Краткое доказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:
А^x +В^y= С^z                                                /1/
не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.
Суть гипотезы Билля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А^x = С^z - В^y                                                         /2/
Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.
Уравнение /2/ запишем в следующем виде:
А^x = (С^0,5z)² – (В^0,5y)²                                 /3/
Обозначим:
В^0,5y =V                                                              /4/
С^0,5z =U                                                                         /5/
Отсюда:
В^y =V²                                                                         /6/
С^z =U²                                                                          /7/
В =                                                                          /8/
С =                                                                          /9/
Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:
А^x = С^z – В^y =U²-V²                                  /10/
Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А^x = (U-V)∙(U+V)                                      /11/
Для доказательства гипотезы Билля используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X                                                      /12/
Из уравнения /12/ имеем:
U=V+X                                                     /13/
Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:
А^x = X· (V+X+V)=X (2V+X)=2VХ+X²             /14/
Из уравнения /14/ имеем:
А^x – X²=2VХ                                                               /15/
Отсюда:

V=                                     /16/
Из уравнений /13/ и /16/ имеем:
U=  /17/
Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:
B =                        /18/
C =  /19/
Алгебраическое выражение  включает в себе возведение чисел в степень, вычитание одного числа из другого и деление их разности на число.
Алгебраическое выражение  включает в себе возведение чисел в степень, их сложение и деление суммы этих чисел на число.
Из анализа этих алгебраических выражений следует, что с помощью указанных математических действий нельзя получить числа, равные  и  соответственно, т.е.:
; /20/
, /21/
где: S и R – должны быть целыми числами.
Поэтому в соответствии с уравнениями /18/, /19/, /20/ и /21/:
 – дробное число;
 – дробное число.
Таким образом, числа В и С – дробные числа.
Следовательно, гипотеза Билля не имеет решения в целых положительных числах.