МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

студент 5 курса специальности математика _________________________________ НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: ассистент каф. алгебры и функционального анализа _________________________________ профессор, доктор физико-математических наук _________________________________ РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ: зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н. _________________________________

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P₂ ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P₂ …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р₁ +Р₂ …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = аР₁ + bР₂ (0<а<b) ……………………..53

Заключение………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P₂

P₂ = С < p₁, p₂ | p₁² = p₁* = p₁, p₂² = p₂* = p₂ >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P₂, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ . Неприводимые *-представления P₂ одномерны и двумерны:

4 одномерных: π_0,0(p₁) = 0, π_0,0(p₂) = 0; π_0,1(p₁) = 0, π_0,1(p₂) = 1;

π_1,0(p₁) = 1, π_1,0(p₂) = 0; π_1,1(p₁) = 1, π_1,1(p₂) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р_1, Р₂, применяется к изучению сумм Р₁+Р₂, аР₁+bР₂ (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р₁+Р₂ или А = аР₁+bР₂, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Глава I. Основные понятия и определения

§ 1. - алгебры

1. Определение - алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

1. А есть линейное пространство;

2. в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
   воряющая следующим условиям:

α (x y) = (α x) y,

x (α y) = α (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел α.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что

1. (x*)* = x;

2. (x + y)* = x* + y*;

3. (α x)* = x*;

4. (x y)* = y*x* для любых x, y С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.

1.2. Примеры

1. На А = С отображение z → (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

2. Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
   рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tT: |f (t)| ε} компактно, f (t) А. Снабжая А отображением f→ получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

3. Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

4. Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

5. Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех хА (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то

е΄х = хе΄ = х, для всех хА (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:

ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α₁е + х₁) + (α₂е + х₂) = (α₁ + α₂)е + (х₁ + х₂),

(α₁ е + х₁)(α₂ е+ х₂ )=α₁ α₂ е +α₁ х₂ +α₂ х₁ + х₁ х₂ (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде

х΄ = αе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0.

Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх), (α₁, х₁) + (α₂, х₂) = (α₁ + α₂, х₁ + х₂),

(α₁, х₁)(α₂, х₂) = (α₁α₂, α₁х₂ + α₂ х₁ + х₁х₂), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х^-1 элемента х.

1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого zC , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х₁ +iх₂, где х₁, х₂ – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х₁ +iх₂, следовательно:

, (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х₁, х₂, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х₁ +iх₂.

Эти элементы х₁, х₂ называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х₁² + х₂² + i(х₂х₁ – х₁х₂),

хх* = х₁² + х22 - i(х₂х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х₁ и х₂ перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при хА, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х^-1 существует, то (х*)^-1 также существует и

(х*)^-1 = (х^-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х^-1х = хх^-1 = е,

получим х*(х^-1)*= (х*)^-1х*=е.

Но это означает, что (х^-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А₁ алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА₁ следует, что х*А₁ .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х^-1 существует, то х^-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х^-1 и (х*)^-1 = (х^-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х^-1В.

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)^-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)^-1 = (у*х*)^-1 =(х*)^-1 (y*)^-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х^-1)*)^-1= ((х*)^-1)^-1 = х^-1, то х^-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,yА, αС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

1. I ≠ A;

2. Из х, yI следует x + y I;

3. Из хI, а αА следует α хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А₁ операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А₁ становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x),

π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*

для любых х, y А и α С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π₁ и π₂ инволютивной алгебры А в Н₁ и Н₂ соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н₁ в гильбертово пространство Н₂, переводящий π₁(х) в π₂(х) для любого хА, то есть

U π₁(х) = π₂(х) U для всех х А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н₁Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н₁Н₁.

Если Н₁ инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н₁. Сужения π(х) на Н₁ определяют подпредставления π₁ *-алгебры А в Н₁.

Теорема 2.1. Если Н₁ инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н₁, то есть (f, g) = 0 для всех gН₁. Тогда для любого хА (π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) = 0, так как π(х*)gН₁. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н₁.

Обозначим через Р₁ оператор проектирования в Н на подпространство Н₁Н₁.

Теорема 2.2. Н₁ – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р₁ на Н₁.

Доказательство. Пусть Н₁ – инвариантное подпространство и fН₁, но также π(х)f Н₁. Отсюда для любого вектора fН

π(х)Р₁f Н₁

следовательно, Р₁π(х)Р₁f = π(х)Р₁f ,

то есть Р₁π(х)Р₁ = π(х)Р₁.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р₁π(х)Р₁ = Р₁π(х).

Следовательно, Р₁π(х) = π(х)Р₁; операторы Р₁ и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН₁

Р₁π(х)f = π(х)Р₁f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f Н₁. Это означает, что Н₁ – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f₁ + … + f_n, где f₁, …, f_n – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f₁ +…+ π(х)f_n есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (π_i)_iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н_i (iI). Пусть

|| π_i (х) || ≤ с_х

где с_х – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н_i, то есть Н = Н_i. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует π_i (х) в каждом Н_i. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений π_i и обозначаемое π_i или π₁…..π_n в случае конечного семейства представлений (π₁…..π_n). Если (π_i)_iI – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления π_i обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f₀ ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f₀, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н₁. Тогда Н₁ – инвариантное подпространство, в котором f₀ есть циклический вектор. Другими словами, Н₁ есть циклическое подпространство представления π.

Если Н₁ = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н₁ есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н₂ ортогональное Н₁.

Обозначим через М совокупность всех систем {Н_α}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н₁, Н₂}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н_α}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н_α}. Но тогда Н=Н_α; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Н_α) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н₀ и мы получили бы систему {Н_α}Н₀М, содержащую максимальную систему {Н_α}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При fН, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f , хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{α f | α C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ₀ такое, что E(λ) =0 при λ<λ₀ и E(λ) =1 при λ>λ₀ . Отсюда

В=λ dE(λ) = λ₀ 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,

В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В₁=, В₂= также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В₁+iВ₂ кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим π и π΄.

Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как

Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)^1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА

Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)

Если, кроме того, = Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π₁…..π_n , где π_i неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π₁…..π_n не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ₁, ρ₂ – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н₁ и Н₂. Пусть Р₁ и Р₂ – проекторы Н на Н₁ и Н₂. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р₂ на Н₁ есть оператор, сплетающий ρ₁ и ρ₂. Следовательно, если Н₁ и Н₂ не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ₁ и ρ₂ эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из π_i . Итак, перегруп-
пировав π_i , получаем, что π = ν₁…..ν_m, где каждое ν_i есть кратное ρ_iν_i΄ неприводимого представления ν_i΄, и ν_i΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н_i, отвечающих ν_i, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Н_i. Это доказывает, что каждое пространство Н_i определяется однозначно: Н_i – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν_i΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ₁ν₁΄…..ρ_mν_m΄ представления π, (где ν₁΄,…, ν_m΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ_i и классы представлений ν_i΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ØВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т₁, Т₂ – борелевские пространства. Отображение f: Т₁→Т₂ называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т₂ есть борелевское множество в Т₁.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))_tT, Г), где (H(t))_tT – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство Н(t);

2. существует последовательность (х₁, х₂,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы х_n(t) образуют последовательность H(t);

3. для любого хГ функция t→||x(t)|| μ – измерима;

4. пусть х – векторное поле; если для любого yГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то хГ.

Пусть ε = ((H(t))_tT, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||² dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))_tT, Г) – измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор π(х)=π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =π(t) (x )dμ(t) +

+π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))_tT, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ₁ – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ₁, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t^)-1/2х(t)Н₁=Н(t) dμ₁(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н₁, называемый каноническим.

Действительно,

||ρ(t^)-1/2х(t)dμ₁(t)||² = ||х(t)||²ρ(t^)-1 dμ₁(t) = ||х(t)||²dμ₁(t) = ||х(t)||²

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dμ(t) , π₁==π(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ₁ – мера на Т, эквивалентная μ,

Н₁ =Н(t) dμ₁(t) , π₁ =π(t) dμ₁(t),

Д₁ – алгебра диагональных операторов в Н₁. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π₁ и Д в Д₁.

Доказательство. Пусть ρ(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н₁ есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dμ(t)Н в

Ux = ρ^-1/2х(t) dμ₁(t).

Пусть α А. Имеем

π₁(α)Ux = π(t)(α) ρ^-1/2 х(t) dμ₁(t) = Uπ(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π₁. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т₁ – борелевские пространства; μ, μ₁ – меры на Т и Т₁ соответственно; ε = ((H(t))_tT, Г), Z₁ = ((H₁(t₁))_t1T1, Г), - μ-измеримое и μ₁-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т₁ – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ₁; η-изоморфизм ε на ε₁ называется семейство (V(t))_tT, обладающее следующими свойствами:

1. для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н₁(η(t));

2. для того, чтобы поле векторов t→x(t)H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н₁(η(t)) на Т₁ было μ₁-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) Н₁ = Н₁(t) dμ₁(t) , есть изоморфизм Н на Н₁, обозначаемый V(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dμ(t), π ==π(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т₁, μ₁, t₁→H₁(t₁), t₁→ π₁(t₁), Н₁, π₁, Д₁.

Предположим, что существует:

1. N, N₁ – борелевские подмножества Т и Т₁, такие что μ (N) = μ (N₁) = 0;

2. борелевский изоморфизм η: T\N →T\N₁, преобразует μ в μ₁;

3. η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N) на поле t₁→Н₁(t₁) (t₁Т₁\N₁) такой, что V(t) преобразует π(t) в π₁(η(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dμ(t) преобразует Д в Д₁ и π в π₁.

Доказательство. Обозначим через I_t, I_t1 единичные операторы в Н(t) и Н₁(t₁). Если fL^∞(T, μ) и если f₁ – функция на Т₁\N₁, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)I_t dμ(t) в f₁(t₁) I_t1 dμ₁(t₁), поэтому V преоб-
разует Д в Д₁. С другой стороны, пусть αА и х = х(t) dμ(t)Н.

Тогда

Vπ(α)х = Vπ(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η^-1(t₁)) π(η^-1(t₁))(α) х(η^-1(t₁)) dμ₁(t₁) = π₁(t₁)(α) V(η^-1(t₁)) х(η^-1(t₁)) dμ₁(t₁) = π₁ (α) V х

Поэтому V преобразует π в π₁.

Приведем примеры прямых интегралов.

1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

2. Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L₂ (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L₂ (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Н_к.

Образуем формальное произведение

(3.1.)

α = (α₁,…, α_n) (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается Н₁,…, Н_n = . Его векторы имеют вид:

f = (f_αC), || f ||² =< ∞ (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

(f, g) = (3.3.)

Пусть f^(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f⁽¹⁾_… f⁽ⁿ⁾ = (3.4.)

Коэффициенты f_α = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || = (3.5.)

Функция Н₁,…, Н_n <> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н₁ и Н₂ – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f₁ f₂, причем считается, что

(f₁ + g₁) f₂ = f₁ f₂ + g₁ f₂ (3.6.)

f₁ (f₂ + g₂) = f₁ f₂ + f₁ g₂ (3.7.)

(λ f₁) f₂=λ (f₁ f₂) (3.8.)

f₁ λ (f₂) = λ (f₁ f₂) (3.9.)

f₁, g₁Н₁; f₂, g₂ Н₂; λ С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f₁ f₂ , g₁ g₂ ) = (f₁ g₁)(f₂ g₂) (3.10.)

f₁, g₁Н₁; f₂, g₂ Н₂,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер-
товых пространств, - последовательность операторов А_кL(Н_к, G_к). Определим тензорное произведение А₁ …А_n = А_к формулой

() f = () = (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н₁,…, Н_n = (Н₁,…, Н_n-1)Н_n общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в G_к (к = 1, 2) и пусть g = G₁ G₂. В качестве f возьмем вектор из Н₁ Н₂ с конечным числом отличных от нуля координат f_α.

Зафиксируем α₂, β₁ Z₊ и обозначим через f(α₂) Н₁ вектор f(α₂) = и через g(β₁)G₂ – вектор g(β₁) =. Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G₁G₂ ряда уже при произвольном c Н₁Н₂ и оценка его нормы в G₁G₂ сверху через ||A₁|| ||A₂|| ||f||. Таким образом, оператор A₁ A₂: Н₁ Н₂ →G₁G₂ определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A₁|| ||A₂||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A₁ A₂) (f₁ f₂)|| = ||A₁ f₁|| ||A₂ f₂|| (f_к Н_к , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f₁, f₂ последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A₁|| ||A₂||, поэтому неравенство ||(A₁ A₂)|| ≤ ||A₁|| ||A₂|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для А_к L(H_к, G_к), В_к L(H_к, G_к) (к = 1,…, n) соотношения

(В_к) (А_к) = (В_к А_к) (3.13.)

(А_к)* = А_к* (3.14)

(А_к) (f₁ … f_n) = A₁ f₁… A_n f_n (3.15.)

(f_к H_к; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор А_к.

Приведем пример. Пусть H_к = L²((0,1), d (m_к)) = L²

Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L². Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L², поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L².

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P₂

P₂ = С < р₁, р₂ | р₁² = р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p₁ – 1, v = 2p₂ – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u² = (2p₁ – 1)² = 4p₁ – 4p₁ + 1 = 1, v² = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P₂ можно задать иначе:

P₂ = С < p₁*= p₁, p₂*=p₂ | p₁² = p₁, p₂² = p₂ > = C <u* = u, v* = v | u² = 1, v² =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P₂ , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ . Пусть π: P₂ →L(H) - *-представление *-алгебры P₂ . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P₂ = С < р₁, р₂ | р₁² = р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

Обозначим через Р_к = π(р_к), к = 1,2. Поскольку р_к²= р_к* = р_к (к = 1, 2) и π - *-представление, то Р_к² = Р_к* = Р_к (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Н_к = {yH | Р_к y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1. Н₁ = Н₂ = {0}; тогда Р₁ = 0, Р₂ = 0.

2. Н₁ = Н (то есть dim H₁ =1), Н₂ = {0}, тогда Р₁ = 1, Р₂ = 0.

3. Н₁ = {0}, Н₂ = Н (то есть dim H₂ =1), тогда Р₁ = 0, Р₂ = 1.

4. Н₁ = Н₂ = Н (dim H₁ = dim H₂ =1), тогда Р₁ = 1, Р₂ = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P₂, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P_{2 .} Обозначим через Н_к область значений оператора Р_к при к = 1,2. Пусть Н_к^┴ - ортогональное дополнение подпространства Н_к (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H₁Н₁^┴ , Н=H₂Н₂^┴

Введем дополнительные обозначения :

Н_0,0 = Н₁^┴ ∩Н₂^┴, Н_0,1 = Н₁^┴ ∩Н₂, Н_1,0 = Н₁ ∩Н₂^┴, Н_1,1 = Н₁ ∩Н₂. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что H_ij нетривиально, то есть dim H_ij =1. Пусть, например, dim Н_1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н_1,0 = л.о. {h}, но тогда P₁h = h, P₂h = 0; следовательно Н_1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что H_ij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть H_ij линейно независимы) и dim H₁ = dim H₂ =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e₁, e₂} и {g₁, g₂}, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид . Найдем матрицу оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂}.

Пусть g₁ = a₁₁e₁ + a₁₂ e₂

g₂ = a₂₁e₁ + a₂₂e₂

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂

e₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂

Рассмотрим векторы h₁ = e^ite₁ и h₂ = e^ile₂, тогда

|| h₁ || = || e^ite₁ || = || e₁ || = 1, || h₂ || = || e^ile₂ || = || e₂ || = 1

(h₁ ,h₂ ) = (e^ite₁ , e^ile₂) = e^i(t-l)(e₁, e₂ ) = 0, то есть {h₁ ,h₂} – ортонормированный базис.

Р₁h₁ =e^{i t} Р₁ e₁ = h₁, Р₁h₂ =e^il Р₁ e₂ = 0.

Значит в базисе {h₁ ,h₂} матрица оператора Р₁ также имеет вид . Тогда можно считать, что a₁₁, a₁₂ > 0 (так как, например, a₁₁ e₁=|a₁₁| e^ite₁ =|a₁₁| h₁)

(e₁, e₂ ) = 0, значит a₁₁ a₂₁ = a₁₂ a₂₂ = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что

a₂₂ = - ra₁₁

a₂₁ = ra₁₂

Базис (e₁, e₂ ) ортонормированный; следовательно

a₁₁² + a₁₂² = 1

|a₂₂ |² + |a₂₁ |² = 0

тогда | r | = 1.

Р₂ e₁ = Р₂ ( b₁₁g₁ + b₁₂g₂) = b₁₁g₁ = b₁₁a₁₁e₁ + b₁₁a₁₂e₂,

Р₂ e₂ = Р₂ ( b₂₁g₁ + b₂₂g₂) = b₂₁g₁ = b₂₁a₁₁e₁ + b₂₁a₁₂e₂.

Найдем b₁₁ и b₂₁:

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂ = b₁₁ (a₁₁e₁ + a₁₂ e₂) + b₁₂ (a₂₁e₁ + a₂₂e₂) = (b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂)e₁ + (b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂)e₂,

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ = 1

b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂ = 0 или

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ r = 1

b₁₁a₁₂ - b₁₂a₁₁ r = 0,

Тогда b₁₁ = a₁₁.

Аналогично

E₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂ = (b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁)e₁ + (b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂)e₂,

b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁= 0

b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂ = 1,

отсюда находим, что b₂₁ = a₁₂.

Тогда матрица оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂ } будет иметь вид (обозначим ее также через Р₂)

Р₂ = , где a₁₁>0, a₁₂>0 и a₁₁² + a₁₂² =1

А) Пусть a₁₁² = τ, тогда a₁₂² =1 – τ, a₁₁a₁₂ = . Так как a₁₁a₁₂ >0, то τ(0, 1).

Тогда Р₂ = .

В) Положим a₁₁ = cosφ,тогда a₁₂ = sinφ и Р₂ запишется следующим образом

Р₂ = .

Найдем коммутант π(P₂). Пусть Т = оператор перестановочный с Р₁ и Р₂, тогда

ТР₁ = =

Р₁Т = =

Следовательно b = c = 0.

ТР₂ = =

Р₂Т = =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР₁ = Р₁U, следовательно U= , a, b C

UР₂ (τ) = =

Р₂ (ν) U = = .

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P₂ →L(H) - *-представление *-алгебры P₂ .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π_0,0(p₁) = 0; π_0,0(p₂) = 0; π_1,0(p₁) = 1; π_1,0(p₂) = 0; π_0,1(p₁) = 0; π_0,1(p₂) = 1; π_1,1(p₁) = 1; π_1,1(p₂) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p₁) , π(p₂) τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p₂) = φ (0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P₂ . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН₁, dimН₁^┴) + max (dimН₂, dimН₂^┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Н_i,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН₁ = n, dimН₂ = n и Н_i,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Н_i,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН₁ такой, что Р₁Р₂х = λх, где λС.

Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как хН₁, то , g_k C, к = 1,…, n. Тогда

Р₁Р₂х = Р₁Р₂= Р₁Р₂= Р₁=

= Р₁= = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q₁,…, q_n:

=

j = 1,…, n

Подбирая λC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q₁,…, q_n. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р₂х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р₁ и Р₂.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р₁ (aх + bР₂х) = aх + λbх = (a + λb) х L,

Р₂ (aх + bР₂х) = aР₂х + bР₂х = (a + b) Р₂ х L

dimL = 2, так как Н_i,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР₂х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р₂х, значит = 0 или 1 и х Н_1,1; тогда Н_1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P₂ . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P₂, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р₁ и Р₂ подпространств

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0Н_1,1 ((С²Н_к)), (1.1.)

где каждому подпространству Н_к соответствует одно φ_к (0, ), φ_к ≠ φ_i при к≠i, dimН_к = n_к (к = 1,…, m). Пусть Р_i,j: Н → Н_i,j , Рφ_к: Н → С²Н_к – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1(Рφ_к), (1.2.)

P₁ = P_1,0P_1,1((I_к )) (1.3)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к )) (1.4)

где I_к – единичный оператор на Н_к (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimН_i,j = n_i,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φ_к (0, ):

Н΄ = Нφ_к, (l = n - )

Собирая вместе все Нφ_к, у которых одно φ_к, получим изоморфизм

Нφ_к…Нφ_к ≈ С²Н_к , где Нφ_к n_к экземпляров, dim(Нφ_к…Нφ_к )=2n_к dim(С²Н_к) = dimС² dimН_к = 2n_к . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ((С²Н_к))

Пусть π_i,j – сужение π на Н_i,j ( i, j= 0,1), π_к – сужение π на Нφ_к (к = 1,…, m), то есть π_i,j и π_к - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n_0,0π_0,0n_0,1π_0,1n_1,0π_1,0n_1,1π_1,1(n_кπ_к) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1 (Рφ_к)

Тогда ортопроекторы Р₁ и Р₂ примут вид

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I_к ))

Р₂ = P_0,1 P_1,1 ( I_к ))

Причем n_1,0π_1,0(р₁) = P_1,0 , n_0,1π_0,1(p₂) = P_0,1 , n_1,1π_1,1(р₁) = P_1,1 , n_0,0π_0,0(p₂) = P_0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р₁ и Р₂ также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ . Пусть А = Р₁ - Р₁^┴ = 2Р₁ – I и В = Р₂ – Р₂^┴ = 2Р₂ – I. Тогда А² = I , В² = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U^-1=ВА и А^-1UА = АUА = А²ВА = ВА = U^-1, следовательно

UА = АU^-1 или АU = U^-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р₁ и Р₂ неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р₁ и Р₂ приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р₁LL, Р₂LL. Рассмотрим АL = (2Р₁ – I)LL, ВL = (2Р₂ – I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р₁ и Р₂ также будут приводимы, так как Р₁L = LL, Р₂L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если e^iφ(U), то e^-iφ(U).

Доказательство.

1) Если e^iφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = e^iφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU^-1f = e^iφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e^-iφ принадлежит спектру U.

2) Если e^iφ(U), то существует последовательность единичных векторов в Н || f_n || = 1 такая, что

||Uf_n - e^iφf_n || = || UАf_n - e^iφ A f_n || = || U^-1Аf_n - e^iφ A f_n || → 0 при n → ∞ (|| Аf_n || =1)

Тогда e^iφ(U^-1), следовательно e^-iφ(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U^-1) = АU + АU^-1 = (U^-1 +U)А

А (U - U^-1) = А (U² – 2I + U^-2) = (U² – 2I + U^-2)А = (U - U^-1)²А

Таким образом А (U + U^-1) = (U^-1 +U)А (2.2.)

А (U - U^-1) = (U - U^-1)²А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U^-1 = cI

(U - U^-1)² = d²I

где c, d С. По теореме преобразования спектров e^iφ+ e^-iφ = c, e^iφ- e^-iφ = ±d.

1. Если d = 0, то (U) состоит из одной точки e^iφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.

2. Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек e^iφ= и e^-iφ= φ(0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению e^iφ (или e^-iφ), Н_eiφ = {fH | Uf = e^iφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = e^iφf, U(Аf) = e^iφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН_eiφ= dimН_-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {e^iφ, e^-iφ} φ(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U = , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р₁, Р₂ ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0 Н_1,1 ((С²L₂((0, ), dρ_к))) (2.4.)

где ρ₁ > ρ₂ >… ρ_к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I_к )) (2.5.)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к )) (2.6.)

I_к – единичный оператор в L₂((0, ), dρ_к)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P₂ отвечает циклическое представление π_F *-алгебры P₂ в некотором гильбертовом пространстве Н_F. При этом Н_F можно реализовать как L₂(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μ_F на Т.

Пусть каждому вектору ξН поставим в соответствие подпространство Н_ξ Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где хА. Ограничения операторов из π(А) на Н_ξ является циклическим представлением. Обозначим его через π_ξ, а соответствующую меру на Т через μ_ξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μ_ξ > μ_η (то есть μ_η абсолютно непрерывна по мере μ_ξ).

Если ηН_ξ, то Н_ηН_ξ, тогда π_η – циклическое подпредставление π_ξ. Пусть Е Т и μ_ξ (Е) = 0, тогда μ_η (Е) = 0, следовательно μ_ξ > μ_η, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нη_к. Пусть {ζ_i} – последовательность, в которой каждый из векторов η_i встречается бесконечное число раз. Определим ξ_к индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

1. ξ_к+1 – максимальный вектор в (Нξ_i)^┴,

2. d (ζ_к, Нξ_i) ≤ .

Тогда разложение Н = Нξ_к такое что ξ_к>ξ_к+1 и μ_к>μ_к+1 .

Пусть представления π_μ в L₂(Т, μ) и π_ν в L₂(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L₂(Т, μ) →L₂(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπ_μ(g)f = π_ν (g)vf = π_ν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|²dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С²L₂(Т, μ_к)), где μ₁>μ₂>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I_к ))

Р₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к ))

I_к – единичный оператор в L₂((0, ), dρ_к).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0 Н_1,1 С²Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р₁, Р₂ подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I₊=E(0, ) в Н₊ =С²Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P₁ = P_1,0 P_1,1 I₊ (2.8.)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 dЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L₂(R, dρ_к), где ρ_к зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = _р (Р) = {0, 1}, где _р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y Н, λ С. Тогда (1 - λ) Р_х = Р_y . Если λ ≠ 1, то Р_х = Р_y. Если х ≠ 1, то х = (Р_y - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Р_х ≠ 0. Тогда Р(Р_х) = Р_х, то есть 1_р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 _р (Р). Итак, (Р) = _р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р₁ и Р₂ в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р₁ + Р₂ в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Н_к – область значений оператора Р_к к = 1,2. Обозначим через А = Р₁ + Р₂ и найдем (А).

1) Р₁ = Р₂ = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 (А).

2) Р₁ = 0, Р₂ = I, то для любого х Н₂ = Н Ах = х, то есть 1 (А).

3) Р₁ = I, Р₂ = 0, то для любого х Н₁ = Н Ах = х.

4) Р₁ = Р₂ = I, то для любого х Н₁ = Н₂ = Н Ах = Р₁х + Р₂х = 2х, то есть 2 (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н_0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).

2) х Н_0,1 или х Н_1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).

3) х Н_1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Н_i,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Н_i,j Н_k,l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Н_k,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р₁ и Р₂, тогда АLL. Пусть х L, тогда Р_kх = λ_кх (k = 1, 2 ). Так как Р_k ортопроектор, то возможны случаи:

1. λ₁ = 0, λ₂ = 0;

2. λ₁ = 0, λ₂ = 1;

3. λ₁ = 1, λ₂ = 0;

4. λ₁ = 1, λ₂ = 1;

Но это означает, что k,l = 0,1 такие, что Н_k,l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р₁, Р₂ неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р₁ и Р₂ в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р₁ = , Р₂ τ (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР₁ + bР₂, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР₁ + bР₂ – λI) = 0.

(1.1.)

Тогда , (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ₁ = 1+ε , λ₂ = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть λ (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н₀ = Н_0,0, Н₁=Н_0,1Н_1,0, Н₂=Н_1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφ_к φ_к (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р₁ и Р₂ неприводимы в Нφ_к (к = 1,…, s), и собственные значения 1+ε_к, 1-ε_к входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нφ_к = Н_1+εк Н_1-εк , причем dimН_1+εк = dimН_1-εк = 1 (1.3)

Если φ_к ≠ φ_i, то ε_к ≠ ε_i (так как ε_к = =cosφ_к и φ_к (0, )). Объединим все Нφ_к , у которых одинаковые φ_к , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφ_к. При этом, если dimНφ_к = 2q_k, то есть Нφ_к состоит из q_k экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φ_к , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφ_к = Н_1+εк Н_1-εк , dimН_1+εк = dimН_1-εк = q_k.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ и Р₂ тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), 0<ε_к<1,

причем dimН_1+εк = dimН_1-εк к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р₁ и Р₂, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), где 0<ε_к<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН_1+εк = dimН_1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С²Н_к)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С²(Н_1+εк Н_1-εк ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_Н2((I_к )) (1.6.)

Р₂ = P_Н1 P_Н2 ( I_к )) (1.7.)

где P_Нк – ортопроектор в Н на Н_(к) (к = 1, 2), I_s – единичный оператор в H_s s=1,…, m. Но тогда

Р₁ + Р₂ = P_Н1 P_Н2 ( I_к )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ₁ + λ₂ = a + b. Пусть λ₂ = ε, тогда λ₁ = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)² – 4ab(1-τ) = (a - b)² + 4abτ > 0.

Тогда ε = > = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a)² +4abτ ≤ (b – a)²

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ₁ = ε

λ₂ = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b}({ε_к , a + b - ε_к}), 0<ε_к<1, и

dimН_εк = dimН_a+b-εк (Н_εк , Н_a+b-εк - собственные подпространства оператора А, отвечающие ε_к) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂, 0<a<b. Найдем (А).

1) х Н_0,0, то Ах = 0 и 0(А);

2) х Н_0,1 , то Ах = bx и b(А);

3) х Н_1,0 , то Ах = ax и a(А);

4) х Н_1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({ε_к , a + b - ε_к}), где 0<ε_к<1, к=1,…m. Причем числа ε_к, a + b - ε_к входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному ε_к также инвариантна относительно А и dimН_εк = dimН_a+b-εк = q_k. (с учетом кратности ε_к)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н₍₀₎ Н_(a) Н_(b)Н_(a+b) ((С²Н_к)) (1.9.)

Где Н₍₀₎=Н_0,0 , Н_(a) =Н_1,0 , Н_(b)=Н_0,1 , Н_(a+b)=Н_1,1 или

Н = Н₍₀₎ Н_(a) Н_(b)Н_(a+b) ((Н_εк Н_a+b-εк) (1.10.)

Положим

P₁ = P_aP_a+b ((I_к )) (1.11.)

Р₂ = P_b P_a+b ( I_к )) (1.12.)

Но тогда

aР₁ + bР₂ = aP_abP_b (а+b)P_a+b (a(I_к ))

(bI_к )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({ε_к , a + b - ε_к}), (0<ε_к<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р₁ + Р₂. Изучим оператор Р₁ + Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ + Р₂ тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С²L₂((0, ), dρ_к))) (2.1.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р₁ + Р₂. Н₀=Н_0,0 , Н₁=Н_1,0Н_0,1 , Н₂=Н_1,1

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С²L₂((0, 2), dρ_к)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρ_к (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р₁΄ Р₂΄ равенствами

Р₁΄ = P₁P₂((I_к ))

Р₂΄ = P₂ ( I_к ))

где P_i: Н→Н_i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, I_k – единичный оператор в L₂((0, 2), dρ_к)). Тогда А =Р₁΄ + Р₂΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Р_к΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А) [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н_a Н_bН_a+b ((С²L₂([0, a] [b, a+b], dρ_к)))) (2.2.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Пусть Н₀=Н_0,0, Н_а=Н_0,1, Н_b=Н_1,0 , Н_a+b=Н_1,1. Так как (А) [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н₀ Н_a Н_bН_a+b ((С²L₂([0, a] [b, a+b], dρ_к))))

где меры ρ_к (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть (А) [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_aP_a+b ((I_к ))

Р₂ = P_b P_a+b ( I_к ))

где Р_α: Н→Н_α , α = a, b, a+b – ортопроекторы, I_к – единичный оператор в L₂([0,a] [b, a+b]). Тогда

А = aР₁ + bР₂ = aР₁ bР₂(a+b)P_a+b ((I_к ))

( I_к ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ .

P₂ = С <p₁, p₂ | p_к² = p_к* =p_к>.

А именно: 4 одномерных π_0,0(p₁) = 0, π_0,0(p₂) = 0; π_0,1(p₁) = 0, π_0,1(p₂) = 1; π_1,0(p₁) = 1, π_1,0(p₂) = 0; π_1,1(p₁) = 1, π_1,1(p₂) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1)

Изучен спектр операторов Р₁ + Р₂, aР₁ + bР₂ (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р₁ + Р₂ и А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.