Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
Операторы проектирования.
Выполнил студент 5курса
математического факультета
Лежнин В.В.                           
 /подпись/
 

Научный руководитель:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов А.К.                             
 /подпись/
 

Рецензент:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная М.И.                           
 /подпись/
 

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой                              М.В. Крутихина
                             /подпись/                 <<       >>

 

Декан факультета                               В.И. Варанкина

                                    /подпись/           <<        >>
Киров
2003
Оглавление.
Введение.                                                                                       2
Часть I. Основные понятия и предложения.                                   2
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.            10
Часть III. Задача о дополняемости.                                               13
Литература.                                                                                   15
Введение.
В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается  вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.
Часть I. Основные понятия и предложения.
Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.
     Определение. Пусть d – метрика на  множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число , именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:
1.      £ +  "x, yÎX.
2.      =  "xÎX, "a - скаляра.
3.      > 0, если x¹0.
Примеры нормированных пространств.
1) l  - нормированное пространство, в котором элементы – последовательности комплексных чисел    x=(x , …,x , …), удовлетворяющие условию  <¥,
норма в таком пространстве определяется ;
2) L (0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < ¥,  и норма определена как  = .
3) С [0, 2p] – пространство непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p]. Норма в нем определяется  =
Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию
A(ax +bx ) = aAx +bAx .
Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x  области определения, если для любой окрестности V точки y = Ax  существует такая окрестность U точки x , что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.
Определение. Линейный оператор, действующий из Е в Е , называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.
Предложение 1.  Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.
Доказательство.
Пусть М – подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е  не ограничено. Тогда в Е  найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х  из М, что ни один из элементов Ах  не принадлежит V, и получается, что х  ® 0 в Е, но последовательность { Ах } не сходится к 0 в Е , а это противоречит непрерывности оператора А.
В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f  из Е
.
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .
Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называется проектором в пространстве X, если , т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.
Свойства проекторов.
Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).
1.     R(P) = N(I-P) = {xÎX, Px = x}, где I – тождественное отображение;
2.     R(P)ÇN(P) = {0} и X = R(P)+N(P);
Доказательство 1.
а)  Так как (I-P)P = IP-  = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);
б)  Если x принадлежит N(I-P),  то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);
Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).
Доказательство 2.
     Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};
Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);
     Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X.  Если  в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MÇN={0}, то говорят, что М дополняемо в X  и что X является прямой суммой подпространств X=MÅN.
     Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.
Теорема o замкнутом графике.
Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xÎX} (его график) замкнуто в X´Y. Тогда Т – непрерывно.
Предложение 2. Пусть Ù - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Ùx ¹0 для некоторого x из X.
Тогда если Ù непрерывен, то ядро N(Ù) замкнуто в X.
Доказательство.
Так как N(Ù) = Ù ({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность Ù влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).
 Теорема 1.
а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)ÅN(P);
б) Обратно: если Х является F-пространством и  X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АÅВ, то проектор Р с образом  А и ядром В непрерывен.
Доказательство:
а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит  по второму свойству проекторов X=R(P)ÅN(P);
Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .
Пусть последовательности x →x и Px →y.
Так как Px  принадлежит А, А – замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.
Аналогично x - Px  принадлежит В, В – замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px  поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.
Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.
Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение j:G´G®G, определенного равенством: j(x,y)=xy .
Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.
Определение. Пространство  X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.
Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T :X®X, причем
T  = T T , где s, t принадлежат G
и отображение (s, x) ® T x прямого произведения G´X в пространстве X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.
Теорема 2.
Пусть Y – дополняемое подпространство Фреше Х, и пусть компактная группа G непрерывна и линейно действует на Х, причем Т (Y)ÌY для любого sÎG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т .       
Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых, почти всюду конечных функций f  (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной функции f . Тогда
dm £ dm
Пример недополняемого подпространства.
Рассмотрим подпространство Y=H  пространства Х=L , где  L - пространство всех суммируемых функций на комплексной плоскости, а H  состоит из всех функций L , для которых (n)=0, при всех n<0. (n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f  и вычисляется:
(n)= e dx, (n=0, 1, 2, …).                (1)
(для простоты обозначается: f(x)=f(e  )).
В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу
e ÎG оператор сдвига t , полагая, что
(t f)(x) = f(x+s), где s – некоторое вещественное число.               (2)
Теперь посмотрим, как изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге:  ( )(n) = e dx.
Произведем замену: x+s = t Þ x = t-s. Тогда
( )(n)= e d(t-s) =
= e e dt=e e dt=e (n),
то есть   (t f) (n)= e (n).                                                     (3).
Так как  e ÎG, то  t (H ) = H  для любого вещественного s.
Если бы подпространство H  было дополняемо в L , то из Т2. следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L  на H , что t Q = Qt  для любого вещественного s.                   (4).                                  
Найдем вид проектора. Положим e (x)=e . Тогда t e =e e , а так как оператор Q линеен, то
Qt e  = e Qe .                                                                               (5).
Из (4) и (5) следует, что
(Qe )(x-s) = e (Qe )(x).                                                                 (6).
Пусть С  = (Qe )(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид
Qe  = C e .                                                                                          (7).
Воспользуемся тем, что образом оператора Q служит подпространство Н . Так как  Qe  принадлежит H  для любого n, то из (7) следует, что
С  = 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H , то С  = 1 при любом n³0.
Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:
Q( e )= e .                                                                 (8).
Рассмотрим функцию f  (x) = e , (0<r<1),                            (9).
  которая представляет собой ядро Пуассона: , в частности f >0. Поэтому
 = dx = dx = 1 для любого r.                           (10)         Но  (Qf )(x) = e  =                                                                (11).
Так как dx = ¥, то из леммы Фату следует, что  ® ¥, при
r ® 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.
Таким образом, доказано, что H  недополняемо в L .
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.
Гильбертово пространство.
Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:
а) (y,x)= , "x, yÎH;
b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z),  "x, y, zÎH;
c)  (ax,y)=a(x,y),   "x, yÎH, "aÎC;
d)  (x,x)³0,  "xÎH;
e)  (x,x)=0  Û x=0,  "xÎH;
Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение x^y).
Если Е подмножество Н, F подмножество H, то Е^F обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.
Через Е  обозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E.
Нормой в пространстве Н называется число  .
Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством.
Примеры гильбертовых пространств.
1) l  -  комплексное гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) = ;
2) L (0,1) - гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определено формулой
(f, g) = dx.
Теорема3:
М – замкнутое подпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М   (Н=МÅМ , М  - ортогональное дополнение к М).
Доказательство:
Если Е подмножество Н, то из линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Е  является подпространством в Н. Допустим, что элементы g  принадлежат Е  и сходятся к g. Тогда для любого f из E
(g, f) =  = 0, и потому g тоже входит в Е , значит Е  - замкнутое подпространство.
(1) Если х принадлежит М и х принадлежит М , то (х, х) = 0, а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно МÇМ ={0}.
(2) Пусть х принадлежит Н.
Рассмотрим множество х-М = {х-х : х ÎМ}, причем х  такой, что он минимизирует величину . Пусть х  = х-х , следовательно, £  для любых y из М, значит, х  принадлежит М , поэтому для любого х из Н х можно представить в виде х = х +х , где х  из М и х  из М .
Из (1) и (2) следует, что  Н представимо в виде прямой суммы М и М   Н=МÅМ , следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо.
Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве.
1) в l  рассмотрим  элементы  x = (x , …,x , …), у которых x = 0 при четных n и x  произвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в l  замкнутое подпространство. Назовем его X.
Рассмотрим также элементы y = (y , …, y , …), у  которых y  произвольные при четных n,  и y = 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространство в l , и при этом это подпространство является ортогональным дополнением к X, так как их скалярное произведение равно 0. Следовательно, по Т3. X дополняемо в H с помощью X .

2) L (0,1).
 Пусть X – подпространство L (0,1), состоящее из тех функций L (0,1), которые обращаются в 0 на интервале (0, а].
Пусть Y – подпространство L (0,1), состоящее из тех функций L (0,1), которые в ноль не обращаются  на интервале [a, 1).  
Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L (0,1) с помощью Y.
Часть III. Задача о дополняемости.
Пусть  С [0, 2p] - множество непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p].
Пусть Е – множество четных чисел и пусть
С  = {f(x)Î С : (n) = 0 "nÏE}.
Требуется доказать, что  С  дополняемо в С [0, 2p].
Доказательство:
Чтобы доказать требуемое, необходимо найти такой непрерывный проектор, который бы отображал множество С [0, 2p] на С (Т1.),  таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах, отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения.
Рассмотрим оператор  P = (t +I), где t  - оператор сдвига на p, а I - тождественное отображение.
t  ограничен, так как мы имеем дело с 2p периодическими функциями, так как
 =  = 1 , то есть С = 1.
А раз он ограничен, то следовательно и непрерывен (предложение 1).
I - тоже непрерывен.
Теперь посмотрим, как изменятся коэффициенты Фурье функций при таком отображении.
1)     n = 2k-1, где к – целое.
     (( )(2k-1)+( )(2k-1)) =
= (e (2k-1)+ (2k-1)) =   (2k-1)( e +1).   (*)
Так как  e =cos j+isin j, значит e  = cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p). 
При любом k – целом выражение cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p) = -1, а, следовательно, и выражение  (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0.
2)      n=2k, где k – целое.
  (( )(2k)+( )(2k)) =  (e (2k)+ (2k)) =
=  (2k)( e +1).   (**)
При любом k – целом выражение cos (2kp)+isin(2kp) = 1, а следовательно и выражение  (**) не изменяет своего  значения, то есть равно (2k). Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на четных номерах при таком отображении не изменяются, то есть оператор Р действительно является проектором.   
Таким образом, нашелся такой непрерывный проектор P: С [0, 2p]® С , следовательно С  дополняемо в С [0, 2p].
Литература.
1.     Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989.
2.     Рудин Уолтер. Функциональный анализ. М., Наука. 1975.
3.     Вулих Б.З. Краткий курс в теорию функций вещественной переменной. М., Наука. 1973.