Краткое доказательство гипотезы Биля

Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:
А^x +В^y= С^z/1/
не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.
Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А^x = С^{z -} В^y/2/
Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.
Уравнение /2/ запишем в следующем виде:
А^x = (С^0,5z) ² - (В^0,5y) ² /3/
Обозначим:
В^0,5y =V /4/
С^0,5z =U /5/
Отсюда:
В^y =V² /6/
С^z =U² /7/
В =  /8/
С =  /9/
Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:
А^x = С^z -В^y =U²-V² /10/
Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А^x = (U-V) ∙ (U+V) /11/
Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X /12/
Из уравнения /12/ имеем:
U=V+X /13/
Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:
А^x = X· (V+X+V) =X (2V+X) =2VХ+X² /14/
Из уравнения /14/ имеем:
А^x - X²=2VХ/15/
Отсюда:
V= /16/
Из уравнений /13/ и /16/ имеем:
U=  /17/
Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:
B =  /18/
C =  /19/
Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа А на число X, т.е. число X должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А. Другими словами, число А должно быть равно:
A = N∙ X, /20/
где N - простое или составное целое положительное число.
Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений / 18/, /19/ и /20/ следует:
В=  /21/
C=  /22/
Обозначим:
P =  /23/
Q =  /24/
Тогда:
B =  /25/
С =  /26/
Из уравнений /23/ и /24/ имеем:
Q =  /27/
Таким образом, из уравнений /26/ и /27/ следует:
С =  /28/
Из анализа уравнений /25/ и /28/ следует, что поскольку разность между числами P и Q равна всего лишь:
Q - P = P + 1 - P = 1, /29/
то по меньшей мере одно из чисел В или С является дробным числом.
Допустим, что число В - целое число.
ПРИМЕРЫ: X=3³ = 27; P = 5³ =125; y=6.
По формуле /25/ имеем:
B =  = .
Тогда:
при z=6: С = =  - дробное число.
при z=5: С = =  - дробное число.
при z=4: С = =  - дробное число.
при z=3: С = =  - дробное число.
при z=7: С = =  - дробное число.
Очевидно, что если (a^{m) 2} = a^2m, то (a^m + 1^{) 2} ≠ b^2m,
где: a - целое число;
b - целое число.
Таким образом, одно из чисел В или С - дробное число. Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.