Третий этап решения мыслительной задачи - само решение. Процесс решения осуществляется посредством различных умственных действий с использованием логических операций. Умственные действия образуют определённую систему, последовательно сменяя друг друга.
Последним этапом решения мыслительных задач является проверка правильности решения. Проверка правильности решения дисциплинирует мыслительную деятельность, позволяет осмыслить каждый шаг её, найти незамеченные ошибки и исправить их.
Умение решать мыслительные задачи характеризует ум человека, особенно, если человек может решать их самостоятельно и наиболее экономными способами. Вторым признаком развития будем считать умение учащихся выделять группы похожих случаев.
При реализации знаний, описанных во второй главе, одним из показателей развития мышления мы будем считать увеличение степени самостоятельности учащихся при решении мыслительных задач. Вторым признаком развития будем считать умение учащихся выделять группы случаев, характеризующихся по какому-либо признаку.

1.6 Виды мышления

В зависимости от того, какое место в мыслительном процессе занимают слово, образ и действие, как они соотносятся между собой, выделяют три вида мышления: конкретно-действенное, или практическое, конкретно-образное и абстрактное [1]. Эти виды мышления выделяются ещё и на основании особенностей задач - практических и теоретических. Так же существует и другое разделение: предметно-действенное, образное и теоретическое (понятийное) [10]. Но мы остановимся на первой классификации видов мышления.
Конкретно-действенное мышление направлено на решение конкретных задач в условиях производственной, конструктивной, организаторской и иной практической деятельности людей. Практическое мышление - это, прежде всего, техническое, конструктивное мышление. Оно состоит в понимании техники и в умении человека самостоятельно решать технические задачи. Процесс технической деятельности есть процесс взаимодействий умственных и практических компонентов работы. Сложные операции абстрактного мышления переплетаются с практическими действиями человека, неразрывно связаны с ними. Характерными особенностями конкретно-действенного мышления являются ярко выраженная наблюдательность, внимание к деталям, частностям и умение использовать их в конкретной ситуации, оперирование пространственными образами и схемами, умение быстро переходить от размышления к действию и обратно. Именно в этом виде мышления в наибольшей мере проявляется единство мысли и воли.
Конкретно-образное, или художественное, мышление характеризуется тем, что отвлечённые мысли, обобщения человек воплощает в конкретные образы.
Абстрактное, или словесно-логическое мышление направлено в основном на нахождение общих закономерностей в природе и человеческом обществе. Абстрактное, теоретическое мышление отражает общие связи и отношения. Оно оперирует главным образом понятиями, широкими категориями, а образы, представления в нём играют вспомогательную роль.
Отметим, что абстрактное мышление некоторые авторы [14] называют так же словесно-логическим, другие авторы [29, 13] называют его абстрактно-логическим или отвлеченным. Но с другой стороны словесно-логическое и логическое мышление иногда отождествляют [21].
Рассмотрим несколько определений:
Абстрактное мышление - мышление, оперирующее сложными отвлеченными понятиями и умозаключениями, позволяющее мысленно вычленить и превратить в самостоятельный объект рассмотрения отдельные стороны, свойства или состояния предмета, явления. Такое вычлененное и самостоятельное свойство является абстракцией обобщения и образования понятий. Выделение содержательных, обладающих относительной самостоятельностью, абстракцией соответствует теоретическому мышлению, способному к созданию рационалистических схем, тогда как формальные абстракции вычленяют свойства предмета, не существующие сами по себе и независимо от него, и соответствуют эмпирическому уровню [23].
Абстрактно-логическое (отвлеченное) мышление - вид мышления, основанный на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечении от других, несущественных [29].
Абстрактно-логическое мышление - это естественная способность здорового человеческого мозга к самостоятельной разработке самостоятельных методов "добывания" из окружающей действительности новых знаний. Высокая способность оперировать с "отвлеченными", "воображаемыми" понятиями (которые в принципе невозможно увидеть или "потрогать руками" и способность к отслеживанию влияния "отвлеченных" понятий на явления конкретной жизни) [13].
Словесно-логическое мышление (логическое) - вид мышления, осуществляемый с помощью логических операций с понятиями. При словесно-логическом мышлении оперируя логическими понятиями, субъект может познавать существенные закономерности и ненаблюдаемые взаимосвязи исследуемой реальности. Развитие словесно-логического мышления перестраивает и упорядочивает мир образных представлений и практических действий [18].
Рассмотрим теперь определение логического мышления, которое дает Бурмистрова:
Логическое мышление - это умение оперировать абстрактными понятиями, это управляемое мышление, это мышление путем рассуждений, это строгое следование законам неумолимой логики, это безукоризненное построение причинно-следственных связей.
Следует отметить, что во всех представленных определениях есть нечто общее: Все эти виды мышления направлены на оперирование абстрактными понятиями и они невозможны без рассуждений.
Таким образом единой точки зрения на то как соотносятся между собой абстрактное и логическое мышление нет. Далее в работе я соглашусь с А.А. Ивиным и Ю.В. Бурмистровой и буду предполагать, что абстрактное и логическое мышление взаимосвязаны между собой, но не тождественны, логическое мышление более строгое и формализованное. В качестве основы для дальнейшего исследования возьму определение Е.В. Бурмистровой.
Далее более подробно понятие логического мышления будет рассмотрен в 1.9
Возвращаясь к трем видам мышления, следует отметить, что тесно связаны друг с другом. У многих людей в одинаковой мере развиты конкретно-действенное, конкретно-образное и теоретическое мышление, но в зависимости от характера задач, которые человек решает, на первый план выступает то один, то другой, то третий вид мышления.
Если мышление рассматривать в процессе развития его у детей, то можно обнаружить, что раньше всего возникает мышление конкретно-действенное, потом конкретно-образное и, наконец, абстрактно-логическое. Но особенности каждого из указанных видов мышления у детей несколько иные, связь их проще.
В своей работе я и буду развивать логическое мышление.
Теперь рассмотрим индивидуальные различия в мышлении.

1.7 Индивидуальные различия в мышлении

Виды мышления являются вместе с тем типологическими особенностями умственной и практической деятельности людей. В основе каждого вида лежит особое отношение сигнальных систем. Если у человека преобладает конкретно-действенное или конкретно-образное мышление, это означает относительное преобладание у него первой сигнальной системы над другой; если же человеку наиболее свойственно словесно-логическое мышление, это означает относительное преобладание у него второй сигнальной системы над первой. Существуют и другие различия в мыслительной деятельности людей. Если они устойчивы, их называют качествами ума.
Понятие ума шире понятия мышления. Ум человека характеризуют не только особенности его мышления, но и особенности других познавательных процессов (наблюдательность, творческое воображение, логическая память, внимательность). Понимая сложные связи между предметами и явлениями окружающего мира, умный человек должен хорошо понимать и других людей, быть чутким, отзывчивым, добрым. Качества мышления - основные качества ума. К ним относят гибкость, самостоятельность, глубину, широту, последовательность и некоторые другие мышления.
Гибкость ума выражается в подвижности мыслительных процессов, умении учитывать меняющиеся условия умственных или практических действий и в соответствии с этим менять способы решения задач. Гибкости мышления противостоит инертность мышления. Человеку инертной мысли более свойственно воспроизведение усвоенного, чем активные поиски неизвестного. Инертный ум - это ленивый ум. Гибкость ума - обязательное качество людей творчества.
Самостоятельность ума выражается в способности ставить вопросы и находить оригинальные пути их решения. Самостоятельность ума предполагает его самокритичность, т.е. умение человека видеть сильные и слабые стороны своей деятельности вообще и умственной в частности.
Другие качества ума - глубина, широта и последовательность также имеют важное значение. Человек глубокого ума способен "доходить до корня", вникать в сущность предметов и явлений. Люди последовательного ума умеют строго логически рассуждать, убедительно доказывать истинность или ложность какого-либо вывода, проверять ход рассуждения.
Все эти качества ума воспитываются в процессе обучения детей в школе, а также путём настойчивой работы над собой.
На мой взгляд, игры представленные во второй главе помогают формированию самостоятельности, последовательности, глубины и широты. Они учат строго логически рассуждать.
Теперь рассмотрим, как же формируется мышление у детей.
1.8 Формирование мышления у детей
Ребёнок рождается, не обладая мышлением. Чтобы мыслить, необходимо обладать некоторым чувственным и практическим опытом, закреплённым памятью. К концу первого года жизни у ребёнка можно наблюдать проявления элементарного мышления.
Основным условием развития мышления детей является целенаправленное воспитание и обучение их. В процессе воспитания ребёнок овладевает предметными действиями и речью, научается самостоятельно решать сначала простые, затем и сложные задачи, а также понимать требования, предъявляемые взрослыми, и действовать в соответствии с ними.
Развитие мышления выражается в постепенном расширении содержания мысли, в последовательном возникновении форм и способов мыслительной деятельности и изменении их по мере общего формирования личности. Одновременно у ребёнка усиливаются и побуждения к мыслительной деятельности - познавательные интересы.
Мышление развивается на протяжении всей жизни человека в процессе его деятельности. На каждом возрастном этапе мышление имеет свои особенности.
Мышление ребёнка раннего возраста выступает в форме действий, направленных на решение конкретных задач: достать какой-нибудь предмет, находящийся в поле зрения, надеть кольца на стержень игрушечной пирамиды, закрыть или открыть коробочку, найти спрятанную вещь, влезть на стул, принести игрушку и т.п. Выполняя эти действия, ребёнок думает. Он мыслит, действуя, его мышление наглядно-действенное.
Овладение речью окружающих людей вызывает сдвиг в развитии наглядно-действенного мышления ребёнка. Благодаря языку дети начинают мыслить обобщённо.
Дальнейшее развитие мышления выражается в изменении соотношения между действием, образом и словом. В решении задач всё большую роль играет слово.
Существует определённая последовательность в развитии видов мышления в дошкольном возрасте. Впереди идёт развитие наглядно-действенного мышления, вслед за ним формируется наглядно-образное и, наконец, словесное мышление.
Мышление учащихся среднего школьного возраста (11-15 лет) оперирует знаниями, усвоенными главным образом словесно. При изучении разнообразных учебных предметов - математики, физики, химии, истории, грамматики и др. - учащиеся имеют дело не только с фактами, но и с закономерными отношениями, общими связями между ними.
В старшем школьном возрасте, для которого и представлены игры во второй главе, мышление становится абстрактным. Вместе с тем наблюдается и развитие конкретно-образного мышления, в особенности под влиянием изучения художественной литературы.
Обучаясь основам наук, школьники усваивают системы научных понятий, каждое из которых отражает одну из сторон действительности. Формирование понятий - процесс длительный, зависящий от уровня обобщённости и абстрактности их, от возраста школьников, их умственной направленности и от методов обучения.
В усвоении понятий существует несколько уровней: по мере развития учащиеся всё ближе подходят к сущности предмета, явления, обозначенного понятием, легче обобщают и связывают друг с другом отдельные понятия.
Для первого уровня характерно элементарное обобщение конкретных случаев, взятых из личного опыта школьников или из литературы. На втором уровне усвоения выделяются отдельные признаки понятия. Границы понятия учащиеся то сужают, то излишне расширяют. На третьем уровне учащиеся пытаются дать развёрнутое определение понятия с указанием основных признаков и приводят верные примеры из жизни. На четвёртом уровне происходит полное овладение понятием, указание его места среди других моральных понятий, успешное применение понятия в жизни. Одновременно с развитием понятий формируются суждения и умозаключения.
Для учащихся 1-2 классов характерны суждения категорические, утвердительной формы. Дети судят о каком-либо предмете односторонне и не доказывают своих суждений. В связи с увеличением объёма знаний и ростом словаря у школьников 3-4 классов появляются суждения проблематические и условные. Учащиеся 4 класса может рассуждать, опираясь не только на прямые, но и на косвенные доказательства, особенно на конкретном материале, взятом из личных наблюдений. В среднем возрасте школьники употребляют также разделительные суждения и свои высказывания чаще обосновывают, доказывают. Учащиеся старших классов практически владеют всеми формами выражения мысли. Суждения с предположением выражения, допущения, сомнения и т.д. становятся нормой в их рассуждениях. С одинаковой лёгкостью старшие школьники пользуются индуктивными и дедуктивными умозаключениями и умозаключением по аналогии. Самостоятельно могут ставить вопрос и доказывать правильность ответа на него. Особенно это видно в игре "быки и коровы", в которой в первой партии вопросы задает учитель, а в остальных учащиеся учатся сами формулировать вопросы, отвечать на них и анализировать различные аспекты проблемы.
Развитие понятий, суждений и умозаключений происходит в единстве с овладением, обобщением и пр. Успешное овладение мыслительными операциями зависит не только от усвоения знаний, но и от специальной работы учителя в этом направлении.
Далее рассмотрим, что же такое логическое мышление.

1.9 Логическое мышление и актуальность проблемы его развития у учащихся

Логическое, или словесно-логическое мышление функционирует на базе языковых средств и представляет собой наиболее поздний этап исторического и онтогенетического развития мышления. Для логического мышления характерно использование понятий, логических конструкций, которые иногда не имеют прямого образного выражения (например, стоимость, честность, гордость и т.д.). Благодаря логическому мышлению человек может устанавливать наиболее общие закономерности, предвидеть развитие процессов в природе и обществе, обобщать различный, наглядный материал.
В то же время даже самое отвлеченное мышление никогда полностью не отрывается от наглядно-чувственного опыта. И любое абстрактное понятие имеет у каждого человека свою конкретную чувственную опору, которая, конечно, не может отразить всей глубины понятия, но в тоже время позволяет не отрываться от реального мира. При этом чрезмерное количество ярких запоминающихся деталей в объекте может отвлекать внимание от основных, существенных свойств познаваемого объекта и тем самым затруднять его анализ.
К основным формам логического мышления относятся, перечисленные выше понятие, суждение, умозаключение.
Понятие закрепляется и выражается с помощью слова или словосочетания. Многозначность слов затрудняет процесс логического мышления и незнание точного значения употребляемых слов. Понятие как логическая форма мышления не в состоянии передать все богатство человеческой мысли, оно лишь основа наших рассуждений и высказываний о различных свойствах и качественных предметов.
Суждение же не может существовать без понятий, но и понятие не может быть без суждения, т.к. заложенная в понятии мысль и раскрывается лишь в суждениях и высказываниях. Суждение чаще всего выражается в виде содержащего утверждение или отрицание повествовательного предложения.
Без умозаключений процесс мышления невозможен. Они используются в повседневной жизни и научной деятельности. Принимая те или иные решения, делая определенные выводы, используя различные аргументы, мы стремимся из уже проверенных на практике знаний получить в итоге новые знания.
При размышлениях, не осознавая этого, мы очень часто используем приемы логического мышления: сравнение, анализ, синтез, абстрагирование, обобщение (объединение отдельных предметов в некотором понятии), описание (перечисление внешних, чувственно воспринимаемы признаков предмета. Цель - создать с помощью такого чувственно-наглядного образа представление предмете), характеристика (предназначена для перечисления некоторых внутренних, существенных признаков предмета, а не его внешнего вида, как при описании), классификация (распределение предметов по группам (классам), где каждый класс имеет свое постоянное определенное место).
Логическое мышление не дано от рождения. Оно складывается постепенно, вырастает из предыдущих ступеней отражения реальности и переработки информации о ней.
Овладение этим способом мышления означает "гигантский", по своим размерам скачек. Внешнее логическое мышление реализуется как система логических преобразований и связей высказываний.
Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.
Проблема развития логического мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усваиваемом содержании школьного курса математики, где предъявляются наиболее высокие требования по сравнению с другими школьными предметами по логической организации материала.
Часто возникает вопрос о взаимосвязи творческого и логического мышления. В реальном процессе мышления творческое и логическое мышление тесно переплетены, взаимопроникают, но нетождественны.
В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два понятия целесообразно разделить. Тогда логическое мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Логическое мышление в таком понимании не является творческим, т.к согласно законам и правилам формальной логики нельзя вывести из посылок ничего такого, что не было бы в этих посылках заключено. Эта мысль содержится в словах английского философа Д. Локка о том, что силлогизм в лучшем случае есть лишь искусство вести борьбу при помощи того небольшого знания, какое у нас есть, не прибавляя к нему ничего. Известные математики, изучавшие процесс открытия нового знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре), психологи, изучавшие процесс мышления (Я.А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.), разделяют творческое и логически мышление. Логические рассуждения предполагают отсутствие скачка мысли, пропуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т.е. озарения, инсайда, интуиции.
Задача развития логического мышления учащихся ставится и определенным образом решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена - развитие логического мышления.
Но программы по математике пока не содержат расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает. Представляется, что есть необходимость осознавать проблему развития логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее реализовывать. Для этого можно использовать математические игры, которые способствуют более четкому мышлению, помогают формулировать умозаключения.
В этом случае выработка умений учащихся логически мыслить протекает быстрее. С другой стороны занимательность материала может способствовать развитию интереса к математике в целом, что тоже не маловажно.
Я предлагаю развивать логическое мышление по средствам математических игр, о чем и расскажу в следующей главе.

Глава 2 Возможности применения математических игр для развития логического мышления

2.1 Понятие математической игры и ее психолого-педагогические основы

Понятие математической игры сложное. Жестких определений этого понятия нет, разные авторы понимают это по-разному. Я считаю наиболее подходящим определение предложенное Е.А. Дышниским: Математические игры - это игры в виде разнообразных задач и упражнений занимательного характера, требующих проявления находчивости, оригинальности мышления, смекалки, умения критически оценить условия и постановку вопроса. К математическим играм относятся либо игры, имеющие дело с фигурами, числами, и тому подобным, либо игры, результат которых может быть предварительно предопределён теоретическим анализом [11].
Математическая игра является одной из форм внеклассной работы по математике. Она используется в системе внеклассной работы для формирования у детей интереса к предмету, приобретения ими новых знаний, умений, навыков, углубление уже имеющихся знаний. Игра наряду с учением и трудом - один из основных видов деятельности человека, удивительный феномен нашего существования.
Что же понимается под словом игра? Термин "игра" многозначен, в широком употреблении границы между игрой и не игрой чрезвычайно размыты. Как справедливо подчеркивал Д.Б. Эльконин [24] и С.А. Шкаков [30], слова "игра" и "играть" употребляются в самых различных смыслах: развлечение, исполнение музыкального произведения или роли в пьесе. Ведущая функция игры - отдых, развлечение. Это свойство как раз и отличает игру от не игры.
Российский психолог А.Н. Леонтьев считает игру ведущим типом деятельности ребенка, с развитием которой происходят главные изменения психики детей, подготавливающие переход к новой, высшей степени их развития. Забавляясь и играя, ребенок обретает себя и осознает себя личностью.
Игра, в частности математическая, необычайно информативна и многое "рассказывает" самому ребенку о нем. Она помогает найти ребенком себя в коллективе сотоварищей, в целом обществе, человечестве, во вселенной.
В педагогике к играм относят самые разнообразные действия и формы занятий детей. Игра - это занятие, во-первых, субъективно значимое, приятное, самостоятельное и добровольное, во-вторых, - имеющее аналог в реальной действительности, но отличающаяся своей не утилитарностью и буквальностью воспроизведения, в-третьих, - возникающая спонтанно или создаваемая искусственно для развития каких-либо функций или качеств личности, закрепления достижений или снятия напряжения.
А.С. Макаренко считал, что "игра должна постоянно пополнять знания, быть средством всестороннего развития ребенка, его способностей, вызывать положительные эмоции, пополнять жизнь детского коллектива интересным содержанием" [17].
Можно дать следующее определение игры. Игра - вид деятельности, имитирующий реальную жизнь, имеющий четкие правила и ограниченную продолжительность. Но, несмотря на различия в подходах к определению сущности игры, ее назначения, все исследователи сходятся в одном: игра, в том числе математическая, является способом развития личности, обогащения ее жизненного опыта. Поэтому игра используется как средство, форма и метод обучения и воспитания.
Существует много классификаций и видов игры. Если классифицировать игру по предметным областям, то можно выделить математическую игру. Математическая игра по области деятельности это, прежде всего, интеллектуальная игра, то есть игра, где успех достигается в основном за счет мыслительных способностей человека, его ума, имеющихся у него знаний по математике.
Математическая игра помогает закреплять и расширять предусмотренные школьной программой знания, умения и навыки.
В современной школе математическая игра используется в следующих случаях: в качестве самостоятельной технологии^* для освоения понятия, темы или даже раздела учебного предмета; как элемент более обширной технологии; в качестве урока или его части; как технология внеклассной работы.
Математическая игра, включенная в занятие, и просто игровая деятельность в процессе обучения оказывают заметное влияние на деятельность учащихся. Игровой мотив является для них действительным подкреплением познавательному мотиву, способствует созданию дополнительных условий для активной мыслительной деятельности учащихся, повышает концентрированность внимания, настойчивость, работоспособность, создает дополнительные условия для появления радости успеха, удовлетворенности, чувства коллективизма [11].
Математическая игра, да и любая игра в учебно-воспитательном процессе, имеет характеристические черты. С одной стороны, условный характер игры, наличие сюжета или условий, наличие используемых предметов и действий, с помощью которых происходит решение игровой задачи. С другой стороны, свобода выбора, импровизация во внешней и внутренней деятельности позволяют участникам игры получать новую информацию, новые знания, обогащаться новым чувственным опытом и опытом мыслительной и практической деятельности. Через игру, реальные чувства и мысли участников игры, их положительный настрой, реальные действия, творчество возможно успешное решение учебно-воспитательных задач, а именно, формирование положительной мотивации в учебной деятельности, чувства успеха, интереса, активности, потребности в общении, желании достичь лучшего результата, превзойти себя, повысить свое мастерство [26].
Математических игр очень много. В своей работе я рассмотрю только некоторые. А именно "игры на бумаге". Любая из таких игр - это не просто забава. Это целый кладезь новой информации и полезных навыков, тренажер, учащий мыслить и рассуждать.
С моей точки зрения, целесообразно для начала рассмотреть простую на первый взгляд игру (которая известна почти всем) - крестики-нолики. Хотя правила игры довольно просты, это вовсе не означает, что и сама игра элементарна. В крестики-нолики можно играть в качестве разминки на уроке. Но чтобы ее проанализировать понадобится несколько занятий.
С моей точки зрения, наиболее эффективными для развития логического мышления являются игры на отгадывание. Стремление к разгадыванию различных загадок и тайн свойственно человеку в любом возрасте. Детская страсть к играм и головоломкам "на отгадывание" иногда пробуждает у школьников желание целиком посвятить себя математике, физике, биологии, чтобы "отгадать" уже более серьезные, научные загадки и проблемы. Лучшие отгадчики в последствии, случается, создают математические теории, расшифровывают древние папирусы или открывают новые законы природы. Несомненно, игры на отгадывание развивают творческие способности человека, его логическое мышление, учат ставить важные вопросы и находить на них ответы.
Все игры на отгадывание во многом похожи друг на друга - один игрок что-то загадывает, задумывает или расставляет, а другой, задавая те или иные вопросы и получая ответы на них, должен найти разгадку, определить задуманный объект. В этой главе я рассмотрю три игры на отгадывание, содержащие определенные математические и логические элементы. В игре "быки и коровы" - требуется отгадать число, в "отгадать слово" - определить слово, а в игре "морской бой" - обнаружить расположение кораблей. Во всех трех играх, построенных на вопросах и ответах, отгадчик на каждом ходу извлекает некоторую информацию о задуманном объекте и после ряда вопросов отгадывает его (то есть находит задуманное число, слово или расположение кораблей). Цель игры заключается в том, чтобы определить объект, задав как можно меньше вопросов. Загадчик и отгадчик меняются ролями, и победитель определяется по совокупности встреч.
Каждая из игр обычно занимает не много времени, но если анализировать эти игры, искать выигрышные стратегии, то это может занять несколько занятий.
Ниже предложена разработка факультативного курса, для старших классов.
Я предлагаю следующее тематическое планирование. Посвятить:
Крестики-нолики - 2 часа;
Морской бой - 3 часа;
Отгадай слово - 2 часа;
Быки и коровы - 3 часа;
Резерв - 2 часа.
Это приблизительное планирование, в зависимости от того с какой скоростью школьники разбирают предложенные игры, можно увеличить или уменьшить предложенное количество часов.
Для этого факультатива не требуется специальных знаний, и он в занимательной форме способствует развитию логического мышления.

2.2 Крестики-нолики (2ч)

Учитель рассказывает правила игры и некоторые аспекты игры: Итак, самая простая игра - крестики-нолики на доске 3Ч3. Даже на таком простом примере можно проиллюстрировать многие важные понятия математической теории игр. Игра "3 в ряд" относится к категории конечных, переборных, стратегических игр двух лиц. Вначале урока школьникам нужно объяснить правила игры: партнеры по очереди ставят на поля квадрата (доски) крестики и нолики, и выигрывает тот, кто первым выстроит три своих знака в ряд. Игра длится не более девяти ходов. Если никому из игроков не удается добиться цели, партия заканчивается вничью.
Теперь давайте сыграть. Разбейтесь на пары и начинайте игру (3 - 4 мин). После нескольких партий мы проанализируем игру.
Учитель предлагает школьникам проанализировать игры, для этого они рассматривают как составить дерево перебора. Переходя от крестиков-ноликов к дереву перебора школьники учатся абстрагированию и анализу. При обратной операции ("от дерева к партии") развивают конкретизацию.
Учитель: Составляя дерево, будем обозначать вершинами (точками) возникающие в процессе игры "позиции" (расположения крестиков и ноликов). Пусть начинают крестики. Соединим начальную вершину (пустая доска) с теми девятью, которые отвечают первому ходу крестиков. Каждую из них соединим с восемью вершинами, отвечающими ходами ноликов, и т.д. В результате мы получаем дерево игры (дерево перебора) [Приложение 1]. Начальная вершина - корень дерева, максимальная длина ветви (глубина перебора) в данном случае равна девяти.
Рассмотрев часть дерева перебора, с помощью вопросов учитель приводит школьников к мысли, что необходимо выделить группы партий, которые отличаются друг от друга по какому-либо признаку, например по первой занятой клетке.
Дети, анализируя сыгранные партии, приходят к выводу: У крестиков три принципиальных начала - занять угол, центр или боковую клеточку доски.

Рисунок 1

Учитель задает вопросы, чтобы дети проанализировали, что будет если крестики не будут занимать первым ходом центральное место:
Учитель: Пусть крестики сделали ход а1. Какие возможные ходы есть у ноликов?
Ученик: Из восьми возможных ответов правильным для ноликов является лишь ход в центр доски. После этого ничья достигается без труда (а1 рисунок 1)
Учитель: Предположим, что нолики сыграли иначе: на a1 ответили b1. Тогда следует ход крестиков а3. Каким должен быть ход ноликов?
Ученик: Единственный ответ ноликов а2.
Учитель: На что решает ход с3. Каким будет следующий ход ноликов и чем закончится пария?
Ученик: Это партия заканчивается с вилкой, то есть с двойной угрозой b2 или b3 (рисунок 1а). Следующим ходом крестики ставят третий знак и выигрывают.
Учитель: Анализ центральной и боковых клеток вы сделаете дома.
Теперь учитель предлагает к обычной доске 3Ч3 всего одно поле - d1 (рисунок 1б): Чем завершается игра в этом случае?
Играя, ученики быстро приходят к умозаключению: На такой доске крестики быстро одерживают победу. Решает ход с1. Если нолики не играют b2, то, как мы знаем, они проигрывают на обычной доске 3Ч3 (дело обойдется без дополнительного поля). Если же они займут поле b2, то после b1 неизбежен следующий ход крестиков на а1 или d1 (рисунок 1б).
Учитель подчеркивает: Существует доска из 10 полей, на которой крестики фиксировано одерживают победу. А что будет происходить на доске из семи клеток, представляющей собой два ряда 4Ч1, пересекающиеся в одной из своих внутренних клеток (рисунок 1в)?
Вновь дети играют и приходят к умозаключению: Выигрыш достигается уже на третьем ходу. Первый крестик ставится на пересечении рядов, второй - на одно из соседних внутренних полей, после чего нолики беззащитны. Нетрудно убедиться, что, какова бы ни была доска с числом клеток, меньшим семи, результат игры будет ничейный.
Учитель: Вернемся к крестикам-ноликам на доске 3Ч3. Кажется забавным, но на ней можно играть в поддавки! Тому, кто первым выставит ряд из трех своих знаков, засчитывается поражение. Давайте сыграем в поддавки и проанализируем игру.
Школьники играют, а затем сравнивают обычную игру 3Ч3 и поддавки, и приходят к умозаключению: В отличие от "прямой" игры в "обратной" инициатива принадлежит ноликам. Впрочем, у крестиков имеется надежная ничейная стратегия - на первом ходу они должны занять центр и далее симметрично повторять ходы партнера.
Учитель: Давайте рассмотрим новую разновидность игры. Следующий вариант крестиков-ноликов свидетельствует о том, что даже такая маленькая доска, как 3Ч3, может служить неиссякаемым источником для изобретателей игр. От обычных правил отличие только в том, что каждый игрок при своем ходе может по желанию поставить либо крестик, либо нолик. Побеждает тот, кто первым закончит ряд из трех одинаковых знаков, причем безразлично каких. В обычной игре, да и в поддавках, если партнеры не делают грубых ошибок, партия заканчивается в ничью. Кто же выиграет в данном варианте?
Чтобы это определить школьники вновь играют, а затем вместе с учителем анализируют игру.
Учитель задает наводящие вопросы: Предположим, что первый игрок первым ходом занимает центр, b2, например, как обычно, ставит на нем крестик (рис.2а).

Рисунок 2

Ученик: Второй игрок может занять либо угловое поле, либо лежащее на стороне доски, и, чтобы не проиграть сразу, он должен поставить нолик.
Учитель: Если выбрано угловое поле а1, что будет делать первый игрок?
Ученик: Первый игрок рисует нолик в противоположной вершине с3 и куда теперь противник ни поставил крестик или нолик, он своим следующим ходом заканчивает соответственно ряд из крестиков или ноликов.
Учитель: Что будет происходить, если второй игрок занимает первым ходом боковое поле а2?
Ученик: То первый ставит нолик на одной линии с двумя имеющимися знаками, то есть на поле с2. У второго игрока нет ничего лучшего, чем поставить еще один нолик на b1, и после ответного, четвертого нолика на b3 он вынужден сдаться (рис 2а). Тем саамы, в этой игре побеждает начинающий.
Так же учитель предлагает еще один вариант игры на доске 3Ч3: Партнеры по очереди ставят на доску три своих крестика или нолика, после чего новые знаки уже не рисуются. Если за это время никто не выстроил три знака в ряд, игра продолжается. Теперь на каждом ходу игроки могут переставить один свой знак на соседнее поле по вертикали или горизонтали. Выигрывает вновь тот, кто раньше выстроит три знака в ряд. Эту игру учитель вы проанализируете дома.
Дети, проанализировав, должны прийти к умозаключению, что как в предыдущей игре, право первого хода является здесь решающим. Начинающий должен поставить свой крестик в центр доски. Если теперь нолик поставлен в углу, например, на поле а2, то первый игрок ставит крестик на b1. Ответ вынужден - b3. На это следует с3, ответ опять единственный - а1. Дебют партии закончен (рис.2б). Двумя следующими ходами первый игрок переставляет крестики с b2 на с2 и с b1 на с1 и выигрывает партию. Если на первом ходу второй игрок займет боковое поле, например b3, то первый играет а1, а второй отвечает с3, тогда первый идет а3, а противник а2. Все знаки выставлены, теперь первый игрок переставляет крестик с а1 сначала на b1, а затем на с1 и берет вверх. Если договориться, чтобы начинающий не занимал первым ходом центральное поле, то при правильной игре обоих партнеров ни один из них не сможет добиться цели, партия заканчивается в ничью.
Учитель: Конечно, в последней игре вместо крестиков и ноликов удобнее пользоваться белыми и черными шашками. Эту игру можно рассматривать как вступление в класс игр, представляющих собой гибрид крестиков-ноликов и шашек. На доске 4Ч4 такая игра называется так-тикль. Об этой игре и другой разновидности крестиков-ноликов я вам просто расскажу, по желанию, можете поиграть в нее дома.
В так-тиль каждая сторона имеет по четыре шашки (рисунок 2в). Игроки по очереди передвигают их на одну клетку по вертикали и горизонтали, и кто первым расположит три шашки в ряд, тот и выигрывает.
Вот примерная партия в так-тиль:
1. с1-с2 d1-c1.
2 b4-b3 b1-b2
3. b3-a3 (грозило 3…а4-а3) 3…а4-b4 4. а1-b1 с выигрышем, так как черные не могут воспрепятствовать маневру
5. d4-d3.
С помощью ЭВМ доказано, что так-тикль ничейная, то есть при точной игре ни одному из партнеров не удается поставить три шашки в ряд.
Дальнейшим обобщением двух последних игр является "мельница", одна из самых древних в истории человечества игр. На рис.3 изображено несколько "мельниц". Первоначальная форма доски (а) до сих пор остается самой популярной. В этом варианте. Называемом простой мельницей, у каждой стороны по девять шашек. В мельнице улитке (б) число шашек увеличивается до 12, а в шестиугольной (в) у противников по 13 шашек.


Рисунок 3
Известны так же мельница-паутина, мельница-сетка, пятиугольная мельница и др. во всех разновидностях игры правила одинаковые. Партия состоит из трех этапов. Первый этап (дебют) заключается в расстановке шашек. Игроки по очереди ставят свои шашки на любые свободные поля доски. Три шашки одного цвета, выставленные в ряд, образуют фигуру, называемую мельницей. Построив ее. Игрок снимает с доски любую шашку противника. Если одним ходом удалось соорудить две мельницы, то с доски снимают две шашки.
Второй этап (миттельшпиль) начинается после расстановки всех шашек. Теперь партнеры по очереди передвигают их вдоль линий на соседние поля. Цель прежняя - выстроить мельницу и снять с доски шашку противника.
Третий этап (эндшпиль) наступает, когда у одного из игроков остается три шашки. Теперь он получает право при очередном ходе переставлять любую из них на произвольное свободное поле доски, не обращая внимания на линии, соединяющие поля. Сооружая мельницу своими тремя шашками, он снимает шашку партнера, который ходит по обычным правилам до тех пор, пока у него не останется три шашки.
Побеждает тот, кто сумеет довести число шашек противника до двух, лишая его возможности построить мельницу. Партия может закончиться и раньше, если в какой-то момент один из партнеров не в состоянии сделать ход, то есть все его шашки зажаты. Если у обоих партнеров осталось мало шашек (например, по три) и ни один из них уже не может соорудить мельницу, партия заканчивается в ничью. Заметим, что запрещается дважды использовать одну и ту же мельницу. Занимать шашками три данных поля доски можно сколько угодно раз, но шашка противника снимается только при первом построении мельницы.
Учитель подводит итог: Мы с вами на этих занятиях рассмотрели игру крестики-нолики. Попытались найти выигрышные стратегии. Дальнейшее анализирование игры вы можете продолжить самостоятельно.
Замечание: Отметим, что для того чтобы провести анализ игры школьники сначала должны были девять способов сделать первый ход объединить в группы по какому-либо признаку (занято первое поле - первая группа, занято угловое поле - вторая группа, занято боковое поле - третья группа), т.е. они должны провести сравнение и классификацию некоторых объектов. Когда школьники переходят от конкретных партий к построению дерева перебора, т.е. учащиеся должны абстрагироваться от поля, крестиков и ноликов и перейти к математической модели. После того, как учитель изменил начальные условия школьники должны были самостоятельно попробовать найти самостоятельную стратегию. Предполагается, что к концу занятия ученики быстрее учатся находить ключевые моменты (первый ход, правила заполнения поля, для того чтобы не проиграть)

2.3 Морской бой (3ч)

Учитель: Многие люди знают игру "морской бой". Несмотря на внешнюю простоту, эта популярная игра и ее различные модификации содержат немало тонкостей. Классический морской бой. Начнем с самого популярного варианта морского боя, распространенного во многих странах. Каждый из двух игроков рисует на клетчатом листе бумаги две доски размером 10Ч10. На первой из них он расставляет свои корабли, а на второй разгадывает расположение кораблей противника. В состав флотилии входит десять кораблей: один линкор (корабль 4Ч1), два крейсера (3Ч1), три эсминца (2Ч1) и четыре катера (1Ч1). Корабли могут занимать любые поля доски, но не должны касаться друг друга ни сторонами, ни углами. После размещения флота игроки начинают по очереди стрелять по неприятельской территории, то есть называть поля доски - а3, б7, и9 и т.д. (горизонтали доски будем обозначать числами от 1 до 10, а вертикали - русскими буквами от а до к) после каждого выстрела игрок получает от партнера следующую информацию: "попал", если выстрел пришелся по полю с кораблем; "убил", а если это последнее поле корабля (по другим полям, занятым им, попадание произошло раньше); и наконец, "мимо", если поле пустое. В первых двух случаях игрок производит еще один выстрел, и так до первого промаха, после чего очередь хода передается партнеру. Побеждает тот, кто потопит все 10 кораблей противника. Таким образом, в данной текстовой игре шифром служит набор прямоугольников, расположенных на доске, а самим тестом - удары по ней. Обычно выстрел в морском бое обозначается точкой, а при попадании в корабль точка превращается в крестик (сам потопленный корабль обводится прямоугольником). Конечно, точка становится и на те поля, про которые уже точно известно, что они не могут входить в состав ни одного из кораблей (лежат наискосок от "подбитых" полей или окружают потопленный корабль).

Рисунок 4
Вот рассказаны правила игры, теперь можете поиграть. Разбейтесь на пары, на розданных листах, с начерченными полями рисуйте корабли и начинайте игру.
После того как партии сыграны, учитель вместе с учениками сравнивают сыгранные партии и в целом анализируют игру.
Учитель замечает: Успех в этой игре в какой-то мере зависит от везения. Можно беспорядочно наносить удары по неприятельской территории и при этом без промаха уничтожить все его корабли. Но вряд ли на это стоит рассчитывать. Если говорить об искусстве игры в морской бой, возникают два вопроса:
1) как стрелять, чтобы повысить вероятность попадания в неприятельские корабли;
2) как расставлять собственные корабли, чтобы противнику было труднее их потопить? Предположим, мы хотим попасть в неприятельский линкор. Как мы должны стрелять, чтобы сделать это как можно быстрее?
Ученики предлагают различные варианты ответа: Можно стрелять последовательно сначала по полям первой горизонтали (слева на право), затем по полям второй и т.д.
Учитель: А давайте определим после какого удара мы точно попадем в линкор?
Школьники считают и делают вывод: В худшем случае это будет на 97-ом ударе (если корабль занимает поля с ж10 по к10).
Учитель: А давайте подумаем, как делать ходы, чтобы сделать это быстрее.
Дети анализируют сыгранные партии и приходят к умозаключению: Оптимальным вариантом будет, если делать ходы так, как показано на рисунке 5а или 5б.
Учитель: Сколько максимально может быть ходов?
Ученик: Это произойдет не позднее 24-го удара (24 крестика следуют друг за другом через три поля вдоль каждой вертикали и горизонтали).


Рисунок 5

Рисунок 6
Учитель: А давайте рассмотрим более общий случай. Предположим, что на доске nЧn расположен один-единственный корабль kЧ1 (k-мино). Совокупность выстрелов, гарантирующих нам попадание в этот корабль, назовем стратегией. Стратегию, содержащую минимальное число выстрелов, назовем оптимальной; число выстрелов в ней обозначим через . Для начала рассмотрим доску 4Ч4 и корабль размером 4Ч1. Сколько будет равна ?
Школьники анализируют и приходят к умозаключению: . Все семь оптимальных стратегий для доски 4Ч4 представлены на рисунке 8 (стратегии, которые совпадают при поворотах и зеркальных отражениях доски, мы не различаем). Сдвигая все выстрелы на четыре поля по вертикали и горизонтали, получаем семь стратегий на доске 10Ч10. Однако две из них являются оптимальными (рисунок.5а и 5б), причем .
Учитель: А как же будет в общем случае, для попадания в корабль kЧ1, расположенный на доске nЧn?
Школьники, подумав, вновь выдвигают гипотезу: Выстрелы должны отстоять друг от друга на k полей по вертикали и горизонтали. Это означает, что на каждой линии содержится примерно по  выстрелов оптимальной стратегии, и мы получаем приближенную формулу .
Учитель подводит итог: Опытные игроки обычно действуют следующим образом. Сначала, пользуясь одной из стратегий на рисунке 5, обнаруживают единственный линкор противника. Когда с ним будет покончено, принимаются за поиск крейсеров. Теперь удары наносятся не через три поля по вертикали и горизонтали, а через два. Потопив оба крейсера, переходят к эсминцам. Когда непотопленными останутся одни катера, выбор полей ударов уже не будет иметь никакого значения, и приходится полагаться только на случай. Конечно, "легкие" корабли могут быть обнаружены и при охоте за "тяжелыми".
Итак, труднее всего обстоит дело с катерами, для нахождения которых нельзя придумать эффективной стратегии.
Поэтому при размещении собственной флотилии надо располагать все крупные корабли поплотнее, представляя противнику для поиска катеров как можно больше свободной территории.
Наиболее выгодное в этом смысле размещение показано на рисунке 7. Если даже соперник потопил все шесть наших крупных кораблей, для обнаружения четырех катеров у него имеется территория наибольшей площади - целых 60 полей (на рисунке справа от черты).


Рисунок 7
Учитель: Сейчас нам некоторые из учеников расскажут доклады, приготовленные ранее, о разных вариациях игры морской бой и некоторых интересных аспектах этой игры.
Докладчик 1: Доклад о различных досках и кораблях. Форма доски в морском бое, вид кораблей и состав флотилии особенного значения не имеют. Так, шахматисты, возможно, предпочитают играть на доске 8Ч8. Заметим, что в терминах игры "полимино" наши корабли имеют такие названия: катер - мономино, эсминец - домино, крейсер - прямо тримино, линкор - прямое тетрамино (рисунок 4). В качестве кораблей в этой игре можно использовать и другие виды полимино. На рисунке 4 представлены все девять кораблей, содержащих не более четырех клеток.
Сражение можно вести не только на море, но и на суше. Для этого доску следует разбить на две части - морскую и береговую. Противники получают в свое распоряжение три вида боевых средств - флот (корабли могут располагаться только в море), сухопутные войска (размещаются на суше) и самолеты, которые находятся как в море, так и на суше. Можно, например, использовать для игры 20 боевых единиц: во флотилию включить десять кораблей обычного морского боя, в сухопутные войска - два квадратных, два косых, два Т-и два L-тетрамино и, наконец, два прямоугольных тримино превратить в самолеты. Одно из расположений всех видов войск на доске 20Ч15 представлено на рисунке 8 (беговая часть доски на рисунке заштрихована). Как и положено, флот находится в море, а сухопутные войска дислоцированы на суше, один самолет летает над морем, другой охраняет берег.

Рисунок 8

Рисунок 9
Вот еще одна разновидность морского боя. Игра протекает на шахматных досках 8Ч8; каждый из двух игроков разбивает свою доску на четыре части произвольной формы, состоящее из одинакового количества полей - по 16 каждая. На рисунке 9. даны четыре варианта разбиения доски. Ход состоит из четырех одновременных выстрелов по полям доски, образующими произвольный квадрат 2Ч2, например б5, б6, в5, в6 (на рис.9 его поля помечены крестиками). Обстреливаемый игрок сообщает номера частей, в которые произошло попадание, не указывая при этом, какие поля каким частям принадлежат. Для наших квадратов ответы будут такие: 2, 2, 2, 3 - рис.9а; 1, 1, 2, 2 - рис.9б; 2, 2.3, 4 - рис.9в; 2, 2, 3, 3 - рис 9г. После каждого хода партнеры делают определенные выводы о возможном разбиении доски и на их основании выбирают следующий ход. Побеждает игрок, который первым определяет, на какие четыре части разбил противник свою доску.
Докладчик 2:
Я хочу рассказать о интересном "эндшпиле", в котором одна неточность сразу решает исход боя (этот пример придумал В. Чванов).
На рисунке 10 изображено положение, возникшее в процессе игры. К данному моменту обе флотилии - и наша (рисунок 10а) и противника (рисунок 10б) пострадали одинаково. У обеих потоплены линкор, один крейсер и один эсминец, продолжают сражение по одному крейсеру, по два эсминца и все четыре катера. Расположение наших кораблей противнику уже известно (на рисунке 10а они обведены пунктиром), и при своем ходе он разгромит их без промаха.

Рисунок 10

Рисунок 11

К счастью ход наш и судьба партии в наших руках. Мы должны потопить один за другим все семь кораблей, сосредоточенных в квартале 5Ч5. Для нахождения победной комбинации в этой напряженной схватке требуется прежде всего провести логический анализ ситуации.
По правилам любые два корабля отстоят друг от друга не меньше чем на одно поле. Окружим каждый корабль каймой шириной в полполя (рис.11), полученный прямоугольник назовем достройкой этого корабля. Найдем теперь площадь достроек всех семи кораблей, которые предстоит потопить. Какими они будут?
Ученики: Достройка катера - 4 клетки (2Ч2), эсминца - 6 клеток (3Ч2) и крейсера - 8 клеток (4Ч2). Общая площадь достроек составляет 36 клеток.
Докладчик2: Верно. Но площадь достройки доски (достройка с каймой в полполя) также 36 клеток, из чего следует, что угловые поля доски 5Ч5 обязательно заняты кораблями (иначе угловая площадь достройки доски "пропадает"). Передерем все возможные расположения кораблей. Сколько их будет, если повороты и зеркальные отражения доски не учитывать?
Ученики: Их всего пять (рисунок 12а - д).

Рисунок 12
Докладчик2: Проведенный анализ позволяет эффективно завершить игру. Как вы думаете, куда надо выстрелить вначале?
Ученики: Первые четыре выстрела следует произвести по углам доски 5Ч5. Как мы убедились, все они достигают цели. Если при этом три катера будут потоплены (рис.12а), то расположение остальных кораблей определяется однозначно.
Докладчик 2: Пусть потоплен только один катер (рисунок 12б, в,). Какой вывод можно сделать?
Ученики: Так как достройки кораблей плотно покрывают достройку доски, пятый и шестой выстрелы можно без риска произвести по полям а3 и е1, отстоящем на два поля от углового, занятого потопленным катером. От результата этих двух выстрелов зависит, какой из случаев - "б" или "в" - имеет место.
Докладчик2: Если выстрелы по углам привели к потоплению двух катеров (рисунок 12г, д), что можно сказать?
Ученики: Удары по полям а3 и в5 позволят сразу выяснить, какой из двух вариантов избрал противник.
Докладчик 2: Итак, после шести выстрелов мы имеем полную информацию о расположении неприятельских кораблей и следующими пятью ударами победно завершим эту напряженную битву. Рассмотренный пример показывает, что в критической ситуации от играющих в морской бой требуется не малое искусство и выдержка.
Докладчик 3: Мой доклад о залпах выстрелов. До сих пор рассказывалось о том, что каждый выстрел производится по одному полю доски. Интересной разновидностью морского боя является игра, в которой один ход состоит сразу из ряда выстрелов - ведется, так сказать, массированный огонь по неприятельскому флоту. Соперник сообщает общие результаты стрельбы, не указывая при этом, в какой корабль и на каком поле произошло попадание. Например, при трех одновременных выстрелах ответы могут быть такими: три промаха; два промаха и одно попадание; один промах и одно потопление и т.д. (последний ответ означает, что два выстрела из трех попали в один и тот же корабль и потопили его). Остальные правила игры не меняются. После каждого хода и ответа на него игроки извлекают определенную информацию о дислокации неприятельских кораблей и следующими ходами пытаются использовать ее.
В другом варианте этой игры каждому игроку разрешается одновременно производить выстрелы по стольким полям доски, сколько у него еще осталось непотопленных кораблей. Обстреливаемый игрок вновь сообщает стреляющему только общее число попаданий, потоплений и промахов. При обычной флотилии из десяти кораблей первый ход состоит из девяти выстрелов. Если один или несколько кораблей потоплены, то число выстрелов уменьшится. Когда все корабли пойдут на дно, игрок лишается права хода (0 выстрелов), но оно ему больше не нужно - бой закончился его поражением.
Рассмотрим еще одну интересную модификацию морского боя на произвольной квадратной доске. В ней также разрешается производить серии выстрелов. Будем считать, что флотилии обоих партнеров состоят из кораблей одного типа: катеров, эсминцев, крейсеров, линкоров или вообще кораблей kЧ1 (k-мино) на доске nЧn (k≤n). Число k оговаривается до начала игры. Игрок может расставлять на доске любое количество кораблей, быть может, ни одного, не сообщая это число противнику.
Игра состоит всего из одного хода, который заключается в одновременном произведении выстрелов по ряду полей доски (залп выстрелов). При этом игрок получает информацию о каждом поле доски - попадание или промах (о потоплениях сообщений не делается) проанализировать ответы противника, он должен однозначно определить расположение всей его флотилии. Победителем становится игрок, залп которого содержит меньше выстрелов.
И в конце учитель подводит итог:
Мы с вами рассмотрели игру морской бой. Поиграв в нее мы сравнивали, анализировали и приходили к умозаключению о правильной стратегии этой игры, что развивает логическое мышление.
Учитель подводит итог: Итак, на занятиях посвященных морскому бою были рассмотрена обычная игра морской бой. Мы попытались найти оптимальную стратегию для выигрыша. А так же были рассмотрены различные вариации игры и некоторые интересные аспекты игры.
Замечание: Отметим, что на занятиях посвященных морскому бою школьники анализировали то, как лучше расставлять корабли, чтобы противнику было сложнее их найти и то, как нужно наносить удары по вражеской флотилии, чтобы одержать победу. Сначала был рассмотрен частный случай, как найти ленкор (4Ч1), затем учащиеся предложили рассмотреть более общий случай: корабль размером kЧ1. Проводя обобщение и анализ учащиеся должны были сформулировать гипотезу о примерном количестве выстрелов, необходимом для гарантированного попадания в корабль. То есть учащиеся переходили от поля и кораблей к формулам и обратно (абстрагирование и конкретизация).
Так же учащиеся познакомились с некоторыми вариациями игры в морской бой. Если их заинтересовала эта тема, то они могут дома самостоятельно провести анализ возможных стратегий игры. Затем, учащиеся при рассмотрении "эндшпиля" перебирают все возможные комбинации расположения семи кораблей в квартале 5Ч5 и выявляют существенные моменты этих расположений.

2.4 Отгадай слово (2ч)

В начале урока учитель рассказывает правила игры. А затем рассматривает пример: Игра "отгадай слово" впервые появилась на свет в конце 60-х годов, почти одновременно с "быками и коровами", о которой будет рассказано позже, и до сих пор пользуется большой популярностью, в нее охотно играют школьники, студенты, научные сотрудники.
Действительно, как мы сейчас увидим, эта увлекательная игра значительно богаче и глубже большинства известных словесных игр. Для успеха в ней важен не только большой запас слов, лексикон играющих, но и умение логически рассуждать.
Играют двое. Один игрок задумывает слово из пяти букв, а другой должен его отгадать. С этой целью он называет одно за другим слова, состоящие из произвольного числа букв, на каждое из которых партнер в ответ сообщает число, означающее, сколько раз буквы задуманного слова входят в названное; при этом каждая буква задуманного слова учитывается в ответе столько раз, сколько она содержится в названном.
Естественно, слова задумывают оба игрока, причем они стараются выбрать их потруднее для отгадывания. Побеждает тот, кто отгадал слово противника, то есть получает ответ "отгадал", за меньшее число ходов.
Как и в большинстве игр в слова, и задуманное слово, и "ходы" должны быть существительными, нарицательными, в единственном числе. Чтобы избежать лишних споров, лучше всего сразу договориться о том, какие разрешается использовать словари.
Очевидно, игра "отгадать слово", как и "быки и коровы", является тестовой. Выбор слов-ходов, приводящий к цели, по существу, есть тест для отгадывания задуманного противником слова (шифра), и задача игрока состоит в том, чтобы построить тест как можно короче. Конечно, игру легко обобщить, разрешая задумывать слова другой длины, однако длина пять является оптимальной (подобно четырем цифрам в "быках и коровах" - разнообразие пятибуквенных слов очень велико, и отгадать их совсем не просто).
Делать ходы (назвать тестовые слова) не обязательно по очереди, важно общее число ходов. При большом количестве партий в каждой из них можно учитывать не только то, кто раньше отгадал слово, но и на сколько ходов быстрее. Для того чтобы лучше ознакомиться с игрой, почувствовать ее тонкости, рассмотрим несколько партий, то есть выражаясь шахматным языком, прокомментируем их. Всюду предполагается, что слово задумывает ваш партнер, и нам надо его отгадать. Рядом с названными словами указываются ответы противника на них.
Приведем пример. Пусть наш воображаемый партнер задумал слово КОЛБА, а мы своим ходом назвали слово ОБОРОНА. Тогда он должен ответить числом 5. В самом деле, буквы К и Л задуманного слова не входят в названное (или иначе - входят 0 раз), буква О входит 3 раза, буквы А и Б - по 1 разу. Итого: 0+0+3+1+1=5.
Называя некоторое слово и получая на него ответ, мы всякий раз делаем определенные выводы относительно задуманного слова. Так, ответ противника на слово ОБОРОНА означает, что задуманное слово, пока не известное нам, обязательно содержит букву О (в противном случае максимальный ответ был бы равен 4), а так же две буквы из четырех Б, Р, Н, А. Рассмотрим другие возможности. Ответ 0 свидетельствовал бы о том, что в отгадываемом слове нет ни одной из пяти букв, входящих в слово ОБОРОНА; ответ 1 или 2 - что в нем содержится соответственно одна или две буквы из четырех - Б, Р, Н, А и нет буквы О; ответ 3 - что в нем есть О и нет Б, Р, Н, А, или, наоборот, есть три из этих четырех букв и нет О; наконец, при ответе 4 делаем вывод, что задуманное слово содержит букву О и одну букву из четырех остальных или все эти четыре буквы вместе, но тогда отсутствует О.
Извлекая на каждом ходу ту или иную информацию о задуманном слове противника, мы делаем следующий ход и т.д., пока не получим ответ "отгадал".
Давайте рассмотрим одну партию вместе.
Партия 1
Учитель начинает игру: Я загадываю слово и противник на первое свое слово получает ответ 2. Что это значит?
ПЕРЕВАЛ 2
Ученики анализируют и приходят к умозаключению: В данной партии первый ход позволяет сделать следующий вывод: либо в задуманном слове есть буква Е и нет букв П, Р, В, А, Л, либо есть две буквы из этой пятерки, но нет Е.
Учитель: Цель второго хода - разобраться в ситуации. Противник называет следующее слово и получает ответ 0.
СВАЛКА 0
Ученики вновь анализируют и приходят к выводу: Ответ 0 дает возможность выбросить из рассмотрения целый ряд букв. В данном случае после второго хода мы видим, что в задуманном слове нет букв В, А, Л (и, конечно, С и К), и значит, с учетом первого хода, оно содержит либо Е, либо одновременно П и Р.
Учитель: Каким словом можно определить точное наличие, например буквы П?
Школьники, не долго думая, выдают ответ: ПОП.
Учитель: На это слово ответ будет 0. Что это значит?
ПОП 0
Ученики: Итак, второй вариант отпадает, буквы П, а вместе с ней и Р в слове нет, а есть Е.
Учитель вновь предлагает новое слово к рассмотрению: На новое слово противника ответ будет 4. Какой вывод мы можем сделать из этого, если вспомнить, что отсутствие некоторых букв мы уже определили?
ФАКУЛЬТАТИВ 4
Ученики вспоминают те буквы, которых уже нет и делают вывод: Так как мы уже знаем, что букв А, К, Л, В в слове нет, то последний ход и ответ на него означают, что фактически нам надо проанализировать следующую ситуацию с фиктивным словом-ходом: ФУЬТТИ 4.
Учитель: Предположим, что в задуманном слове нет Т. Что это значит?
Ученики: Тогда оно содержит все четыре оставшиеся буквы, то есть Ф, У, Ь, И. поскольку буква Е уже найдена раньше, искомое слово должно состоять из букв Ф, У, Ь, И, Е.
Учитель: А можно ли из этих букв составить слово?
Учащиеся проводят анализ (это уже не логический анализ, а чисто словесный), и приходят к умозаключению: Из этих букв собрать слово невозможно. Таким образом, в задуманном слове обязательно присутствует буква Т, кроме того, в нем есть Е и две буквы из четырех Ф, У, Ь, И.
Учитель делает некоторые выводы: Очередными ходами мы бы могли определить две эти буквы и недостающую пятую. Однако сначала попробуем извлечь побольше информации, не делая ходов, а только основываясь на полученных ответах (самое тонкое место партии!). Две буквы из четырех можно выбрать шестью способами, . Добавляя к каждой паре уже известные буквы Е и Т, получаем шесть возможных комбинаций:
1) Ф, У, Е, Т;
2) Ф, Ь, Е, Т;
3) Ф, И, Е, Т;
4) У, Ь, Е, Т;
5) У, И, Е, Т;
6) Ь, И, Е, Т. Какие же из комбинаций даже при добавлении третьей буквы не могут образовать слово?
Школьники анализируют и выдвигают гипотезу: Последние три комбинации при любом добавлении пятой буквы не могут образовывать никакого слова. Что же касается первых трех комбинаций, то, добавляя к первой из низ букву Б, ко второй Н или к третей Ш, получаем три возможных слова: БУФЕТ, НЕФТЬ, ФЕТИШ.
Учитель: Конечно, анализ требует большого перебора вариантов, но зато мы не сделали ни одного лишнего хода!
Итак, нам осталось выяснить, какая буква из трех букв - Б, Н, Ш - выходит в задуманное слово. Попытаемся справиться с этой задачей за один ход. Для этого используем такой прием: поберем слово, в котором одна из этих букв не содержится вовсе, а две другие содержатся, но в разном количестве. Следующий ход удовлетворяет требованиям. Ответ на который 1. Какой же вывод мы можем сделать?
БАНАН 1
Ученики: Ответ показывает, что в слове есть буква Б, и следующий ход заканчивает игру.
БУФЕТ Отгадал
Учитель предлагает рассмотреть другие варианты: Что значило бы, если при ответе на пятом ходу 0.
Ученики: Задуманным оказалось бы слово ФЕТИШ.
Учитель: А при ответе 2.
Ученики: НЕФТЬ.
Так же учитель делает замечание: Кстати, неточным был бы, например, пятый ход СНОБ, а так как при ответе 1 мы не смогли бы решить, какая из двух, Н или Б, входит в задуманное слово.
Далее учитель предлагает детям поиграть, задумывает слово, а дети отгадывают.
Партия 2
Школьники называют первое слово и получают ответ 3
КАРЕЛ 3
Учитель задает наводящие вопросы: Каким должно быть следующее слово, чтобы определить наличие какой-либо буквы?
Ученики приходят к умозаключению: Слово должно отличаться от предыдущего всего несколькими буквами.
Ученики называют следующее слово, на которое получают ответ 2.
КРЕОЛ 2
Учитель вновь предлагает подумать и сделать вывод.
Ученики анализируют и приходят к выводу: Поскольку четыре буквы у этих двух столбцов общие, а ответы разные, делаем вывод, что буква А в искомом слове есть, а буквы О нет.
Учитель: А что мы можем сказать об остальных буквах?
Ученики приходят к умозаключению: Из ответа на второй ход следует, что из четырех букв К, Р, Е, Л в искомом слове содержится две.
Ученики записывают шесть возможных вариантов следующим образом:
1) А, К, Р (Е, Л, О);
2) А, К, Е, (Р, Л, О);
3) А, К, Л (Р, Е, О); (1)
4) А, Р, Е, (К, Л, О);
5) А, Р, Л, (К, Е, О);
6) А, Е, Л (К, Р, О).
Здесь перед скобками записаны буквы, которые искомое слово может содержать. А внутри скобок буквы, которых при этом в слове точно нет.
Ученики называют следующее слово и получают ответ 3.
БЕКОН 3
Ученики анализируют и делают вывод: Так как буквы О в слове нет, то нужно выбрать три буквы из четырех. Это можно выбрать четырьмя способами :
1) Б, Е, К (О, Н);
2) Б, Е, Н (К, О);
3) Б, К, Н (Е, О); (2)
4) Е, К, Н (Б, О).
Учитель помогает детям провести анализ: Комбинируя шесть вариантов (1) с четырьмя вариантами (2), получаем 6Ч4=24 комбинации. Однако не все они "совместимы". Так, несовместимые являются первые возможности в (1) и (2). С одной стороны, буква Е содержится в искомом слове - первый вариант в (2), а с другой - нет - первый вариант в (1).
Далее школьники сами продолжают анализировать и приходят к умозаключению: Анализ показывает, что из 24 вариантов совместимыми являются только шесть:
К, А, Р, Б, Н, (Е, Л, О);
К, А, Е, Б (Р, Л, О, Н);
К, А, Е, Н (Б, Р, Л, Н);
К, А, Л, Б, Н (Р, Е, О);
А, Р, Е, Б, Н (К, Л, О);
А, Е, Л, Б, Н (К, Р, О).
Школьники вновь называют слово, на которое получают ответ 1
АБРИС 1
Ученики анализируют и делают вывод: Учитывая, что в искомом слове есть А, находим, что в нем нет Б, и, значит, из последней подборки, содержащей шесть слов, остается только третья возможность - искомое слово содержит четыре буквы К, А, Е, Н.
На следующий ход ученики получают ответ 1.
БРОШЬ 1
Учащиеся приходят к умозаключению: Букв Б, Р, О в задуманном слове нет, и мы получаем, что в нем есть Ш или Ь. итак, имеем две возможные пятерки букв: К, А, Е, Н, Ь или К, А, Е, Н, Ш. Из первой пятерки слова образовать нельзя, а из второй можно - КАШНЕ. Следующий ход завершает партию.
КАШНЕ
Учитель признает, что партия закончена. И дает слово одному из учеников, который приготовил интересную задачу:
Докладчик 1: Найти слово, которое состоит из пяти разных букв, содержащихся в указанном количестве в таких шести строках:
АБРИС 1
БРОШЬ 1
БАРИН 2
КРЕОЛ 2
БЕКОН 3
КАРЕЛ 3
Вот решение упражнения, приведенное в журнале "Наука и жизнь". Слова БАРИН и АБРИС имеют четыре общие буквы, при этом БАРИН содержит две буквы задуманного слова, а АБРИС - одну. Из этого следует, что Н входит в него, а С - нет. Аналогично, сравнивая слова КАРЕЛ и КРЕОЛ, находим, что А входит в задуманное слово, а О - нет. Из слова АБРИС по условию в искомое слово входит ровно одна буква. Поскольку, как мы установили, оно содержит А, то букв Б, Р, И, С в нем нет. так, как в слове нет букв Б, Р, О, из слова БЕКОН в него обязательно входит Е, К, Н, а из слова БРОШЬ - Ш или Ь. итак, пятью буквами задуманного слова являются либо Н, А, Е, К, Ш, либо Н, А, Е, К, Ь. Из второго набора слова не получается, а первый дает слово КАШНЕ, которое и требовалось найти.
Вторая партия получилась довольно "напряженной". Наш пятый ход был, вообще говоря, неточен. Действительно, при ответе 0 выяснилось бы, что в слове нет ни Ш, ни Ь, однако оно может содержаться П и Д (ПЕНКА, ДЕКАН). Легко придумать слово, расшифровывающее сразу три буквы - Ш, П, Д, например ДЕДУШКА.
И вновь новая партия, учитель загадывает слово.
Партия 3
На первое слово ученики получают ответ 6.
ПЕРЕВОД 6
Ученики анализируют и приходят к умозаключению: В искомом слове точно есть буква Е (без нее максимальный ответ 5), а также четыре буквы из пяти П, Р, В, О, Д. Итак, имеем пять возможностей:
1) Е, П, Р, В, О;
2) Е, П, Р, В, Д;
3) Е, П, Р, О, Д;
4) Е, П, В, О, Д;
5) Е, Р, В, О, Д.
Школьники анализируют все варианты и приходят к выводу: Слово можно составить только из последней комбинации букв - ВЕДРО. Фактически партия продолжается всего один ход!
ВЕДРО
Учитель отмечает: Слово отгадано. Если пять букв уже найдены, это еще не означает окончания партии. Ведь не исключено, что из этой пятерки букв можно составить не одно слово, а несколько. Слова, образованные из одних и тех же букв, называются анаграммами, а набор таких слов - блоками анаграмм. Если, определив пять букв, мы "натолкнулись" на такой блок, придется сделать дополнительные ходы, чтобы выяснить, какое именно слово задумано.
Партия 4
ТАПОК 5
КАПОТ 5
ПОКАТ 5
ТОПКА Отгадал
В последнем примере, который можно считать эндшпилем (заключительная часть партии) некоторой более длинной партии, определив на первом же ходу все пять букв задуманного слова, мы затем сделали еще три, чтобы найти само слово, то есть дела сложились не самым лучшим образом.
Может показаться, что загадывать слова-анаграммы выгодно, поскольку даже при отгадывании всех букв нашего слова дальнейшие действия партнеру придется вести наобум - от него уже ничего не зависит. Но надо учесть, что, чем больше слов в блоке анаграмм, тем меньше используется редких букв и, значит, тем легче найти пятерку букв. Блок пятибуквенных анаграмм (нас интересуют сейчас только такие) может содержать от двух слов до шести. Вот уникальный набор анаграмм, состоящий из шести слов (единственный в русском языке): АВТОР, ТОВАР, ТАВРО, ОТВАР, РВОТА, ВТОРА.
Далее учитель предлагает рассмотреть несколько задач:
В игре "отгадать слово" возникают интересные и оригинальные задачи со словами. Рассмотрим несколько таких задач. По некоторым задачам ученики приготовили доклады, а остальные разберем вместе.
Докладчик 2: По правилам игры ходы представляют собой слова русского языка (как уже говорилось, существительные, нарицательные, в единственном числе). А что изменится, если снять это ограничение, то есть разрешить делать ходы, так сказать, абстрактными словами - состоящими из произвольного набора букв? Может показаться, что такое изменение правил не имеет особого значения, однако из решения следующей задачи следует, что игра при этом "вырождается".
Задача 1. За сколько ходов можно угадать слово (или пять букв анаграммы), если разрешается ходить "абстрактными" словами?
Эта задача носит чисто математический характер, и ответ на нее довольно неожиданный - требуется всего один ход! Он может быть, например, таким:

Данное "слово" содержит все 33 буквы алфавита, причем букву А - 1 раз. Ответ на ход, сделанный таким словом, позволяет сразу определить пять букв. Действительно, если в задуманном слове есть А, то последней цифрой ответа будет 1, если же в нем нет, то на конце стоит 0. Если слово содержит букву Б, то на втором месте справа (количество десятков) стоит 1, в противном случае - 0. Если слово содержит В, то на третьем месте справа (количество сотен) стоит 1, в противном случае - 0 и т.д. Таким образом, число, которое мы получим в ответ на наш ход, состоит из многих нулей (28, если в слове есть буква Я) и ровно пяти единиц, которые и определяют пять нужных букв.
Приведем пример. Пусть в ответ на наше абстрактное слово получено число 100 101 011. Это значит, что в задуманном числе имеются буквы: А (1 на правом конце), Б (1 на втором конце), (1 на четвертом месте справа), Е (1 на шестом месте справа) и З (1 на девятом месте справа). Итак, задумано слово ЗАБЕГ.
"Волшебное" слово имеет астрономическую длину, но в данной задаче важно лишь само существование универсального хода.
Учитель предлагает рассмотреть еще одну задачу: Вернемся к обычному варианту игры "отгадать слово". Часто в процессе отгадывания возникает необходимость определить, содержится ли в слове та или иная конкретная буква. В связи с этим любопытна следующая задача.
Задача 2. Для каких букв алфавита можно определить за один ход, содержатся они в задуманном слове или нет?
Здесь предполагается, что никакой информацией о задуманном слове мы пока не располагаем. Идея очень проста - "подозрительная" буква должна выделяться числом вхождений в тестовое слово. Проще всего использовать трехбуквенные слова с двумя одинаковыми буквами. Получая ответ на такой ход, мы сразу определяем, есть ли две этих буквы в задуманном слове или нет. Пусть сделан первый ход ДЕД. Если ответ 0, то в задуманном слове нет ни Д, ни Е. Если ответ 1, то Е есть и нет Д, если ответ 2, то есть Д и нет Е, наконец, если ответ 3, то есть и Д, и Е.
Школьники анализируют и приходят к умозаключению:
Почти две трети алфавита - 20 букв из 33 - требуют всего одного хода для выяснения вопроса об их наличии (таблица 1). Всего трехбуквенными словами такого вида удается определить 10 букв. Еще для десяти используются слова большей длины. Девять искомых тестовых слов устроены так: они содержат подозреваемую букву и еще две пары других букв. В результате нечетный ответ (1, 3 или 5) свидетельствует о наличии данной буквы в задуманном слове, а четный (0, 2 или 4) - об ее отсутствии.

Таблица 1
Учитель подводит итог: Была составлена таблица, точно определяющая наличие буквы. Так же были и другие варианты для отгадывания.
Для отгадывания буквы А тот же прием потребовал семибуквенного слова (в нем три пары посторонних букв). Можно использовать и более короткое пятибуквенное слово АТАКА. Здесь идея отгадывания несколько иная - ответ 3 и больше говорит о том, что буква А есть, а меньший ответ, что нет.
Конечно, пятибуквенное слово, которое служит для разгадки одной из букв, может не помочь для определения других его букв. Так, если ответом на ход ДОВОД служит число 2, то мы знаем, что в задуманном слове нет В, а есть Д или О, но какая именно из этих букв - не известно. Другое дело, если бы какое-нибудь пятибуквенное слово содержало только две буквы (одну - 2 раза, а другую - 3), тогда они определились бы сразу, однако такого слова нам найти не удалось.
Даже если все буквы снова имеют разное число вхождений, оно тем не менее может оказаться не пригодным для определения каждой из них. Так, слово БАОБАБ содержит три буквы в разном количестве, но при неудачном для нас ответе на него мы не сможем точно сказать, какая из его букв содержится в заданном слове. Действительно, ответ 0 говорит о том, что в слове нет букв А, Б и О, ответ 1 - что в слове есть О, но нет А и Б, ответ 2 - что в слове есть А, но нет Б и О, однако ответ 3 не вносит полной ясности - из него следует, что либо в слове есть Б и нет А и О, либо, наоборот, нет Б и есть А и О. Цель может быть достигнута, если три буквы, которые мы хотим разгадать, содержится в слове-ходе в таких количествах: 1, 2, 4 или 2, 3,4. Однако существуют ли такие слова в русском языке, нам тоже неизвестно. Об этом детям предложили подумать дома.
Учителем: Давайте еще раз вспомним некоторые моменты. Для каждой буквы алфавита ответить на следующий вопрос: за какое наименование число ходов можно точно определить, содержится ли эта буква в задуманном слове или нет?
Ученики: Любую букву (исключая Ъ) можно найти не более чем за два хода! Необходимую пару слов для отгадывания 12 букв можно образовать так: одно слово составить из букв второго слова с добавлением искомой буквы. Одинаковые ответы на эти слова покажут, что в задуманном слове данной буквы нет, а разные, что есть. Например, одинаковые ответы на ходы РАЙ и АР означают, что буквы Й в задуманном слове нет, а разные (они могут отличаться только на 1), что есть. Всего данным приемом определяется 12 букв (таблица 1).
Для Ъ удалось найти только трехходовое решение. Интересно, что если буквы Е и Ё не различить, то и для Ъ достаточно двух слов - МОПЕД, ПОДЪЕМ.
Учитель подводит итог: На практике, конечно, редко стремятся найти какую-то одну определенную букву задуманного слова. В процессе игры возникают различные ситуации, и не стоит гнаться за одной буквой, а лучше попытаться извлечь больше информации о задуманном слове противника.
В третьей партии, сыграв словом из семи букв, мы сразу отгадали задуманное слово, хотя при этом пришлось провести определенный анализ. В следующем примере определить задуманное слово по семибуквенному ходу не так легко.
ПАРАПЕТ 7
Полученный ответ сразу дает нам пять букв: П, А, Р, Е, Т и вместе с ними слово ПАТЕР.
Теперь можно сформулировать такую интересную задачу.
Задача 4. Придумать как можно более длинное слово, которое на первом же ходу (при удачном для вас ответе противника) поможет отгадать нам задуманное слово.
Поскольку семибуквенное тестовое слово мы уже знаем, искать следует слова из восьми, девяти и более букв.
О решении этой задачи вы подумаете дома.
Итак, нами была рассмотрена игра отгадай слово. Мы попытались найти оптимальную стратегию, для более быстрого определения загаданного слова. Так же можно сделать вывод, что начале игры, по-видимому, имеет смысл ходить словами, в которых побольше гласных - гласных в алфавите меньше, чем согласных, и, значит, есть шансы быстрее отгадать их. Для выявления одной конкретной буквы лучше всего сыграть словом с большим числом ее вхождений. Например, на слово ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ ответ, меньший семи, означает, что буквы О в задуманном слове нет, а ответ 7 или больше, что она почти наверняка в нем есть. Конечно, вопрос о букве О решает и ход ОКО (или БОБ), но он дает нам намного меньше информации об остальных буквах.
Замечание: Играя в отгадай слово школьники анализировали то, какими словами лучше играть, чтобы за меньшее число ходов угадать задуманное слово. С помощью учителя были разобраны несколько партий и в каждой новой партии школьники быстрее приходили к умозаключениям. Школьниками были рассмотрены несколько задач. Например, в задаче, в которой было предложено поменять правила игры и вместо русских слов (существительных, нарицательных, в единственном числе) делать ходы наборам букв, школьники учились оперировать абстрактными понятиями. В другой задаче учащиеся пытались найти слова, точно определяющие наличие буквы в слове. Делая это они группировали (проводили классификацию) по нескольким группам: те которые можно определить с помощью одного слова и те которые можно определить с помощью двух-трех.
Так как эта игра связана со знанием русского языка некоторым школьникам, знающим более хорошо русский язык, было интересно, они себя чувствовали более сильными, в ситуации успеха. Но с другой стороны здесь приходилось проводить логический анализ.

2.5 Быки и коровы (3ч)

Учитель рассказывает правила игры и предлагает рассмотреть первый пример вместе: Эта логическая, комбинаторная игра, придуманная сравнительно недавно, в 70-е годы, завоевала огромную популярность во многих странах. Ее наиболее распространенный вариант выпускается в виде комплекта под названием "Mastermind" (мастермайнд, буквальный перевод - "выдающийся ум"). Но начнем наш рассказ с "быков и коров".
Играют двое. Каждый задумывает четырехзначное число с разными цифрами, которое должен отгадать партнер (на первом месте может стоять 0). Ход заключается в том, что отгадывающий называет определенное число, также четырехзначное с разными цифрами. Если задуманное и названное числа имеют общие цифры, состоящие на одних и тех же местах, то такую ситуацию называют "быком" (далее обозначается "б"). Если общие цифры есть, но стоят они на разных местах, то это "корова" (обозначается "к").
В ответ на ход партнера загадчик сравнивает свое число с названием и сообщает общее число "быков" и "коров". Например, если задумано 5239, а названо 2735, то ответ будет "1 бык 2 коровы" (1б 2к). Цифра 3 имеется в обоих числах и стоит на одинаковых местах (1б), цифры 2 и 5 общие, но стоят на разных местах (2к), цифры 7 и 9 не являются общими.
Сделав ход и получив ответ, отгадчик извлекает некоторую информацию о задуманном числе и, в конце концов, определяет его. Игра заканчивается в тот момент, когда на очередной свой ход он получает ответ 4б, то есть задуманное число найдено. Выигрывает тот, кто быстрее отгадает число противника.
Приведем один пример. Предположим, что партнер задумал число 3594, которое нам нужно отгадать. Ходы и ответы на них будем записывать в табл.2.
Таблица 2
Наш первый ход 1568 дал ответ 1б. что это значит?
Ученики: Это означает, что в задуманном числе имеет всего одна цифра из названных, причем стоящая на своем месте.
Учитель: Постараемся отгадать ее, не привлекая пока - чтобы не запутаться - другие цифры. Сделаем второй ход 1586. Ответ 1б. О чем он говорит?
Ученики: Это говорит о том, что на своем месте стоит цифра 1 или 5.
Учитель: Теперь следует третий ход 1658, и ответ 1к. Что он показывает?
Ученики: Этот ответ показывает, что в задуманном числе на втором месте стоит 5, а цифр 1, 6, 8 в нем нет.
Учитель: Ходом 2570 постараемся выяснить наличие цифр 2, 7 и 0. Ответ 1б. что он нам дает?
Ученики: Этот ответ весьма удачен - этих цифр в искомом числе нет. Итак, ясно, что задуманное число состоит из цифр 3, 4.5, 9, причем на втором месте - 5.
Учитель: Сделаем следующий ход 4539. Ответ 1б 3к. Что это означает?
Ученики: Это означает, что задумано одно из чисел - 3594 или 9543. Если первая цифра 3, то 9 может быть только третьей, а если первая 9, то 3 только четвертой.
Учитель: Ход 3594 и ответ 4б привел нас к цели; ответ 1б 3к означал бы, что задуманное число 9543, в этом случае партия продлилась бы на ход дольше.
Учитель: Перед тем как начать игру, давайте послушаем доклад, об отличии быков и коров от мастермайнда:
Докладчик: В комплекте мастермайнда роль цифр выполняют колышки шести цветов (красные, желтые, синие, зеленые, белые, черные), они вставляются в отверстие доски, которая выглядит примерно так, как показано на рис.13. Задуманный набор кодовых колышков - цифр (вверху доски) шифровальщик загораживает специальными воротами, и он не виден расшифровальщику.
Для каждого хода также предусмотрены четыре отверстия, а еще четыре отверстия, размером поменьше, расположены слева - для ответа на него.
Ход состоит в том, что отгадчик вставляет в отверстия четыре цветных колышка, а загадчик в ответ маленькие ключевые колышки двух цветов (черные и белые) в отверстие слева от хода (в любом порядке). Черные колышки выполняют роль "быков", а белые "коров". Если угаданы не все цвета, то некоторые отверстия остаются пустыми.

Рисунок 13
В примере на рисунке 13. избран шифр ксбж. При ходе зчсж произошло одно полное совпадение (ж) и один цвет (с) оказался не на своем месте. Таким образом, ответ бч (по-старому 1б 1к). на втором ходу ответ чбб, на третьем - ббчч (определены все четыре цвета), на четвертом - чччч. Игра закончена. Партия длилась четыре хода. Вообще, как мы видим, доска рассчитана на десять ходов (только совсем не опытные игроки не укладываются в эти рамки).