В противоположность этому определения многогранника, рассмотренные ранее, состоят в указании его характерных свойств или, иначе говоря, в точном его описании. Такие определения называют дескриптивными, т.е. описательными.
Описательное определение многогранника позволяет судить о фигуре, является ли она многогранником или нет. Посмотрел со всех сторон на данное тело, увидел, что всюду его поверхность состоит из многоугольников, - значит, многогранник. Такой же характер имеют, например, обычные определения призмы и пирамиды.
Как и для многогранника, конструктивные определения можно дать многоугольникам многогранной поверхности. [2]
4) Другой подход к определению многогранника представлен в книге В.Г. Болтянского «Элементарная геометрия» [7], построенный на основе вейлевской векторной аксиоматики геометрии. Этот подход не применяется в школьных учебниках, но для примера можно привести одно из определений.
При вейлевском изложении геометрии первоначальными понятиями являются точка, вектор и следующие операции над ними: паре точек сопоставляется некоторый вектор, сумма векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение, а также их свойства.

Рис 1.3

A

B

C

D

A1

D1

C1

B1

Наиболее известным примером многогранника является параллелепипед. Его можно описать следующим образом. Берется параллелограмм ABCD и из его вершин откладываются равные векто­ры АА₁=ВВ₁ =СС₁ =DD₁ =e, где с      не параллелен плоскости параллелограмма ABCD (рис. 1.3). [7]
Определение частных видов многогранников (призмы, пирамиды и др.) в данном подходе  практически не отличаются от определений в школьном курсе, однако интересен сам подход к определению на основе другой аксиоматике.
Таким образом,  определение многогранника может быть дано различными способами, и в разной литературе и в разных учебниках можно встретить различные подходы к определению.
Можно  дать понятию многогранника как дескриптивное, так и конструктивное определение, как определение, основанное на наглядном представлении, так и строгое. Можно определить многогранник как тело и как поверхность. Различны также определения многогранника, данные на основе различных аксиоматик. В школьных учебниках чаще дается какое-то одно определение, но полезно учащимся показывать и другие способы определения многогранника.
Как и при введении понятия многогранника, существуют различные  способы введения выпуклых многогранников и правильных многогранников. Рассмотрим эти способы подробнее.
1.2 Подходы к определению выпуклого многогранника.
После введения понятия многогранника в школе, как правило, рассматривают выпуклые многогранники. Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоуголь­ников, так и выпуклых многогранников занимает очень большое место в школьном курсе геомет­рии. Однако точный смысл понятия «вы­пуклый» в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать вы­пуклости рассматриваемых многоугольни­ков и многогранников, нигде не объясняют­ся. Учащиеся часто вообще не воспринима­ют смысла прилагательного «выпуклый» и лишь по привычке, машинально в ответ на предложение изобразить какой-либо че­тырехугольник рисуют фигуру, изображен­ную на рисунке l.4,а (а иногда даже фигуру, изображенную на рис 1.4,б), а не фигу­ру, изображенную на рис l.4,в. При этом может показаться, что лишь недостаток об­щей математической культуры заставляет их считать все четырехугольники выпуклы­ми, подобно тому как наиболее слабые школьники иногда не в состоянии предста­вить себе четырехугольника, отличного от прямоугольника (рис. 1.4,б), параллело­грамма или, в лучшем случае, от трапеции. В некоторых случаях игнорирование усло­вия о выпуклости многоугольника или мно­гогранника оказывается даже совершенно законным - какую, например, ценность имеет оговорка о выпуклости в теореме: сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) .180°  Условие этой теоремы пол­ностью сохраняет силу и для невыпуклых (простых) многоугольников; так, например, ясно, что сумма углов и невыпуклого четы­рехугольника (рис. 1.4,в) равна 360°. Прав­да, приводимое в школе доказательство теоремы справедливо лишь для выпук­лых многоугольников.

Рис 1.6

Рис 1.5

A

B

Понятие выпуклого многогранника чаще всего вводят по аналогии с выпуклым многоугольником. Очень хорошо эта аналогия просматривается в учебнике Александрова [3]. Существует два способа определения выпуклого многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей. Такой подход принят в учебниках [4] и [22]. Либо многогранник называется выпуклым, если любые две его точки могут быть соединены отрезком. Такое определение дается в учебнике [28]. В учебнике [3] за основу берется второе определение и доказывается возможность другого (в нашем случае первого) определения.
Остановимся подробнее на втором определении. Чаще всего в геометрии рассматривают связные фигу­ры, т. е. такие, в которых любые две точки можно соединить линией, целиком принад­лежащей этой фигуре. При этом соединяю­щая линия может оказаться довольно слож­ной (рис 1.5). Естественно выделить класс фигур, для которых в качестве линии, со­единяющей две ее точки  А, В, всегда мож­но выбрать самую простую линию - прямо­линейный отрезок АВ. Такие фигуры на­зываются выпуклыми.
Фигура F называется вы­пуклой, если вместе с каждыми двумя точ­ками  А, В она целиком содержит и весь отрезок АВ. Примеры выпуклых фигур показаны на рис.1.6; на рис. 1.7 изображены неко­торые невыпуклые фигуры.
Кроме плоских, можно рассматривать пространственные выпуклые фигуры (их обычно называют выпуклыми телами). Примерами могут служить тетраэдр, параллелепипед, шар, шаровой слой и другие.

Рис. 1.7

Выпуклые тела в прост­ранстве можно определить как пересечение некоторого множества полупространств. Простейшими выпуклыми телами являются те, которые можно представить в виде пере­сечения конечного числа полупрост­ранств. Такие выпуклые тела называются выпуклыми многогранниками.

Рис. 1.8

A •

Свойство, положенное в основу опреде­ления выпуклых фигур (существование в фигуре прямолинейного отрезка, соединя­ющего любые две ее точки), с первого взгляда может показаться несущественными, даже надуманным. В действительности же выделяемый этим определением класс выпуклых фигур является весьма интерес­ным и важным для геометрии. Дело в том, что «произвольные» геометрические фигу­ры могут быть устроены необычайно слож­но. Например, определить, находится ли точка А «внутри» или «вне» замкнутого многоугольника, изображенного на рис1.8, совсем не просто. Если же рассмат­ривать фигуры, не являющиеся многоугольниками, то можно столкнуться и с гораздо большими сложностями. Существует, например, плоская фигура, ограниченная не пересекающей себя замкнутой линией и в то же время не имеющая ни площади, ни периметра . Для выпуклых фигур такие чудовищные явле­ния не могут иметь места: внутренняя об­ласть выпуклой фигуры сравнительно про­сто устроена, любая ограниченная плоская выпуклая фигура обладает определенными площадью и периметром, а пространствен­ное выпуклое тело - объемом и площадью поверхности и т. д. Таким образом,  выпуклые фигуры со­ставляют класс сравнительно просто устро­енных фигур, допускающих изучение геометрическими методами.
С другой стороны, класс выпуклых фигур является достаточно обширным. Так, все фигуры и тела, рассматриваемые в элементарной геометрии, либо являются выпуклыми, либо представляют собой несложные комбинации выпуклых фигур и тел. [6]
1.3 Подходы к определению правильного многогранника.
После введения выпуклых многогранников изучаются их виды: призмы, пирамиды и их разновидности. Практически во всех учебниках они определяются одинаково. А при введении определения правильного многогранника авторы учебников расходятся во взглядах. Поэтому интересно рассмотреть различные подходы к определению понятия правильного многогранника и их методические осо­бенности.
В различных учебниках по стереометрии используются разные определения этого понятия. Так, в учебнике [4] и других выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В учебнике [22] вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. Пособие А.Д. Александрова и других [3] по сравнению с учебником [4] накладывает дополнительное требование ра­венства всех двугранных углов правильного многогранника. При этом многогранник называется выпуклым, если любые две его точки соединимы в нем отрезком.  [3]
Учебное пособие [16] дает такое определение: выпуклый многогранник называется правиль­ным, если все его грани - конгруэнтные правильные многоугольники, и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней. 
  В [15] многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. И, наконец, в книге [9] сказано: многогранник называется правильным, если все его грани ­равные правильные многоугольники, и все его двугранные углы равны.
Как видим, во всех перечисленных учебниках даются раз­личные определения понятия правильного многогранника, использующие разные свойства правильных многогранников.
  Перечислим их:
1°. Выпуклость многогранника.
2°. Все грани - равные правильные многоугольники.
3°. Все грани - правильные многоугольники с одним и
тем же числом сторон.
4°. В каждой вершине сходится одинаковое число ребер.
5°. Все многогранные углы имеют одинаковое число гра­ней.
6°. Равны все многогранные углы.
7°. Равны все двугранные углы.
Возможны и другие свойства правильных многогранников,
например:
8°. Равны все ребра многогранника.
9°. Равны все плоские углы многогранника.
Какие же свойства следует взять для определения пра­вильного многогранника? Каким методическим требованиям оно должно удовлетворять?
Нам представляется, что для отбора свойств в определе­нии правильного многогранника нужно руководствоваться следующими требованиями:
- Всякое определение должно быть полным, т. е. вклю­чать те свойства, которые полностью определяют данное по­нятие. Иными словами, любое свойство данного понятия должно быть выводимо из свойств, перечисленных в опреде­лении.
- Всякое определение должно быть по возможности эко­номным, т. е. не содержать лишних свойств, которые выво­дятся из остальных свойств правильного многогранника.
- Определение понятия правильного многогранника должно отражать уже имеющиеся представления учащихся о слове "правильный" (правильный многоугольник, правильная пирамида и т. д.).
- Определение понятия правильного многогранника должно быть пространственным аналогом определения понятия правильного многоугольника на плоскости.
- Определение правильного многогранника должно до­пускать возможные обобщения, например, на случай полу­правильных и топологически правильных многогранников.
- Определение должно быть педагогически целесообраз­ным, т. е. свойства, включенные в него, должны в той или иной степени использоваться при изучении правильных мно­гогранников, нести определенные педагогические функции.
Пространственными аналогами определе­ния правильного многоугольника являются определения, данные в пособиях [15]и [9]. К числу достоинств этих опре­делений мы относим и то, что в них отсутствует требование выпуклости, которое, с одной стороны, является довольно сложным для учащихся, а с другой - фактически не используется при доказательстве теорем и решении задач. К недостаткам этих определений следует отнести то, что они не обобщаются на случаи полуправильных и топологически правильных многогранников. Например, равенство двугранных углов не переносится на случай полуправильных много­гранников.
Для определения топологически правильных многогранников следует использовать свойства, носящие топологиче­ский характер. Такими свойствами из перечисленных выше являются 3°, 4° и 5°. Поэтому лучше всего для этих целей подходит определение правильных многогранников, данное в учебнике [22].
Таким образом, мы видим, что ни одно из рассмотренных выше определений правильного многогранника не является универсальным,   т. е. удовлетворяющим всем требованиям. В зависимости от целей обучения следует выбирать и соответствующее им определение. Так, если надо только ознако­мить учащихся с определением правильного многогранника, установив аналогию с определением правильного многоуголь­ника, не исследуя при этом подробно свойства правильных многогранников, то целесообразно использовать определения, данные в пособиях [15] и [9]. Если же мы  хотим рассмотреть свойства правильных многогранников более подробно, в ча­стности перейти к полуправильным и топологически пра­вильным многогранникам, то лучше всего обратиться к оп­ределениям из учебников [4] и [22]. [29], [27]
2.Изучение многогранников в школьном курсе математики.
В школьных учебниках после изучения «бес­конечно-протяженных» и в силу этого весьма абстрактных геомет­рических фигур: прямых и плоскостей (вернее сказать, их взаимного расположения в пространстве) изучаются зримые, «конечные», даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в пер­вую очередь многогранники. Многогранник {точнее, модель много­гранника) можно изготовить, повертеть в руках, «развернуть» его поверхность или даже «разрезать» - посмотреть на сечение. В дан­ной теме это весьма существенно, и учителю необходимо использо­вать значительно расширившиеся возможности привлечения наглядности, наглядных средств (не забывая уделять достаточное внима­ние и построению проекционных чертежей). О наглядных средствах поговорим немного позднее.
Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изу­чение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматри­ваются простые характеристики - численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей, - и качественные, типа «правильности». Собственно говоря, качественные характеристики - ­это одна из основ классификации многогранников. Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные много­гранники (пять «платоновых тел»), то логическую схему классификации «школьных» многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и строго опреде­ляются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды. Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов - призмы и пирамиды бывают n-угольными, где n = 3, 4, 5,… .       Более детальная классификация - по взаимному располо­жению ребер и граней, по виду граней. Для призм  она относительно «разветвленная»:

призмы

наклонные

прямые

Правильные призмы

параллелепипеды

И далее:

параллелепипеды

наклонные

прямые

прямоугольные

куб

Школьная классификация пирамид менее разветвленная:

пирамиды

тетраэдры

не тетраэдры

Правильный тетраэдр

Правильные пирамиды

 

Первая задача учителя - добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естествен­ный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников - параллелепипе­дам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов); 2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы);         3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.
Последнее преимущество обусловлено свойствами симметрично­сти; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избран­ным» многогранникам, причем совсем просто доказываются и на­половину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). По­этому вторая задача учителя - добиться знания учащимися всех теорем (с доказательствами).
Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - на­учить школьников решать задачи. Практически все задачи (упраж­нения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем рас­крываются большие возможности в  продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах на­ходят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, све­дение стереометрических задач к планиметрическим.
Рассмотрим изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном.
       2.1 Учебник Атанасяна Л.С.
Рассмотрим изучение темы «Многогранники» по учебнику Атанасяна. Этот учебник предназначен для общеобразовательной школы. Остановимся на нем подробнее.
Данная тема изучается в главе 3. На изучение ее отводится 12 уроков. Ниже приведено поурочное планирование в таблице.

Номер   урока	Содержание учебного материала
1-4	§1. Понятие многогранника. Призма. Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы. ( п.25-27)
5-9	§2. Пирамида. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды. (п.28-30)
10	§3. Правильные многогранники. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников. (п. 31-33)
11	Контрольная работа.
12	Зачет по теме.

Еще до изучения темы «Многогранники» учащиеся знакомятся с их простейшими видами в главе 1 §4 «Тетраэдр и параллелепипед». На их изучение отводится 5 часов. Понятия тетраэдра и параллелепипеда вводятся в данной главе для того, чтобы рассмотрение их свойств, построение сечений способствовали углублению понимания вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей, поэтому необходимо, чтобы решение задач сопровождалось ссылками на аксиомы, определения и теоремы.
При объяснении понятий тетраэдра и параллелепипеда необходимо подчеркнуть, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (многоугольников).
Для формирования у учащихся представления о способах изображения на чертеже тетраэдра и параллелепипеда полезно с помощью диапроектора показать на экране различные проекции их каркасных моделей. Полезно также обсудить простейшие свойства параллельной проекции.
В результате изучения  параграфа учащиеся  должны уметь объяснить, что называется тетраэдром, параллелепипедом, указывать и называть на моделях и чертежах элементы этих многогранников; знать свойства граней и диагоналей параллелепипеда; уметь изображать тетраэдр и параллелепипед, строить их сечения.
Основная цель темы «Многогранники» - дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников.
Учащиеся уже знакомы с такими понятиями, как тетраэдр и параллелепипед, и теперь им предстоит расширить представления о многогранниках и их свойствах. В учебнике нет строгого математического определения многогранника, а приводится лишь некоторое описание, так как строгое определение громоздко и трудно не только для понимания учащимися, но и для его применения. Такое наглядное представление о геометрических телах вполне достаточно для ученика на первичном уровне рассмотрения понятия. Ниже, в п. 26, рассматривается определение геометрического тела, в связи с чем вводится ряд новых понятий. Этот материал могут прочитать самостоятельно наиболее подготовленные учащиеся, проявляющие повышенный интерес к математике.
На уроке, используя модели многогранников (куб, параллелепипед, тетраэдр, призма), необходимо назвать учащимся их элементы: вершины, грани, ребра, диагонали граней и диагонали рассматриваемых тел. Важно, чтобы школьники усвоили эти понятия, что позволит правильно понимать формулировки задач, не смешивая названия различных элементов в процессе их решения. После этого вводится понятие выпуклого и не выпуклого многогранников; обязательно учащимся показать примеры невыпуклых многогранников.
Призма А₁ А_2… А_n В₁ В₂ …В_n определяется как многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁ А_2… А_n и В₁ В₂ …В_n , расположенных в параллельных плоскостях, и n-параллелограммов А₁ А₂ В₂ В₁, …, А_n А₁ В₁ В_n. Далее вводятся  определения элементов призмы, с помощью моделей разъясняются понятия прямой призмы, наклонной призмы, правильной призмы. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что четырехугольная призма – это знакомый им параллелепипед. У произвольного параллелепипеда все шесть граней – параллелограммы, а боковые грани – прямоугольники, у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней – прямоугольники. При изучении площади поверхности призмы доказывается теорема о площади боковой поверхности прямой призмы.
Пирамида определяется как многогранник, составленный из n-угольника А₁ А₂ … А_n и n-треугольников. При введении понятия правильной пирамиды следует акцентировать внимание учащихся на двух моментах: основание пирамиды – правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Можно устно доказать, что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. После этого вводится понятие апофемы правильной пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины), при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.
При изучении теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды полезна символическая запись доказательства. Пусть сторона основания n-угольной пирамиды равна а, апофема равна d, S_∆ - площадь боковой грани. Тогда
S_бок=n∙ S_∆,   S_бок=n∙ ad,  S_бок= (n∙a)∙d,   S_бок= Pd,  где P – периметр основания пирамиды.
Далее вводится понятие усеченной пирамиды. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника: один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой. Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. При выполнении рисунков к задачам на усеченную пирамиду удобно вначале начертить полную пирамиду, а затем выделить усеченную пирамиду.
При введении понятия правильной усеченной пирамиды надо отметить, что ее основания – правильные многоугольники, а боковые грани – равные равнобедренные трапеции; высоты этих трапеций называются апофемами усеченной пирамиды. Также выводится  формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.
Последнее, что изучается в теме «Многогранники» в учебнике [4], это симметрия в пространстве и понятие правильного многогранника. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. При введении понятия правильного многогранника нужно подчеркнуть два условия, входящие в определение: а) все грани такого многогранника – равные правильные многоугольники; б) в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. В учебнике доказано, что существует пять видов правильных многогранников и не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n ≥ 6. Целесообразно предложить учащимся изготовить дома  модели правильных многогранников. Для этой цели надо использовать развертки, изображенные в учебнике.
Таким образом, в данном учебнике многогранники изучаются  с опорой на наглядность, предметы окружающей действительности.
Весь теоретический материал темы относится либо к прямым призмам, либо к правильным призмам и правильным пирамидам. Все теоремы доказываются достаточно просто, результаты могут быть записаны формулами, поэтому в теме много задач вычислительного характера, при решении которых отрабатываются умения учащихся пользоваться сведениями из тригонометрии, формулами площадей, решать задачи с использованием таких понятий, как «угол между прямой и плоскостью», «двугранный угол» и др. [4], [24]
2.2Учебник Смирновой И.М.
Данный учебник предназначен для преподавания геометрии  10-11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.
Как и в [4], особенностью  учебника является раннее введение пространственных фигур, в том числе многогранников, в п.3 «Основные пространственные фигуры». Цель – сформировать представления учащихся об основных понятиях стереометрии, ознакомить с пространственными фигурами и моделированием многогранников. Вводиться понятие многогранника как пространственной фигуры, поверхность которой состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны этих многоугольников называются ребрами многогранника, а вершины многоугольников – вершинами многогранника.
Учащимся демонстрируются следующие многогранники:
  - куб – многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;
  -  параллелепипед – многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов;
  -  прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани – прямоугольники;
  -  призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма два противоположных ребра лежат на основаниях призмы);
  -  прямая призма – призма, боковые грани которой - прямоугольники; правильная призма – прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники;
  -  пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды;
  -  правильная пирамида – пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны.
Показываются более сложные многогранники, в том числе правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Рассматривается несколько способов изготовления моделей многогранников из разверток и геометрического конструктора. Моделирование многогранников служит важным фактором развития пространственных представлений учащихся.
Таким образом, к началу непосредственного изучения темы «Многогранники» учащиеся уже знакомы (на доступном для них уровне ) с традиционным материалом по этой теме. Появляется возможность расширить представления учащихся о многогранниках, рассмотрев с ними более подробно правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.
Основная цель данного раздела – ознакомить учащихся с понятием выпуклости и свойствами выпуклых многогранников, рассмотреть теорему Эйлера и ее приложения к решению задач, сформировать представления о правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках.
Можно привести примерное тематическое планирование данной темы.

Пункт учебника	Содержание	Кол-во часов
18	Выпуклые многогранники	2
19	Теорема Эйлера	2
20*	Приложения теоремы Эйлера	2
21	Правильные многогранники	2
22*	Топологически правильные многогранники	1
23	Полуправильные многогранники	2
23	Звездчатые многогранники	1

Среди пространственных фигур особое значение имеют выпуклые фигуры и, в частности, выпуклые многогранники. Данное понятие в учебнике вводится следующим образом: многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Далее рассматриваются свойства выпуклых многогранников.
После изучения выпуклых многогранников рассматривается теорема Эйлера и ее приложения. В качестве таких приложений рассматриваются задача о трех домиках и трех колодцах, проблема четырех красок, вводится понятие графа.
Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Рассматриваются пять видов правильных многогранников, некоторые виды полуправильных и четыре звездчатых многогранника.
При изучении правильных, полуправильных и звездчатых многогранников следует использовать модели этих многогранников, изготовление которых описано в учебнике, а также графические компьютерные средства. [28], [27], [29], [30]
2.3 Учебник Александрова А.Д.
 Данный учебник предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе  не доступны даже для  «сильных» учеников, например, сферическая геометрия.
Отметим особенности изучения многогранников в данном учебнике. Во-первых, многогранники изучаются после круглых тел. Во-вторых, при изучении многогранника и его элементов прослеживается связь с многоугольником. Вследствие чего возможны две последовательности изложения темы: 1) обобщить понятие многоугольника, затем разобрать аналогичные вопросы в пространстве; 2) пользуясь §21 учебника, дать сначала определение многогранника, далее обобщить понятие многоугольника. Особенностью является  введение двух определений призмы (как в учебниках, рассмотренных выше, и как цилиндр, в основании которого лежит многоугольник), причем доказывается равносильность этих определений. Аналогично дается другое определение пирамиде: как конус с многоугольником в основании. Пункт 23.6 содержит раздел о триангулировании многогранника, и в нем дается другое, конструктивное определение многогранника. §24 «Выпуклые многогранники» впервые излагается в столь серьезном виде, рассматривается вопрос равносильности  двух определений выпуклого многогранника. Изложение темы «Правильные многогранники» также отличается от ее изложения в учебниках по геометрии других авторских коллективов: сначала показываются пять типов правильных многогранников, построением доказывается, что все пять типов правильных многогранников существуют, и только после этого доказывается, что других правильных выпуклых многогранников быть не может. Обычно же после определения сразу доказывалась теорема, а существование показывалось позже, что усложняло методику рассказа.
Таким образом, учебник содержит очень богатый теоретический материал по многогранникам, которого нет в других учебниках по геометрии, также он может быть использован как учебник для дополнительного изучения в основной школе. Ниже в таблице приведено примерное поурочное планирование материала. [3],[20]

№ урока	Содержание учебного материала
1-2	Обобщение понятие многоугольника. Многогранник.
3-5	Призма, параллелепипед. Упражнения.
6-10	Пирамида. Виды пирамид. Упражнения.
11-13	Выпуклые многогранники.
14-16	Теорема Эйлера. Развертка выпуклого многогранника.
17-19	Правильные многогранники.

Подводя итоги выше сказанного, можно сказать, что во всех учебниках при изучении многогранников рассматривается практически одни и те же основные темы: определение многогранника, выпуклые многогранники, призма, пирамида, правильные многогранники. Разница лишь в глубине изучения этих вопросов: в гуманитарных классах [28] тема изучается более поверхностно, практически без доказательств, в классах с углубленным изучением математики [3] данный вопрос рассматривается глубоко, с научными обоснованиями. Также есть различия в некоторых дополнительных темах, например, полуправильные и звездчатые многогранники рассматриваются только в [28]. В настоящее время во многих общеобразовательных школах идет обучение по учебнику [4], поэтому при выборе содержания можно опираться на него.
3. Виды и роль наглядных средств при  изучении многогранников.
Тема «Многогранники», как никакая другая тема школьного курса стереометрии, за исключением, быть может, изучения круглых тел, дает широкие возможности использования различных наглядных средств.
Наглядность является обязательным качеством любого обучения. Путем целенаправленных действий мы формируем в созна­нии учащегося некоторую систему понятий, отношений между ними. Для того чтобы обучение было успешным, необходимо, чтобы ученик мог воспринимать эту систему и работать с ней. Но для этого, в свою очередь, необходимо предъявить ученику некоторую ее материальную модель. Для этого применяют наглядные средства обучения. Например, если изучается понятие пирамиды, то такой моделью может быть: 1) словесное описание (определение) этого понятия; 2) объемная модель пи­рамиды (каркасная или сплошная); 3) ее развертка; 4) изображе­ние пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране и т. п.  Все перечисленные объекты являются материальными мо­делями, с той или иной стороны отражающими понятие пирамиды.
Основными наглядными средствами при изучении многогранников являются объемные модели. Такие модели, сделанные из разных материалов, соответствуют различным дидактическим целям.
Так, например, с помощью картонной модели можно показать форму многогранника. Также на таких моделях удобно показать развертку поверхности тела. Но из-за непрозрачности картона уже нельзя использовать картонные многогранники для демонстрации сечения тел и тел, вписанных друг в друга.  Стеклянные мо­дели рекомендуется использовать в тех случаях, когда необходимо показать в много­граннике сечение или другое вписанное в него геометрическое тело. Деревянные модели отличаются прочностью. Проволочные каркасные модели также находят широкое применение на уроках стереометрии. Они позволяют показать виды, элементы и про­екцию многогранника на плоскость (тень модели на листе белой бума­ги), сечение многогранника плоскостью, комбинации геометрических тел. Такая модель является связующим звеном между объемной моделью многогранника и чертежом на бумаге. Можно перечислить серии каркасных моделей, которые могут быть использованы на уроке: набор моделей правильных призм и пирамид (полных и усечен­ных), набор моделей четырехугольных пирамид, вершины которых проектируются в точку пересечения диагоналей основания (кроме основного контура, модель должна иметь высоту, диагональ основания и высоты боковых граней), набор моделей на комбинации многогранников.
Выпускаемые промышленностью модели не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обуче­нии школьников математике. Поэтому учителя часто прибегают к из­готовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют не­обходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усовер­шенствования, учитель привлекает учащихся к изготовлению нового ва­рианта модели. Это содействует по­лучению учащимися более глубоких и прочных знаний, умений применять теоретический материал на практике. Модели как фабричного, так и самодельного изготовления мо­гут быть использованы при введении новых понятий и доказательстве тео­рем, при решении задач, при выпол­нении практических и лабораторных работ.
Другим удобным видом учебного оборудования являются резиновые штем­пели (штампы) с изображением различных плоских и объемных фи­гур, графиков, таблиц и т. д. К сожалению, такое средство обучения сейчас редко встречается в школе. При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штемпелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени. Естественно, применение штемпелей недолжно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен вначале научить учащихся изображать фи­гуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных кон­трольных заданий. Можно, например, заготовить 35-40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, про­ставив размеры, получить набор индивидуальных заданий.
Также при изучении многогранников  можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его за­креплению. С помощью рабочих таблиц возможно осуществить вы­полнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков, можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед всем клас­сом. Например, при ведении понятия «пирамида» можно использовать таблицу с изображением пирамиды, ее основных элементов и частных видов. В отличие от рабочих таблиц справочные таблицы, т.е. таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зри­тельный аппарат учащегося. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является  (помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль) их дидактическая направлен­ность. Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др. Примером таких таблиц может служить таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», в которой изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади поверхности для каждого вида.
Большие возможности воспитания само­стоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной ос­новой. В настоящий момент они все чаще появляются в школах. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоя­тельной работы на этапе закрепления и пов­торения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально исполь­зовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста заданий и основное внимание сосредоточивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь. Как правило, такие тетради чаще используются в младших классах. Тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Задания могут дать ученику образец способа рассуждений, решения, данные в тетради, могут содержать пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью (причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций). Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать понятия и прививать учащимся навыки решения типовых задач.
Также нельзя забывать и про такие средства обучения как диапозитивы, кодопозитивы, компьютерные средства, которые могут быть эффективно применены при изучении многогранников и не только их.
Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний. Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдви­гается даже дидактическое правило: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики. Принять такую точку зрения и вытекающее из нее дидактическое правило нель­зя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступе­нях обучения.  
Таким образом, готовясь к конкретному уроку, учитель выбирает те средства, с которыми легче организовать необходимую работу учащих­ся, т. е. наиболее в данный момент простые для их восприятия. Например, если на уроке предполагается начать знакомство с понятием какого-то частного вида многогранника, то наиболее удобными окажутся объемные изображения или изображения на киноэкране. В процессе же за­крепления этого понятия достаточно просты для восприятия пло­ские чертежи или словесные описания.
Таким образом, чтобы некоторая материальная модель позво­ляла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприя­тия учащихся. [19], [21]
 
4.Опорные задачи по теме «Многогранники».
Как уже говорилось, изучение многогранников является важнейшей частью курса стереометрии. Они дают богатый задачный материал как при изучении самой темы «многогранники», так и при изучении последующих тем стереометрии. Чаще всего в учебниках мало простых задач «на геометрические тела», поэтому на уроке удается решить всего 2-3 задачи средней трудности. Но они не всем ученикам под силу. Если ограничиваться только такими задача­ми, то многие ученики не смогут принимать актив­ное участие в их решении, и будут отставать. Если же специально уделять на уроке время для задач, которые сводятся к одной-двум операциям и пото­му доступны для устного решения, то можно втя­нуть в работу всех учеников.
Устное решение задач «на многогранники» зна­чительно улучшает пространственное мышление уча­щихся, которое играет важную роль в стереометрии. Поэтому подробнее остановимся именно на таких задачах.
Так как основные геометрические тела, изучаемые в школе, это призмы и пирамиды, то задачи, приведенные ниже, посвящены темам: «Призма. Пирамида. Их сечения. Площади полной и боковой поверхностей». Кроме того, задачи разбиты на типы: задачи на доказательство, на исследование, на построение, на вычисление.
 Большое количество задач можно предлагать для решения вместе с готовым рисунком, когда один рисунок будет сопровождать несколько задач, в которых идет речь об одном и том же геометрическом теле. Но готовые рисунки сопутствуют далеко не всем задачам, поскольку само изготовление изоб­ражения является важной частью решения. Учитель может варьировать стратегию обучения. В одних случаях - начинать с готового рисунка, а в других ­демонстрировать рисунок (на откидной доске или на экране) только после того, как учащиеся сами сделали нужные изображения в своих тетрадях.
4.1 Задачи по теме «Призма».
 Для простоты введем обозначения. Буквами а, b, c обозначим соответственно длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, бук­вой d - длину диагонали основания. Прописные буквы Н, D и P соответствуют высоте, длине наибольшей диагонали призмы и периметру ее ос­нования, а буквы s, Q , S_б и S_n - площадям: s – основания, Q - диагонального сечения, S_б - боко­вой поверхности, S_n - полной поверхности приз­мы. Угол между диагональю прямоугольного парал­лелепипеда и плоскостью основания обозначаем греческой буквой γ.
1) Задачи на вычисление.
Четырехугольная призма.
  Перед решением задач 1 и 2 следует повторить формулы для вычисления элементов куба со сторо­ной a:
, , , .
Задача 3 и некоторые из следующих за ней, в которых речь идет о прямоугольном параллелепипеде, потребуют использования формул:
D²= а²+ b²+ с² ,d²=a² +b² , s = аb, Q = d ∙ с, S_б= Р∙с.
1. Ребро куба равно а. Найдите: диагональ гра­ни; диагональ куба; периметр основания; площадь грани; площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной и той же вершины.  .
2. По рис. 4.1 и по данным элементам в табл. 1 найдите остальные элементы куба.
Таблица 1

а	d	D	s	Q
5
	14
		11
			196

3. По рис.4.2 и по данным элементам в табл. 2 найдите остальные элементы прямоугольного па­раллелепипеда.
Таблица 2.

а	b	с	d	D	γ	s	Q
3	4	5
5	12
7	24				45˚
8	6
15		17	17

D

d

D

d

a

b

c

γ

Рис4.1

Рис4.2

4. Перпендикулярным сечением наклонной 4-угольной призмы является ромб со стороной 3 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если боковое ребро равно 12 см.
5. Найдите боковую поверхность наклонного параллелепипеда с боковым ребром 32 см и смеж­ными сторонами перпендикулярного сечения 10 см и 8 см.
6. Сторона основания правильной четырехуголь­ной призмы равна 3 см. Высота призмы - 5 см. Найдите: диагональ основания; диагональ боковой грани; диагональ призмы; площадь основания; площадь диагонального сечения; площадь боковой поверхности; площадь поверхности призмы.
7. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна -32 см, а площадь поверхности 40 см. Найдите высоту призмы.
Решение. Площадь основания равна S= (см²),  сторона основания - 2 см, периметр основания Р = 8 см, а высота призмы (см²).
Треугольная, шестиугольная и n-угольная призмы.
Перед решением задач целесообразно повторить формулы; S_б = РН и     S_п = 2S_б + 2s для произволь­ной призмы, а также формулы:
Р = 3а, s =  - для правильной треугольной и
Р = 6а, s =  -для правильной шестиуголь­ной призмы со стороной основания а.
8. Расстояния между боковыми ребрами наклон­ной треугольной призмы равны: 2 см, 3 см и 4 см. Боковая поверхность призмы - 45 см'. Найдите ее боковое ребро.    ­

Рис. 4.3

Рис.4.4

Решение. В перпендикулярном сечении призмы - треугольник (рис. 4.3), периметр которого 2 + 3 + 4 = 9 (см), поэтому боковое ребро равно 45 : 9 = 5 (см).
9. Вычислите площадь боковой поверхности пра­вильной треугольной призмы, если известно, что площадь сечения, проходящего через средние ли­нии оснований, равна 25 см'.
Решение. В сечении - прямоугольник, у ко­торого одна сторона равна боковому ребру, а дру­гая - половина стороны основания (рис. 4.4). Следо­вательно, его площадь в 2 раза меньше площади бо­ковой грани. Итак, площадь боковой грани 50 см', а боковой поверхности – 50 ∙ 3 = 150 (см').
10. Каждое ребро правильной треугольной приз­мы равно 12 см. Вычислите: площадь основания; площадь боковой поверхности; площадь поверхно­сти; площадь сечения, проведенного через медиану основания и боковое ребро, которые проходят через одну вершину основания.
11. В прямой треугольной призме все ребра рав­ны. Площадь боковой поверхности 12 см'. Найди­те высоту.
12. Найдите неизвестные элементы правильно  треугольно        й призмы по элементам, заданным в табл.3.

а	Н	Р	Sб	Sп
6			90
		6
	15		90
		12	144
			108	12б

Рис45

Рис46

13. Найдите площадь боковой поверхности пра­вильной шестиугольной призмы, если дана площадь Q большего диагонального сечения.
  Решение. Площадь большего диагонального сечения (рис. 4.5) Q=2aH, aH= . Площадь боковой поверхности равна 6∙Q = 3Q.
14. Через две неравные диагонали основания пра­вильной 6-угольной призмы проведены диагональ­ные сечения. Найдите отношение их площадей.
Решение. Отношение площадей диагональных сечений (рис. 4.5-4.6) равно отношению неравных диагоналей правильного 6-угольника, сторона ко­торого а: S₁,: S₂ = 2а : а = 2 : .
15. По элементам, данным в табл. 4, найдите неизвестные элементы правильной шестиугольной призмы.
 Таблица 4

а	Н	Р	Sб	Sп
4	7
6			720
	5	18
	20		240
		12	144

16. В правильной n-угольной призме проведена плоскость под углом 60˚ к основанию так, что она пересекает все боковые грани призмы. Площадь основания равна 50 см². Найдите площадь сечения.
Решение. S_осн = S_сеч ∙ cos 60,
                   S_{се ч}= =100 (см ²).
17. Дана n-угольная призма. Найти сумму вели­чин ее плоских углов.
Решение. Найдем сумму плоских углов двух оснований и всех боковых граней: 180(n - 2) ∙2 + 360n = 360n - 720 + 360n = 720(n - 1).
2)Задачи на исследование.
1. Поставьте куб так, чтобы ни одна грань не была вертикальной. Будут ли тогда у него горизонталь­ные грани?
                           Ответ: нет.
2. Можно ли куб с ребром в 7 см оклеить лис­том бумаги в виде прямоугольника шириной14 см и длиной в 21 см?
Решение. Для оклейки нужны 6 квадратов со стороной 7 см. Данный прямоугольник разрезать на два со сторонами  7 см и 21 см, а потом каж­дый из них - на три квадрата со стороной 7 см. Получим 6 нужных квадратов, которыми можно оклеить куб.    ­
3. Сколько нужно взять прямоугольников и ка­ким свойством они должны обладать, чтобы из них можно было составить прямоугольный параллеле­пипед?
Решение. Два прямоугольника для оснований со сторонами а и b, четыре прямоугольника для боковой грани. Из них два со сторонами с и а и два со сторонами с и b.
4. Установите, прямой или наклонной является призма, у которой две смежные боковые грани пер­пендикулярны основанию.
Решение. Призма является прямой. Две смеж­ные боковые грани пересекаются по прямой, пер­пендикулярной плоскости основания. Остальные ребра параллельны данному ребру и, следователь­но, тоже перпендикулярны основанию.
  5. Исследуйте, существует ли призма, имеющая 50 ребер? 54 ребра?
Решение. Число ребер n-угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существу­ет, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.
  6. Какой многоугольник лежит в основании призмы, если она имеет n граней?
Решение. Число сторон многоугольника, ле­жащего в основании, равно числу боковых граней призмы. Из условия следует, что это число равно n - 2, так как в призме две грани являются основа­ниями. Таким образом, в основании (n - 2)-уголь­ник.
3)Задачи на доказательство.
1. В параллелепипеде диагонали основания рав­ны, а боковое ребро перпендикулярно двум смеж­ным сторонам основания. Докажите, что паралле­лепипед прямоугольный.
Доказательство. В основании - параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник, а бо­ковое ребро перпендикулярно основанию по при­знаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Докажите, что число ребер призмы кратно 3.
Доказательство. В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер.
3. Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы рав­на 360".
Доказательство. Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. В сечении - четырехугольник, сумма его углов S = 180°(4 - 2) = 360°.
  4. Если призма имеет 18 граней, то в ее основа­нии лежит 16-угольник. Докажите.
Доказательство. У призмы две грани оснований и, значит, боковых граней 16. Следовательно, в основании 16-угольник.
5. В кубе из вершины N проведены диагонали граней NE, NF, NK  Концы их соединены отрез­ками (рис. 4.7). Докажите, что многогранник NEFK­ - правильный тетраэдр.

Рис.4.7

Рис.4.8

N

E

K

F

b

a

c

h

  6. Если две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов их площадей равна квадрату площади третьей боко­вой грани  (рис. 4.8). Докажите.
7. Докажите, что сечение параллелепипеда пло­скостью не может быть правильным  пятиугольни­ком.
Доказательство. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника ни­какие две стороны не параллельны.
4)Задачи на построение
  Сечения можно рисовать на заранее подготов­ленном изображении призмы.
1. Постройте сечение куба в виде: а) треугольни­ка, б) четырехугольника, в) пятиугольника, г) ше­стиугольника.
2. Постройте плоскость, проходящую через сто­рону нижнего основания треугольной призмы. Ка­кие многоугольники получаются в сечении приз­мы при вращении этой плоскости вокруг стороны?
Ответ: сечение может иметь форму
            треугольника, трапеции.

Рис. 4.9

3. В правильной треугольной призме плоскость сечения ВСМ образует с плоскостью основания двугранный угол α  (рис. 4.9). Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснения.
Построение. Проведем из вершины A правиль­ного треугольника АВС высоту АК. Точка K принадлежит ребру ВС. Соответственно отрезок МК перпендикулярен ребру ВС. Угол  МКА­ - искомый.

Рис4.10

4. В основании прямой призмы (рис. 4.10) лежит равнобедренная трапеция. Сечение ABC₁D₁ обра­зует с плоскостью основания двугранный угол α. Постройте его линейный угол.

Рис4.11

Построение. Это угол между высотами трапеций ABCD и ABC₁D₁ проведенными из их общей вер­шины тупого угла. (Используем теорему о трех пер­пендикулярах.)
5. Сечение BCD₁A₁ прямоугольного параллеле­пипеда (рис. 4.11) образует с плоскостью основания двугранный угол β. Как построить его линейный угол?         Построение. Следует использовать теорему о трех перпендикулярах. Искомый угол - это угол между диагональю А₁В (или D₁C) .боковой грани и стороной основания АВ  (или CD), лежащей в этой грани.
4.2 Задачи по теме «Пирамида».
1)Задачи на вычисление
1. В правильной четырехугольной пирамиде вы­сота составляет с боковой гранью угол, равный 37°. Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.
                    Ответ: 74°.
2. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона боко­вого ребра к плоскости основания.
                    Ответ: 30°.
3. Периметр основания пирамиды равен 20 см, а площадь ее основания 16 см². Найдите периметр и площадь сечения пирамиды, проведенного парал­лельно основанию через середину бокового ребра.
        Ответ:10 см, 4 см².
4. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основа­нии, и равны 12 см. Вычислите высоту пирамиды.
              Ответ: 6  см.
5. В правильной четырехугольной пирамиде бо­ковое ребро равно 20 см, оно составляет с основа­нием угол 45°. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.
Решение. Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d = 10 см.
                 Ответ: 10 см.
6. Используя рис. 4.12, на котором изображена пра­вильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 1 и табл. 2.
           Таблица 1

№	а	b	h	k	β
1	6	4
2	12				45°
3		4			60°
4			4	2

Таблица 2

№	а	k	h	b	α
I	2
2			1		45°
3		4	2
4	4				60°

Указание. Перед решением задачи следует повто­рить и затем записать на доске формулы
NC = , ON = , OC =

Рис. 4.12

Рис. 4.13

7. Используя рис. 4.13, на котором изображена пра­вильная четырехугольная пирамида,  заполните пу­стые ячейки в табл. 3 и табл. 4.
Таблица 3

№	а	k	h	b	α
1	2
2	2				45°
3		6	3
4		4			30°

Таблица 4

№	а	b	h	k	β
1		4			60°
2			2		45°
3		8	4
4	4	8

Указание. Перед решением этой задачи следует повторить и затем записать на доске формулы
AC = , ON = , OC =
8. Площадь боковой поверхности пирамиды, в основании которой лежит трапеция, равна 2Q. Бо­ковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы. Найдите сумму площадей боковых граней, проходящих через непараллельные стороны трапеции.
Ответ: Q.
9. В основании пирамиды лежит ромб. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные углы. Площадь одной из боковых граней равна Q. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ: 4Q.
10. Вычислите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, если извест­но, что ее боковое ребро. равное а. со стороной основания составляет угол 60°
     Ответ:
11. Дана правильная треугольная пирамида, у ко­торой а - сторона основания,  k - апофема, P - периметр основания, S₁ - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды. Заполните табл. 5.
Таблица 5

№	а	k	Р	S1	S
1	5			75
2		24	24
3		18		297
4			45	315
5				198	202

  Указание. Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу.
  Перед решением необходимо повторить и запи­сать на доске формулы:
, P=3a, S=S₁+S₂ , S₂=  (S₂ - площадь основания пирам иды.)
12. Дана правильная четырехугольная пирамида. у которой а - сторона основания,  k - апофема, P - периметр основания, S₁ - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды.
Таблица 6

№	а	k	р	S,	S
I	6	12
2	13				689
3		16		288
4			44	396
5				352	416

Указание. Задачу следует решать по заранее заго­товленному чертежу.
  Перед решением следует повторить и записать на доске формулы:
, P=4a, S=S₁+S₂ , S₂=a²  (S2 - площадь основания пирамиды.)
   2)Задачи на исследование.
   1. Сколько вершин, ребер и граней имеет n-угольная пирамида?
   Ответ:  n + 1 вершин. n + 1 граней, 2п ребер.
   2. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?
Решение. Плоские углы при вершине пира­миды равны 60°, так как каждая боковая грань - ­равносторонний треугольник. Следовательно, бо­ковых граней меньше, чем 360°: 60° = 6. т.е. в основании может быть равносторонний треуголь­ник, квадрат или пятиугольник.
3. В каких пределах находится плоский угол α при вершине правильной n-угольной пирамиды. если n = 3, 4, 5, 6?
4. У треугольной пирамиды все боковые ребра равны. Может ли высота такой пирамиды находить­ся на одной из граней?
    Ответ: может, если в основании  прямоугольный треугольник.
5. Сравните термины: «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Можно ли утверждать, что они определяют одно и то же?
6. Боковые ребра пирамиды равны. Может ли ее основанием быть: а) прямоугольная трапеция, б) ромб?
Ответ: а) не может, поскольку такую тра­пецию нельзя вписать в окружность; б) может только в случае, если осно­вание - квадрат.
7. При каком соотношении в правильной тре­угольной пирамиде между стороной основания а и боковым ребром b ее можно построить?
                        Ответ:        
3)Задачи на доказательство.
1. Докажите, что число плоских углов в n-уголь­ной пирамиде делится на 4.
2. Если в правильной треугольной пирамиде высота Н равна стороне основания а, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 60°. Верно ли это утверждение?
Решение. Высота пирамиды проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около основания, α - искомый угол,
tgα =  =  = ,  α=60°.
3. Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правиль­ная».
Решение. Основание пирамиды - правильный многоугольник. Так как боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр основания, следо­вательно, пирамида - правильная.
4. Доказать, что сумма площадей проекций бо­ковых граней пирамиды на основание может быть больше площади основания.
Ответ:  может, если высота пирамиды не
проходит через основание пирамиды.
5.. Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, пост­роить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.
Решение. Половина диагонали квадрата является катетом в прямоугольном треугольнике, этот катет равен , а боковое ребро - гипо­тенуза - равно 7 см. Получается, что катет больше гипотенузы.
6. Доказать, что в правильной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α меньше угла наклона боковой грани к плоскости основания β.
4) Задачи на построение.
1. Постройте два изображения одной пирамиды, одно - имеющее наибольшее число видимых ре­бер, другое - наименьшее число видимых ребер.
Указание. Вид со стороны вершины, все ребра видимые. Вид со стороны основания, видны толь­ко ребра основания.

Рис. 4.15

Рис.4.14

Рис. 4

Рис. 3

2. В правильной четырехугольной пирамиде (рис. 4.14) апофема образует с плоскостью основания угол 1. Обозначьте этот угол на рисунке.
3. На рис. 4.15 изображена пирамида РАВС,  у кото­рой PH  АВС, PK.  ВС, TE РВС, Е PBC. Верен ли чертеж?
Решение. По условию PH АВС, PK ВС, т.е. по теореме о трех перпендикулярах HK  ВС, и PHK  PBC. Так как, опять же по условию, TE РВС, то отрезок ТЕ либо параллелен плос­кости РНК, либо принадлежит ей. В любом случае чертеж неверен.
4. На рис. 4.16 изображена пирамида КАBCD. Че­рез точку М, М АВК, провести прямую, парал­лельную BD.

Рис. 4.17

Рис. 4.16

Рис. 6

Рис. 5

Решение. Проведем через прямую BD и дан­ную точку М плоскость. Она пересечет грань АВК по прямой ВЕ (Е КА), а грань ADK по прямой ED. В построенной плоскости BED проведем через точку М прямую параллельно BD.
5. Постройте точку пересечения прямой  МН с плоскостью основания пирамиды SABCD (рис. 4.17).

Рис. 4.19

Рис. 4.18

6. В основании треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны, лежит прямоугольный тре­угольник (рис. 4.18). Постройте высоту пирамиды.
7. Через точку М на плоскости α (рис. 4.19) проведена прямая, которая пересекает грань АКС пирамиды КАВС в точке Н.  Какую еще грань пересечет эта прямая?
8. Постройте многогранник, имеющий 11 ребер.
Указание. Четырехугольная пирамида имеет 8 ре­бер, если у нее «срезать» угол при основании, добавит­ся 3 ребра. Всего у многогранника будет 11 ребер. [25], [26], [8], [12], [13]
Заключение
Целью данной работы было рассмотрение  особенностей методики изучения темы «Многогранники» в курсе стереометрии 10-11 классов. В связи с чем  были выполнены следующие задачи: были рассмотрены различные подходы к определениям многогранника, выпуклого многогранника и правильного многогранника, а также были сделаны выводы о том, какие подходы целесообразнее использовать в школе. Кроме того, были рассмотрены особенности изучения темы в учебниках разной направленности: общеобразовательной, гуманитарной, с математическим уклоном. Были рассмотрены также различные средства наглядности, которые могут быть использованы при изучении данной темы. И, наконец, были подобраны опорные задачи, которые можно использовать на уроке при изучении данной темы.
Таким образом, в данной работе были рассмотрены основные, общие моменты изучения многогранников в школьном курсе стереометрии. В следствие чего дальнейшие исследования могут проходить в направлении более детального изучения отдельных разделов данной темы, а также пропедевтического введения многогранников в курсе математики 5-6 классов.

Литература
1.     Автономова Т.В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя./ Т.В. Автономова, Б.И. Аргунов. – М.: Просвещение, 1988.
2.     Александров А.Д. Что такое многогранник? / А.Д. Александров// Математика в школе. – 1981. - № 1-2.
3.     Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992. – 464 с.
4.     Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 1998. – 207 с.
5.     Бескин Л.Н. Стереометрия. / Л.Н. Бескин. - М.: Просвещение, 1971.
6.     Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. / В.Г. Болтянский, И.М. Яглом // Математика в школе. – 1966. - № 3.
7.     Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. / В.Г. Болтянский. - М.: Просвещение, 1985. – 320 с.
8.     Веселовский С.Б. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. / С.Б. Веселовский, В.Д. Рябчинская. - М.: Просвещение, 1998. – 96 с.
9.     Глаголев Н.А. Геометрия: Стереометрия. / Н.А. Глаголев, А.А. Глаголев. - М.: Учпедгиз, 1958.
10.            Джордж Пойа. Математическое открытие. / Джордж Пойа. - М.: Наука, 1976.
11.            Земляков А.Н. Геометрия в 10 классе: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова: Пособие для учителя. / А.Н. Земляков. - М.: Просвещение, 1986. – 208 с.
12.            Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2000.
13.            Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. / Б.Г. Зив. – С.-Петербург, 1998.
14.            Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. / М.И. Каченовский. -  М.: Просвещение, 1959.
15.            Киселев А.П. Геометрия: Учебник для 9-10 классов средней школы. / А.П. Киселев. - М.: Учпедгиз, 1956.
16.            Клопский В.М. Геометрия: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. / В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский / Под. ред. З.А. Скопеца. - М.: Просвещение, 1979.
17.            Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. / Л.А. Люстерник. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
18.            Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. / Под. ред. А.И. Фетисова. - М.: Просвещение, 1967.
19.            Методика преподавания математики: Общая методика. / Составители: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985.
20.            Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии в 10-11 кл. по учеб. пособию А.Д. Александрова, А.Л. Вернера, В.И. Рыжика: Кн. для учителя. / В.М. Паповский. - М.: Просвещение, 1993. – 223 с.
21.            Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике: Учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец.: В 3 ч. Ч. 1. Общая методика. / Е.С. Петрова - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с.
22.            Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. – 384 с.
23.            Преподавание геометрии в 9-10 классах. / (сб. статей) сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. - М.: Просвещение, 1980.
24.            Саакян С.М. Изучение темы «Многогранники» в курсе 10 класса. / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. // Математика в школе. – 2000. - № 2.
25.            Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Призма». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. – 2003. - № 6.
26.            Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Пирамида». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. – 2003. - № 7.
27.            Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. / И.М. Смирнова. – М.: Просвещение, 1995. – 144 с.
28.            Смирнова И.М. Геометрия: Учеб. пособие для 10-11 кл. гуманит. Профиля. / И.М. Смирнова. – М.: Просвещение, 1997. – 159 с.
29.            Смирнова И.М. Об определении понятия правильного многогранника. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. – 1995. - № 3.
30.            Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. – 1994. - № 4.
31.            Ходеева Т. Свойства многогранников. / Т. Ходеева. //  Математика. – 2002. - № 11.

Приложение 1.
Урок повторения по теме «Многогранники» (10 класс).
Урок был проведен в 10 классе  после изучения основных многогранников перед изучением правильных многогранников и симметрии.
Цели:
1)    повторить основные виды многогранников (призмы и пирамиды), их частные виды;
2)    повторить основные формулы для нахождения площади поверхности  многогранников и его частных видов;
3)    решить задачи разного уровня сложности по данной теме с применением уже известных знаний по многогранникам.
Оборудование: справочная таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», которая содержит 4 столбца: вид многогранника, чертеж, площадь боковой и полной поверхности, объем; готовые чертежи на отвороте доски для решения задач.
Ход урока:
1) Организационный момент.
2) Актуализация знаний.
Проводится фронтальная работа по таблице. Листочками на таблице закрыты названия многогранников, основные формулы и чертежи. Постепенно открываются чертежи, учащиеся по чертежу называют вид многогранника и основные формулы нахождения его полной и боковой поверхности. Колонка таблицы с формулами объема в работе не участвует, так как объем изучается в 11 классе. Таким образом, учащиеся вспоминают все необходимые факты для решения задач.
3)Решение задач.
На уроке предлагается решить две задачи по готовым чертежам (устное решение), две задачи письменно с построением чертежа и дополнительную задачу более сильным ученикам.
 Задача 1. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Найдите: tg α.(рис.1).
Задача 2.Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, DO  (ABC), AB = 3·DO. Найдите: α.(рис2).
Задачи 1 и 2 имеют своей целью повторение некоторых фактов планиметрии и ранее изученных тем по стереометрии (например, перпендикулярность прямой и плоскости) и использование их в решении задач. При решении задачи, как правило, затруднения не возникают, но можно решение задачи 2 записать в тетрадь (что и было сделано на уроке).
Задача 3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, C = 90°, A = 30°, BC = 10. Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите ребра пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.
Вычисление длины ребер в задаче 3 происходит без затруднений, площадь вычисляется немного сложнее. Но главная особенность данной задачи в том, что необходимо понять, куда падает высота и чем является ее основание. (При проведении урока как раз этот момент и вызвал затруднение.) 
Задача 4. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁  основанием служит ромб. Сторона ромба равна a,  BAD = 60°. Диагональ параллелепипеда B₁D составляет с плоскостью боковой грани угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Задача 4 сложна тем, что, во-первых, в ней не все данные представлены числами, во-вторых, сложности возникают при определении угла между B₁D  и плоскостью боковой грани (задача была полностью разобрана на доске).
Задача 5. (дополнительная) В правильной четырехугольной пирамиде  сторона основания равна a . Угол между смежными боковыми гранями равен 2α . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
4)    Подведение итогов. По мере решения задачи проверяются, в конце урока даются указания для решения пятой задачи.[12],[13]
Вывод: урок поставленной цели достиг, учащиеся повторили основные виды многогранников, решили задачи разного уровня сложности, кроме того, повторили такие факты по планиметрии, как вычисление площадей многоугольников, и по стереометрии: угол между плоскостями, между прямой и плоскостью и другие. В целом уровень сложности задач соответствовал уровню подготовки учеников, и больших проблем при решении задач не возникло.

Приложение2.
Различные доказательства теоремы Эйлера.
Современная теория многогранников берет свое начало с работ Леонарда Эйлера (1707-1783) – одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих разделов математики. Л. Эйлер был не только выдающимся математиком, но и крупной творческой личностью. Им было написано около 760 научных статей для журналов, 40 книг, 15 работ для различных конкурсов. Поражает работоспособность ученого, росшая на протяжении всей жизни. Так, в первые 14 лет научной деятельности им было написано 80 работ объемом около 4000 печатных листов, а в последние 14 лет жизни, несмотря на тяжелую болезнь – слепоту, опубликовано свыше 359 работ общим объемом приблизительно 8000 печатных листов. Многие рукописи Эйлера сохранились до наших дней. Эйлер долгое время (с 1727 по 1741 год и с 1766 до конца жизни) жил и работал в России, был действительным членом Петербургской академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы, на подготовку кадров ученых – математиков и педагогов России.
Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский ученый П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас».
В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».
Рассмотрим различные доказательства этой теоремы. В дальнейшем данный материал можно использовать как для факультативных и кружковых занятий, так и для самостоятельного изучения учениками.