Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский Государственный Гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
«Операторные уравнения»
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Кощеева Анна Сергеевна
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
_______________________
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная Ирина Иссаковна
________________________
Допущен к защите в ГАК
Зав.кафедрой______________________                            Крутихина М.В.
                                                                                     «       »____________
Декан факультета__________________                   Варанкина В.И.
                                                                                     «       »____________
Киров 2005
Содержание

Введение

Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.

Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.

Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.
Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:
1.     раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;
2.     проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.

Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения конкретных задач.

Глава 1. Операторные уравнения

§1.Определение линейного оператора

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.
Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если
А(λ₁x₁ + λ₂x₂) = λ₁А(x₁) + λ₂А(x₂)
для любых x₁,x₂ Î D и любых скаляров λ₁ и λ₂.
Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).
Оператор А называется непрерывным в точке x₀ Î X, если Аx → Аx₀ при x → x₀. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x₀ Î X можно по непрерывности его в нуле пространства X.
Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой точке x₀ Î X.
Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx₀ = А (x – x₀). Если x → x₀, то z = x – x₀ → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx₀ → 0, что и требовалось доказать.
Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.
Пусть S₁(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.
Будем называть линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S₁(0), т.е. если ограничено множество
{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.
Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство
||Аx|| ≤ с                                                    (1)
Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка
||Аx|| ≤ с ||x||                                               (2)
для любых x Î X, где с – постоянная.
Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§2. Норма линейного оператора

В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:
.                                     (1)
Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то  множество

ограничено сверху. По теореме о верхней грани существует .
Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x Î S₁(0). Отсюда
||Аx|| ≤ ||А|| ||x||,                                                  (2)
справедливое для всех x Î X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.
Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).

§3.Обратные операторы

Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения

Если существует обратный оператор , то решение задачи записывается в явном виде:

Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными  свойствами.
Пусть задан линейный оператор: А: X → Y, где X,Y – линейные пространства, причем его область определения D(A) X, а область значений R(A) Y.
Введем множество  - множество нулей оператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0 Î N(A)
Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)= , (т.е. множество А нулей состоит только из элемента 0)
Теорема 5. Оператор А^-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x Î D(A) выполняется неравенство
.                                               (1)
Введем теперь следующее важное понятие.
Будем говорить, что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор    обратим и A^-1 Î L(Y, X), (т.е. ограничен).
Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 6. Оператор  А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y  и для некоторой постоянной m>0 и для всех  выполняется неравенство (1).
В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора  A Î L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А^-1 ограничен.
Иными словами, если А Î L(X,Y), где X  и Y банаховы, R(A)=Y   и А  обратим, то А   непрерывно обратим.
Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения
Ax = y                                                       (2)
Если А  непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A^-1y  для любой правой части у. Если при этом (решение того же уравнения с правой частью ), то . Это означает, что малое изменение правой части y влечет малое изменение решения, или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.
Пусть А Î L(X,Y). Оператор U Î L(X,Y) будем называть правым обратным к А, если AU = I_y. Оператор V Î L(X,Y) будем называть левым обратным к А, если VA = I_x.
Здесь через I_y (I_x) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение А_r^–1, а для левого – А_L^–1.
Лемма 1. Если существует правый обратный А_r^–1 к А, то уравнение (2) имеет решение
x = А_r^–1 y
Если существует левый обратный оператор к А,  то уравнение (2) может иметь не более одного решения.
Доказательство.
А(А_r^–1 y) = (А А_r^–1)y = y,
т.е. x = А_r^–1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.
Далее, пусть существует А_L^–1. рассмотрим N(A). Пусть x Î N(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор А_L^–1, тогда А_L^–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x Î N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.
Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и  заданных на всем множестве  операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы  - единичного шара в L(X), т.е. все такие А, для которых справедливо неравенство .
Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.
Теорема 8. Пусть  и ; тогда оператор  I – C непрерывно обратим. При этом справедливы оценки
                                     (1)
                           (2)
Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд
I+C+C²+C³+…                                        (3)
Так как , то ряд (3) оценивается сходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией

По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.
.
Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что
,
.
Но при этом  (ибо  и ), а . Поэтому, в пределе имеем равенства (I – C)S = I   и S(I – C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I – C)^-1. Далее,
,
.
Переходя в этих неравенствах к пределу при , получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.
Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А Î L(X,Y) непрерывно обратим.
Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство . Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки
,   .

§4. Абстрактные функции

Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.
Рассмотрим функцию x( ) с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.
Пусть x( ) определена в окрестности точки ₀, за исключением, быть может, самой точки ₀. Элемент а Î X будем называть пределом функции x( ) при → ₀ и записывать
    при → ₀,
если   при → ₀.
Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра .
Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида , где x_к Î X, а  – вещественное  или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную – ₀ = , то в дальнейшем мы полагаем ₀ = 0 и рассматриваем степенные ряды вида
                                       (1)
Конечная сумма  называется частичной суммой степенного ряда (1).
Пусть  – множество всех точек , для которых ряд (1) сходится.  называется областью сходимости ряда (1).
Сумму ряда (1) при Î  обозначим через S( ) (это абстрактная функция, определенная на  со значениями в X), при этом будем писать
, при Î .
Последнее равенство означает, что S_n( ) → S( ) при n→∞ для всех Î .
Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î . Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.
Теорема 10 (Абель). Пусть ₀ ≠ 0 и ₀ Î , тогда круг  содержится в . Во всяком круге S_r(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно .
Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге S_R(0), R>0:
;
тогда равны все их коэффициенты:  (k=0, 1, 2, …)
Дифференцирование абстрактных функций
Пусть функция  числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ₀.
По определению производной x’(λ₀) функции x(λ) в точке λ₀ называется предел
,
если этот предел существует (и конечен). Если  имеет производную в точке λ₀, то она называется  дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x( ) будем называть аналитической при =0, если она представима в некоторой окрестности точки =0 сходящимся степенным рядом:
                                        (1)
с ненулевым радиусом сходимости.
Теорема 12. Если x( ) – аналитическая абстрактная функция при =0, то x( ) непрерывна в круге S_R(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).
Теорема 13. Если x( ) – аналитическая абстрактная функция при =0, то x( ) дифференцируема в круге S_R(0) сходимости своего степенного разложения.
Пусть x( ) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

называется рядом Тейлора функции x( ).
Если x( ) аналитична при =0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в S_R(0).
Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.

§6. Метод малого параметра в простейшем случае

Рассмотрим следующее уравнение:
Аx – Сx=y.                                             (1)

Здесь А, С Î L(X,Y) и y Î Y заданы,  - скалярный параметр, , а неизвестное x разыскивается в X. Если , т.е.
,                                    (2)
то, согласно теореме 9, оператор А– С непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой
.                               (3)
Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра  и, следовательно, может быть найдено в виде
                                       (4)
На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  в правой и левой частях получившегося тождества:
.
Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x₀, x₁, …:
Аx₀=y, Аx₁=Сx₀, …, Аx_к=Сx_к-1, …
Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим
x₀=А^–1y, x₁= А^–1(СА^–1)y, …, x_к= А^–1(СА^–1)^кy, …
Следовательно,
.                       (5)
Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением

то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим
.

§7. Метод малого параметра в общем случае

Пусть дано уравнение
А( )х = у( ).                                            (1)
Здесь А( )Î L(X,Y) задана при каждом , , или, как говорят, А( ) – оператор-функция. Пусть А( ) аналитична при =0, а оператор А(0) непрерывно обратим, у( ) – заданная аналитическая функция  при =0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскивается в X.
Аналитичность  А( ) и у( ) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны  и соответственно:
, .                          (2)
Из аналитичности  А( ) следует непрерывность А( ) при =0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге
.
Отсюда вытекает, что в круге оператор-функция А( ) непрерывно обратима  и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение
,
при этом x( ) аналитична в точке =0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min( , r). Для фактического построения x( ) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x( ) в виде
.                                               (3)
Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2),  приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x₀, x₁, x₂, …:
А₀x₀ = y₀,   А₀x₁+А₁x₀ = y₁,
А₀x₂ + А₁x₁ + А₂x₀ = y₂,                                             (4)
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
, …
Здесь А₀ = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим
, , …             (5)
Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А( ).

§8. Метод продолжения по параметру

8.1. Формулировка основной теоремы

 В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах  рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть  и А непрерывно обратим. Если , то, согласно теореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на отрезке [0, 1] оператор - функцию  такую, что А(0)=А,  А(1)=В. Иначе говоря,  в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А  и В. Будем предполагать, что для оператор – функции  выполняется следующее условие:
1.     Существует постоянная  такая, что при всех  и при любых  справедливо неравенство
.                                      (1)
Ниже будет доказана следующая теорема.
Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом ), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем .
Замечание к теореме 14. Если выполнено условие I при  и оператор  непрерывно обратим, то
.                                        (2)
Действительно, пусть , а , т.е. . тогда условие I  дает  или , что означает справедливость неравенства (2).

8.2. Простейший случай продолжения по параметру

Приведем здесь доказательство теоремы 14 для случая, когда . Согласно условию этой теоремы . По замечанию 14 . Имеем следующую оценку:
.
Пусть , где . На [0, δ] имеем , и, следовательно, по теореме 9 А(λ) при всяком  непрерывно обратим. Если окажется, то , то теорема доказана.
Пусть δ < 1. Возьмем А(δ). Согласно замечанию п.14.1 . Повторяем наши рассуждения при λ>δ. Имеем оценку
,
если , откуда А(λ) непрерывно обратим при каждом . Если , то теорема доказана. Если же 2δ < 1, то  и рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки λ=1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.
Доказательство теоремы в общем случае
Рассмотренный выше частный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.
Лемма. Пусть М – некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].
Замечание 1. условие открытости М на [0,1] понимается так: для любого  существует δ > 0 такое, что .
Доказательство леммы. Пусть N = [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = Æ – пустое множество. Допустим противное, что N ¹ Æ. Поскольку М ¹ Æ и ограничено сверху, то существует b = supM, причем b Î M вследствие замкнутости. Покажем, что b = 1. Если  b <1, то вследствие открытости M на [0, 1] найдется x > b, x Î M. Это противоречит определению supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1Î М.
Теперь рассмотрим множество N. Как дополнение к М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с supM . мы получаем, что 1 Î N. Это невозможно, ибо N –  дополнение к М. полученное противоречие доказывает, что допущение N ¹ Æ неверно. Итак, N= Æ, т.е. М = [0, 1]. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор А(λ) непрерывно обратим. Согласно замечанию 1  для всех λ Î М. М не пусто, поскольку 0 Î [0, 1].

воспользуемся непрерывностью оператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e > 0 найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ Î [0, 1] таких, что  < δ выполняется неравенство  <e.
Возьмем e = γ, тогда при  < δ(γ), λ Î [0, 1]
<1.
По теореме 9 §3 А(λ) непрерывно обратим для всех таких λ. Итак, вместе с λ₀  М  содержит , т.е. М открыто на [0, 1].
Докажем, что М замкнуто на [0, 1].  Пусть  и  при . Надо доказать, что λ₀  М. воспользуемся неравенством  и получим
.
Вследствие непрерывности А(λ) по λ  для любого e > 0 находим номер N = N(e) такой, что при n > N будет <e. Возьмем e = γ, тогда для n = N(γ)+1 <1.
По теореме 9 А(λ₀) непрерывно обратим, т.е. λ₀  Î М,  и, значит, М замкнуто на [0, 1]. По лемме М  = [0, 1] . в частности, 1Î М и . Теорема полностью доказана.
Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:
А(λ)х = у,    λÎ [0, 1].                              (1*)
Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком λÎ [0, 1] справедлива оценка
,                                               (2*)
где с – некоторая постоянная, не зависящая от х, у и λ.  Оценка такого рода называется априорной оценкой для решения уравнения (1*). Очевидно, априорная оценка (2*) представляет собой лишь иначе записанное условие (1):                                .
Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.

Глава 2. Приложение

Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ:
                         (1)
Это уравнение вида  А( )х = у( ) – операторное уравнение в С[-π; π], где

Покажем, что А( ) аналитична в т. 0, т.е. разлагается в ряд вида  . Разложим функцию А( ) в ряд Тейлора: .
Найдем к – ую производную:

Разложим функцию в ряд Тейлора в т. 0:

Таким образом, функция аналитична, следовательно, непрерывна при  = 0, а значит, уравнение имеет единственное решение.
Операторные коэффициенты имеют вид:
;  (2)
I. Начнем с уравнения А₀x₀ = y системы (4) §7, где у нас теперь y₀=y, y_к=0, к ≥ 1.


Заменим, , поэтому
,                                           (4)
где
,             
Для того, чтобы найти коэффициент А в уравнении (4), умножим  его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:
,
подсчитаем интегралы:
, ,
Тогда, подставив в уравнение, получаем: . Отсюда:
.                                       (5)
Найдем коэффициент В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:
.
Подсчитав соответствующие интегралы:
, , , подставив и выразив В, получаем:
.                                       (6)
Подставим найденные коэффициенты (5) и (6) в уравнение (4):

и свернем по формуле:

II. Найдем теперь x₁(t), для этого необходимо решить следующее уравнение системы (4) §7: А₀x₁+А₁x₀ = y₁. Так как y₁=0 в нашем случае, то мы будем решать уравнение А₀x₁= – А₁x₀.


Обозначим , т.к. мы знаем теперь x₀(s), следовательно φ(t) можно вычислить. Имеем:

Как в предыдущем случае заменим, , поэтому
 .                                (7)
где  ,    .
Умножим уравнение (7) на cos t и проинтегрируем по t  от –π до π – получим коэффициент А:

Подсчитав: , ,   ,
имеем .
Аналогично умножив уравнение (7) на sin t и проинтегрируем по t  от –π до π – получим коэффициент В: .
Составляем функцию x₁(t),  подставив коэффициенты А и В в уравнение и свернув равенство по формуле косинуса разности:
.
Таким способом мы можем найти все остальные решения уравнения с любой степенью точности.
Пример 2. Применим метод продолжения по параметру для оценки разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения, а потом решим ее методом малого параметра.
–x'' + b(t)x' +c(t)x = y(t), 0< t <1,                               (1)
x(0) = x(1) = 0                                                            (2)
Здесь c(t) непрерывна на [0, 1], b(t) непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Предположим еще, что на [0, 1] c(t) – b(t)'/2 ≥ α > –8/π (*).
Покажем методом продолжения по параметру, что в этих условиях при всякой правой части y ÎY = С [0, 1] существует единственное решение задачи x Î X = С² [0, 1] – пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям (2), и с нормой , где .
Запишем задачу (1) – (2) в операторном виде:         Вx = y
Здесь  определен всюду на X со значениями в Y. В качестве оператора А примем ÎL(X, Y).
Соединим операторы А и В отрезком
, λ Î [0, 1].
Теперь необходимо установить априорную оценку для решений краевой задачи
–x'' + λb(t)x' + λc(t)x = y(t), 0< t <1,                                    (3)
x(0) = x(1) = 0                                                            (4)
Как только такая оценка будет получена, из теоремы п.8.1. будет следовать однозначная разрешимость краевой задачи (3) – (4).
Умножим уравнение (3) на x(t) и проинтегрируем полученное равенство по t от 0 до 1:
.
Заметим, с учетом граничных условий:


Подставим полученные интегралы и сгруппируем относительно λ:
                        (5)
Произведем оценку всех трех слагаемых в этом равенстве.
Докажем, что .                                                 (6)
Заметим, что , и значит по неравенству Коши – Буняковского:
.
Точно так же:
.
Перемножим эти неравенства:
.                               (6*)
Отсюда, замечая, что , получим
  .
Далее                                               (7)
– это следует из предположения (*).
Последний интеграл равенства (5) можно оценить, используя скалярный квадрат:
, где .
Для любого ε > 0    
.                       (8)
Используя полученные неравенства (6), (7), (8) и подставляя их в равенство (5), получаем:
,
считая ε > 0 достаточно малым, имеем
.
Выберем  и получим
, где .
Возвращаясь снова к равенству (5), получим следующую оценку:
, где , а .
Теперь с помощью оценки (6*) имеем  и, значит, учитывая, что , получим
                                            (9)
Из уравнения (3) можем получить оценки для  и :
.                                 (10)
Здесь  оценивается через  и . Действительно, x(0) = x(1) = 0. по теореме Роля на (0, 1) найдется точка ξ, в которой x'(ξ) = 0. Тогда, запишем уравнение (3) в виде
,
(в этом можно убедиться, взяв производную:
 
и сократив )
интегрируем его от ξ до θ и получим
.
Отсюда имеем оценку
,                                          (11)
где .
         Теперь подставим полученные результаты в (10):
.                     (12)
Теперь (9), (11) и (12) дают искомую априорную оценку:

(постоянную с₄ нетрудно подсчитать, сложив неравенства(9), (11), (12)и выполнив преобразования).
Таким образом, доказательство разрешимости задачи получено, теперь приступим к ее решению методом малого параметра.
Итак, рассмотрим операторное уравнение:
А(λ)x = y(λ),
где .
I. Начнем с уравнения А₀x₀ = y (где А₀ – коэффициент при нулевой степени λ) системы (4) §7, причем y₀ = y, y_к = 0, к ≥ 1.
  , причем с₁ подбирается так, чтобы выполнялось краевое условие: x₀(1) = 0.
II. Найдем x₁(t), для этого необходимо решить следующее уравнение: А₀x₁+А₁x₀ = y₁. Так как y₁=0, то мы будем решать уравнение А₀x₁= – А₁x₀.
Из того, что следует следующее уравнение:
       
                         .
По аналогии c₂ и c₃ подбираем так, чтобы выполнялось краевое условие: x₀(1) = 0.
Таким образом, решения нашей краевой задачи выглядит так:
,
подставляя найденные решения, имеем:

или

Литература

1.     Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. М., 1962
2.     Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1982.
3.     Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1993.
4.     Функциональный анализ./Под. ред. С. Г. Крейна. М., 1972
5.     Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теория операторов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1983.