Диплом Устойчивость по Ляпунову

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Курсовая работа Дипломная работа Контрольная работа Реферат Отчет по практике Эссе Доклад Решение задач Научно-исследовательская работа Монография Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Бизнес-план Тест/экзамен online Чертеж Рецензия

Принимаю Политику конфиденциальности

Продолжить

Скидка 25% при заказе до 26.12.2024

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Дипломная работа

Устойчивость по Ляпунову
Гомель 2007


Оглавление
Введение

Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова

Устойчивость по Ляпунову

Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова

Методы построения функций Ляпунова

Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина

Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем

Развитие метода функций Ляпунова

Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений

Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка

Заключение

Список использованных источников




Введение

Понятие функций Ляпунова появилось в связи с развитием теории устойчивости, начало которой положили труды великого русского математика А.М. Ляпунова. Рождение теории устойчивости как самостоятельной научной дисциплины можно отнести ко времени появления докторской диссертации А.М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", впервые опубликованной в Харькове в 1892 году. За последние годы наблюдается бурный рост этой теории, вызванный потребностями развивающейся техники, в частности, теории автоматического регулирования и управления.

Развитие теории устойчивости движения осуществляется двумя путями: во-первых, расширением круга задач и, во-вторых, созданием новых и усилением уже известных методов исследования. Метод функций Ляпунова (известный также как второй или прямой метод Ляпунова) является одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости, чем вызвано и его широкое применение в теории управления. Значение его далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной системы позволяет решать целый комплекс задач, которые имеют важное прикладное значение, например, получение оценки изменения регулируемой величины, оценки времени регулирования, оценки качества регулирования, оценки области притяжения (множества всех начальных возмущений, исчезающих во времени), оценки влияния постоянно действующих возмущений и другие.

Функции Ляпунова позволяют решать вопросы устойчивости в "большом", т.е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной области. С помощью функций Ляпунова решается проблема существования или отсутствия периодических решений, устанавливается ограниченность и продолжимость всех решений заданной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В связи с широким применением функций Ляпунова возник вопрос универсальности этого метода. Решением этой задачи занимались Я.П. Персидский, Н.Н. Красовский, Е.А. Барбашин, Я. Курцвейль, Ж.Л. Массера и другие математики. Было установлено, что в теории устойчивости этот метод универсален для широкого круга задач. В этой связи возникла задача о методах построения функций Ляпунова. Следует заметить, что известные методы построения функций Ляпунова, разработанные для получения достаточных условий устойчивости, не являются достаточно эффективными, поскольку каждый из них приспособлен для исследования конкретных систем. Поэтому проблему построения функций Ляпунова для нелинейных систем в настоящее время нельзя считать решенной.

Данная работа содержит исследования вопроса о применении функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений.




Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова

В данной работе мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Напомним, что система обыкновенных
   
дифференциальных уравнений называется  нормальной. В этой системе  --- независимая переменная,  --- неизвестные функции этой переменной, а  --- функции от  переменной, заданные на множестве  пространства размерности , в котором координатами точки являются числа . В дальнейшем будем предполагать, что функции
         
непрерывны на открытом множестве ; также будем предполагать, что их частные производные
    
существуют и непрерывны на множестве . Следует заметить, что частные производные , непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным , а не по независимой переменной .

Решением системы уравнений называется система непрерывных функций
                      

определенных на некотором интервале  и удовлетворяющих системе . Интервал  называется  интервалом определения решения (случаи ,  не исключаются). Считается, что система функций удовлетворяет системе уравнений , если при подстановке в соотношение вместо  функций соотношения превращаются в тождества по  на всем интервале  и чтобы правые части уравнений были определены для всех подставляемых в них значений аргументов. Таким образом, точка с координатами  должна принадлежать множеству  для всех значений  на интервале .

Устойчивость по Ляпунову

                                    

Выделим некоторое решение  системы

Решение  назовем  устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого  можно указать  такое, что из неравенства  следует неравенство  при . Здесь через  обозначено любое другое решение системы

, определяемое начальным условием . Решение  называется  асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое , что при  будем иметь

                       

 Решение  уравнения  не является устойчивым ни справа, ни слева, т.к. каждое решение , где  (), перестает существовать при  (рис. 1).

 Решение  уравнения  неустойчиво справа, т.к. все решения , , , приближаются к  при . Каждое решение  так же, как и решение , является асимптотически устойчивым справа (рис. 2).

замену переменных . Новая система будет иметь вид

                                   

где  при . Решение  перешло при рассматриваемой замене переменных в положение равновесия  новой системы. Задача устойчивости решения  переходит, таким образом, в задачу устойчивости нулевого (тривиального) решения  системы

Решение  системы

называется  устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого  можно указать  такое, что из неравенства  следует неравенство  при . Если же, кроме того, всякое решение , начальные данные которого определяются условием , обладает свойством , то нулевое решение называется  асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова.

Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова

                          

Рассмотрим функцию . Эта функция положительна всюду, кроме точки , где она обращается в нуль. В пространстве переменных  уравнение  определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости  представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое . Построим на плоскости  круг  радиуса . Возьмем одну из линий уровня --- эллипс, целиком лежащий внутри круга . Построим другой круг  целиком лежащий внутри эллипса (рис. 3).

Пусть начальная точка  лежит внутри .

Рассмотрим функцию двух переменных . Легко видеть, что если вместо  подставить решение системы

, то полученная таким образом, функция от  будет представлять собой полную производную функции  вдоль траектории решения системы

. Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в , неположительна, то это будет означать, что траектория не сможет покинуть , так как иначе между  и значением , при котором она попадет на границу , найдется значение , для которого , поскольку . То, что ни одна траектория, начинающаяся в , не покидает ни при одном  круг , означает устойчивость тривиального решения.

Итак, мы должны проверить знак  вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которого  нельзя выписать явно и тем самым нельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция  была неположительной как функция двух независимых переменных  по крайней мере в некоторой окрестности . Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку  всюду на плоскости , а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция  и есть функция Ляпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя в принципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки , где она обращается в нуль, а выражение  было неположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы

Все дальнейшие построения будем вести в некоторой -окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности  задается неравенством , . Функция  (или короче ) называется  положительно определенной в , если  в , причем  тогда и только тогда, когда .

Теорема Первая теорема Ляпунова


Пусть в  существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция  такая, что функция  удовлетворяет неравенству
                 
Тогда тривиальное решение системы устойчиво.



Теорема Вторая теорема Ляпунова

Пусть дополнительно к условиям первой теоремы для  выполняется неравенство , где  --- положительно определенная в  функция.

Тогда тривиальное решение системы асимптотически устойчиво. 



Теорема Третья теорема Ляпунова

Пусть в  существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция  такая, что

а)  и  -окрестность точки , в которой выполняется неравенство ;

б)  из , справедливое при всех .

Тогда тривиальное решение системы неустойчиво.

Замечание. Недостаток изложенных методов заключается в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа построения функций .

Замечание. Горбунов показал, что для линейных систем с непрерывными коэффициентами функция Ляпунова всегда существует в виде квадратичной формы.

Замечание. Для дифференциальных уравнений, описывающих некоторые механические системы, роль функции Ляпунова играет потенциальная энергия . Сама система имеет вид , а соответствующая функция .

В замечании было обращено внимание на отсутствие общей методики построения функций Ляпунова для конкретных дифференциальных систем. Ниже приведены некоторые известные способы построения функций Ляпунова.

Методы построения функций ЛяпуноваЭнергетический метод

  

где , ,  непрерывны,  --- положительные постоянные и ,  при ,  при ,  при , где , , .

В качестве механической модели можно взять движение системы  материальных точек  с массой , в которой точка  подвергается действию сил , выражающие влияние других точек  этой системы на точку .

Тогда можно дать механическую интерпретацию. Функцию  составим как полную энергию системы, то есть как сумму кинетической и потенциальной энергий. Получим

Найдем производную функции  в силу системы

     

Так как члены  определяют силы, способствующие рассеиванию механической энергии, то полная энергия системы убывает, а значит, соображений производная

Метод Малкина

                       

                        

                                

причем .

Замечаем теперь, что  не содержит в своей записи параметра , поэтому эта же функция пригодна для исследования системы

, необходимо найти аналог члена  в записи . Но с точки зрения механики величина  (или  характеризует восстанавливающую силу, а величина  соответствует потенциальной энергии. Поэтому естественно принять за функцию Ляпунова для системы

                           

а)  при ,

б) ,

в)  при .

Легко проверить, что множество , то есть прямая  не содержит целых траекторий, кроме начала координат.

замену переменной  получим систему

                           

Метод деления переменных

                  

где  при  --- постоянные,  могут быть функциями координат, параметров и времени.

Таким образом,  будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма

Здесь ,  --- постоянные,  --- возмущение рабочего угла,  --- возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.

а в качестве матрицы  берем единичную матрицу. Таким образом, получим

Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для . Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе  и матрицы .

Метод Красовского

                                    

Функция Ляпунова строится в виде , где симметричная матрица  подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица

                        

Таким образом, получим  и .

Очевидно, следует принять  и , тогда будем иметь

и условие устойчивости в целом принимает вид  при любых .

Метод Уокера-Кларка

            

                                                     

где  специально подбирается с целью упрощения вида  и с целью выполнения неравенства .

функцию  будем искать в виде

Очевидно, проще всего положить , , , откуда

 

                                                    

              

                        

Если положить , то условия устойчивости будут иметь вид

 и .

.

а)  при ,

б)  при ,

в) при .

Градиентный метод

Функции  подбираются из условия отрицательности  и из требования, чтобы векторное поле  было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия . После того как найден градиент  сама функция  определяется как криволинейный интеграл

  

                        

где . Это уравнение эквивалентно системе

  

Будем искать вектор-градиент  в форме

Удобно положить , , . Условия потенциальности поля дают . Таким образом, имеем , , . Формула

Так как , то условия устойчивости имеют вид  и

Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина

                      

, определенное на некотором интервале , и

                     

, определенное на некотором интервале . Будем говорить, что решение  является  продолжением решения

, если . Решение

                                    

с произвольными начальными значениями из .

, хотя бы при одном значении , то оно является продолжением этого решения.

совпадают между собой хотя бы для одного значения , то они полностью совпадают, т.е. имеют один и тот же интервал определения и равны на нем.

Пусть  --- решение системы

с начальным условием . Ясно, что:

а) либо это решение может быть продолжено для всех значений , и тогда будем говорить, что решение   неограниченно (бесконечно) продолжаемо [в право];

б) либо существует такое , что  при , и тогда будем говорить, что решение  имеет  конечное время определения.

  Если решение  ограничено в своем максимальном промежутке существования , то оно бесконечно продолжаемо, т.е. .

Все решения данного уравнения  бесконечно продолжаемы, но не ограничены.

На интервале , для любого  все решения данного уравнения  бесконечно продолжаемы и ограничены.

Все решения ,  имеют конечное время определения.

Теорема Майергофера-Еругина


Пусть решение  уравнения
                                   
где функция  непрерывна для всех  и , определено на промежутке  и непродолжимо для значений .

Тогда при , где  --- граница области .

Предположим теперь, что в окрестности любой точки  выполняются условия существования решения уравнения . Для простоты предположим, что  --- скаляр.
Теорема признак Винтнера-Еругина


Пусть функция  уравнения определена и непрерывна для всех вещественных  и  как функция двух переменных.

Тогда любое решение уравнения неограниченно продолжим в обе стороны, если только выполнено неравенство


где --- функция, удовлетворяющая условию
                                 
где --- число. 
Доказательство проведем методом от противного.

Пусть существует решение , которое не является неограниченно продолжимым, например, вправо. Тогда на основании теоремы Майергофера-Еругина существует некоторое число  такое, что  принимает  разных знаков и при .

Ввиду непрерывности решения  как функции от  оно должно бесконечное число раз проходить через нуль. А это означает, что существует последовательность значений , по которой это решение стремится к нулю. Это невозможно (по теореме Майергофера-Еругина).

Допустим, что  при . Так как  --- решение уравнения , то  в промежутке . Допустим, что  не меняет знак. Тогда
                              
Проинтегрируем обе части по отрезку , где  получим



Произведем замену . Получим

Тогда

Таким образом получаем

Теперь пусть . Учтем, что с заменой  и получаем
 
по условию теоремы. Это неравенство противоречиво, так как слева стоит конечная величина.

Рассмотрим общий случай, когда  может менять знак. Тогда



Так как  при , то с некоторого момента величина  станет положительной и знак модуля можно будет опустить. Тогда получим

Проинтегрируем обе части от  до , где  --- значение, после которого  становится положительным.

Сделаем замену , получим

Устремим  и учтем

Последнее неравенство противоречиво, что говорит о том, что не существует решения, которое не является неограниченно продолжимым вправо.

Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем

Развитие метода функций Ляпунова

Как известно, Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знаку производной , где  --- положительно определенная функция. Таким образом изучается неравенство . После работ русского ученого С.А. Чаплыгина началось широкое применение дифференциальных неравенств в теории дифференциальных уравнений. Развитие теории привело к сочетанию метода функций Ляпунова с методом дифференциальных неравенств: начали рассматривать функции Ляпунова в дифференциальных неравенствах вида

                                

            

то ее решение  может быть ограниченным, иметь конечное время определения или существовать для всех .

б) неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного решения. Заметим, что в дальнейшем, если под  понимается некоторое множество, то через  обозначается дополнение этого множества в пространстве.

Предположим, что  --- ограниченное множество пространство , содержащее начало координат, и что функция  определена во всем множестве  и при всех . Допустим далее, что  при  равномерно на каждом интервале изменения времени . Наконец, предположим, что , во всем  и для . Если неравенство

не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, то каждое решение  системы

Для применения результатов такого рода часто полагают , то есть неравенство

                                

Если , то неравенство

, при непрерывности  для всех  и положительности и непрерывности  для , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения.

Если , , то неравенство

не имеет ни одного положительного неограниченного при  решения.

Пусть  и  имеют тот же смысл, что и в теореме

,  при  равномерно по  и . Если неравенство  не имеет ни одного положительного неограниченного при всех  решения, то система

Для автономной системы вместо  используется функция .

Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему вида
                                  
где  определена и непрерывна на , где --- некоторый промежуток прямой, а  --- область -мерного пространства .

Определение. Будем говорить, что вектор-функция  удовлетворяет на множестве   локальному условию Липшица по , если для каждой точки  найдется такая окрестность  и постоянная Липшица , что для любой из двух точек  и  из этой окрестности выполняется неравенство
.
Введем обозначения.

Рассмотрим отношение

.
Рассмотрим верхний (нижний) предел последнего отношения
 
Этот предел будем называть производной функции в силу системы .

Теорема


Пусть функция  определена, непрерывна и локально липшицева относительно  на произведении .

Тогда для продолжимости всех решений системы на промежутке  необходимо и достаточно, чтобы на множестве  существовали две функции Ляпунова  и , обладающие свойствами:
1) ;

2) при  равномерно относительно  на каждом конечном сегменте, .
Замечание. Вместо условия 1) в теореме может быть взято условие .

Следствие. Если  и  непрерывны во всем пространстве, то для продолжимости каждого решения системы на  необходимо и достаточно, чтобы в пространстве  существовали две непрерывно дифференцируемые функции Ляпунова  и , обладающие свойствами:


1) ;

2)  при  равномерно относительно  на каждом конечном сегменте, .

Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка

Поскольку одна из целей данной дипломной работы --- показать на примере применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем, мы ставим перед собой задачу применить функции Ляпунова для решения вопроса продолжимости на  всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка.

Рассмотрим уравнение
    
эквивалентное системе
               
Теорема

Пусть функции ,  и  удовлетворяют следующим условиям:

а)  непрерывна при ,

б) функция  ограничена для достаточно больших , то есть  для больших ;

в) функция непрерывна и имеет непрерывную производную по  и, кроме того, удовлетворяет условиям:

1)  для достаточно больших  и ,

2)  для достаточно больших  и ;

тогда все решения системы неограниченно продолжаемы.

Доказательство

Рассмотрим функцию

Ее производную в силу системы для достаточно больших ,  и  легко оценить:

Получили дифференциальное неравенство вида
,
где , а . По лемме это неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. В качестве множества , о котором говорится в теореме, можно взять любое ограниченное множество, содержащее начало координат и такое, что вне его выполняются условия, наложенные на функции  и .

Применяя теорему , приходим к требуемому выводу.

Замечание. Если вместо требований, наложенных на функцию , потребовать  при достаточно больших , , то, взяв , получим

А отсюда легко следует утверждение теоремы.

Замечание. Можно показать, что если в правой части уравнения вместо функции  поставить функцию  которая либо ограничена для всех , либо для  существует непрерывная функция  такая, что при всех  выполняется неравенство , то все решения уравнения  при тех же предположениях относительно функций  и  неограниченно продолжаемы.

Замечание. Заключение о неограниченной продолжимости решений дифференциального уравнения легко получить из теоремы , положив .

Как отмечено выше, существует ряд признаков продолжимости решений. Простейшим из них является признак Винтнера-Еругина, который утверждает, что если в уравнении  функция  определена и непрерывна для всех  и , как функция двух переменных, то любое решение этого уравнения неограниченно продолжаемо в обе стороны, если только выполняется неравенство , где  --- функция, удовлетворяющая условию , где  --- число. В простейшем случае , где  --- число, т.е. получаем, что функция  близка к линейной. Ясно, что в этом случае продолжимость всех решений на  легко установить при помощи функций Ляпунова с использованием дифференциальных неравенств, взяв . Обратное утверждение не всегда верно. Например, для уравнения

условия продолжимости, полученные при помощи функций Ляпунова, запишутся так:  для больших  и  для больших . Понятно, что, положив  и  получим, на основании теоремы , вывод о продолжимости всех решений уравнений . Но критерий Винтнера-Еругина не выполняется за счет .

Рассмотрим уравнение

эквивалентное системе
  
Теорема


Пусть  --- непрерывная на всех  функция, а функции ,  и  удовлетворяют условиям:

а)  --- ограниченная для всех , где  --- некоторое ограниченное множество, содержащее начало координат,

б)  при ,

в)  --- непрерывная и непрерывно дифференцируемая по  функция и ,  для всех . Тогда все решения системы или уравнения неограниченно продолжаемы.

Доказательство

В самом деле, возьмем функцию

Оценивая ее производную в силу системы при  (для , вообще говоря больших), перейдем к неравенству

которое, очевидно, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. Воспользовавшись теоремой , приходим к требуемому заключению.

Замечание. Воспользовавшись этой теоремой, легко получить вывод о продолжимости всех решений уравнения
     
и уравнения
       


В самом деле, при выполнении всех условий теоремы , полагая  в первом случае и  --- во втором, легко получаем

Следствие. Если в уравнении функции ,  непрерывны по  и  соответственно и  для больших , а функция  для больших  то все решения этого уравнения продолжимы на .

Следствие. Если в уравнении () функции ,  и  удовлетворяют условиям:

а)  непрерывна для ,

б)  ограничена для больших ,

в)  для больших ,

г)  непрерывна и  для больших , то все решения уравнения неограниченно продолжимы вправо. 

Пример. Очевидно, что всем условиям продолжимости удовлетворяет уравнение

или система

Однако критерий Винтнера-Еругина не гарантирует продолжимости всех решений. В самом деле . Обозначим . Получаем, что


Отсюда можно сделать вывод, что для установления продолжимости на  более эффективно использование функций Ляпунова, нежели признака Винтнера-Еругина.

Рассмотрим уравнение
 
эквивалентное системе
  

Теорема


Для продолжимости всех решений уравнения на  достаточно выполнения условий:

1) непрерывности при всех  функции ,

2) непрерывности функций  и  и непрерывной дифференцируемости по  функции , а, кроме того, выполнения для них условий



вне некоторого ограниченного множества , содержащего начало координат.

Действительно, взяв функцию

вне множества  и для достаточно больших , будем иметь

Это неравенство, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, и на основании теоремы получаем справедливость нашего утверждения.


Заключение

В основном данная работа посвящена построению функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка на полупрямую .

В работе рассмотрены следующие нелинейные уравнения третьего порядка:





Для рассмотренных уравнений с помощью функций Ляпунова получены достаточные условия продолжимости всех решений на полупрямую .

Приведенные примеры построения функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости нелинейных уравнений третьего порядка говорят о возможности применения указанных функций не только для выяснения вопросов устойчивости, но и для выявления других свойств решений дифференциальных систем.




Список использованных источников

1. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4-е изд., М.: Наука, -- 1974., --- 331стр.

2. Горбунов А.Д., Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. М.: Учен. зап. ун-та, 165. Математика, 7 (1954), 39--78.

3. Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, М.: Мир, 1964г.

4. Ющенко А.А., // Доклады АН БССР, т. 11, №10, 1967г.

5. Ющенко А.А., // Дифференциальные уравнения т.4 №11, 1968г.

6. Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости, М.: Наука, 1967г.

7. Барбашин Е.А., Функции Ляпунова, М.: Наука, 1970