Статья

Статья Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025


Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a1 + a2 + ... + an

n

>

n

a1 a2 ... an

.


(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:

(Sn ) n > a1 a2 ... an .

(2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an.

(3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство


b



b – a

b

<

dt

t

= ln

b

a

<

b – a

a

,



a









(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a

b

= ln

b

a

=

b – a

a

.

Из (3) и (4)

Sn – a1

Sn

+

Sn – a2

Sn

+ ... +

Sn – ak

Sn

≤ ln

Sn

a1

+ ln

Sn

a1

+ ... + ln

Sn

ak

,



(5)

или

kSn – (a1 + a2 + ... + ak)

Sn

≤ ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

.



(6)

Опять-таки из (3) и (4)

ln

ak+1

Sn

+ ln

ak+2

Sn

+ ... + ln

an

Sn

ak+1 – Sn

Sn

+

ak+2 – Sn

Sn

+ ... +

an – Sn

Sn

,



(7)

или

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

(ak+1 + ... + an) – (n – k)Sn

Sn

.



(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

≤ ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

.



(9)

Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

< ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

,

или

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

<

(Sn)k

a1 a2 ... ak

,

откуда вытекает (2).

Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,

a1 + a2 + ... + an

n

=

n

a1 a2 ... an

.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ega-math.narod.ru/


1. Реферат на тему Death Essay Research Paper The Eminent DeathDuring
2. Курсовая на тему Профиль для металлических конструкций
3. Реферат на тему THE 1999 FORD MUSTANG Essay Research Paper
4. Курсовая Мировое хозяйство и его эволюция. Место России во всемирном мировом хозяйстве
5. Реферат Упраление персоналом
6. Реферат Роль рекламы в современном мире 2
7. Реферат Строительный подряд 2
8. Реферат на тему Tomato Fishing Essay Research Paper This Spring
9. Реферат Прибыль, рентабельность и цена
10. Реферат на тему Manhattan Project Essay Research Paper Date
Bukvasha