDМ так, что двугранный угол ВАDМ равен 60°. Найдите сторону ромба, если ÐВАD=45° и расстояние от точки В до плоскости АDМ равно 4Ö3.
47. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из них.
48. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
49. Плоскости a и b взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой а, если АМ=m, ВМ=n.
50. Плоскости a и b пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости g. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости g.
51. Общая сторона АВ треугольников АВС и АВD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите СD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренны с гипотенузой АВ.
52. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 1,1,2.
53. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если диагональ грани куба равна m.
54. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D_1. Найдите следующие двугранные углы: а) ABB₁С; б) ADD₁B; в) A₁BB₁К, где К – середина ребра A₁D_1.
55. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
56. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими диагональ куба и диагональ грани куба.
57. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если АC₁=12 см и диагональ ВD₁ составляет с плоскостью грани AA₁ D₁D угол в 30°, а с ребром DD₁ – угол в 45°.
58. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=6 см, ВD=7 см, СD=6 см.
59. Точка находится на расстояниях а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
60. Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА₁ и ВВ₁ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка A₁B₁, если АВ=2 см, СА₁=3 см, СВ₁=7 см и отрезок A₁B₁ не пересекает плоскость треугольника.
61. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА₁ и ВВ₁ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка A₁B₁, если А₁С=4 см, АА₁=3 см, В₁С=6 см, ВВ₁=2 см и отрезок A₁B₁ не пересекает плоскость треугольника.
62. Плоскости a и b перпендикулярны. В плоскости a взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линии пересечения плоскостей) равно 0,5 см. В плоскости b проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая на 1,2 см от нее. Найдите расстояние от точки А до прямой b.
63. Перпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой с. В плоскости a проведена прямая а||с, в плоскости b - прямая b||с. Найдите расстояние между прямыми а и b, если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 см, а между прямыми b и с 0,8 см.

64. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость b и прямая b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости b.

Приложение 5

Модульное построение учебных занятий (уроков) (по П.И. Третьякову)
* Заполняется конкретно по каждому предмету

Номер Ур.-мод. в теме	Номер УЭ (этапа)	Название этапа	Дидактическая задача	Содержа-ние учебного материала*	Рефлексивная деятельность ученика	Деятельность учителя по обеспечению рефлексии	Показатели реального результата решения задач
1	0	Оргмомент	Подготовка учащихся к работе на занятии		Само- и взаимопроверка	Проверка готовности	Полная готовность класса и оборудования
	1	Подготовка к восприятию. Проверка домашнего задания	Установление правильности и полноты выполнения домашнего задания всеми учащимися		Само-организация и самоосмысление учебного материала	Создание настроя на самоорганизацию (через взаимопроверку)	Оптимальное сочетание контроля, самоконтроля и взаимоконтроля для установления правильности выполнения задания
	2	Мотивация	Обеспечение мотивации и принятия учащимися цели учебно-познавательной деятельности		Самоосмысление (через самопостановку цели)	Создание проблемной ситуации, поискового режима для подготовки к восприятию	Осознанное и быстрое включение учащихся в деловой ритм
	3	Подготовка к основному этапу занятия	Актуализация опорных знаний и умений		Самоосмысление и самоопределение (с решением и конструированием)	Создание ситуации брифинга и подготовки для освоения нового через проблемную модель, задачу	Готовность учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основе опорных знаний
	4	Изучение нового материала	Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний и способов действий		Самоосмысление и самоопределение	Изложение материала учителем	Активные действия учащихся с объектом изучения. Максимальное использование самостоятельности в получении знаний
2	1	Первичное закрепление базисного уровня	Установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала		Самоосмысление, самовыражение и самоутверждение	Базисный тест. Определение зоны ближайшего и акту-ального развития. Обучаемость.	Усвоение сущности новых знаний и способов действий на репродуктивном уровне
	2	Коррекция (доводка до базисного уровня)	Выявление пробелов и коррекция		Самоопределение, самовыражение и самоутверждение	Подача материала с учетом зоны ближайшего развития ученика	Ликвидация типичных ошибок и неверных представлений у учащихся
	3	Отработка материала по уроку (систе-матизация, комплексное применение)	Обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации		Самоутверждение, самореализация и саморегуляция (в парах сменного состава)	Использование различных методик КСО	Активная и продуктивная деятельность учащихся по включению части в целое, классификации и систематизации
3	1	Закрепление знаний и умений (уров-невый тест)	Формирование целост-ной системы ведущих знаний по теме, курсу, выделение мировоз-зренческих идей		Самоосмысление, самореализация и саморегуляция	Определение уровня усвоения (обучаемость и обученность)	Самостоятельное выполнение заданий с применением знаний в знакомой и измененной ситуациях
	2	Контроль	Выявление качества и уровня овладения знаниями и способами действий		Самопроверка и взаимопроверка	Экспертный контроль учителя для проведения коррекции	Получение достоверной информации о достижении всеми учащимися планируемых результатов обучения
	3	Коррекция	Коррекция знаний и способов действий		Самокоррекция и взаимокоррекция	Ориентирование на коррекционную работу	Выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция
	4	Анализ (подведение итогов урока и оценка)	Анализ и оценка успешности достижения цели. Определение перспективы последующей работы		Самоанализ достигнутого и самооценка	Общий анализ и оценивание	Адекватность самооценки учащегося оценке учителя
	5	Постановка новой цели к следующему уроку	Обеспечение понимания цели домашнего задания		Самоосмысление	Создание мотивации через анализ достигнутого	Получение учащимися информации о реальных результатах учения, задачах на ближайший урок
4	1	Домашнее задание	Обеспечение понимания содержания и способов выполнения домашнего задания		Самовыбор уровня (вида) задания	Дифференци-рованное домашнее задание	Реализация необходимых и достаточных условий для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися в соответствии с актуальным уровнем их развития

Исследуя вопросы, касающиеся психологической нагрузки учащихся, М.Т. Громкова считает важным, что «система обучения, основанная на продуманном делении изучаемого материала на модули, на сдаче зачета должна быть только тогда, когда ученик готов его сдать, – это кардинальное решение проблемы стрессов, отсевов и поломанных судеб» [14, с.127 – 128].
Продолжая рассматривать основные цели модульного обфчения, можно привести мнение П.И. Третьякова и И.Б. Сенновского, которые выделяют значимой целью формирование у выпускников навыков самообразования. На основе осознанного целеполагания и самополагания предполагается построение всего учебного процесса с иерархией ближних, средних (общие учебные умения и навыки) и перспективных (развитие способностей личности) целей [43]. В.В. Родина целью модульно-блочной системы называет не только систематизацию процесса изучения дисциплины и контроль знаний, но и возможность ранжирования всех учеников по степени освоения ими программы курса, которые приносят в процесс обучения элементы состязательности» [38]. Модульная система обучения несет в себе значительные преимущества в плане активизации учебного процесса, стимулирует систематическую работу над учебным материалом, заставляет регулярно готовить не только практическую, но и лекционную часть курса, что положительно отражается на качестве знаний. Таким образом, модульная система обучения позволяет кардинально улучшить качество подготовки выпускников школы, полнее учитывать требования научно-технического прогресса [45].
Многие исследователи отмечают важность методического обеспечения модульного обучения. В.П. Лапчинская, анализируя применяемую в школах Англии и Швеции модульную систему обучения, отмечает, что конструкция учебного материала обеспечивает каждому обучающемуся достижение поставленных дидактических задач, имеет завершенность содержания учебного материала в модуле и интеграцию разных видов и форм обучения [24]. Такой же точки зрения придерживаются П.И. Третьяков и И.Б. Сенновский, утверждая, что каждый учащийся достигает поставленной цели благодаря предложенной ему индивидуальной учебной программе, «включающей в себя целевой план действия, банк информации и методическое руководство по достижению поставленных дидактических целей» [43, с.31]. Сравнительно глубоко модульную систему обучения разработал П.А. Юцявичене. Согласно его взглядам, общее направление модульного обучения, его цели, содержание и методику организации определяют следующие принципы: модульности, выделение из содержания обучения обособленных элементов, динамичности, действенности и оперативности знаний и их системы, гибкости, осознанной перспективы, разносторонности методического консультирования, паритетности [49]. Анализируя полученные результаты применения модульной системы качестве итогового контроля, О.А. Орчаков и П.Ф. Кубрушко рекомендуют использовать рейтинговую оценку. Надо отметить, что рейтинговая система контроля «красной нитью» проходит практически по всем исследованиям, связанным с применением модульного обучения. Важным фактором в модульном обучении является увеличение числа контрольных точек в ходе изучения той или иной темы, что, с нашей точки зрения, способствует регулярности работы учащихся по освоению программного материала. Этой же цели, как отмечается в ряде исследований, служит и оперативное и гласное отображение результатов, что снижает влияние случайных факторов на итоговый результат. Надо отметить, что материал отдельных модулей может изучаться относительно независимо. Этот вывод сделан на основе анализа опыта модульного обучения в США, когда каждому модулю соответствует глава или раздел учебника.
В понятие «технология» В.М. Монахов вкладывает продуманную модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с обеспечением комфортных условий для учащихся и учителей. При этом подчеркивается, что «любая технология должна гарантировать конечный результат» [33, с. 14]. Разработка этой технологии предполагает, кроме оптимального структурирования тем, проектирование технологических карт, в основу содержания которых положены целеполагание, диагностика, домашние задания и коррекция, разработанные на основе определенной логической структуры. В рассматриваемой технологии предусмотрена дифференциация оценивания степени усвоения учебного материала по сложности заданий на три уровня. Первый уровень – это уровень соответствия знаний государственному требованию стандарта «удовлетворительно». Второй и третий уровни предусматривают в меньшей или большей степени расширение и углубление требований стандарта и аттестуются отметками соответственно «хорошо» и «отлично». Подводя итоги проведенного обзорного анализа по проблеме модульного обучения как средства обучения школьников, можно сделать следующий вывод. Модульное обучение представляет собой, совокупность педагогических условий, определяющих подбор и компоновку на модульной основе содержания, форм, методов и средств обучения, обеспечивающих комфортные субъект-субъектные отношения педагога и студентов в процессе достижения эффективного результата в усвоении научных знаний. В связи с этим под модулем понимается относительно самостоятельная целостная организационно-содержательная единица учебной программы дисциплины, отражающую сущность обучения. Модуль состоит из компонентов, которые являются структурными элементами модульной программы дисциплины и предопределяются ее содержанием. Цель модуля как структурной единицы рабочей программы дисциплины состоит в создании условий для усвоения учащимися научных знаний, умений и навыков. Таким образом, модульное обучение, дает возможность сформулировать ряд задач, которые необходимо решить преподавателю с целью гармоничного развития личности школьников:
– стимулировать учебно-познавательную активность учащихся, организовать познавательную деятельность по овладению научными знаниями, умениями и навыками;
– создать условия для развития мышления, памяти, творческих способностей студентов с учетом индивидуальных особенностей личности [20, 36].
Теоретический анализ литературы по проблеме данного исследования показал, что применение модульного обучения, как одного из вариантов инновационных технологий основано на гуманистических идеях и принципах, посредством которых реализуется личностно-ориентированный подход к профессиональной подготовке специалистов.

1.2 СУЩНОСТЬ МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

Основная задача школы состоит в том, чтобы создать такую систему обучения, которая бы обеспечивала образовательные потребности каждого ученика в соответствии с его склонностями, интересами и возможностями. Для достижения этой цели необходимо кардинально поменять парадигму ученика и учителя в учебном процессе. Новая парадигма состоит в том, что ученик должен учиться сам, а учитель - осуществлять мотивационное управление его учением, т.е. мотивировать, организовывать, консультировать, контролировать. Для решения этой задачи требуется такая технология, которая бы обеспечила ученику развитие его самостоятельности, коллективизма, умений осуществлять самоуправление учебно-познавательной деятельностью. Такой технологией является модульное обучение.
Прежде чем дать определение модульной технологии рассмотрим, что вообще понимается под педагогической технологией. В настоящее время понятие педагогической технологии прочно вошло в педагогический лексикон. Но в его понимании и употреблении существуют большие разночтения. Г.К.Селевко [39] приводит несколько определений педагогической технологии.
·      Технология - это совокупность приемов, применяемых в каком-либо деле, мастерстве, искусстве (толковый словарь).
·      Педагогическая технология - совокупность психолого-педагогических установок, определяющих специальный набор и компоновку форм, методов, способов, приемов обучения, воспитательных средств; она есть организационно-методический инструментарий педагогического процесса (Б.Т.Лихачев).
·      Педагогическая технология - это содержательная техника реализации учебного процесса (В.П.Беспалько).
·      Педагогическая технология - это описание процесса достижения планируемых результатов обучения (И.П.Волков).
·      Технология - это искусство, мастерство, умение, совокупность методов обработки, изменения состояния (В.М.Шепель).
·      Технология обучения - это составная процессуальная часть дидактической системы (М.Чошанов).
·      Педагогическая технология - это продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя (В.М. Монахов).
·      Педагогическая технология - это системный подход создания, применения и определения всего процесса преподавания и усвоения знаний с учетом технических и человеческих ресурсов и их взаимодействия, ставящий своей задачей оптимизацию форм образования (ЮНЕСКО).
·      Педагогическая технология означает системную совокупность и порядок функционирования всех личностных, инструментальных и методологических средств, используемых для достижения педагогических целей (М.В. Кларин) [3].
А вот какое определение педагогической технологии дает Д.Г. Левитес в [25]. Педагогическая технология:
·        рациональная организация деятельности и ее оснастка;
·        последовательность операций, позволяющая получить результат с наименьшими затратами;
·        педагогическая категория, которая позволяет вести обсуждение педагогических проблем на методологическом уровне;
·        внедрение в педагогику системного способа мышления, который позволяет сделать учебный процесс полностью управляемым;
·        упорядоченная система действий, выполнение которых приводит к гарантированному достижению педагогических целей.
Перейдем к рассмотрению модульной технологии.
Модульное обучение возникло как альтернатива традиционному. Оно базируется на деятельностном подходе к обучению. Только то учебное содержание осознанно и прочно усваивается учеником, которое становится предметом его активных действий. При этом учитель должен организовать не эпизодические действия, а систему. Разрабатывая задания для учащихся, учитель должен ориентировать их на цель, организовать действия по ее мотивации, включить в задания самоконтроль и самооценку – все это обеспечит организацию учения как самоуправляемой деятельности.
Оно опирается на теорию развивающего обучения, основы которой заложены Л.С. Выгодским. Именно он выявил две зоны развития: ближайшего и актуального. Если ученик выполняет задание с дозированной помощью других, то он находится в зоне своего ближайшего развития. Под дозированной помощью имеется в виду подбадривание ученика, напоминание, помощь в начале выполнения задания и т. д. В результате то, что сегодня он делает с помощью других, завтра он сможет сделать сам. Тогда же цикл ближайшего развития завершается, и ученик переходит в зону актуального развития [17].
Реализация теории развивающего обучения требует, чтобы ученик постоянно учился в зоне ближайшего развития. В модульном обучении эта теория осуществляется с помощью: дифференциации содержания и дозы помощи ученику; организации учебной деятельности в равных формах: индивидуальной, парной, групповой, в парах сменного состава.
Модульное обучение очень многое использует из программированного обучения. Во-первых, четкие действия каждого ученика в определенной логике; во-вторых, активность и самостоятельность действий; в-третьих, индивидуальный темп; в-четвертых, постоянное подкрепление, которое осуществляется путем сверки хода и результатов деятельности, самоконтроля и взаимоконтроля.
Теория модульного обучения была бы неполной, если бы она не опиралась на рефлексивный подход. Рефлексия – процесс самооценки себя, своих действий, причин успеха и неудач, своего состояния с учетом оценки других. Учитель, составляя задания в модуле, должен начать с цели и завершить контролем и рефлексией каждого ученика по направлениям «я – мы – дело». «Я» – как я себя чувствовал в процессе учения, было ли мне комфортно, с каким настроем я работал, доволен ли я собой. «Мы» – насколько мне было комфортно работать в малой группе, помогал ли я товарищам, или они мне помогали, чего было больше, считаю ли я себя авторитетом в этом вопросе, какие у меня были затруднения в общении с группой. «Дело» – я достиг цели учения, мне этот материал нужен для дальнейшей учебы или на практике, он просто интересен, как мне преодолеть свои затруднения [19].
Модульное обучение является интегрированной педагогической технологией, впитавшей в себя возможности многих научных и практических наработок. Оно может быть использовано как технология, на которую можно перевести весь учебный предмет целиком. Однако целесообразно включать модульные уроки в традиционную систему обучения, усиливая тем самым ее развивающий эффект. Именно оно интегрирует все то прогрессивное, что накоплено в педагогической теории и практике. Из теории поэтапного формирования умственных действий используется самая ее суть - ориентировочная основа деятельности. Кибернетический подход обогатил модульное обучение идеей гибкого управления деятельностью учащихся, переходящего в самоуправление. Накопленные обобщения теории и практики дифференциации, оптимизации обучения, проблемности - все это интегрируется в основах модульного обучения, в принципах и правилах его построения, отборе методов и форм осуществления процесса обучения [47, 53].
Отечественная и зарубежная практика показывает перспективность модульного обучения, которое характеризуется опережающим изучением теоретического материала укрупненными блоками-модулями, алгоритмизацией учебной деятельности, завершенностью и согласованностью циклов познания и других циклов деятельности.
Т.И. Шамова [52] выделяет следующие отличия модульного обучения от других систем обучения:
·     содержание обучения представляется в законченных, самостоятельных комплексах - модулях, одновременно являющихся банком информации и методическим руководством по ее усвоению. Дидактическая цель формулируется для учащегося и содержит в себе указание не только на объем изучаемого содержания, но и на уровень его усвоения;
·     взаимодействие педагога и обучающегося в учебном процессе осуществляется на принципиально иной основе - с помощью модулей обеспечивается осознанное самостоятельное достижение обучающимися определенного уровня предварительного подготовленности к каждой педагогической встрече;
·     сама суть модульного обучения требует неизбежного соблюдения паритетных, субъект-субъектных взаимоотношений между педагогом и обучающимся в учебном процессе.
Поскольку модульное обучение в качестве одной из основных целей преследует формирование у ученика навыков самообразования. весь процесс строится на основе осознанного целеполагания с иерархией ближних (знания, умения и навыки), средних (общеучебные умения и навыки) и перспективных (развитие способностей личности) целей. Осознанность учебной деятельности переводит учителя из режима информирования в режим консультирования и управления. Ведущая роль его сохраняется, но в рамках субъект-субъектных отношений в системе “учитель-ученик”. Данный метод обеспечивает возможность выбора обучаемым пути движения внутри модуля. Учитель освобождается от чисто информационных функций, делегирует модульной программе некоторые функции управления, которые становятся функциями самоуправления.
Модульные программы и модули строятся с целевым назначением информационного материала, с сочетанием комплексных, интегративных и частных дидактических целей, при полноте учебного материала, относительной самостоятельности элементов в модуле, с реализацией обратной связи, при оптимальной передаче информации и методического обеспечения.
Критерии содержания модулей предполагают диагностичность целей, адекватность учебного материала целям, организацию познавательной деятельности и перспективное использование ее результатов, иерархичность структуры опыта и открытость диагностики [37].
Модульная система организации учебно-воспитательного процесса, ориентируясь на развитие ребенка, предполагает в начале каждого цикла деятельности обязательность мотивационного этапа. Взаимосвязанные, они обеспечивают переход от знаний к умениям. Многократно повторяющаяся учебная деятельность учащихся в ходе самостоятельной работы на адекватном и индивидуализированном уровне сложности и трудности учебного материала переводит умения в навыки. На всех этапах учитель выступает как организатор и руководитель процесса, а ученик выполняет роль самостоятельного исследователя последовательности проблем, разрешение которых приводит к заранее определенной структуре знаний, умений и навыков [51].
В статье [18] указывается, что модульное обучение представляет собой переход от информационно-рецептурных систем обучения к развивающему самоуправляемому обучению.
Сущность модульного обучения заключается в том, что ученик самостоятельно (или с помощью учителя) достигает конкретных целей учебно - познавательной деятельности в процессе работы с модулем. Ученик имеет у себя инструкцию, в которой определены:
·  Цель усвоения модуля.
·  Где найти учебный материал?
·  Как овладеть им (выучить, составить конспект, решить задачу и т.д.)?
·  Как проверить правильность выполненной задачи? Контроль (тесты, письменные работы, сообщения и т.д.) определяет степень усвоения учебного материала.
Таким образом, модуль выступает средством модульного обучения, т.к. в него входит: 1) целевой план действий; 2) банк информации; 3) методическое руководство по достижению дидактических целей.
В модульном обучении существует специально созданная учебная программа, состоящая из целевого плана действий, банка информации и методического руководства по реализации дидактических целей. Модульное обучение предоставляет обучающемуся возможность самостоятельно работать с этой программой, используя ее полностью или заменяя отдельные элементы в соответствии с потребностями обучаемого.
Целевой план действий - это последовательность освоения отдельных учебных элементов, модулей внутри целостной модульной программы, позволяющий спланировать достижение результата. Совокупность содержащейся в модулях информации, представленной различными средствами ее передачи, называется информационным банком. Под методическим руководством в модульном обучении понимаются варианты путей освоения учебного материала, включающие рекомендации по использованию различных форм, методов и способов учения, а также тесты для проверки его эффективности.
Модульный подход имеет массу преимуществ по сравнению с традиционным учебным процессом как для учащихся, так и для преподавателей.
Преимущества для учеников:
·  учащиеся точно знают, что они должны усвоить, в каком объеме и что должны уметь после изучения модуля;
·  учащиеся могут самостоятельно планировать свое время, эффективно использовать свои способности;
·  учебный процесс сконцентрирован на ученике, а не на преподавателе.
Преимущества для учителей:
·     учитель имеет возможность концентрировать свое внимание на индивидуальных проблемах обучающихся;
·     учитель своевременно идентифицирует проблемы в обучении;
·     учитель выполняет творческую работу, заключающуюся в стимулировании мышления учащихся, активизации их внимания, мышления и памяти, активизации нужных реакций, оказании всевозможной помощи учащимся.
Основные трудности для учащихся:
·    ученики должны владеть самодисциплиной, чтобы добиваться поставленных целей;
·    ученики должны выполнять большой объем самостоятельной работы;
·    ученики сами несут ответственность за свое обучение.
Основные трудности для учителей:
·   учителям трудно изменить привычный образ мыслей и действий, так как им необходимо отказаться от центральной роли в учебном процессе и стать помощником ученика в достижении поставленных целей;
·   учителю необходимо изменить структуру и стиль своей работы для обеспечения активной, самостоятельной, целеустремленной и результативной работы каждого ученика.
Существуют определенные трудности в использовании модульной технологии. Некоторые учащиеся, не приученные к самостоятельности, не умеющие планировать свое рабочее время, объективно себя оценивать, могут испытывать на модульных уроках определенный психологический дискомфорт. Задача учителя как раз и заключается в том, чтобы помочь таким ученикам путем индивидуального консультирования, дозированной индивидуальной помощи. Уже сегодня можно говорить, что модульная система обучения дает учителю профессиональный рост, возможность самореализации. Но следует иметь в виду, что эта система обучения требует от учителя большой предварительной работы, а от ученика напряженного труда [41,44].

1.3 ПРИНЦИПЫ МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ И УСЛОВИЯ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ

Технология модульного обучения включает в себя модульную программу, состоящую из отдельных частей учебного материала - модулей, принципов модульного обучения, методов обучения и контроля. Остановимся на принципах модульного обучения и педагогических условиях их реализации.
1) Принцип модульности. Сущность данного принципа формулируется из основной идеи модульного обучения - использования модулей как основного средства усвоения учащимися дозы учебной информации. Принцип модульности является основой индивидуализации обучения, поскольку обеспечивает вариативность содержания и способов его усвоения в зависимости от уровня базовой подготовленности учащихся.
Педагогические условия реализации принципа модульности:
·    учебная информация в модуле должна соответствовать требованиям программ общеобразовательной школы;
·    учебная информация, выделенная в модуль, должна представлять собой достаточное описание усваиваемой модели;
·    каждый последующий модуль, предложенный для изучения, не должен опираться информационно на предыдущий;
·    с целью экономии бюджета времени необходимо исключить повторное включение информации в модули, если эта информация не является базой для освоения модели;
·    для оптимального освоения модели во временном отношении и по прочности фиксации знаний и умений следует использовать различные формы и методы обучения в оригинальных сочетаниях;
·    необходимо предоставить учащемуся право выбора способов освоения модели с учетом его индивидуальных особенностей.
2)  Принцип структурирования содержания обучения предполагает деление учебного материала в рамках модуля на структурные элементы, перед каждым из которых становится вполне определенная деятельностная дидактическая цель, а содержание обучения представляется в объеме, обеспечивающим ее достижение.
Педагогические условия реализации принципа структурирования содержания обучения:
·    интегрирующая дидактическая цель (цель конкретного модуля) должна отражать содержание единицы функциональной деятельности учащегося;
·    в структуре интегрирующей цели необходимо выделить ряд частных дидактических целей, определяющих содержание учебных элементов;
·    каждый учебный элемент должен соотноситься с определенным функциональным элементом деятельности;
·    содержание учебных элементов, составляющих модуль, должно полностью обеспечивать достижение всех частных дидактических целей.
3)  Принцип гибкости. Гибкость, как стержневая характеристика модульного обучения означает способность оперативно реагировать и мобильно адаптироваться к изменяющимся условиям.
Педагогические условия реализации принципа гибкости:
·    непрерывное диагностирование деятельности в реальных условиях с целью определения оптимального набора модуля и содержательного наполнения;
·    диагностирование базовой подготовленности обучаемых в начале каждого учебного курса для разработки индивидуальных модульных программ.
4) Принцип оперативности предполагает необходимость организации системы оперативной обратной связи с целью своевременного контроля, коррекции и оценки успешности изучения модуля.
Педагогические условия реализации принципа оперативности:
·      определение для каждого обучающегося наиболее приемлемого комплекса средств (печатных материалов, аудио- и видеокассет, компьютерных программ и баз данных) для работы по индивидуальной модульной программе;
·      обеспечение оперативного контроля качества изучения модуля посредством проведения начального (входного), промежуточного (текущего) и заключительного (выходного) тестирования.
5) Принцип паритетности. Одним из факторов, определяющих успешность в изучении модуля, является уровень субъект-субъектных отношений между педагогом и учащимся. В центре педагогического процесса все чаще оказывается не отношения к объекту, а отношения людей друг к другу по поводу объекта их деятельности. В отличие от классической схемы «педагог - передатчик» - «учащийся - получатель», отводящей учащемуся роль пассивного участника учебного процесса, технология модульного обучения предполагает сотрудничество между педагогом, выступающим в роли консультанта-координатора и учащимся, самостоятельно усваивающим учебный материал.
Педагогические условия реализации принципа паритетности:
·     комплексное методическое обеспечение каждого модуля, позволяющие учащимся самостоятельно и творчески выполнить все задания в соответствии с выбранным темпом;
·     регулярные консультации в ходе работы учащегося по модулю;
·     обеспечение в рамках модульной программы возможности самостоятельного выбора самим учащимся собственной образовательной «траектории» сообразно с его индивидуальными особенностями и образовательными запросами.
Также не менее значимы принципы динамичности, деятельного подхода, осознанной перспективы и разностороннего методического консультирования.
Эффективное применение технологии модульного обучения возможно лишь при условии овладения учителем принципами данного обучения и наличием педагогических условий их реализации.
Важнейшей целью для формирования и развития знаний о картине вселенского мира, представленной биосоциотехническими системами, является создание для обучающихся адаптивного развивающего образовательного пространства. В процессе его проектирования необходимо решить две задачи. Во-первых, задачу системности и объема информации. Во-вторых, задачу применения оптимальной педагогической технологии, основанной на сотрудничестве учителя и ученика.
Практика и передовой опыт убеждают, что только структурированное и дозированное по объему содержание школьного курса наряду с развивающими рефлексивными педагогическими технологиями являются гарантами саморазвития личности. В основу отбора содержания обучения положен принцип системности. Поэтому ведущим является процесс познания человеком мира как системы систем. Отбор учебного материала надо начинать «сверху» - от современной картины мира, которая должна быть сформирована в сознании ученика к моменту окончания школы. Важную роль играют глубина и степень детализации изучаемого материала. Приоритет отдается наиболее типичным научным фактам, в которых сущность как бы просвечивает через внешнюю оболочку явлений. Учитываются возрастные и временные возможности учащихся. Материал изучается в той же самой последовательности, что и отбирается, и обратно той, в которой шло изучение материала наукой [21, 54].

1.4 ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНО-ВОСПИТАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Проектируя развивающее образовательное пространство (предмет, профильный класс, школу и т.д.), необходимо организовать среду, которая обеспечила бы ученику, во-первых, понимание законов функционирования и развития систем различных видов и, во-вторых, обучение деятельности по законам, закономерностям и правилам. Осуществить это можно посредством алгоритмических предписаний и алгоритмов учебной деятельности и обучающих программ.
Программа учебной дисциплины состоит из системы модулей. Их число определяется целями обучения и объемом учебного материала. Модульный подход позволяет структурировать модульные программы по циклам дисциплин и отдельным предметам.
В программу учебного модуля отбираются учебные элементы, которые, будучи представлены в целом и взаимосвязи, образуют логическую структуру. Исходный учебный элемент дифференцируется в производных элементах. Логическая структура содержания предмета ограничена по числу градаций и производных учебных элементов в зависимости от целей и задач подготовки учащихся, выявленных из анализа их будущей деятельности [42].
Процесс конструирования программного содержания идет по следующему алгоритму:
1.     Начальное обобщенное представление об объективном мире, законах развития природной и социальной среды.
2.     Систематизация, конкретизация и углубление представлений и понятий о функционировании и развитии систем различных видов на основе общих и частных законов.
3.     Проектирование и организация практической деятельности учащихся по установлению границ применения законов [10].
Данный путь познания позволяет обеспечить и сохранить в изучаемом содержании его характерные признаки. Только такая сущностная система, запрограммированная в модуле, является основой любой учебной дисциплины. Основываясь на структурировании модульных программ учебных дисциплин по приоритетным целям освоения нового содержания образования, мы вправе говорить о первоочередных курсах, обеспечивающих усвоение учащимися фундаментальных знаний. Только после понимания и осознания сущности развития материального мира как системы можно определить вариации ее проявления в реальном мире, что означает для человека возможность действовать грамотно [54].
Структуры модуля (рис. 1) и рассматриваемой системы адекватны, что позволяет познавать мир через его отраженную картину.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

Система

Цели и учебные задачи

Структура

Результат функционирования

Способ функционирования

Виды связей

Рисунок 1. Структура учебного модуля
Посредством модульной организации учебных занятий учитель передает дозированный учебный материал, ученик самостоятельно осознает, какую информацию и для чего он осваивает по предлагаемому алгоритмическому предписанию.
Вся совокупность действий обучающего и обучаемого, которая приводит последнего к усвоению определенной порции содержания образования с заданными показателями, представляет собой цикл обучения. Согласно точке зрения Н.Ф.Талызиной любой цикл обучения включает[41]:
·    цель (для чего обучать)
·    содержание (чему обучать)
·    процесс усвоения (как обучать).
Процесс усвоения, построенный целиком на деятельности учащихся, при модульной организации обеспечивает глубину и прочность усвоения за счёт раскрытия существенных сторон нового материала и различных форм материализации новых знаний [56]. Очень важно строить процесс обучения в согласии с процессом усвоения:

Этапы обучения.	Этапы усвоения.
Объяснение нового материала.	Проецирование новых знаний на определённые виды познавательной деятельности (показывать использование знаний при решении задач, соответствующих целям обучения)
Формирование знаний и умений.	Изменение качественных состояний в процессе формирования (изменение формы знаний и умений от материализованной до умственной, уровня обобщённости и самостоятельности)

Цикл модульного обучения взаимосвязан с проблемной ситуацией (задачей). Его можно представить так:

Этапы обучения.	Результаты этапов.
Предварительный, первый этапы.	Создаётся мотивация, формируется сознательный интерес субъекта.
Этап объяснения.	Выделяется состав необходимой деятельности.
Этап усвоения знаний.	Овладение видами деятельности.

Структурируя содержание учебного материала на модульной основе, учитель и ученик осознают предмет обсуждения для познания нового. Первостепенная задача учителя в этом нетрадиционном подходе – использование всех нетрадиционных каналов, показ различных точек зрения, явлений и процессов. Для ученика важной представляется роль по осмыслению информации и определению ее значения для дальнейшего практического применения. Модульное обучение необходимо рассматривать в контексте новой организации учебно-воспитательного процесса, каждого учебного занятия.
Большой временной разрыв между отдельными занятиями, вызванный низкой регулярностью, или часточностью, геометрии в учебном плане, в сочетании с микронормированностью учебных программ и частных методик делает желание профессионально и творчески работающего педагога заниматься формированием у учащихся целостных структур познания и деятельности в зоне их ближайшего развития в актуальном времени маловероятным.
Дидактическая технология на начальном этапе дает общетеоретическую схему предмета, лишь постепенно вводя в частности и детали. Из двух возможных путей обучения предпочтение следует отдать схеме перехода от всеобщего к общему и единичному, т.е. схеме, противоположной естественному историческому пути развития науки. Совершенно отличная по структуре схема перехода от единичного к общему и всеобщему имеет принципиально иную методику реализации в дидактическом процессе.
Широко используемая сегодня в общеобразовательной школе схема движения от единичного через неоднократные обобщения и систематизации учебного материала предполагает многократное обращение к повторам решения большого количества задач, заданий и упражнений одного и того же класса, интуитивное нащупывание алгоритмов их решения. В лучшем случае учебная работа строится на использовании набора алгоритмов действий при решении задач одного и того же типа. Такой метод не рассчитан на выявление доминантных связей внутри учебного процесса или между курсами.
Продвижение по учебной схеме от всеобщего через общее к единичному позволяет учителю формировать у учащихся целостную картину предъявляемого материала, подавать его сравнительно большими блоками с опережающим изучением теории, последовательно вводить все более подробную детализацию на основе ранее сообщенной структуры понятий [6]. Дидактический процесс, построенный в соответствии с описанной схемой, потребует пересмотра содержания учебного материала. Цениться будут не отдельные факты, а целостная система базисных понятий и алгоритмов деятельности, достаточная для обеспечения решения одной из основных задач школы – подготовки учащихся к дальнейшему самообразованию. Учебная программа представляет обой совокупность двух частей: стабильного ядра и вариативного дополнения к нему.
Общая структура модуля такова:

№ этапа	Содержание этапа	Основные дидактические задачи этапа
1	Открытие модуля (Входной контроль, постановка проблемы. Сообщение содержания модуля, его основных знаний и умений, тематики творческих заданий.) Программированная лекция	·           Подготовка уч-ся к работе над усвоением новых знаний. ·           Обеспечение мотивации уч-ся. ·           Обеспечение восприятия, осмысливания и первичного запоминания знаний и способов действий.
2	Серия уроков-семинаров репродуктивного характера, где рассматриваются теоретические вопросы и решаются задачи обязательного уровня.	·       Установление правильности и осознанности нового материала. ·       Выявление пробелов и коррекции знаний. ·       Обеспечение усвоения новых знаний, применение их в стандартных ситуациях. ·       Формирование целостной системы ведущих знаний по теме.
3	Серия уроков-практикумов, на которых решаются задачи разного уровня, взятые из творческих работ уч-ся и из общего списка задач модуля.	·       Обеспечение усвоения способов действий в стандартных и измененных условиях ·       Коррекция знаний и способов действий ·       Формирование целостной системы способов действий.
4	Контроль в форме зачета или контрольной работы	·       Выявление качества и уровня овладения знаниями и способами действий
5	Резюме (общение модуля)	·       Коррекция знаний и умений ·       Систематизация знаний ·       Выделение мировоззренческих идей. Определение перспективы.

С помощью учебных модулей обеспечивается осознанное самостоятельное достижение учащимися определенного уровня предварительной подготовленности к уроку.
Если в качестве временной единицы учебного процесса вместо урока выбрать учебную неделю (декаду), а вместо единицы учебного материала – один, два или несколько параграфов – взять учебную тему, то появится реальная возможность основную часть учебного процесса посвятить групповой или даже индивидуальной работе [2].
Относительно уровня сложности и трудности изучаемой темы всех учащихся внутри класса или параллели целесообразно разделить на три группы или соответственно на три потока. Формирование групп (потоков) проводится на основе итогов диагностики степени обучаемости и обученности учащихся, итогов их учебной деятельности, с учетом мнения родителей и выбора-самооценки школьников. Степень обученности диагностируется поуровневым тестированием по учебным предметам.
Если учебный материал представляет собой элемент общего развития учащегося, далек от области его дальнейшей профессиональной деятельности и будет использоваться в минимальном объеме, то такой ученик будет отнесен к первой группе. Для этой категории важна общекультурная направленность предмета, а не набор отдельных навыков. Вторую группу составляют лица, для которых данный учебный предмет будет важным инструментом в их профессиональной деятельности. Для таких ребят необходимо освоение целостной системы знаний и навыков. В третью группу войдут учащиеся, для которых учебная дисциплина будет основой их профессиональной деятельности. Ученики третьей группы должны освоить предмет на самом высокой, творческом уровне сложности.
Учитывая принадлежность школьников к одной из трех групп и соответствующий уровень сложности учебного материала, можно конкретно сформулировать требования учебной программы для текущей диагностики знаний, умений и навыков. Общая картина требований представляется нам в таблице 1 [50].
Реализация поуровневого обучения с дифференциацией групп учащихся обеспечивается соответствующей педагогической технологией на основе индивидуализации учебного труда с использованием современных дидактических приемов.
Обучаемость – восприимчивость к обучению. Обучаемость одного класса по конкретному предмету определяют несколько учителей этого класса для того, чтобы результат был более объективным.
Таблица 1
Уровни учебной деятельности

Уровни дифференциации учебной деятельности	Требования к уровням дифференциации учебной деятельности
1. Общекультурный	Понимание основных, ведущих идей курса, умение их объяснять, умение применять теоретические знания в практической ситуации
2. Прикладной	Глубокое знание системы понятий, умение решать проблемные ситуации в рамках курса
3. Творческий	Умение решать проблемы в рамках курса и смежных курсов посредством самостоятельной постановки цели и выбора программы действий

Методики определения уровня обучаемости и обученности представлены в Приложении 4. Тест на определение обученности рекомендуется составлять в соответствии с характеристиками каждого уровня. Построение модульного обучения с учетом уровневой и профильной дифференциации значительно повышает его эффективность, создает для учащихся адаптивную их возможностям и способностям образовательную среду [46].

1.5 МОДУЛЬНОЕ СТРУКТУРИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

Рассмотрим более детально организацию и конструирование учебно-воспитательного процесса и учебной деятельности обучения стереометрии с позиций теории модульного подхода. Известно, что хорошие результаты достигаются там, где процесс организован как целостная система.
Помня о том, что процесс обучения должен носить воспитательный и развивающий характер, следует отметить необходимость выделения по целям работы блоков развития, воспитания и обучения.
Ведущую роль играет блок целей развития, которые достигаются через реализацию блоков целей воспитания и обучения. Поэтому они выступают как подцели по отношению к целям развития.
Все цели воспитания и обучения определяют структуру и содержание процессов воспитания и обучения, они образуют два блока целей [4].
Таблица 2
Блоки развития, воспитания и обучения

Блоки целей
развития	воспитания	обучения
Средняя (полная) ступень школы
Развитие способностей личности. Формирование научного мировоззрения и нравственно-духовной культуры	Формирование мотивации к профессиональному образованию. Формирование целостности и гуманитарной выраженности менталитета личности	Формирование системы специальных знаний, умений и навыков на твор-ческом уровне профильного и углубленного характера. Формирование системы навыков самообразования. Формирование функцио-нальной грамотности

Таблица 3
Блоки целей воспитания и обучения

Блок целей воспитания	Блок целей обучения
Формирование убеждений	Формирование системы знаний
Формирование системы социальных умений и навыков	Формирование системы специальных и общеучебных умений и навыков
Формирование направленности личности	Формирование структуры опыта
Формирование структуры социальных позиций	Организация деятельности других лиц
Формирование структуры социальных ролей	Самоорганизация деятельности
Формирование структуры деятельности	Рефлексия деятельности других лиц
Ценностная ориентация личности	Рефлексия собственной деятельности

Система воспитательной работы, с одной стороны выстраивается как продолжение учебного процесса и завершает циклы познания, с другой – содержит циклы других видов деятельности, относительно независимые от учебного процесса. Завершенность циклов познания в учебном процессе достигается их переводом в циклы других видов деятельности в воспитательном процессе. Причем циклы деятельности учащихся имеют два последовательно протекающих варианта: деятельности на уровне участника и деятельности на уровне организатора по отношению к ученикам предыдущих классов. При такой организации учебная и внеучебная части единого педагогического процесса органически дополняют друг друга. Сформированные понятия на основе алгоритмов действий переводятся в умения и доводятся до автоматизма на уровне навыков. Создается непрерывная во времени и по возрастным группам учащихся последовательность завершенных циклов познания других видов деятельности.
Следует отметить обязательность структурирования последовательности циклов таким образом, чтобы они одновременно начинались и заканчивались в виде единого блока циклов, а затем сменялись очередным. Упорядоченность следования блоков и циклов позволяет на основе целеполагания и постоянно проводимой диагностики промежуточных и итоговых результатов выстроить иерархию циклов познания и циклов других видов деятельности как целостную технологию. Согласованность и соподчиненность циклов предусматривает проведение одновременно не более трех-четырех [13]. В блоке могут присутствовать циклы познания и циклы других видов деятельности. Однако циклы познания должны быть завершены и опережать по времени циклы других видов деятельности по соответствующим видам, а циклы всех остальных видов деятельности в соответствии с зонами ближайшего развития следуют за циклами познания с учетом доминирующей природосообразной деятельности.
Приведем алгоритмическое предписание управленческих действий учителя и исполнительных и управленческих действий ученика в циклах познания и циклах других видов деятельности.
Диагностируемые цели каждого учебного занятия предопределяют реальный результат учебно-воспитательного процесса. Технология модульного процесса носит вариативный характер и может быть представлена наряду с некоторым стандартом целым рядом самых экзотических моделей. Выбор технологии обучения предоставляется учителю, но более совершенной в данных условиях и при равных конечных результатах будет признана та, для выполнения которой требуется наименьшее время.
Педагогическая технология модульного обучения в первую очередь после целеполагания зависит от своей организации. За исключением начальной стадии, педагогический процесс обеспечивается многократно повторяющейся и варьирующейся самостоятельной работой учащихся, т.е. постоянным и усердным трудом, имеющим конкретные измеряемые параметры [7]. Начальный этап учебно-воспитательного процесса значительно сокращается, если он является мотивационным и содержит мотивационно-проблемные ситуации. С начальным этапом в оптимальной педагогической технологии опытный и творчески работающий учитель связывает процесс «влюбления» учащихся в учебный предмет или учебную тему.
С позиций деятельностного подхода к учебно-воспитательному процессу вербальные, наглядно-иллюстративные методы и формы обучения могут превалировать лишь в начале процесса при формулировании целей, задач, предмета, метода и программы изучения всего курса или отдельной темы по стереометрии. В дальнейшем в ходе модульного учебно-воспитательного процесса каждый ученик включается не только в активное восприятие учебного материала, но и в активное его усвоение. Причем в каждом случае перехода от одного уровня усвоения к другому осуществляется контроль путем диагностики всего объема знаний, умений и навыков, предусмотренных программой.
Негативный конечный результат ученика в рамках учебно-воспитательного процесса, структурированного на основе деятельностного подхода как педагогическая технология, рассматривается как профессиональная ошибка учителя, а не как недобросовестность или неспособность ученика.
Освоение модульной системы предусматривает формирование содержания стереометрии из учебных модулей, состоящих из блоков-модулей содержания теоретического учебного материала и блоков алгоритмических предписаний учебных умений и навыков. Последовательность действий построения учебного модуля представлена в Приложении 1 [5].
Технологическая карта конструирования темы или раздела по стереометрии
№ урока-модуля в разделе…
№ урока-модуля в теме…
Тема урока…
Триединая цель урока (темы)…
Дифференцированная цель урока для ученика…
Что должен знать ученик в конце темы…
Что должен уметь ученик в конце темы…
Формируемая область понимания…
Закрепление и развитие общеучебных умений и навыков…
Воспитание на материалах темы…
Тип урока и примененной педагогической технологии…
Вид контроля: самоконтроль, взаимоконтроль, экспертная оценка
Учебные занятия в рамках модульной системы организации учебно-воспитательного процесса могут быть двух видов. Во-первых, с полной самостоятельной учебной деятельностью ученика по освоению новых знаний (табл. 4,5, приложение 1). Во-вторых, с доминирующей рефлексивной деятельностью ученика по сравнению с обучающей деятельностью учителя. Наряду с технологической картой конструирования темы предлагаем структуры учебного модуля и учебного элемента для самостоятельной работы ученика на уроке.
Таблица 4
Структура модуля (М.1.К.)

Номер учебного элемента (УЭ)	Название учебного элемента	Управление обучением (содержание, формы, методы)
1.К.0	Цели и задачи модуля	Необходимые знания и умения
1.К.1	Учебные элементы	Пояснение к учебному материалу
…………..	Обобщение (резюме)	Источники информации, алгоритмы решения задач
1.К.L	Контроль (самоконтроль и выходной контроль по трем уровням)	Ответы, методы, внутрипредметные связи

Таблица 5
Структура учебного элемента

Порядковый номер в учебном элементе	Учебный материал	Управление обучением (содержание, формы, методы)
0	Цели и задачи УЭ	Необходимые знания и умения
1	Содержание учебного материала	Пояснения к учебному материалу, источники информации
… … …	Обобщение (резюме)	Алгоритмы решения задач, ответы
L	Контроль: вопросы для самоконтроля по трем уровням, выходной контроль по трем уровням	Методы и внутрипредметные связи

В зависимости от темы урока учитель ставит его цель или предлагает сделать это самостоятельно учащимся. Важная задача учителя – донести цель работы до учеников, выработать умение у них ставить перед собой цели в соответствии с задачами урока. Учитель выделяет на основе триединой дидактической цели (ТДЦ) важнейшие задачи урока с учетом особенностей и возможностей классного коллектива. Цель учебной деятельности ученика – это предполагаемый результат, она формируется через эффективность обучения, выраженную в действиях учеников. Формулировка цели начинается со слов: «Учащийся в конце урока (темы) знает, умеет, понимает, объясняет, доказывает, применяет, оценивает, анализирует и пр.»
Содержание учебного материала подбирается в соответствии с темой урока и ТДЦ, но оно должно соответствовать государственному стандарту. В нем реализуются идеи гуманизации и гуманитаризации, связь с жизнью, потребностями общества, личным опытом и интересами школьников. Содержание отражает межпредметные связи с целью формирования целостной научной картины мира. Учитель выделяет важнейшие научные понятия, теоретические положения, закономерности, главное, существенное в содержании обучения. Объем учебного материала, выносимого на урок, должен быть оптимальным, не перегружать учащихся и не быть недостаточным. Необходимо обеспечить связь смысла данного урока с ранее изученным материалом. Выбор методов обучения осуществляется педагогом исходя из ТДЦ и его содержания [23].
Таблица 6
Классификация типов уроков по целям

Цель	Тип урока	Логика построения урока
Восприятие и первичное осознание нового материала	Изучение и первичное закрепление новых знаний	Мотивация → актуализация опорных знаний → восприятие, осмысление и первичное запоминание → проверка усвоения → закрепление → анализ
Вторичное закрепление усвоенных знаний, выработка умений по их применению	Закрепление новых знаний	Мотивация → актуализация ведущих способов и действий → восприятие образца применения знаний → самостоятельное применение знаний в сходной и новой ситуации → самоконтроль и контроль → коррекция
Выработка умений самостоятельно применять знания, осуществлять их перенос в новые условия	Комплексное применение знаний	Мотивация → актуализация комплекса знаний → образец применения знаний → самостоятельное применение в сходной и новой ситуациях → самоконтроль и контроль → коррекция
Усвоение знаний и способов действий в комплексе и системе	Обобщение и систематизация знаний	Мотивация → анализ содержания учебного материала → выделение главного → обобщение и систематизация → установление внутрипредметных и межкурсовых связей, мировоззренческих идей
Определение уровня овладения знаниями и способами деятельности	Проверка, оценка и коррекция знаний	Мотивация → самостоятельное выполнение контрольных заданий → самоконтроль → контроль → анализ → оценка → коррекция

В литературе существует ряд подходов и классификаций методов обучения (МО): И.Я. Лернера, М.Н, Скаткина, Ю.К. Бабанского [1] и др. Классификация их, предложенная Ю.К. Бабанским, является наиболее полной и приемлемой в практической работе.
Таблица 7
Классификация методов обучения (по Ю.К. Бабанскому)

Методы обучения
Основная подгруппа	Отдельные методы обучения
1. Методы стимулирования и мотивации учения
1.1. Методы формирования интереса к учению	1.1. Познавательные игры, учебные дискуссии, методы эмоционального стимулирования
1.2. Методы формирования чувства долга и ответственности в учении	1.2. методы учебного поощрения, порицания, предъявления учебных требований
2. Методы организации и осуществления учебных действий и операций
2.1. Перцептивные методы (передачи и восприятия учебной информации посредством чувств):  словесные  наглядные  аудиовизуальные  практические	Лекция, рассказ, беседа Иллюстрация, демонстрация Сочетание словесных и наглядных Упражнения
2.2. Логические методы (организация и осуществление логических операций)	Индуктивные, дедуктивные, аналогии и пр.
2.3. Гностические методы (организация и осуществление логических операций)	Проблемно-поисковые (проблемное изложение, эвристический, исследовательский), репродуктивные (инструктаж, иллюстрирование, объяснение и практическая тренировка)
2.4. методы самоуправления учебными действиями	Самостоятельная работа
3. Методы контроля и самоконтроля
3.1. методы контроля	Устный, письменный, лабораторный и машинный контроль, самоконтроль

Учителю при выборе на каждом этапе урока методов обучения следует исходить из их сравнительных возможностей, а также использовать рефлексивные: тренинги, деловые и ролевые игры, мозговые штурмы и т.п. [27].
Недельный цикл (рис.2) состоит, как правило, из трех этапов.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

ЦИКЛ

Этап

Итоговый контроль

Самостоятельная учебная деятельность

Лекция

Содержание Мотивация Пропедевтика

Выполнение блока алгоритмического предписания учебной деятельности

Диагностика знаний, умений и навыков

Модуль

Блок-модуль содержания учебного материала

Блок алгоритми-ческого предписания учебной деятельности

Рисунок 2. Недельный цикл учебной деятельности

Первый этап обычно представляет собой школьную лекцию, построенную с учетом возрастных особенностей учащихся 10-11 классов и содержащую изложение предмета, метода и порядка учебных действий в виде блоков. Главная задача лекции – вызвать интерес к материалу, возбудить творческую мысль, а не свести ее к сообщению готовых научных истин, которые следует понять и запомнить. В начале второго этапа проводится диагностика усвоения теоретических понятий, поскольку вся педагогическая технология модульного обучения строится на опережающем изучении теоретического материала.
Переход ко второму этапу возможен только при 70%-ом по объему усвоении понятий и правил действий с ними, так как он полностью освящен самостоятельной учебной деятельности учащихся различных ее формах. Каждый из них с помощью учителя и родителей определяет необходимый ему уровень сложности усвоения предмета и, выбрав свой, под руководством учителя выполняет программу, заданную на лекции. Учебные элементы, объединенные в логическую структуру учебной темы и представленные технологической картой ее изучения, составляют содержание блока-модуля, который вместе с блоком алгоритмического предписания образует учебный модуль.
Первичное изучение материала осуществляется и на следующих после лекции уроках во время в основном самостоятельной работы учащихся в виде практических, семинарских и других занятий. При всей специфичности выделения главного для каждого предмета вслед за лекцией происходит более детальное изучение материала. Без перегрузки учащихся домашними заданиями должно происходить глубокое и корректное усвоение теоретических понятий в процессе выполнения достаточного числа повторительных упражнений.
Деятельность учителя должна опираться на высокий уровень мотивации учебной деятельности школьников на уроке, начиная с первого, лекционного, занятия в рамках учебной темы. Каждый урок представляет собой не самостоятельную единицу и не элемент множества, а элемент системы уроков. В ней реализуется актуализация опорных знаний, формирование новых понятий и способов действий, применение знаний в упражнениях разного уровня сложности. Лишь при условии владения стратегией и тактикой проведения урока и при видении всей системы уроков, а также перспективных целей обучения модно предвидеть и предупреждать вероятные деформации в учебном процессе [57].
Особый интерес представляет практическая основа технологии модульного обучения – различные методики коллективных способов обучения (КСО). Эти методики в зависимости от целевой направленности уроков могут успешно применяться как на первом этапе при самостоятельной работе над новым, так и на втором – при отработке последующего материала.
Третий этап отводится для итогового диагностирования контроля знаний, умений и навыков учащихся, которые на данный момент педагогического процесса представляют реальный конечный результат достижения целей цикла. От итоговой диагностики могут быть освобождены те, кто стабильно показывает высокие результаты при проведении текущей диагностики.
Ведущая роль итогового контроля позволяет ликвидировать ежедневную многопредметность, повысить значимость знания теории, вовлечь учащихся в самостоятельную работу по повторению учебного материала. Контроль всей системы знаний можно вести с высокой вероятностью по вопросам с наибольшим диагностическим весом [29].
Модульная система организации учебно-воспитательного процесса построена на основе психологически корректных режимов функционирования внимания, памяти, мыследеятельности, гуманизации содержания обучения и педагогических взаимодействий, реконструкции учебно-воспитательного процесса с позиций целостности, формирования целевых психолого-педагогических программ многолетнего типа с иерархией этапов, системы деятельности школьников, усиления гуманистического, мировоззренческого, эстетического и духовно-нравственного начал содержания обучения и воспитания. Модульная система организации согласуется с философскими, общенаучными, психологическими и социально-психологическими принципами построения педагогических технологий.
Данная технология показывает, что традиционные дидактические подходы менее эффективны в отношении усвоения учебного материала. В модульной системе активный процесс обучения состоит из таких важных этапов, как: принятие цели учеником; подготовка к восприятию нового; практическая учебная деятельность; анализ содержания, построение доказательств; подведение итогов учения, оценка; постановка новых целей. Главное достоинство модульной системы заключается в возможности плавного перехода от существующей организации учебно-воспитательного процесса, без ее разрушений и нежелательных деформаций в ней, к новым моделям педагогической технологии.
В качестве конечных результатов учебно-воспитательного процесса обучения стереометрии модульная система предполагает развитие познавательных, социальных, коммуникативных и профессионально направленных способностей личности [31].

 

ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ

1.     Модульное обучение зародилось в конце 60-х годов. В его основу положено понятие «модуль». Модуль – это логически завершенная часть учебного материала. Модульное обучение отличается от других систем обучения тем, что содержание представляется в законченных самостоятельных блоках, меняется форма общения ученика и учителя, ученик работает максимум времени самостоятельно, а также тем, что наличие модулей позволяет учителю индивидуализировать работу с отдельными учениками.
2.     Внедряемые в практику новые педагогические технологии обучения, модульной организации учебного процесса позволяют модернизировать традиционные методы обучения. Положительная роль модульного обучения связана с осознанностью перспективы обучения каждым учеником.
3.     Сущность модульного обучения заключается в том, что обучающийся более самостоятельно может работать с предложенной ему индивидуальной программой, включающей в себя целевой план действий, банк информации и методическое руководство по достижению поставленных дидактических целей.
4.     Выделяют следующие принципы модульного обучения: принцип модульности, принцип структурирования содержания обучения, принцип гибкости, принцип оперативности, принцип паритетности, принцип динамичности, принцип деятельного подхода, принцип осознанной перспективы и принцип разностороннего методического консультирования.
5.     Программа учебной дисциплины состоит из системы модулей. В программу учебного модуля отбираются учебные элементы, которые, будучи представлены в целом и взаимосвязи, образуют логическую структуру.
6.     Модуль имеет следующую структуру: открытие модуля (обычно в виде лекции), серия уроков-семинаров, серия уроков-практикумов, контроль в форме зачета или контрольной работы и обобщение модуля. Относительно уровня сложности и трудности изучаемой темы всех учащихся внутри класса или параллели целесообразно разделить на три группы.
7.     Освоение модульной системы предусматривает формирование содержания стереометрии из учебных модулей, состоящих из блоков-модулей содержания теоретического учебного материала и блоков алгоритмических предписаний учебных умений и навыков.
8.     Главное достоинство модульной системы заключается в возможности плавного перехода от существующей организации учебно-воспитательного процесса, без ее разрушений и нежелательных деформаций в ней, к новым моделям педагогической технологии.

Глава 2. РАЗРАБОТКА МОДУЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ В СИСТЕМЕ ШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

2.1 МОДЕЛЬ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНОМУ КУРСУ СТЕРЕОМЕТРИИ НА МОДУЛЬНОЙ ОСНОВЕ

На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы, опыта преподавания стереометрии в школе нами разработана модель обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе.

Модель обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе

Подходы к организации модели: Контекстный, личностно-ориентированный, деятельностный, модульный, системный, компетентностный

Принципы модульного обучения: принцип модульности, принцип структурированности содержания, принцип гибкости, принцип оперативности, принцип паритетности,

Образовательный процесс формирования познавательной  самостоятельности

Функции

Задачи

Мотивы

Цель: повысить качественный уровень геометрической подготовки школьников 10-11-х классов

Факторы, влияющие на повышение геометрической подготовки школьников 10-11-х классов

Средства

Методы

Содержание

Формы

Модель решает следующие задачи:
1. Усиление практической ориентации и прикладной направленности процесса овладения предметом путем достижения оптимального сочетания фундаментальных и практических знаний.
2. Направленность образовательного процесса не только на усвоение знаний, но и на развитие способностей мышления.
3. Изменение методов, форм и средств обучения, направленных на формирование познавательной самостоятельности школьников, а также практических навыков анализа информации, самообучения.
4. Осуществление целенаправленного управления формированием и совершенствованием умений самостоятельной работы школьников.
Перечислим подходы к организации модели:
1. Контекстный (Вербицкий А.А.), позволяющий смоделировать учебный процесс таким образом, чтобы ученик оказался в ситуации самостоятельного целеполагания и целеосуществления.
2. Личностно-ориентированный предполагает опору на активную познавательную деятельность ученика при освоении предметного содержания, организацию процесса обучения в соответствии с его образовательными потребностями и индивидуальными особенностями.
3. Деятельностный направлен на овладение способами получения фундаментальных знаний и умений, погружение в реальную деятельность по овладению соответствующими навыками и технологиями.
4. Модульный определяет высокую степень систематизации знаний и умений в содержании обучения, проблемное изложение материала, акцент на формирование методов деятельности, повышение уровня самостоятельности в решении конкретных проблем.
5. Системный дает ряд преимуществ, основные из которых заключаются в возможности комплексного подхода к формированию системы математических знаний, распознании и анализе явлений и процессов окружающей действительности.
6. Компетентностный  ориентирован на освоение умений и обобщенных способов деятельности. Понятие компетентности включает не только когнитивную и операционально-технологическую составляющие, но и мотивационную, этическую, социальную и поведенческую.
Перечислим факторы, влияющие на эффективность повышения геометрической подготовки школьников 10-11-х классов:
1. Мотивационные - формирование потребности в овладении познавательной самостоятельностью как важнейшим фактором принятия адекватных решений в условиях реальной действительности; развитие интереса к знаниям и предмету, стремления познать новое, любопытства и любознательности.
2. Содержательные – реализация возможностей контекстного, системного и личностно-деятельностного подходов в овладении предметными знаниями, познавательными, коммуникативными и рефлексивными умениями. Эти факторы являются необходимыми элементами самого процесса познания.
3. Процессуальные - овладение общими методами и приемами учения как инструментами, обеспечивающими интеграцию знаний, их действенность в выборе наиболее приемлемых способов решения задач в учебно-познавательной деятельности. В данную группу включены методы, приемы и способы работы учителя с учениками (дифференцированный и индивидуальный подходы, проблемное и модульное изложение материала, компьютерная поддержка процесса обучения и др.); формы проведения урочных и внеурочных занятий (семинары, конференции, олимпиады, исследовательская и научная работа и др.).
4. Прикладные – реорганизация учебно-познавательной деятельности путем изменения способа учения как важнейшей предпосылки доведения теоретических знаний до уровня их практического применения.
5. Социальные - отношения с родителями и окружающими, влияние средств массовой информации и т.д.
6. Психологические - обусловлены возрастными особенностями старшеклассников (выработка собственных взглядов и убеждений, потребность в самосовершенствовании и др.). К ним относятся факторы личного характера: склонности, способности, интересы, уровень общеобразовательной подготовки, волевые особенности.

2.2 ОРГАНИЗАЦИЯ ВНЕДРЕНИЯ РАЗРАБОТАННОЙ МОДЕЛИ

         Проверка эффективности разработанной модели обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе осуществлялась с 24 учащимися 10 класса МОУ «Школы №15» города Соликамска в 2007 учебном году. В качестве контрольного класса выступал 10 «А» класс. Внедрение проводилось на уроках геометрии. Целью работы была проверка эффективности разработанной модели обучения школьному курсу стереометрии на основе модульной технологии. Апробирование проводилось в три ступени: констатирующий срез, проведение уроков, контрольный срез. Охарактеризуем каждую ступень. На первой ступени были проведены методики определения уровня обучаемости и обученности (методики представлены в приложении 4) и самостоятельная работа, в ходе которой выявлялись знания и умения учащихся, которыми они обладают на данный момент времени. Вторая ступень работы представляла собой непосредственно уроки. Занятия проводились по схеме: 
№ урока-модуля в разделе…
№ урока-модуля в теме…
Тема урока…
Триединая цель урока (темы)…
Дифференцированная цель урока для ученика…
Что должен знать ученик в конце темы…
Что должен уметь ученик в конце темы…
Формируемая область понимания…
Закрепление и развитие общеучебных умений и навыков…
Воспитание на материалах темы…
Тип урока и примененной педагогической технологии…
Вид контроля: самоконтроль, взаимоконтроль, экспертная оценка
Цель первого этапа – проверить уровни обученности и обучаемости (по методикам, указанным в Приложении 2), а также первоначальные уровни сформированности следующих умений и навыков учеников:
1. Владение методами, способами и приемами мыслительной деятельности, а именно умениями:
- анализировать наблюдаемые предметы и явления, выделять в них существенное, главное, отбрасывать второстепенное и находить общее;
- выявлять причинно-следственные связи и отношения объектов, систематизировать факты на новом уровне;
- концентрировать общие положения, отыскивать доказательства, путем абстрагирования и обобщения раскрывать сущность новых понятий;
- видеть проблему и находить несколько способов ее решения с целью выявления наиболее рационального и оригинального;
- ставить цель и определять направления поиска, осуществлять перенос усвоенных знаний и способов деятельности в новые условия и для дальнейшего самообразования;
2. Владение навыками самостоятельного планирования и рациональной организации процесса обучения познавательной деятельности.
3. Наличие познавательной потребности, внутренних установок, побуждающих к самостоятельной деятельности по овладению стереометрией.
Целью второго этапа являлось обучение школьников стереометрии с использованием разработанной модели обучения. На третьем этапе происходила экспериментальная проверка эффективности процесса обучения с использованием разработанной модели обучения.
Первоначально, с учащимися были проведены методики на выявление уровней обученности и обучаемости.
Выявление первоначального уровня сформированности вышеперечисленных умений и навыков происходило следующим образом.
1.     Учитель выбирает небольшой по объему новый учебный материал базисного характера на 7-8 минут работы.
Первое следствие аксиом стереометрии.
2.     Учитель перед изучением нового повторяет изученный материал, необходимый для усвоения новых знаний.
Сформулируйте аксиомы планиметрии и стереометрии.
3.     Учитель объясняет новый материал.
Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна. (учащиеся записывают формулировку теоремы).
Дано:  
Доказать:

Рис.3

M

а, то в ней через точки А1 и А2 а

a

·

 Доказательство: Заметим, что теорема содержит два утверждения:
1. О существовании плоскости.
2. О единственности плоскости.
а) Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М. Докажем, что через прямую а и точку М проходит плоскость. Отметим на прямой а две точки: P и Q. Точки M, P и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно первой аксиоме через эти точки проходит некоторая плоскость . Так как 2 точки прямой а (P и Q) лежат в одной плоскости , то по второй аксиоме плоскость  проходит через прямую а.
б) Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точку М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М, проходит через точки M, P и Q. Следовательно, эта плоскость совпадает с плоскостью , т.к. по первой аксиоме через точки M, P и Q проходит только одна плоскость.
Теорема доказана.
4.     Учитель показывает образец применения нового материала в аналогичной и измененной ситуациях.
1. Даны прямые a, b и с, которые пересекают плоскость  в точках М, К и Р. Лежат ли прямые a, b и с в одной плоскости? (Нет, если бы прямые a, b и с лежали в одной плоскости, то точки М, К и Р лежали бы на одной прямой).
2. Дана прямая с – линия пересечения плоскостей  и . Прямые а и в принадлежат плоскостям  и  соответственно. Докажите, что прямые а и в не лежат в одной плоскости. (Предположим, что прямые а и в лежат в одной плоскости. Тогда прямая с также принадлежит этой плоскости. Через прямые а и с можно провести единственную плоскость (плоскость ), которой будет принадлежать и прямая в. Противоречие.)
5.     Учитель проводит самостоятельную работу среди учащихся.
Задания для самостоятельной работы учащихся
1.                Напишите, что вы узнали нового.
2.                Ответьте на вопрос по содержанию нового материала
Сколько плоскостей может проходить через прямую и точку, не лежащую на ней?
3.                Выполните задания по образцу.
Даны прямая и не принадлежащая ей точка. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку, лежат в одной плоскости.
4.                Выполните задание в измененной ситуации.
 Можно ли через три точки, лежащие на одной прямой, провести две различные плоскости? Объясните ответ.
5.                Примените полученные знания в новой ситуации.
В пространстве даны n точек. Сколько прямых можно провести через различные пары этих точек? Сколько плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?
Результаты показали, что выполнены все задания у 7 человек, то есть у них третий, очень высокий уровень обучаемости. С четырьмя заданиями справились 9 учеников – у них второй, также высокий уровень обучаемости. Три и менее заданий выполнили 8 учащихся– у них первый уровень.
Степень обученности учащихся (СОУ) рассчитывается по формуле
,
По итогам уровневых контрольных работ получен первый уровень преподавания.
В 10 классе у 24 учащихся по 12 предметам: «5» - у 124, «4» - у 119, «3» - у 43, «2» - у 1.
, или 75 %.
В программу разработанных уроков входило 10 занятий. На первом уроке был проведен констатирующий срез, в котором содержалось шесть заданий, направленных на выявление знаний по стереометрии.
Все задания среза были направлены на выявление сформированности следующих умений:
- анализировать наблюдаемые предметы и явления, выделять в них существенное, главное, отбрасывать второстепенное и находить общее;
- выявлять причинно-следственные связи и отношения объектов, систематизировать факты на новом уровне;
- концентрировать общие положения, отыскивать доказательства, путем абстрагирования и обобщения раскрывать сущность новых понятий;
- видеть проблему и находить несколько способов ее решения с целью выявления наиболее рационального и оригинального;
- осуществлять перенос усвоенных знаний и способов деятельности в новые условия и для дальнейшего самообразования;
Сформированность названных умений являлась критериями эффективности разработанной методики.
Задания среза представлены в Приложении 3.
Первое задание направлено на выявление сформированности умений анализировать наблюдаемые предметы и явления, выделять в них существенное, главное, отбрасывать второстепенное и находить общее. Второе – на выявление причинно-следственных связей и отношений объектов, систематизацию фактов на новом уровне. Третье задание направлено на то, чтобы видеть проблему и находить несколько способов ее решения с целью выявления наиболее рационального и оригинального. Четвертое – на концентрацию общих положений, отыскание доказательства, путем абстрагирования и обобщения раскрытие сущности новых понятий. Пятое и шестое задания направлены на выявление сформированности осуществлять перенос усвоенных знаний и способов деятельности в новые условия и для дальнейшего самообразования. Констатирующий срез показал, что не все рассматриваемые умения сформированы на данном этапе у школьников:
 - с первым заданием полностью справились 15 человек, что составляет 62,5%, частично справились 27%, не справились 10,5%;
 - во втором задании у 45% учащихся умение определять точку пересечения прямой и плоскости, двух прямых, а также на нахождение прямой пересечения двух плоскостей сформировано полностью, у 40% это умение сформировано частично, а 15% не справились с заданием;
 - с третьим заданием 60% полностью справились, 25% справились частично, 15% не справились;
 - с четвертым заданием 25% справились, 30% справились частично, 45% не справились;
 - с пятым заданием 68% справились полностью, 15% справились частично, 17% не справились.
- с шестым заданием 65% справились полностью, 13% справились частично, 22% не справились.
Отобразим полученные результаты на диаграмме.

Под термином «умение сформировано полностью» в данном случае понимается выполнение задания с обоснованием и пояснением ответа, а также хода решения. Под «умение сформировано частично» понимается выполнение задания с нечетким пояснением, либо с пропуском некоторых промежуточных рассуждений в ходе решения. Под «умение не сформировано» понимается невыполнение задания. Чаще всего ошибки возникали в заданиях в заданиях четвертого и шестого типа из-за определенной неподготовленности к решению такого типа заданий, а также из-за недостаточно прочного закрепления теоретического материала предыдущей темы.
В ходе выполнения упражнений учащиеся допускали следующие ошибки:
а) неправильно определяли плоскость, которой принадлежит тот или иной объект;
б) неверно указывали точку пересечения некоторых известных элементов, не указывали все точки, принадлежащие плоскости;
в) неправильно указывали прямую пересечения двух плоскостей;
г) не видели логических следствий из ранее изученных теорем или не могли их применить в измененной ситуации;
д) указывали не все требуемые объекты.
Для сравнения результатов констатирующего среза в качестве контрольного класса был взят 10 класс Чердынской общеобразовательной школы. После проведенного аналогичного среза были получены следующие результаты.
- с первым заданием полностью справились 14 человек, что составляет 61%, частично справились 24%, не справились 15%;
 - во втором задании у 45% учащихся умение определять точку пересечения прямой и плоскости, двух прямых, а также на нахождение прямой пересечения двух плоскостей сформировано полностью, у 35% это умение сформировано частично, а 20% не справились с заданием;
 - с третьим заданием 60% полностью справились, 27% справились частично, 13% не справились;
 - с четвертым заданием 32% справились, 34% справились частично, 34% не справились;
 - с пятым заданием 65% справились полностью, 20% справились частично, 15% не справились.
- с шестым заданием 60% справились полностью, 20% справились частично, 20% не справились.


Как показывают полученные данные в контрольном классе результаты оказались практически одинаковыми.
Таким образом, в данном параграфе представлена организация проведения разработанной методики на основе модели с использованием модульной технологии, констатирующий срез, его результаты.

2.3 АНАЛИЗ ВНЕДРЕНИЯ МОДЕЛИ

Апробирование методики с использованием разработанной нами модели на основе модульной технологии мы проводили на примере тем: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» (Приложение 4).
В проведенных уроках использовались следующие формы организации работы учащихся:
 - коллективная работа учащихся всего класса;
 - работа учащихся в парах.
В процессе работы в парах учащимся предлагался разработанный модуль, изучая который в течение определенного времени, они ознакамливались с теоретическим материалом, искали ответы на поставленные перед ними вопросы. В ходе коллективной работы весь класс отвечал на поставленные вопросы, решал предоставленные им задания.
Процесс обучения происходил с помощью модулей, учебными элементами которых являлись: цель, ознакомление с теоретическими положениями, исторические сведения, проверка усвоения теоретического материала, участие в учебной беседе, самостоятельное выполнение заданий, выполните контрольных заданий. Каждый школьник обучался в индивидуальном темпе по своей программе. Учитель выступал в роли консультанта.
Перечислим методы, используемые в рамках разработанной нами модели (по Ю.К. Бабанскому).

Методы обучения
Основная подгруппа	Отдельные методы обучения
1. Методы стимулирования и мотивации учения
1.1. Методы формирования интереса к учению	1.1. Познавательные игры, учебные дискуссии, методы эмоционального стимулирования
1.2. Методы формирования чувства долга и ответственности в учении	1.2. методы учебного поощрения, порицания, предъявления учебных требований
2. Методы организации и осуществления учебных действий и операций
2.1. Перцептивные методы (передачи и восприятия учебной информации посредством чувств):  словесные  наглядные  аудиовизуальные  практические	Лекция, рассказ, беседа Иллюстрация, демонстрация Сочетание словесных и наглядных Упражнения
2.2. Логические методы (организация и осуществление логических операций)	Индуктивные, дедуктивные, аналогии и пр.
2.3. Гностические методы (организация и осуществление логических операций)	Проблемно-поисковые (проблемное изложение, эвристический, исследовательский), репродуктивные (инструктаж, иллюстрирование, объяснение и практическая тренировка)
2.4. методы самоуправления учебными действиями	Самостоятельная работа
3. Методы контроля и самоконтроля
3.1. методы контроля	Устный, письменный, лабораторный и машинный контроль, самоконтроль

Дадим описание и анализ каждого из проведенных модулей.
Первый модуль посвящен теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве». Обучаясь по нему учащиеся познакомились с:
- определениями параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, прямой, параллельной плоскости, параллельных плоскостей в пространстве;
- случаями взаимного расположения прямых, прямой и плоскости, а также двух плоскостей в пространстве;
- основными теоремами данной темы;
- способами задания плоскости в пространстве,
- историческими сведениями по теме изучения.
А также закрепили полученные знания на практике путем обсуждения теоретических вопросов в устной беседе, решением заданий, как элементарных, так и повышенного типа.

	Рис.4

A

B

C

D

K

E

M

H

 

После изучения первого модуля с учащимися проведен промежуточный срез.
1. Каково взаимное расположение прямых KE и MH, если точки K, E, M, H – середины ребер AB, BC, CD, DA тетраэдра ABCD (рис.4)?

(А) пересекаются	(В) скрещиваются
(Б) параллельны	(Г) могут быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися (в зависимости от вида тетраэдра)

2. Каково взаимное расположение прямых KM и BC? (Рис.4)

(А) пересекаются	(В) скрещиваются
(Б) параллельны	(Г) возможны все три случая (А) – (В)

3. Каково взаимное расположение прямых AB₁ и BD₁, если дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁? (Рис.5)

(А) скрещиваются	(В) параллельны	(Д) не определить
(Б) пересекаются	(Г) пересекаются или параллельны

В

 B C
 A D
 
 С
 A D
Рисунок 5
4. Какие из прямых b = BB₁, c = CC₁, d = D₁C₁ скрещиваются с прямой a = AB? (Рис.5)

(А) только b	(В) только c и d	(Д) все три прямые b, c, d
(Б) только c	(Г) только b и c

5. Каково взаимное расположение прямой B₁C₁ и плоскости BDA₁? (Рис.5)

(А) параллельны	(В) пересекаются или параллельны
(Б) пересекаются	(Г) ответ отличен от (А) – (В)

6. Каково взаимное расположение плоскостей BDA₁ и B₁D₁C? (Рис.5)

(А) параллельны	(В) пересекаются или параллельны
(Б) пересекаются	(Г) ответ отличен от (А) – (В)

7. В пространстве даны прямая a и точка M. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных прямой a?

(А) 0	(В) бесконечно много	(Д) 1 или бесконечно много
(Б) 1	(Г) 0 или 1

8. Даны параллельные прямая a и плоскость α. Сколько существует плоскостей, проходящих через a и параллельных α?

(А) 0	(В) бесконечно много	(Д) бесконечно много
(Б) 1	(Г) 0 или 1

9. В пространстве даны две параллельные прямые a и b. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и параллельных прямой b?

(А) 0	(В) бесконечно много	(Д) 1 или бесконечно много
(Б) 1	(Г) 0 или 1

10. Даны две пересекающиеся плоскости α, β и не лежащая на них точка M. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных плоскостям α и β?

(А) 0	(В) бесконечно много	(Д) 0 или бесконечно много
(Б) 1	(Г) 0 или 1

11. Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Сколько существует пар параллельных плоскостей, одна из которых проходит через a, а другая – через b?

(А) 0	(В) бесконечно много	(Д) 0 или бесконечно много
(Б) 1	(Г) 0 или 1

12. В пространстве даны две пересекающиеся прямые a, b и не лежащая на них точка M. Сколько существует плоскостей, проходящих через M и параллельных прямым a и b?

(А) 0	(В) бесконечно много	(Д) 0 или бесконечно много
(Б) 1	(Г) 0 или 1

13. Точки A, B и середина M отрезка AB проектируются в точки A₁, B₁ и M₁. Чему равна длина отрезка MM₁, если AA₁ = 3 см, B₁B = 7 см?

(А) 5 см	(В) 2 см	(Д) ответ отличен от указанных
(Б) 4 см	(Г) 5 см или 2 см

Д

F

Е

C

В

А

Рисунок7

Рисунок 6

С

А

А1

В

Д

Д1

С1

В1

14. Если два луча, не лежащие на одной прямой, параллельны и лежат в одной полуплоскости относительно некоторой прямой, то они называются …
15. На кубе (рис. 6) укажите прямые, проходящие через т.В и скрещивающиеся с прямой ДС₁.
16. На кубе (рис. 6) укажите ребра, параллельные ребру АВ.
17. Угол между прямыми ДС₁ и Д₁С равен 90° (рис. 7). Определите, чему равен угол между А₁В и ДС₁?
18. Угол между прямыми ДЕ и EF равен 60° (рис. 7). Чему равен угол между прямыми ДВ и ВС?
19. Прямые а и в – скрещивающиеся. Известно, что прямая а лежит в плоскости α. Определите, может ли прямая в лежать в плоскости α. объясните почему.
20. Прямые а и в пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые в и с быть параллельными?
Результаты в экспериментальном классе оказались следующие:
- с первым заданием справились полностью 73%, 15% справились частично, 12% не справились;
- со вторым заданием 75% справились полностью, 13% справились частично, 12% не справились;
- с третьим заданием справились полностью 70%, 22% справились частично, 8% не справились;
- с четвертым заданием 73% справились полностью, 18% справились частично, 9% не справились;
 - с пятым заданием 72% справились полностью, 16% справились частично, 12% не справились.
- с шестым заданием 76% справились полностью, 16% справились частично, 8% не справились.
- с седьмым заданием 69% справились полностью, 20% справились частично, 11% не справились.
- с восьмым заданием 72% справились полностью, 18% справились частично, 10% не справились.
- с девятым заданием справились полностью 67%, 20% справились частично, 13% не справились;
- с десятым заданием справились полностью 73%, 19% справились частично, 8% не справились;
- с одиннадцатым заданием справились полностью 77%, 14% справились частично, 9% не справились;
- с двенадцатым заданием справились полностью 74%, 21% справились частично, 5% не справились;
- с тринадцатым заданием справились полностью 79%, 15% справились частично, 6% не справились;
- с четырнадцатым заданием справились полностью 71%, 22% справились частично, 7% не справились;
- с пятнадцатым заданием справились полностью 77%, 14% справились частично, 9% не справились;
- с шестнадцатым заданием справились полностью 70%, 16% справились частично, 14% не справились;
- с семнадцатым заданием справились полностью 71%, 18% справились частично, 11% не справились;
- с восемнадцатым заданием справились полностью 73%, 21% справились частично, 6% не справились;
- с девятнадцатым заданием справились полностью 76%, 13% справились частично, 11% не справились;
- с двадцатым заданием справились полностью 80%, 13% справились частично, 7% не справились.


В контрольном классе при проведении аналогичного промежуточного среза результаты получились следующие:
- с первым заданием справились полностью 70%, 12% справились частично, 18% не справились;
- со вторым заданием 70% справились полностью, 11% справились частично, 19% не справились;
- с третьим заданием справились полностью 62%, 25% справились частично, 13% не справились;
 - с четвертым заданием 53% справились полностью, 23% справились частично, 24% не справились;
- с пятым заданием 59% справились полностью, 15% справились частично, 26% не справились
- с шестым заданием 62% справились полностью, 19% справились частично, 19% не справились;
- с седьмым заданием 68% справились полностью, 18% справились частично, 14% не справились.
- с восьмым заданием 69% справились полностью, 20% справились частично, 11% не справились.
- с девятым заданием справились полностью 62%, 21% справились частично, 17% не справились;
- с десятым заданием справились полностью 76%, 14% справились частично, 10% не справились;
- с одиннадцатым заданием справились полностью 72%, 12% справились частично, 16% не справились;
- с двенадцатым заданием справились полностью 70%, 20% справились частично, 10% не справились;
- с тринадцатым заданием справились полностью 81%, 10% справились частично, 9% не справились;
- с четырнадцатым заданием справились полностью 75%, 24% справились частично, 11% не справились;
- с пятнадцатым заданием справились полностью 73%, 12% справились частично, 15% не справились;
- с шестнадцатым заданием справились полностью 65%, 21% справились частично, 14% не справились;
- с семнадцатым заданием справились полностью 68%, 15% справились частично, 17% не справились;
- с восемнадцатым заданием справились полностью 70%, 16% справились частично, 14% не справились;
- с девятнадцатым заданием справились полностью 75%, 15% справились частично, 10% не справились;
- с двадцатым заданием справились полностью 76%, 14% справились частично, 10% не справились.

Сравнивая полученные результаты видно, что в экспериментальном классе результаты улучшились благодаря тому, что обучение происходило на основе разработанной модели с использованием модульной технологии.
Структура второго модуля аналогична первому. Он разработан на тему «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». Целью овладения данным модулем является: усвоить понятие угла в пространстве, угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве, перпендикулярных прямых в пространстве, перпендикулярных скрещивающихся прямых, рассмотрение случаев нахождения угла между скрещивающимися прямыми; усвоить понятие прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикуляра, высоты пирамиды, прямого цилиндра, рассмотреть признак перпендикулярности прямой и плоскости; усвоить понятие наклонной к плоскости, угла между наклонной и плоскостью, между отрезком и плоскостью; рассмотреть теоремы о трёх перпендикулярах, о перпендикуляре, проведённом из точки к плоскости, об угле между наклонной и плоскостью, научится применять полученные знания при доказательстве определенных фактов и при решении задач практического характера. Обучаясь с помощью данного модуля учащиеся познакомились с:
- определением угла в пространстве, угла между скрещивающимися прямыми, угла между наклонной и плоскостью, угла между соответствующей прямой и плоскостью;
- определением прямой, перпендикулярной плоскости, наклонной к плоскости;
- расстоянием между плоскостью и точкой, между параллельными прямыми;
- понятием общего перпендикуляра;
- основными теоремами данной темы;
Закрепили полученные знания в ходе устной беседы, решая задания на первичное закрепление и в измененной ситуации.
В процессе изучения тем «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве» и «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» нам удалось охватить весь объем теоретической информации. Нами были рассмотрены и отработаны задания на отработку основных умений и навыков, которые были сформированы в процессе обучения по данным модулям. При решении упражнений возникшие затруднения сразу устранялись по мере их возникновения и решались подобные задания на закрепление пройденного материала. Они были достаточно интересны, разнообразны и разноуровневы по своему содержанию, отличались новизной формулировок, а также тем, что необходимо было логически мыслить при поиске ответа на поставленный вопрос. Занятия дали положительный результат по формированию следующих умений:
- анализировать наблюдаемые предметы и явления, выделять в них существенное, главное, отбрасывать второстепенное и находить общее;
- выявлять причинно-следственные связи и отношения объектов, систематизировать факты на новом уровне;
- концентрировать общие положения, отыскивать доказательства, путем абстрагирования и обобщения раскрывать сущность новых понятий;
- видеть проблему и находить несколько способов ее решения с целью выявления наиболее рационального и оригинального;
- осуществлять перенос усвоенных знаний и способов деятельности в новые условия и для дальнейшего самообразования;
Для сравнения результатов констатирующего среза по улучшению работы был проведен контрольный срез. Ему посвящен следующий параграф.

2.4 СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНСТАТИРУЮЩЕГО И КОНТРОЛЬНОГО СРЕЗОВ

Для выявления уровня сформированности вышеперечисленных умений с учащимися был проведен контрольный срез и сопоставлен с констатирующим. Контрольный срез также проводился на двух классах. Цель контрольного среза – проверить уровень сформированности умений по сравнению с констатирующим срезом. Кроме того, по результатам решения заданий контрольного среза можно было судить об эффективности разработанной модели обучения школьному курсу стереометрии на основе модульной технологии. Все задания объединяла общая цель – выявить уровень сформированости приобретенных знаний, умений и навыков, обучаясь на основе разработанной модели обучения школьному курсу. В срезе содержалось восемь заданий, направленных на выявление знаний по стереометрии, которыми учащиеся должны были овладеть в процессе обучения. Представим задания первого варианта:
1. Прямые а и b параллельны. Точки А и В принадлежат прямой а, С и D – прямой b. Лежат ли прямые АС и ВD в одной плоскости?
2. Докажите, что параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
3. Докажите, что плоскость, проведенная через середины ребер AD, DC и А₁D₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁, параллельна диагональному сечению АА₁С₁С.
4. Из точки О, взятой на высоте СD треугольника АВС, восставлен к его плоскости перпендикуляр ОМ. Докажите, что плоскость a, проходящая через СD и ОМ, перпендикулярна АВ.
5. Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найдите проекцию перпендикуляра на наклонную.
6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на расстояние 10 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
7. Докажите, что через прямую а, не лежащую в плоскости a, всегда можно провести плоскость, перпендикулярную плоскости a.
8. Найдите угол j между плоскостями треугольника АВС и прямоугольника АВMN, если АВ=5 см, ВС=12 см, АС=13 см, ВМ=15 см, МС=9.
Первое задание направлено на выявление причинно-следственных связей и отношений объектов, систематизацию фактов на новом уровне; второе – на то, чтобы видеть проблему и находить несколько способов ее решения с целью выявления наиболее рационального и оригинального; третье – на осуществление переноса усвоенных знаний и способов деятельности в новые условия и для дальнейшего самообразования; четвертое – на анализ наблюдаемых предметов и явлений, выделение в них существенного, главного, отбрасывание второстепенного и нахождение общего; пятое – на концентрацию общих положений, отыскание доказательства, путем абстрагирования и обобщения раскрытие сущности новых понятий; шестое – на выявление причинно-следственных связей и отношений объектов, систематизацию фактов на новом уровне; седьмое – на то, чтобы видеть проблему и находить несколько способов ее решения с целью выявления наиболее рационального и оригинального; восьмое – на осуществление переноса усвоенных знаний и способов деятельности в новые условия и для дальнейшего самообразования.
Контрольный срез показал, что не все вышеуказанные умения оказались сформированы у школьников.
- с первым заданием справились полностью 87%, 8% справились частично, 5% не справились;
- со вторым заданием 85% справились полностью, 6% справились частично, 11% не справились;
- с третьим заданием справились полностью 88%, 7% справились частично, 5% не справились;
- с четвертым заданием 80% справились полностью, 13% справились частично, 7% не справились;
 - с пятым заданием 81% справились полностью, 13% справились частично, 6% не справились.
- с шестым заданием справились полностью 85%, 9% справились частично, 6% не справились;
- с седьмым заданием 87% справились полностью, 10% справились частично, 3% не справились;
 - с восьмым заданием 85% справились полностью, 10% справились частично, 5% не справились.


По сравнению с констатирующим срезом ошибок наблюдалось гораздо меньше. Тем не менее, школьники допускали следующие ошибки:
1.     не могли доказать предложенное им утверждение;
2.     неправильно строили чертеж к задаче, вследствие чего допускали ошибки в доказательстве;
3.     при доказательстве неверно использовали ранее изученные теоремы и факты;
4.     не могли «связать» между собой элементы, которые есть в задаче;
5.      при доказательстве делали ссылки не на те теоремы, которыми пользовались;
6.     не могли применить полученные знания в изменено ситуации.
В контрольном классе при проведении аналогичного контрольного среза результаты получились следующие:
- с первым заданием справились полностью 70%, 19% справились частично, 11% не справились;
- со вторым заданием 70% справились полностью, 38% справились частично, 12% не справились;
- с третьим заданием справились полностью 64%, 28% справились частично, 8% не справились;
 - с четвертым заданием 44% справились полностью, 25% справились частично, 31% не справились;
- с пятым заданием 66% справились полностью, 10% справились частично, 24% не справились;
- с шестым заданием справились полностью 60%, 30% справились частично, 10% не справились;
 - с седьмым заданием 51% справились полностью, 32% справились частично, 17% не справились;
- с восьмым заданием 45% справились полностью, 30% справились частично, 25% не справились

Таким образом, в экспериментальном классе результаты улучшились, благодаря тому, что процесс обучения шел по разработанной методики с использованием модели на основе модульной технологии. Тем не менее, в экспериментальном классе не оказалось таких заданий, которые бы выполнили все учащиеся. Это связано с тем, что проведенных десяти занятий недостаточно для того, чтобы какое-либо определенное умение можно было сформировать полностью, но все-таки улучшения произошли и во всех заданиях успешность выполнения составила более 50%.
Назовем те умения, которые оказались сформированы лучше остальных: умение выявлять причинно-следственные связи и отношения объектов, систематизировать факты на новом уровне, а также видеть проблему и находить несколько способов ее решения с целью выявления наиболее рационального и оригинального. Самым сложным оказалось проводить с учащимися работу по формированию умения анализировать наблюдаемые предметы и явления, выделять в них существенное, главное, отбрасывать второстепенное и находить общее. Причина того, что эти умения оказались сформированы хуже связана, прежде всего, с тем, что сами задания на эти умения достаточно сложны, учащиеся реже сталкиваются с такими упражнениями на протяжении изучения курса математики, а также сказывается недостаточный уровень сформированности логического мышления и пространственного воображения у учащихся 10 классов, который необходимо целенаправленно развивать, подбирая соответствующие упражнения, приучая школьников рассуждать самостоятельно.
Можно отметить то, что получилось повысить у учащихся уровень сформированности умений быстро находить ошибки, содержащиеся в задании и объяснять их характер. Наиболее простыми для них оказались задания, в которых требовалось доказать факт, опираясь на ранее изученные факты, увидеть проблему и найти несколько способов ее решения с целью выявления наиболее рационального и оригинального Самыми сложными оказались задания, которые требовали анализ наблюдаемых предметов и явлений, выделения в них существенного и главного. Таким образом, можно сделать вывод о том, что с помощью нашей методики вышеперечисленные умения в большей степени сформированы.        На основе проведенных срезов и анализа занятий дополнительных занятий была сделана количественная и качественная оценка результатов проведенного апробирования.

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ

1.                На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы, опыта преподавания стереометрии в школе разработана модель обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе.
2.                Разработаны и проверены на занятиях задания, позволяющие судить об уровне сформированности выделенных умений до и после апробации.
3.                Разработаны модули по темам «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» и проведены уроки с их использованием.
4.                Процесс обучения происходил с помощью разработанных модулей, учебными элементами которых являлись: цель, ознакомление с теоретическими положениями, исторические сведения, проверка усвоения теоретического материала, участие в учебной беседе, самостоятельное выполнение заданий, выполните контрольных заданий. Каждый школьник обучался в индивидуальном темпе по своей программе. Учитель выступал в роли консультанта.
5.                На основании проведенной работы можно сделать вывод, что занятия, организованные предложенным способом, являются эффективными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблемы по применению технологии модульной системы обучения очень актуальна. Внедрение этой технологии позволяет создать такую систему обучения, которая обеспечивает образовательные потребности каждого ученика в соответствии с его склонностями, интересами и возможностями, а также создаёт необходимость внесения существенных изменений в организацию учебного процесса. При этом учитываются требования дифференцированного подхода, гарантируется возможность усвоения программного материала на базовом уровне всеми учащимися и на продвинутом (повышенном) уровне темы, которые определили для себя данный уровень обучения.
Таким образом, технология модульного обучения обеспечивает:
- законченность блоков содержания: целевой план действий, банк информации и методическое руководство по достижению поставленных дидактических целей;
- интеграцию методов и форм обучения;
- снижение нагрузки на обучаемых и преподавателей
- повышение качества знаний;
- снятие излишней стрессовой нагрузки;
- достижение каждым учеником поставленных целей;
- самостоятельности школьника при работе по индивидуальной учебной программе;
- варьирование функций учителя (от информационно - контролирующей до консультативно - координирующей).
Технология модульного обучения обладает следующими свойствами:
- динамичностью, что проявляется в вариативности содержания, возможности обучения различным способам деятельности;
- гибкостью, которая предполагает адаптивность к индивидуальным особенностям обучаемых за счёт исходной диагностики знаний, темпа усвоения и индивидуализации обучения;
- перспективностью, которая обеспечивается знакомством учащегося со всей модульной программой, с комплексной дидактической целью (с учётом близких, средних и далёких задач);
- паритетностью, предполагающей относительно самостоятельный характер учебного труда школьников и возможность совместного выбора оптимального пути обучения.
Результаты практического применения данной технологии показывает, что эффективность модульного обучения зависит от ряда условий:
- качества модульной программы и модулей;
- грамотной организации обучения;
- удачного подбора методов обучения;
- педагогическая мастерская преподавателя;
На основании педагогических теорий, достижений в геометрической науке нами определены перспективные направления совершенствования преподавания данного предмета, способствующие повышению эффективности геометрической подготовки школьников. Ими являются: определение дидактических условий, системы средств повышения уровня геометрических знаний, самостоятельности и активности в их приобретении.
Опираясь на методологию модульного подхода, нами сделан вывод о том, что в основу совершенствования геометрической подготовки школьников должна быть положена концепция модульного обучения школьного курса стереометрии. Сформулированы и обоснованы пять ее принципов: принцип модульности, принцип структурирования содержания обучения, принцип гибкости, принцип оперативности, принцип паритетности.
Опираясь на основные положения концепции, нами рассмотрены сущность модульно обучения, организация учебно-воспитательного процесса обучения стереометрии, а также модульное структурирование и организация учебных занятий по стереометрии. Особое внимание нами уделено методу учебных проектов и основной форме обучения – уроку. Проанализировав учебную деятельность, мы пришли к выводу, что как школьники, так и многие учителя не полностью осознают возможности модульной технологии. Причиной этого является то обстоятельство, что применение указанной выше технологии в процессе обучения стереометрии еще недостаточно изучено, поэтому данное исследование является необходимым и современным. Приведем его основные результаты.
1.                Установлено, что, традиционная методика обучения геометрии в школе не всегда обеспечивает формирование глубоких фундаментальных знаний по предмету и умение применять их на практике.
2.                Теоретически обоснована и разработана методическая система геометрической подготовки школьников, в том числе: выбран концептуальный подход к определению понятия модуля, указаны и обоснованы основные подходы к модульному обучению; сформулированы критерии отбора геометрического содержания в модули и определены основные этапы их построения.
Также нами разработана модель обучения стереометрии на модульной основе, составлены модули на темы: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве», проведено их апробирование.
В результате проведенного исследования была достигнута его цель, подтверждена выдвинутая гипотеза и получены позитивные результаты в решении всех поставленных задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.         Бабанский, Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований [Текст] / Ю.К. Бабанский– М., 1982. – 256 с.
2.         Батышев, С.Я. Блочно-модульное обучение [Текст] / С.Я. Батышев – М., Транс-сервис, 1997. – 225 с.
3.         Беспалько, В.П. Слагаемые педагогической технологии [Текст] / В.П. Беспалько – М.: Педагогика, 1989. – 523 с.
4.         Блохин, Н. В. Психологические основы модульного профессионально ориентированного обучения: Методическое пособие [Текст] / Н.В. Блохин, И.В. Травин. – Кострома: Изд-во КГУ им. Н.А. Некрасова, 2003. – 14 с.
5.         Борисова, Н.В. Использование модульной системы обучения в профессиональной подготовке кадров [Текст] / Н.В. Борисова, Н.А. Гудков, В.П. Бугрин, В.Б. Кузов // “Персонал”. – 2000 г. – № 1. – с. 24-30.
6.         Вазина, К.Я. Саморазвитие человека и модульное обучение [Текст] / К.Я. Вазина. – Н. Новгород, 1991. – 163 с.
7.         Варенова, Л.И. Рейтиноговая Интенсивная Технология Модульного обучения [Текст] / Л.И. Варенова, В.Ж. Куклин, В.Г. Наводнов. – М.: Педагогика, 1993. – 67 с.
8.         Васильева, И.Н. Интегративное обучение и модульные педагогические технологии [Текст] / И.Н. Васильева, О. А. Чепенко // Специалист. – 1997 г. – № 6. – с.13-15.
9.         Вульфсон, Б.Л. Модернизация содержания гуманитарного образования в школах Запада [Текст] / Б.Л. Вульфсон // Советская педагогика. – 1991 г. №1. – с.124-130.
10.    Галочкин, А.И. Основы проблемно-модульной технологии обучения [Текст] / А.И. Галочкин, Н.Г. Базарнова, В.И. Маркин и др. – Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 1998. – 101 с.
11.    Гальперин, П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. [Текст] / П.Я. Гальперин. – М.: Просвещение, 1985. – 79 с.
12.    Гараев, В.М. Принципы модульного обучения [Текст] / В.М. Гараев, С.И. Куликов, Е.М. Дурко // Вестник высшей школы. – 1997. – №8. – с. 30-33.
13.    Голощёкина, Л.П. Модульная технология обучения. Методические рекомендации [Текст] / Л.П. Голощёкина, В.С. Збаровски. – С. Петербург: Дрофа, 1993. – 67 с.
14.    Громкова, М.Т. Модульное обучение в системном образовании взрослых [Текст] / М.Т.Громкова. – Москва: Просвещение, 2000. – 79 с.
15.    Денисов, И.Н. Модульный принцип – основа современного образования [Текст] / И.Н. Денисов, Р.Г. Артамонов, Э.Г Улумбеков, Г.Э. Улумбекова. – Москва: Просвещение, 2005. – 29 с.
16.    Дикунов, А.М. Перспективы модульной технологии педагогического контроля [Текст] / А.М. Дикунов // Теория и практика физической культуры. – 1997. - №12. – С. 21-26.
17.    Глейзер, Г.Д. Индивидуализация и дифференциация обучения в вечерней школе. Пособие для работников вечерней (сменной) школы [Текст] / Г.Д. Глейзер. – М.: 1985. – с. 11.
18.    Инусова, Х.М. Модульное обучение - что это такое? [Текст] / Х.М. Инусова // Школьные технологии. – 1998 г. – №2. – с.46-48.
19.    Калмыкова, З.И. Темп продвижения как один из показателей индивидуальных различий учащихся [Текст] / З.И. Калмыкова // Вопросы психологии. – 1961 г. – № 2. – с.43.
20.    Князева, Е.Н. Синергетика как новое мировидение: диалог с И. Пригожиным [Текст] / Е.Н. Князева, С.П. Курдюмов // Вопросы философии. – 1992 г. – №12. – с.15-22.
21.    Куликов, С.И. Принципы модульного обучения [Текст] / С.И. Куликов, Е.М. Дурко // Вестник высшей школы, 1997. – №8. – с.30–33.
22.    Куклин, В.Ж. О сравнении педагогических технологий [Текст] / В.Ж. Куклин, В.Г. Наводнов //Высшее образование в России. – 1999. – №1. – с. 165–172.
23.    Кукосян, О.Г. Концепция модульной технологии обучения в системе дополнительного профессионального образования: Метод. Пособие [Текст] / О.Г. Кукосян, Г.Н. Князева. – Краснодар, 2001. -29с.
24.    Лапчинская, В.П. Средняя образовательная школа современной Англии [Текст] / В.П. Лапчинская. – М., 1977. – 216 с.
25.    Левитес, Д.Г. Практика обучения: современные образовательные технологии [Текст] / Д.Г. Левитес. – Мурманск, 1997. – 215с.
26.    Левитес, Д.Г. Образовательные технологии: теория, классификация, обзор, конструирование. [Текст] / Д.Г. Левитес. – Мурманск, НИЦ "Пазори", 2001. – 328с.
27.    Литвинова, Т.Н. Применение интегративно-модульной системы обучения студентов медицинского вуза общей химии для повышения качества образования [эл.ресурс] // Литвинова Т.Н. – http://www.ksma.ru/fh/juk.k29.doc.
28.    Марцинковский, И.Б. Университетское образование в капиталистических странах. [Текст] / И.Б. Марцинковский. – Ташкент, 1981. – 190с.
29.    Махмутов, М.И. Педагогические технологии развития мышления учащихся. [Текст] / М.И. Махмутов, Г.И. Ибрагимов, М.А. Чошанов - Казань: ТГЖИ, 1993. – 196с.
30.    Никандров, Н.Д. Современная высшая школа капиталистических стран. [Текст] / Н.Д. Никандров. – М., 1978. – 279 с.
31.    Пахомова, Е.М. Модульно-рейтинговая система обучения как одна из развивающих технологий обучения [эл.ресурс] // Е.М. Пахомова. – http://www.tgc.ru.
32.    Пегушин, В.Л. Педагогика и психология высшей школы. [Текст] / В.Л Пегушин. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1998. – 544 с.
33.    Пикулин, К.В. Педагогическая технология профессора Монахова [Текст] / К.В. Пикулин // Педагогический вестник: Успешное обучение. – Специальный выпуск. – 1997. – с. 8–15.
34.    Пономарева, Л.Н. Обзорный анализ применения модульного обучения в процессе профессиональной подготовки специалистов в вузе [эл.ресурс] / Пономарева Л.Н. – http://science.ncstu.ru/articles/hs/09.
35.    Попов, Е.И. Система РИТМ: принципы, организация, методическое содержание [Текст] / Е.И. Попов // Высшее образование в России. – 1998. –№4. – с.109-115.
36.    Пуговина, Ю.М. Психология обучения: Учеб. пособие [Текст] / Ю.М. Пуговина / Под ред. В.В. Давыдова. – М., 1978. – с. 25.
37.    Роберт, И.В. Современные информационные технологии в образовании; перспективы использования. [Текст] / И.В. Роберт. – М., Школа-Пресс, 1994. – 263с.
38.    Родина, В.В. Опыт разработки модульно-блочной системы обучения. [Текст] / В.В. Родина /Сб. трудов. Научно-методич. конф. Ставропольской госсельхоз академии. – Ставрополь, 1995. № 58. – с.28–29.
39.    Селевко, Г.К. Современные образовательные технологии. [Текст] / Г.К. Селевко. – М.: Народное образование, 1998. – 271с.
40.    Сенновский, И.Б. Система управленческой деятельности учителя в модульной педагогической технологии. [Текст] / И.Б. Сенновский // Школьные технологии. – 1997г. – №2. – с.13.
41.    Талызина, Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний (психологические основы). [Текст] / Н.Ф. Талызина. – 2-е изд., испр. и доп. М.: 1984. – с.30.
42.    Тимофеева, Ю.Ф. Роль модульной системы высшего образования в формировании творческой личности педагога – инженера. [Текст] / Ю.Ф. Тимофеева // Высшее образование в России. – 1993 г. – №4. – с.119.
43.    Третьяков, П.И. Технология модульного обучения в школе: Практико-ориентированная монография [Текст] / П.И. Третьяков, И.Б. Сенновский. – М.: Новая школа, 1997. – 352 с.
44.    Турышев, В.Н. Модульное обучение в реализации дополнительных профессиональных образовательных программ [Текст] / В.Н. Турышев. – http://www.sgu.ru/dpo/docs/turehev.doc.
45.    Халюткин, В.А. Модульно-блочная система обучения [Текст] / В.А. Халюткин // Сб. трудов научно-методич. конф.Ставропольской госсельхоз академии. – Ставрополь, 1995. – №58. – С. 99 – 102.
46.    Чошанов, М. Гибкая технология проблемно-модульного обучения. [Текст] / М. Чошанов. – М.: Народное образование, 1996. – 375с.
47.    Шамова, Т.И. Основы технологии модульного обучения. [Текст] / Т.И. Шамова // Химия в школе. – 1995г. – №2. – с.14-17.
48.    Шамова, Т.И. Модульное обучение: опыт, перспективы [Текст] / Т.И. Шамова. – М.: Изд-во МПГУ им. В.И.Ленина, 1998. – 172с.
49.    Юцявичене, П.А. Теория и практика модульного обучения. [Текст] / П.А. Юцявичене. – Каунас, 1989. – 271 с.
50.    Якиманская, И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. [Текст] / И.С. Якиманская. – М., 1996. – 312с.
51.    http://ekrupoderova.narod.ru/osnovy.htm
52.    http://city.tomsk.net/~sydney/str_course.html
53.    http://him.1september.ru/2003/23/11-1.htm
54.    http://74214s013.edusite.ru/p42aa1.html
55.    http://www.asu.ru/cppkp/index.files/ucheb.files/innov/Part1/chapter5/5_1_1.html
56.    www.ndce.ru/scripts/BookStore/tbcgi.dll/Query?Page=c_card.
57.    http://www.library.ru/help/guest.php?PageNum=3213&hv=3214&lv=3205
Школьные учебники:
58.    Атанасян, Л.С. Геометрия. Учебник для 10-11 кл. сред. Школы [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1994. – 207 с.
59.    Погорелов, А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение,1989. – 303 с.

Приложение 1

Алгоритм построения учебного модуля

Шаги	Содержание
1	Формирование блока-модуля содержания теоретического учебного материала темы
1.1	Выявление учебных элементов темы
1.2	Выявление связей и отношений между учебными элементами темы
1.3	Формирование логической структуры учебных элементов темы
1.4	Определение уровней усвоения учебных элементов темы
1.5	Определение требований к уровням усвоения учебных элементов темы
1.6	Определение осознанности усвоения учебных элементов темы
2	Формирование блока алгоритмического предписания умений и навыков
2.1	Выявление учебных умений и навыков
2.2	Систематизация общеучебных и специальных умений и навыков
2.3	Формирование основы блока алгоритмического предписания в виде логической структуры учебных умений и навыков
2.3.1	Формирование мотивационной структуры действий
2.3.2	Формирование системы ориентировочных действий
2.3.3	Формирование системы исполнительских действий
2.3.4	Формирование системы контрольных действий
2.3.5	Формирование системы корректирующих действий
2.3.6	Формирование системы управляющих действий учителя
2.4	Формирование временной регламентации учебной деятельности в рамках недельного цикла познания или цикла деятельности

Приложение 2

Методика определения уровня обучаемости
6.     Учитель выбирает небольшой по объему новый учебный материал базисного характера на 7-8 минут работы.
7.     Учитель перед изучением нового повторяет изученный материал, необходимый для усвоения новых знаний.
8.     Учитель объясняет новый материал.
9.     Учитель показывает образец применения нового материала в аналогичной и измененной ситуациях.
10.Учитель проводит самостоятельную работу среди учащихся.
Задания для самостоятельной работы учащихся
6.     Напишите, что вы узнали нового.
7.     Ответьте на вопрос по содержанию нового материала.
8.     Выполните задания по образцу.
9.     Выполните задание в измененной ситуации.
10.Примените полученные знания в новой ситуации.
Ключ к определению уровня обучаемости
Как только 3-4 ученика из класса выполнят задания – собрать рабочие записи у всех. Если выполнены все задания, то можно говорить о третьем, очень высоком уровне обучаемости школьника. Если справился с четырьмя заданиями – второй, также высокий уровень обучаемости. Если выполнены три и менее заданий – первый уровень.
Методика определения уровня обученности
Обученность – это уровень реально усвоенных знаний, умений и навыков. Для ее определения рекомендуют использовать тесты, т.е. проверочные работы, составленные по уровням сложности учебного материала. Опишем уровни обученности.
1.     Первый уровень – различение. Характеризует низшую степень обученности. Учащийся только отличает данный учебный элемент от аналогов. Самая низкая ступень овладения знаниями – в дальнейшем возможность только узнавания: ученик может лишь констатировать, что знания были получены раньше, но не может воспроизвести их. На вопросы учителя отвечает односложно, пытаясь угадать правильный ответ.
2.     Второй уровень – запоминание. Учащийся может пересказать содержание текста, правила без понимания пересказанного. Может отвечать на вопросы только репродуктивного плана и в соответствии с последовательность изложения материала в учебном пособии.
3.     Третий уровень – понимание. Предполагает нахождение существенных признаков и связей предметов и явлений, вычленение их из массива несущественного на основе анализа и синтеза, применение правил логического умозаключения, установление сходства и различия, сопоставление с имеющимися знаниями.
4.      Четвертый уровень – простейшие умения и навыки. Характеризуется тем, что умения проявляются как закрепленные способы применения знаний в практической деятельности навыки как умения, доведенные до автоматизма. Учащийся умеет применять на практике полученные теоретические знания, решает задачи с использованием усвоенных законов и правил, вскрывает причинно-следственные связи. Наличие элементарных умений и навыков – показатель довольно высокой степени обученности.
5.     Пятый уровень – перенос. Обладающие этой наивысшей степенью обученности умеют обобщать, применять полученные знания в новой ситуации, «переносить» в нее усвоенные ранее понятия и закономерности. Ученик дает ответ на любой вопрос, решает любой пример и задачу по данной теме, находит оригинальные подходы к решению предложенных ему проблемных ситуаций.
Уровни преподавания определяются по итогам уровневых контрольных работ. Степень обученности ученика или степень обученности учащихся (СОУ) рассчитывается по формуле

,
где А, B, C – коэффициенты; X, Y, Z - соответственно общее количество отметок «5», «4», «3» в классе или по отдельному предмету; N – количество учащихся в классе; P – число изучаемых предметов.

Коэффициенты	A	B	C
Уровни преподавания: 1-й	1,00	0,64	0,36
2-й	0,64	0,36	0,16
3-й	0,36	0,16	0,04

Пример расчета СОУ.
1. по итогам уровневых контрольных работ получен первый уровень преподавания.
2. В 8 «а» классе у 27 учащихся по 7 предметам: «5» - у 74, «4» - у 86, «3» - у 25, «2» - у 5.
, или 73 %.
Степень обученности можно представить графически. Ученика, который достиг высшего показателя, будем считать обученным полностью. Общая обученность складывается из пяти слагаемых, соответствующих пяти уровням обученности (табл.2, рис.1).
Таблица 2
Степень обученности

Показатели	Степень обученности по уровням
	1-му	2-му	3-му	4-му	5-му
1. Какую часть от общей СОУ составляет данный уровень	1/25	3/25	5/25	7/25	9/25
2. То же, %	4	12	20	28	36
3. Степень обученности учащихся (СОУ) при достижении этого показателя, %	4	16	36	64	100

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

Степень обученности, %

4       12        20       28        36

5 4 3 2 1

Уровень обученности

Рис. 1. Степень обученности:
1 – различение; 2 – запоминание; 3 – понимание; 4 – умения и навыки; 5 – перенос
Известно, что в случае линейной зависимости соотношение последовательных и разнозначных показателей в первом приближении выражается отношением нечетных чисел 1:3:5:7:9. Общая обученность, принятая за 100%, состоит из 1+3+5+7+9=25 частей. Одна часть соответствует 100%:25=4%.

Приложение 3

1. По рисунку 1 определите: А) плоскости, в которых лежат прямые РЕ; Б) плоскости, в которых лежит прямая АВ; 2. По рисунку 2 определите: А) точки, лежащие в плоскостях ДСС1; Б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС; В) точку пересечения прямой МК с плоскостью АДВ; Г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В и АСД. Д) прямые, по которым пересекаются плоскости АВ и АВС. 3. Верно ли, что: А) любые три точки лежат в одной плоскости; Б) если а, в и с имеют одну общую точку, то они лежат в одной плоскости. 4. Точки А, В, С и Д не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и СД быть параллельными? Ответ обоснуйте. 5. Верно ли утверждение: если 2 точки окружности принадлежат плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? 6. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она проходит через одну из вершин треугольника?

1. По рисунку 1 определите: А) плоскости, в которых лежат прямые МК; Б) плоскости, в которых лежит прямая В1С1; 2. По рисунку 2 определите: А) точки, лежащие в плоскостях BQC; Б) точки пересечения прямой ДР с плоскостью АВС; В) точку пересечения прямой ВР с плоскостью А1В1С1; Г) прямые, по которым пересекаются плоскости ДКС и А1В1С1. Д) прямые, по которым пересекаются плоскости АДС и АВС. 3. Верно ли, что: А) любые 4 точки не лежат в одной плоскости; Б) если прямые а, в и с попарно пересекаются, то они лежат в одной плоскости. 4. Точки А, В, С и Д не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и СД пересекаться)? Ответ обоснуйте. 5. Верно ли утверждение: если три точки окружности принадлежат плоскости, то и вся окружность принадлежит этой плоскости) 6. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две стороны треугольника?