Определение 3. Объединение событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.
Такое соотношение принято обозначать символом U: С=АUВ.
В общем случае:
Определение 4. Объединение событий А1, А2, А3,…. Аn (или А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех).
Символически А=А1UА2UА3U... . UАn.
Для случайных событий имеют место закономерности:
АUВ=ВUА
(АUВ) UС=АU(ВUС)
Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.
Например, во второй закономерности (АUВ) UС означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С.

 

П.3. Пересечение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В – элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)
Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, которые представлены заштрихованными клеточками (рис. 8).
Логично событие С назвать пересечением событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.
В таком случае применяется символ С=А∩В.
В общем случае пересечение событий определяется так:
Определение 5. пересечение событий А1,A2, А3,…, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.
Символически: А=А1∩А2∩... ... ∩Аn.

	А
Е1	Е2	Е3С
		Е4	Е5
			Е6	Е7
			В

Рис.8.
Примеры:
1. А-"входящий в подъезд человек-мужчина"
В-"входящий в подъезд человек светловолосый"
С-"входящий в подъезд человек светловолосый мужчина"
Событие С происходит при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С=А∩В.
2. произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:
А – "выбранные числа кратны 2"
В – "выбранные числа кратны 3"
С – "выбранные числа кратны 6
Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет С.
Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, а событию В – е5, е6, е7 (рис 9)

Е1	Е2
Е3	Е4		Е5	Е6
А				Е7
				В

А∩В=_
Рис.9.
Ясно, что совместное осуществление АиВ невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.
Определение 6. два события АиВ, пересечение которых – невозможное событие (А∩В=_), называются несовместимыми событиями.
Определение 7. два события АиВ называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее событию А, и событию В.
Рассмотрим следующие пары событий:
А1-"выпадение герба при подбрасывании монеты"
А2 - "невыпадение герба при подбрасывании монеты"
В1-"выздоровление больного"
В2-"невыздоровление больного"
С1-"появление новой кометы в текущем году"
С2-"непоявление новой кометы в текущем году"
Естественно события в каждой из пар считать противоположными.
Установим два свойства, которым удовлетворяет любая пара событий:
1. объединение событий каждой из пары – достоверное событие:
А1∩А2=_
В1∩В2=_
С1∩С2=_
Определение 8. если определение событий А и В или В=А, если АиВ противоположные события.
На языке пространства элементарных событий противоположное событие А представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис 10).

	А
				А

Рис.10.

§5. Понятие вероятности события

П.1. Классическое понятие вероятности события.

Бросаем игральную кость. Выпасть может или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Конечно можно предположить, что эти события равновозможные, когда кость является правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеального однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих "тогда" так много, что трудно всех их учесть.
Равновозможными элементарными событиями будем считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом, появляется чаще другого при многократных испытаниях, производимых в одинаковых условиях.
В таблице 1 рассматриваем случайные события, представляющие подпространства пространства равновозможных элементарных событий (несколько событий называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из этих событий является объективно более возможным, чем другое) определяемых испытанием с игральной костью
Таблица 1.

Обозначение события	Содержание события	Кол-во элементарных событий благоприятсвующих данному событию
А	Выпало четное число очков	3
В	Выпало меньше трех очков	2
С	Выпало менее пяти очков	4
Д	Выпало не более пяти очков	5
G	Выпало не менее трех очков	4
U	Выпало более шести очков	0
И	Выпало не более шести очков	6

Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.
А как сравнить возможности появления событий А1 и В1, которые связанны с различными пространствами элементарных событий?
Пусть в одном ящике 10 черных шаров пронумерованных четными числами 2,4,….18, 20, а в другом 8 белых шаров, пронумерованных числами 1,3,5,7,9,11,13,15. Наугад вынимаем из ящика по одному шару. Пусть А1-"номер черного шара, кратный 3", событие В1-"номер белого шара не больше 5".
Какое из этих событий более возможно?
Событию А1 благоприятствует 3равновозможных события (6,12,18), событию В1 тоже 3 (1,3,5). Может быть А1 и Б1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием белого шара.
Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме таблицы 2.:
Таблица 2.

Событие	Содержание события	Число элементарных событий всего пространства	Число элементарных событий благоприятствующих данному событию	отношение
А1	Появление числа кратного 3 На черном шаре	10	3	0,30
В1	Появление числа не большего 5, на белом шаре	8	3	0,37

Приходим к выводам:
А) событие В1 более возможное, чем событие А1;
Б) возможность появления некоторого события n удобно измерять отношением m/n, где n - число всех равновозможных элементарных событий вытекающих из условий данного испытания, а m-число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н.
Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом Р(Н) =m/n.
Определение 1. вероятностью случайного события Называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.
Это классическое определение вероятности случайного события.
Р=(И) =n/n=1, т. к. число возможных исходов испытания равно числу исходов, благоприятствующих появлению события.
Р=(_) =o/n=o, т. к. число исходов испытания, благоприятствующих появлению невозможного события, равно 0.

П.2. Статистическое определение вероятности

При классическом подходе определения понятия вероятности сводится к более простому понятию – равно возможности элементарных событий. А это понятие основного на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равно возможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.
Какова вероятность выпадения шестерки, при подбрасывании такой кости?
Как известно вероятность выпадения шестерки при подбрасывании правильной игральной кости, равна 1ч6.
Допустим, провели n бросаний такой кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение mчn назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний, может случится, что
при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1раз; статистическая частота Р1=m1чn;
при подбрасывании кости n+1раз шестерка выпала m2раз: статистическая частота Р2=m2чn+1;
при подбрасывании кости Nраз шестерка выпала mN раз: статистическая частота РN=mNчN.
Заметим, что для статистических частот р1,р2,р3,…. рN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться около вероятности Р=1ч6.
Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметил такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредотачиваться около некоторого, в результате неправильности игральной кости нам неизвестно числа Р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли 1ч6 в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Будем считать это неизвестное число Р вероятностью выпадшей шестерки при бросании неправильной игральной кости. Для каждой неправильной игральной кости это Р будет разное.
Пусть m1чn; m2чn+1;... .; mNчN – статистическая частота наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты)
Определение 2. вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.
Это – статистическое определение вероятности случайного события.

П.3. Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости задан круг и нем треугольник В. В круг на удачу "бросается точка". Как определить вероятность события Н, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?
При решении этой задачи будем пользоваться следующем исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорционально площади этой части.
Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности Р(А) =mk единиц площади чnk единиц площади = mчn.
На конкретном примере можно увидеть, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и пространство представляющее событие А, были одинакового вида и одинаковых измерений.
Пример
Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС (рис11), <ВОС=α. Рассмотрим вероятности трех событий А1, А2, А3, состоящих в следующем: в круг на удачу бросается точка М. А1-"попадание М1 в сектор ВОС". На дугу окружности наугад бросается точка N. А2-"попадание N на дугу ВОС". На рисунок на удачу бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О.
А3-"попадание OS в угол α"
Пусть ОС=r - радиус круга. Тогдa:
Тот факт, что Р(А1) =Р(А2) =Р(А3), подтверждает вышеизложенное суждение и позволяет обобщить формулу (х):
если событие А состоит в попадании точки М на отрезок [α; β] при ее бросании наугад на отрезок [а; в] (рис.12), то
Р(А) = β - αчв-а;
если позиция А состоит в попадании вектором ОМ в угол α при бросании наугад, когда начало вектора закреплено в точке О (рис13), то Р(А) = αч2π (в радианах) = α ч360°(в градусах);
если событие А состоит в попадании точки М в пространство Т при бросании ее наугад в пространство S, то Р(А) =VтчVs
Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.
Определение 3. вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

П.4. Аксиомотическое определение вероятности

Пусть Ω - произвольное пространство элементарных событий, а И – некоторый класс подмножеств множества Ω.
Класс подмножеств И называется алгеброй событий, если Ω в И и если А; ВЄИ, А+ВЄИ, А/ВЄИ при любом АЄИ, ВЄИ. Отсюда следует, что ǿ= Ω\ ΩЄИ. Наименьшей системой подмножеств, является алгеброй, очевидно являясь системой И={d, Ω }. Нетрудно проверить следующие утверждение. Если И – система всех подмножеств множества Ω, то и алгебра, если Ω-конечное множество, то система всех подмножеств будет так же конечным числом.
Пример.
Подбрасывание игральной кости один раз. В этом опыте Ω={W1,W2...,W6}, где Wк обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении k очков. Имеем шесть исключающих друг друга исходов. Выпишем все события алгебры И, состоящих из всех подмножеств Ω:
{W1},{W2},... . {W6};
{W1,W2},{W1,W3},... . {W5,W6},{W1,W2,W3},... . .;
{W1,W2,W3,W4,W5,W6}= Ω
В этом примере алгебра и состоит из 2=64 событий. Если множества Ω состоит из N элементов, то число всех подмножеств равно 2N. Действительно, число последовательностей из 0 и 1 длины N равно 2N, а между такими последовательностями и подмножествами Ω можно установить взаимнооднозначное соответствие по следующему правилу: элемент с номером i из множества Ω включается в подмножество, соответствующее данной последовательности стоит 1.
Определение 4. числовая функция Р, определенная на классе событий И, называется вероятностью, если выполнимы следующие условия:
А1. не является алгеброй событий;
А2. Р(А) ≥0 для любого а АЄИ.
А3. Р(Ω) =1
А4. (аксиома конечной аудитивности)
Если А и В несовместимы, то Р(А+В) =Р(А) +Р(В).
Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности:
А5. для любой убывающей последовательности А1эА2э…. эАnэ…событий из И такой, что__Аn= ǿ имеет место равенство е1m Р(Аn) =0.
Укажите несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно следуют из аксиом А2-А4. Из аксиом А3-А4 и равенства А+А= Ω следует, что Р(А) =1-Р(А).
Полагая здесь А= Ω, получим Р(ǿ) =0.

§6. Теоремы о вероятности суммы событий

Определение 1. несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появится вместе.
Примеры.
появление 1,2,4очков при бросании игральной кости;
попадание и промах при одном выстреле – несовместимые события.
Теорема 1. вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:
Р(А+В) =Р(А) +Р(В) (1)
Докажем эту теорему для схемы случаев.
Пусть возможные исходы опыта сходятся к совокупности случаев. Для наглядности изобразим их в виде n точек.
m n A k n B
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n
Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k событию В. Тогда Р(А) =mчn; P(B) =kчn.
Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны m+k случаев И
Р(А+В) =m+kчn.
Подставим полученные выражения в формулу (1) получим тождество. Теорема доказана.
Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая события А+В буквой Д и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что: Р(А+В+С) =Р(Д+С) =Р(Д) +Р(С) =Р(А+В) +Р(С) =
=Р(А) +Р(В) +Р(С).
Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Предположим, что она справедлива для n событий: А1, А2,... Аn, и докажем, что она будет справедлива для n+1 событий: А1, А2,... ... Аn,An+1
Обозначим: А1+А2+…. +Аn=C
Имеем: Р(А1+А2+…. +Аn+An+1) =P(C+An+1) =P(C) +P(An+1).
Но т. к. для n событий теорема справедлива, то Р(С) =Р(А1) +Р(А2) +…. +Р(Аn), откуда Р(А1+А2+…+Аn+An+1) =P(A1) +P(A2) +... . P(An) +P(An+1), что и требовалось доказать.
Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому конечному числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: Р(∑Аi) =∑P(Ai)
Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.
Предварительно введем вспомогательное понятие.
Определение 2. говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.
Примеры.
3) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;
4) попадание и промах при выстреле – полные группы событий.
Следствие 1. если события А1, А2,…Аn, образу4ют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: ∑P(Ai) =1.
Доказательство. Так как события А1, А2,…. Аn образуют полную группу, это появление хотя бы одного из них – достоверное событие.
P(A1+A2+... +An) =1
Т. к. А1, А2,…. Аn – несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей.
P(A1+A2,... .,+An) =P(A1) +P(A2) +... . +P(An) = ∑P(Ai),
откуда ∑P(Ai) =1, что и требовалось доказать.
Перед тем, как ввести второе следствие теоремы сложения, определим понятия о "противоположных событиях".
Определение 3. противоположными событиями называются два несовместных события, образующие полную группу.
Событие, противоположное событию А, принято обозначать А.
Примеры.
5) А-попадание при выстреле;
А-промах при выстреле;
6) В-выпадение герба при бросании монеты;
В-выпадение цифры при бросании монеты – противоположные события.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Р(А) +Р(А) =1.
Доказательство. Вспомним для доказательства, что А+А=И, Р(И) =1, А*А= ǿ, Тогда по теореме 1 получаем:
1=Р(И) =Р(А+А) =Р(А) +Р(А), что и требовалось доказать.
Это следствие есть частный случай следствия 1. оно важно в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого события А. в этих случаях вычисляют Р(А) и находят Р(А) =1-Р(А).
Пример 7.
Круговая мишень (рис 14) состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,15, во вторую – 0,23, в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.
Решение. Обозначим А-промах при выстреле, тогда А-попадание. Тогда А=А1+А2+А3, где А1, А2, А3-непопадание соответственно в первую, вторую, третью зоны.
По теореме 1 Р(А) =Р(А1) +Р(А2) +Р(А3) =0,15+0,23+0,17=0,55, откуда Р(А) =1-Р(А) =0,45
В ряде случаев приходится вычислять вероятность суммы событий, которые могут быть совместными.
Теорема 2. для любых двух событий справедливо равенство: Р(А+В) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (2)
Доказательство. Событие А состоит из компонент А*В и А*В, а событие в из компонент А*В и А*В. Поэтому А+В=(АВ) +(АВ) +(АВ) +(АВ) =(АВ) +(АВ) +(АВ), и поскольку входящие в это положение компоненты попорио не пересекаются, то
Р(А+В) =Р(АВ) +Р(АВ) +Р(АВ) (3)
С другой стороны имеем Р(А) =Р(АВ) +Р(АВ); и Р(В) =Р(АВ) +Р(АВ), а потому P(A) +P(B) =2P(AB) +P(AB) +P(AB).
Сравнивая эти равенства с (3) получаем доказываемую формулу (2)
Для произвольного числа событий формула выглядит так: Р(∑Ai) = ∑P(Ai) - ∑P(Ai-Aj) + ∑P(AiAjAk)... . +(-1) n-1P(A1A2... An).
В частности при n=3 имеем: Р(А+В+С) =Р(А) +Р(В) +Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) +Р(АВС).

§7. Теорема умножения вероятностей

Условная вероятность.
Второй основной теоремой теории вероятностей является терема умножения вероятностей.
Перед тем как излагать теорему умножения введем важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.
Определение 1. событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет.
Определение 2. событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А является в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.
Примеры.
1) опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:
А-появления герба на первой монете
В-появление герба на второй монете
В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет; событие А независимо от события В.
2) в урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:
А-появление белого шара у первого лица
В-появление белого шара у второго лица
Вероятность события А до того, как известно что-либо о событие В, равна 2/3. если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной Ѕ, из чего заключаем что событие А зависит от события В.
Определение 3. вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).
Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) ≠Р(А).
Сформулируем теорему умножения вероятностей.
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А) Р(В/А)
Докажем теорему для схемы случаев.
Пусть возможные исходы опыта сводятся n случаям. Изобразим их для наглядности в виде n точек:
…………………………………
Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. мы не предполагали события АиВ несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев L. Тогда Р(АВ) = L/n; P(A) =m/n
Вычислим Р(В/А), т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место.
Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятны событию А. из них L случаев благоприятны событию В. Следовательно, Р(В/А) =L\n
Подставляя выражения Р(АВ) и Р(А), Р(В/А) в формулу (1) получаем тождество. Теорема доказана.
При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать так: Р(АВ) =Р(В) Р(А/В)
Следствие 1. если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Доказательство. Дано, что событие А не зависит от события В, т.е. Р(А) =Р(А/В).
Требуется доказать, что событие В не зависит от события А, т.е. Р(В) =Р(В/А) (2)
Будем предполагать, что Р(А) ≠0.
Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:
Р(АВ) =Р(А) Р(В/А),
Р(АВ) =Р(В) Р(А/В), откуда
Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А/В) или согласно условию (2)
Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А).
Разделим обе части последнего равенства на Р(А). получим:
Р(В/А) =Р(В), что и требовалось доказать.
Следствие 2. если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство:
Р(АВ) =Р(А) Р(В) (3)
Доказательство. Событие А не зависит от события В, если выполняется равенство Р(А/В) =Р(А) (4)
По теореме о вероятности произведения двух событий Р(АВ) =Р(В) Р(А/В). (5)
Если в правой части равенства (5) заменить Р(А/В) на Р(В), то придем к (3), причем Р(В) ≠0, то событие А не зависит от события В. Действительно из (3) следует, Р(А) = Р(АВ) чР(В) и следовательно, Р(А) =Р(А/В), что и требовалось доказать.
Пример 3.
В урне 2 белых и 3черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
А-появление двух белых шаров.
Событие А представляет собой произведение двух событий:
А=А1А2, где А1-появление белого шара, при первом вынимании, А2-появление белого шара при втором вынимании.
По теоремам умножения вероятности Р(А) =Р(А1) Р(А2/А1) =2\5*1\4=0,1.
Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.
Определение 4. несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез

п.1. Формула полной вероятности.

Следствием обеих основных теорем –теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А1, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) = ∑P(Hi) P(A/Hi), (1)
Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Формула (1) носит название формулы полной вероятности.
Доказательство. Т.к. гипотезы Н1, Н2,…Нn образуют полную группу, то событие А может появится только в колебании с какой-либо из этих гипотез.:
А=Н1А+Н2А+…+НnA.
Так как гипотезы Н1, Н2,… Нn, несовместны, то комбинации Н1, А1, Н2А,…НnA так же несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: Р(А) =Р(Н1А) +Р(Н2А) +…+Р(НnA) = ∑P(Hi) P(A/Hi), что и требовалось доказать.
Пример 1.
Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй урне 3 белых и 1 черный шар; в третьей 2 белых и 2 черных шара.
Некто выбирает одну из урн наугад и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение:
Рассмотрим три гипотезы:
Н1-выбор первой урны
Н2-выбор второй урны
Н3-выбор третьей урны
Н1Н2Н3-полная группа несовместных событий.
Пусть событие А-появление белого шара. Т.к. гипотезы, по условию задачи равно возможны, то Р(Н1) =Р(Н2) =Р(Н3) =1\3
Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1) =2\3; Р(А/Н2) =3\4; Р(А/Н3) =1/2.
По формуле полной вероятности
Р(А) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36
Ответ: 23\36

 

П.2. Теорема гипотез.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейса (Байеса).
Поставим следующею задачу.
Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,. . Нn. вероятности этих гипотез до опытов известны и равны соответственно Р(Н1),Р(Н2) …,Р(Нn). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез, в связи с появлением этого события?
Здесь, по существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н1/А) для каждой гипотезы.
Из теоремы умножения имеем:
Р(A*Нi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) или, отбрасывая левую часть
P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)
Откуда P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) чP(A),(i=1,2,3,... . n)
Выражая с P(A) помощью полной вероятности, имеем
P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ч∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3,... . n) (2)
Формула (2) носит название формулы Бейса или теоремы гипотез
Пример 2. на фабрике 30%продукции производится машиной I, 25% продукции - машиной II, остальная часть продукции – машиной III. У машины I в брак идет 1% сей производимой его продукции, у машины II-1.5%, у машины III-2% наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена машиной I?
Решение.
Введем обозначения для событий.
А-выбранное изделие оказалось браком
Н1-изделие произведено машиной I
H2 - изделие произведено машиной II
H3 - изделие произведено машиной III
P(H1) =0,30; Р(Н2) =0,25; Р(Н3) =0,45
Р(А/Н1) =0,01,
Р(А/Н2) =0,015
Р(А/Н3) =0,02
Р(А) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,
Р(Н1/А) = 0,01*0,30ч0,015=0, 20
Ответ: 20%всех бракованных изделий выпускается машиной I.

§9. Формула Бернулли

Закон больших чисел
Пусть А случайное событие по отношению к некоторому опыту σ. Будем интересоваться лишь тем, наступило или не наступило в результате опыта событие А, поэтому примем следующую точку зрения: пространство элементарных событий, связанное с опытом σ, состоит только из двух элементов - А и А. Обозначим вероятности этих элементов соответственно, через p и q, (p+q=1).
Допустим теперь, что опыт σ в неизменных условиях повторяется определенное число раз, например, 3 раза. Условимся троекратное осуществление σ рассматривать как некий новый опыт η. Если по прежнему интересоваться только наступлением или не наступлением А., то следует очевидно принять, что пространство элементарных событий, отвечающее опыту η, состоит из всевозможных последовательностей длины 3: (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), которое можно составить из А и А.
Каждая из указанных последовательностей означает ту или иную последовательность появления или не появления событий А в трех опытах σ, например, последовательность (А, А, А), означает, что в первом опыте наступило А, а во втором и третьем - А. Определим, какие вероятности следует приписать каждой из последовательностей (1)
Условие, что все три раза опыт σ проводится в неизменных условиях, по смыслу должно означать следующие - исход каждого из трех опытов не зависит от того, какие исходы имели место в остальных двух опытах. Т.е. любая комбинация исходов трех опытов представляет собой тройку независимых событий. В таком случае, элементарному событию (А, А, А), естественно приписать вероятность, равную p*q*q, событию (А, А, А),-вероятность q*y*y и т.д.
Т. о. приходим к следующему описанию вероятностной модели для опыта η (т.е. для трехкратного осуществления опыта σ). Пространство Ω элементарных событий есть множество из 2 в 3степени последовательностей. (1). Каждой последовательности сопоставляется в качестве вероятности число р в степени k, q в степени e, где показатели степеней определяют, сколько раз символы А и А входят в выражение для данной последовательности.
Вероятностные модели такого рода называются схемами Бернулли. В общем случае схема Бернулли определяется значением чисел n и p, где n – число повторений исходного опыта σ (в предыдущем опыте мы считали n=3), а p-вероятность события А по отношению к опыту σ.
Теорема 1. пусть вероятность события А равна p, и пусть Pmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m-раз.
Тогда справедлива формула Бернулли.
Pmn=Cn в степени m *P в степени m *q в степени n-m [20, стр58]
Пример 1.
Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом ровно 3раза?
Решение:
В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна 1\2.
Отсюда: Р10,3=С10в 3степени*(1\2) в 3степени*(1\2) в 7степени=10*9*8ч1*2*3*(1ч2в 10степени) =15\128
Ответ: 15\128
При большом числе испытаний относительная частота появления события мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного это качественного утверждения дает принадлежащий Бернулли закон больших чисел, который уточнил Чебышев.
Теорема 2. Пусть вероятность события А в испытании p равна p, и пусть проводятся серии состоящие из n независимых повторений этого испытания.
Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. тогда для любого положительного числа α выполняется неравенство:
З(|m\n-p|> α) <pqч2во 2степени n (3) [20, стр. 148]
Смысл этого неравенства состоит в том, что выражение mчn равно относительной частоте события А в серии опытов, а |m\n-p|> α означает, что отклонение этой относительной от теоретического значения p. Неравенство |m\n-p|> α означает, что отклонение оказалось больше чем α. Но при постоянном значении α с ростом n правая часть неравенства (3) стремится к нулю. Иными словами, серии в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую долю всех возможных серий испытаний.
Из теоремы вытекает утверждение, полученное Бернулли: в условиях теоремы при любом значении α>0 имеем
P(|m\n-p|) > α) =0.

Глава II. Методические особенности изучения основ

Теории вероятностей в классах с углубленным изучением математике

§1. Основные цели изучения теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

Математические школы и классы с углубленным изучением математики были созданы в нашей стране в начале 60-х годов, когда выяснялась необходимость в подготовке специалистов, умеющих использовать прикладные возможности математики: программистов, инженеров-конструкторов, физиков, экономистов и других.
В настоящее время в математических школах и класса с углубленным изучением математики обучение ведется по программам разработанным коллективом ученых и преподавателей ВУЗов.
При сравнении программ массовой и математической школы можно отметить, что алгебраический материал, изучаемый в математических классах, включает темы, отсутствующие в программе массовой школы. Среди них теория вероятностей.
Содержание обучения теме "элементы теории вероятностей", выделены в "программе для общеобразовательных учреждений. Математика" [18] обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом.
1. продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний.
А) построить систему определений основных понятий;
Б) выявить дополнительные свойства введенных понятий;
В) установить связи введенных и ранее изученных понятий.
2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов.
3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории.
Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач:
1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое)
2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие.
3. Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей; определить границы использования этих теорем. Показать их применения для вывода формул полной вероятности и формул Байеса.
4. Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий
а) по классическому определению вероятности;
б) по теории сложения и умножения;
в) по формуле полной вероятности;
г) по формуле Байеса.
Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи.
Выделенные образовательные цели для изучения элементов теории вероятностей дополним постановкой развивающих и воспитательных целей.
Развивающие цели:
·                    формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности;
·                    в процессе обучения развивать речь, мышление, эмоционально-волевую и конкретностно-мотивационную области;
·                    самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач;
·                    применение знаний в новых ситуациях и обстоятельствах;
·                    развивать умение объяснить факты, связи между явлениями, преобразовывать материал из одной формы представления в другую (вербальная, знако-символическая, графическая);
·                    учить демонстрировать правильное применение методов, видеть логику рассуждений, сходство и различие явлений.
Воспитательные цели:
·                    формировать у школьников нравственные и эстетические представления, систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе;
·                    формировать потребности личности, мотивы социального поведения, деятельности, ценностей и ценностных ориентаций;
·                    воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию.

§2. Анализ содержания темы "Элементы теории вероятностей" в школьных учебниках

Теория вероятностей не изучается на базовом уровне. Эта тема становится актуальной лишь для учащихся классов с углубленным изучением математики.
С понятием "вероятность" учащиеся впервые встречаются в9классе.
В содержании темы учебника "Алгебра 9" [4] выделяются три взаимосвязанных направления, имеющие особое значение для развития логического и вариационного мышления. Во-первых, это подготовка в области комбинаторики, с целью создания аппарата для решения вероятностных задач и формирования важного вида практически ориентированной математической деятельности; во-вторых, формирование умений связанных со сбором, представлением и анализом данных; и в - третьих, формирование представлений о вероятности случайных событий и умение решать вероятностные задачи.
На данном этапе изучения уточняются способы представления и нахождения информации в таблицах, на диаграммах, в каталогах, рассматриваются задачи на перебор вариантов, формируются начальные представления о частоте и вероятности событий.
Дальнейшее изучение теории вероятностей осуществляется в 11 классе.
В учебнике "Алгебра 11" [5] глава "элементы теории вероятностей" начинается с рассмотрения достоверных, невозможных и случайных событий пока только на интуитивном уровне. Приводятся примеры на каждый вид событий и говорится о том, что случайные события представляют для нас особый интерес, к их изучению привели математиков потребности практики.
Основное понятие, с которым связан весь курс теории вероятностей – это понятие опыта (или испытания). Но ему не дается четкое математическое определение, а вводится на интуитивном уровне.
Материал в теме изложен дедуктивно, если вводимым понятиям даются точные математические определения. Можно построить несколько логических цепочек определений:
1. По количеству благоприятных исходов из возможных, относительно одного события.
   Событие
достоверное       невозможное     случайное
2. По количеству благоприятных исходов, относительно нескольких событий:
События
несовместные
противоположные
независимые
3. операции над событиями
 

объединение                          разность событий
событий     пересечение
событий              следствие
событий
Перечисленные понятия вводятся описательно, на каждое из них приводится пример.
В темы сформулированы и доказаны следующие утверждения:
1. Если события А и В несовместны, то Р(АUВ) =P(A) +P(B).
В основе доказательства лежит подсчет всевозможных исходов события А и В и определения объединения событий.
2. Если события А1, А2,... ... Аn попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:
Р(А1UA2U... . UAn) =P(A1) +P(A2) +... +P(An)
Для доказательства применяется определение несовместных событий и утверждение 1.
3. Для любого события А имеем:
Р(А) =1-Р(А).
Для доказательства исполняются факты: AUA - есть достоверное событие (И) и Р(И) =1. А∩А – невозможное событие (ǿ) и утверждение 1.
4. Для любых двух событий справедливо равенство Р(АUВ) =P(A) +P(B) - Р(А∩В)
Идея доказательства состоит из:
·                    разложения событий А и В на компоненты;
·                    нахождение объединения события А и события В;
·                    нахождение вероятности объединения событий А и В;
·                    нахождение суммы вероятности события А и события В.
5. пусть вероятностное пространство И представлено в виде объединения попарно несовместных событий Х1,,……, Хn: И=Х1UX2U... . UХn, где Xi∩Xj=ǿ при i≠j. Тогда для любого события А верно равенство: Р(А) =Р(Х1) Р(А/Х1) +…+Р(Хn) P(A/Xn).
Для доказательства находится пересечение события А и вероятностного пространства И. пользуясь законом дистрибутивности операции пересечения событий, теоремой сложения вероятностей и условием, что Xi∩Xj-невозможное событие, получается, что событие А является объединением попарно несовместных событий А∩Х1,…А∩Хn. Находится вероятность Р(А) и применяется формула условной вероятности.
6. Пусть вероятность события А равна Р, и пусть Рmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m раз. Тогда справедлива формула Бернулли Pmn=Cn в степени m* p в степени m * q в степени n-m.
Идея доказательства: подсчет благоприятных серий испытаний, нахождение вероятности каждой из них и использование условия, что любые две различные серии несовместны.
Теория вероятности рассматривается в учебниках Ю.М. Колягина и других "Алгебра и начало анализа 11" для общеобразовательных классов и А.Л. Вершера, А.П. Харпа "Математика 11" для учащихся гуманитарного профиля.
Представленные в учебном пособии задачи считаем возможным квалифицировать следующим образом: (Основа классификации - теоретические сведения основ теории вероятностей).
Вычисление вероятности как относительной частоты (частости) появления события (NN 493-499)
Определение множества исходов испытания (NN 499-508)
вычисление вероятности по классическому определению вероятности:
а) число исходов испытания определяется методом "перебора" (NN 516-521)
б) число исходов испытания определяется с применением формул комбинаторики (NN 522-548)
4. Алгебра событий (NN 533-548)
5. Вычисление вероятности по теоремам сложения вероятностей (NN 549-553)
6. Вычисление условной вероятности (NN 565-579).

§3. Методические особенности изучения основ теории вероятностей в классах с углубленным изучением математике

П.1. Виды событий

Изучение теории вероятностей начинается с введения понятий событий: достоверных, невозможных и случайных. Это можно сделать следующим образом: в жизни вы часто слышали или употребляли в разговоре следующие фразы: "Важное событие", "Вот это событие", и т.д. А что же такое событие? Как вы понимаете это слово? Приведите примеры событий. После этого учитель может подвести итог, введя определенные события (это исход наблюдения или опыта).
Рассмотрим следующие события:
1) при понижении температуры до 90° вода превращается в лед;
2) при понижении температуры вода закипает;
3) при бросании монеты выпал герб.
Охарактеризуем эти события: насколько достоверно каждое из них? Вероятно ли то, что они утверждают? Первое верно, т. к вода обязательно замерзнет, если понизить температуру, поэтому это событие называется достоверным. Второе никогда не произойдет, поэтому оно называется невозможным. К какому же виду событий следует отнести третье? Всегда ли оно имеет место? Нет! Может случится, что выпадет решка и сто выпадет герб. Поэтому это событие называется случайным. Вводится определение случайного события (это такой исход наблюдения или эксперимента, который может произойти, а может не произойти).
После беседы учащимся целесообразно предложить устную работу. Ее содержание может быть следующим:
1. Определить вид следующих событий.
При нагревании проволоки ее длина увеличилась;
При бросании игральной кости выпало 4очка;
При бросании монеты выпала решка;
При осмотре почтового найдены 3 письма;
При бросании игральной кости количество выпавших очков есть натуральное число;
При стрельбе по мишени стрелок дважды попал в цель.
2. Являются ли следующие события невозможными?
Получение всеми учениками вашего класса отличных оценок за очередную контрольную работу по математике;
Замена всех завтрашних уроков просмотром приключенческого фильма.
3. Приведите примеры событий, которые вы считаете:
Достоверными;
Невозможными
Случайными
Целесообразно подготовить сообщения учеников на темы:
1) Теория вероятности как наука.
2) Применение теории вероятности.
Цель: показать учащимся обширность областей применения теории вероятностей, ее значимость в науке и в жизни.
Для ознакомления учащихся с понятием частоты появления какого-либо события в длинной серии испытаний рекомендуется выполнение ряда упражнений, которые требуют ответа на вопрос: "Какое из событий вероятней? ".
Учителю необходимо пояснить учащимся, что сравнивать события следует по их вероятностям.
Например. Что вероятнее –появление герба при бросании монеты или появления нечетного числа очков при бросании игральной кости?
Решение.
Вероятность появления герба при бросании монеты равна 1\2, а появление нечетного числа очков при бросании игральной кости равна 3\6 или 1\2.
Следовательно, эти события равновероятные.
После изучения данного материала, ученики должны уметь:
Приводить примеры достоверных, невозможных и случайных событий;
Уметь классифицировать события на достоверные, невозможные и случайные;
Из нескольких событий выделять наиболее вероятное, объяснять свой выбор.

 

П.2. Вероятностное пространство

При введении понятия "вероятностное пространство" ученики сталкиваются с понятием опыта или испытания. Но этому понятию нельзя дать математическое определение. Ученики должны понимать, что значат слова: "подбросим монету и посмотрим упала она вверх гербом и цифрой" или "зажжем свечу и посмотрим, когда она сгорит". Ученикам следует объяснить, что существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. Для простоты удобно рассматривать лишь случаи, когда множество исходов конечно.
Для того, чтобы ученики убедились в том, что действительно при испытании возможны различные исходы, т.е. множество исходов, проведем эксперимент.
Для эксперимента потребуется игральная кость и свободный стол, на котором будет производиться испытание.
Один из учеников несколько раз подбрасывает игральную кость и каждый раз на доске записывает результат.
В конце испытания полезно подвести итог о возможных множествах исходов:
1. {A1,A2,A3,A4,A5,A6}, Аk –выпадение k очков;
2. {В0, В1}, В0-выпадение четного числа очков, В1-выпадение нечетного числа очков;
3. {C1,C2}, С1-выпадение очков меньше или равно 4, С2-выпадение очков больше или равно 5.
Учителю рекомендуется предложить еще несколько возможных множеств исходов, например, множество {A1,A2}, где Аk выпадение k очков, или множество {В1, С2}, где В1-выпадение нечетного числа очков, С2 - выпадение очков больше или равно 5 и предложить учащимся выяснить: являются ли эти множества исходов множествами исходов данного опыта!
Для того, чтобы можно было выразить вероятность каждого исхода числом, потребуется выбрать "единицу измерения". Можно сказать ученикам, что математики договорились, что сумма вероятностей всех исходов равна 1.
С ребятами рекомендуется обратиться к проведенному эксперименту и выяснить, какой из исходов имеет возможность происходить чаще других.
Выяснив, что ни один из исходов не отвечает этому требованию, учитель делает вывод, что все элементарные исходы равно возможны, а т. к. их сумма равна 1, то вероятность каждой из них равна 1\n, где n-число исходов.