Статья

Статья Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 3.4.2025


Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a1 + a2 + ... + an

n

>

n

a1 a2 ... an

.


(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:

(Sn ) n > a1 a2 ... an .

(2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an.

(3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство


b



b – a

b

<

dt

t

= ln

b

a

<

b – a

a

,



a









(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a

b

= ln

b

a

=

b – a

a

.

Из (3) и (4)

Sn – a1

Sn

+

Sn – a2

Sn

+ ... +

Sn – ak

Sn

≤ ln

Sn

a1

+ ln

Sn

a1

+ ... + ln

Sn

ak

,



(5)

или

kSn – (a1 + a2 + ... + ak)

Sn

≤ ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

.



(6)

Опять-таки из (3) и (4)

ln

ak+1

Sn

+ ln

ak+2

Sn

+ ... + ln

an

Sn

ak+1 – Sn

Sn

+

ak+2 – Sn

Sn

+ ... +

an – Sn

Sn

,



(7)

или

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

(ak+1 + ... + an) – (n – k)Sn

Sn

.



(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

≤ ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

.



(9)

Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

< ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

,

или

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

<

(Sn)k

a1 a2 ... ak

,

откуда вытекает (2).

Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,

a1 + a2 + ... + an

n

=

n

a1 a2 ... an

.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ega-math.narod.ru/


1. Реферат на тему State Of The Union Essay Research Paper
2. Реферат на тему The Effects Of Marijuana On The Brain
3. Курсовая Рисковое венчурное инвестирование нововведений
4. Контрольная работа на тему Английский язык 2
5. Статья Развитие концепции управления цепочкой спроса на новых основаниях
6. Статья Теория словесности А.А. Потебни
7. Курсовая Періодизація історії міжнародного права
8. Курсовая Собственный капитал организаций, его создание и эффективность использования
9. Реферат на тему Einstein Cultural Icon Essay Research Paper Einstein
10. Контрольная работа Техника валютных операций 3