Четвертий рівень - в учня появився інтерес до сутності явища, тобто пізнавальний інтерес. Його світогляд розширився до нормального для даного віку рівня, в основі мотивів навчання лежить інтерес до самого предмета. Учень прикладає вольові зусилля для оволодіння матеріалом, методами вивчення предмету, виявляючи при цьому прагнення до повної самостійності як на уроках, так і на позакласних заняттях.
Самі лише уроки з математики не завжди дають простір для розвитку пізнавального інтересу. В зв’язку з цим великого значення набуває позакласна робота.
Отже, можна сказати, що найважливішими особливостями, які лежать в основі індивідуальних відмінностей учнів, є такі: загальні розумові здібності; програмові та позапрограмові знання, навички і уміння; вміння розумової праці; пізнавальні інтереси. Розглянемо у контексті нашої проблеми особливості психічних процесів молодших школярів.
Щодо пам'яті, то у молодших школярів мимовільна пам'ять розвинута краще, ніж довільна, наочно-образна пам'ять переважає словесно-логічну. Як показали дослідження Л.В. Занкова, розвитку логічної пам'яті сприяє виконання учнями таких завдань, у яких треба виділяти і розуміти головне. Одним із стимулів розвитку логічної пам'яті та логічного мислення є позакласна робота з математики.
У молодшому шкільному віці мимовільна уява переважає довільну; недостатньо розвинута репродуктивна і творча уява. Це дає свій відбиток і на розвиток мислення - в цьому віці і конкретне, і тим більше абстрактне мислення перебувають на початковій стадії розвитку. Щодо темпів розумового розвитку в молодшому шкільному віці, то вони мають ту особливість, що найбільше зрушення в розвитку дитини відбувається на перших періодах навчання, а далі у багатьох дітей темпи розумового росту дещо сповільнюються. У нашій експериментальній роботі, аналізуючи зрушення, які відбудуться у розумовому розвитку молодших школярів внаслідок проведення позакласної роботи з математики, ми будемо вивчати всі три аспекти розумового розвитку учнів. Адже позакласна робота з математики у початкових класах у значній мірі і виховує здатність до навчання, і визначає рівень знань, і формує й закріплює навички та вміння, і виховує вміння розумової праці у школярів, і розвиває інтерес до математики.
Отже, з проведеного аналізу психолого-педагогічних особливостей молодших школярів можна зробити такий висновок. Поряд з уроками кожен вчитель повинен використовувати позакласну роботу з математики як для сильних, так і для слабких та середніх учнів. Адже вона сприяє глибокому і міцному оволодінню матеріалом, підвищенню математичної культури, виробленню навичок самостійної роботи, розвиває мислення, здатність здійснювати розумові операції, закріплює і не дає втратити дитині інтерес до вивчення математики, розвиває творчі здібності дитини. Тому позакласна робота з математики у початкових класах є невід’ємною складовою навчально-виховного процесу і повинна займати вагоме місце у педагогічній роботі кожного вчителя початкових класів.

1.2 Види позакласних занять з математики

Позакласна робота сприяє поглибленню знань, яких набувають учні на уроках, прищепленню навичок застосовувати ці знання на практиці, вихованню моральних якостей: волі, наполегливості, критичного ставлення до виконаної роботи, а також розвиває інтерес до вивчення предмету.
Форми організації позакласної роботи і методи проведення її відрізняються від форм і методів проведення навчальних занять у школі. Час, кількість і види позакласних занять визначаються їх характером, метою і віком учнів.
Є такі форми проведення позакласної роботи з математики в початкових класах:
Олімпіада.
Математичний гурток.
Математичний ранок.
Хвилини цікавої математики.
Години цікавої математики.
Випуск математичних газет.
Математичні екскурсії.
Створення математичного куточка.
Олімпіада, як один з видів математичних змагань, має широку популярність у нашій країні. Математична олімпіада у початковій школі - засіб виховання сумлінного ставлення дітей до навчання; одна з форм позакласної роботи, яка створює умови для вияву спортивного азарту, посилює зв’язки сім’ї та школи. Цей вид позакласної роботи цікавий для дітей тим, що тут вони можуть випробувати свої знання, позмагатися з іншими учнями з того чи іншого предмету, і, звичайно, отримати оцінку своїх знань.
Математичні олімпіади молодших школярів мають пропедевтичний характер. Основними рівнями математичних олімпіад учнів початкової школи є класні та шкільні. Міжшкільні й районні олімпіади проводяться за умов належної підготовки працівників районних відділів народної освіти чи методичних кабінетів.
Наступною формою є математичний гурток. Цей вид позакласної роботи у початкових класах допомагає розширенню світогляду учнів у різних областях елементарної математики. Гурткова робота сприяє розвитку у дітей математичного мислення, лаконічності мови, вмілому використанню символіки, правильному застосуванню математичної термінології, умінню робити доступні висновки й узагальнення, обґрунтовувати свої думки та ін. Робота гуртка впливає на підвищення інтересу до математики не тільки гуртківців, але й решти учнів класу. На заняттях гуртка учні можуть реалізувати свої побажання щодо змісту матеріалу, що їх цікавить, форми організації своєї роботи, що і притягує дітей до відвідування цього позакласного навчання.
Ще однією формою позакласної роботи є математичний ранок. Це свято, основу якого складають командні і парні змагання на математичному матеріалі даного класу. Новий і позапрограмовий матеріал має бути, але у невеликому обсязі і в цікавій формі. Математичний ранок потребує ґрунтовного підходу. Ще під час уроків учитель має опрацювати основні форми змагань та ігор, які використовуватимуться на цьому святі. Потрібні репетиції у позаурочний час.
Хвилини цікавої математики - це досить дієвий та ефективний засіб масового охоплення учнів позакласною роботою та розвитку в них інтересу до предмета. Вони проводяться епізодично і є складовою частиною різних видів дозвілля - у групі продовженого дня, під час екскурсій тощо. Їх тривалість 10-20 хвилин. Завдання, що пропонуються у "хвилинах", повинні відрізнятися від тих, що розглядаються на уроках. У переважній більшості вони розв’язуються усно, цікаві за формою і доступні всім.
До групових позакласних занять, метою яких є підвищення інтересу дітей до математики, відносяться години цікавої математики. Молодші школярі знаходяться у такому віці, коли їх цікавість до того чи іншого навчального предмета ще не визначилась, а лише формується. Тому до проведення годин цікавої математики корисно залучати всіх учнів класу. Завдяки цій формі позакласної роботи виховується пізнавальний інтерес у дітей, заохочення до глибшого і конкретнішого вивчення того чи іншого предмету. Години цікавої математики від математичного гуртка відрізняються тим, що гурток створюється за принципом добровільності, з врахуванням дитячих нахилів, можливостей та інтересів, а години цікавої математики проводяться з усіма учнями класу. Члени гуртка, на відміну від учнів, що беруть участь у годинах цікавої математики, періодично влаштовують виставки, на яких демонструють наочні посібники, математичні газети, збірники задач, які складені членами гуртка. І, зрештою, години цікавої математики починають проводити з 1-ого класу, а заняття гуртка лише з 2-ого.
Займаються діти і таким видом позакласної роботи, як випуск математичних газет. Їх корисно випускати в усіх класах початкової школи. У першому класі газету доцільно випускати у 2-му півріччі, коли діти вже освоїлись у школі, вміють читати. На перших порах газету випускає сам учитель або старшокласники під його керівництвом. У 2-4 класах до цієї роботи треба поступово залучати учнів. Математичні газети корисні не лише для учнів, що їх випускають, але й для учнів, які їх читають. Адже з газет можна дізнатися багато цікавої інформації, що не розглядається на уроках. Цей вид позакласної роботи також викликає інтерес до предмету, зацікавлює й притягує учнів до його вивчення.
Однією з цікавих і важливих форм позакласної роботи є математичні екскурсії.
На екскурсіях учні дістають початкові відомості з геометрії, розвивають окомір, а також набувають навичок практично застосовувати математичні знання.
Під час екскурсії можна зібрати числові дані для складання задач на місцевому матеріалі, різних таблиць, діаграм, які потім використовуватимуться на уроках і заняттях математичного гуртка. Отже, цей вид позакласної роботи не лише цікавий дітям, але й корисний для самого вчителя. Адже легше проводити уроки, використовуючи матеріал, який діти самі ж зібрали під час екскурсії.
Математичний куточок у початковій школі можна створити у кожному класі. До його організації слід залучити дітей. Вони повинні виготовити під керівництвом учителя всі наочні посібники. Для цього слід використати гурткові заняття, підготовку до проведення загальношкільних заходів, математичні екскурсії тощо. Цей вид позакласної роботи корисний тим, що діти в будь-який момент можуть звернутися до цього куточка за допомогою. Тут вони можуть знайти і підказку, і цікаве завдання, і захоплюючі відомості.
Так, цікаві задачі, які самостійно склали учні на зібраному під час екскурсії матеріалі, вони виконують на креслярському або іншому цупкому папері і зазначають клас, дату виконання роботи і прізвище виконавців і зберігають у математичному куточку. Там також зберігають цікаві історичні задачі, що відповідають вікові і рівню знань учнів. У куточку повинні бути прилади для креслення діаграм, планів та виготовлення наочного приладдя, а також зразки одиниць мір - одиниці довжини (1 см, 1 дм, 1 м), одиниці площі (1 кв. см, 1 кв. м), одиниці об’єму (1 куб. см, 1 куб. дм, 1 л, 1,5 л), одиниці ваги (1 кг, 500 г, 200г, 100 г, 10 г, 5 г, 2 г, 1г). Тут можуть бути виставки зошитів з математики, альбом вирізок з газет з цифровими даними для складання задач, збірки самостійно складених задач, математичні газети. Також висить тут кольорово оформлена таблиця із завданнями для розв’язування задач, прикладів і різних вправ. Це дає можливість учням між позакласними заняттями діставати нові завдання і виконувати їх. Назва таблиці повинна бути привабливою, наприклад: "Міркуй, розв’язуй, відгадуй!". Таблиця містить список учнів, завдань за тиждень і конверт для відповідей. Через певний час учитель перевіряє розв’язання задач, оцінює роботу балами і результати записує до таблиці. Помилки аналізуються або на позакласному занятті, або після уроків. Містить куточок і таку рубрику, як "Чи знаєте ви?", що може включати такі відомості:
… Найбільшими гризунами, які живуть у нашій країні, є бобри. Довжина їх тіла досягає 1 метра, а маса - 30 кілограмів.
… Висота жирафа досягає 5-6 метрів.
… Тривалість життя вовка - 15 років, кролика - 12, зайця - 7 років.
Отже, існує багато видів позакласної роботи з математики в початкових класах. Кожен із них відіграє важливу роль у всій позакласній роботі, містить в собі певні навчальні й виховні моменти. Тому вчителі повинні враховувати всі форми цієї дуже важливої роботи під час навчання, виховання й всебічного, гармонійного розвитку дітей.

1.3 Стан досліджуваної проблеми в теорії і практиці навчання математики

Проблема організації позакласної роботи і її роль в математичному розвитку школярів вже досить довгий час розв’язується науковцями, психологами, педагогами й самими вчителями початкових класів.
Насамперед дослідників цікавить те, як впливає позакласна робота з математики у початкових класах на розумовий розвиток дітей, розвиток їх пізнавального інтересу, всебічний розвиток та формування особистості загалом.
У широкому спектрі досліджувану проблему вивчали М.В. Богданович, Є.П. Морокішко, В.І. Чепелєв, Н.Д. Моцик, Л.С. Іванова, Б. Друзь, Л.М. Дудко, В.П. Руднєв та ін.
Роль математичних олімпіад у позакласній роботі з математики в початковій школі вивчали О.В. Усенко, Я.В. Корнішевський, М.В. Богданович, О. Царінна, Д.В. Клименченко, О. Дюдіна, Л.Ф. Пікуль та ін.
Роль та види математичних гуртків розглядали О.І. Мінхаірова, Е.Т. Розумовська, Т. Вітанов, З.І. Мойсеєва, В.І. Єфімова, Е.А. Дишинський.
Проведення й значення математичних ранків вивчали М.В. Богданович, Т. Хайруліна, В. Шпакова та ін. Щодо проведення математичних екскурсій можна назвати таких науковців як Н.І. Багрій, З.М. Литовченко, Є.П. Морокішко та ін.
Указані дослідження висвітлені, на даний час, в різних методичних посібниках та журналах. Вчителі використовують їх у своїй роботі. Розроблено багато методичних рекомендацій для проведення позакласної роботи з математики. Існує багато посібників з запропонованими завданнями й теоретичним матеріалом для цієї роботи у школі. Проте, цілісної системи позакласних заходів з математики для початкових класів на сьогодні не існує. Все залежить від вибору вчителя.
Щодо використання позакласної роботи з математики вчителями початкових класів на практиці, можна сказати, що вона ведеться, на жаль, не завжди так, як би повинна. Вчителі завжди розуміли значення позакласної роботи для розвитку дитини. Вони завжди придумували і використовували нестандартні, позапрограмові завдання і форми роботи з дітьми. Майстерність класоводів зростала із запровадженням нової освіти для вчителів початкових класів, а також із створенням сітки інститутів удосконалення учителів.
Ми можемо спостерігати розроблені й обґрунтовані ті чи інші види позакласної роботи з математики в початкових класах.
Так, М.В. Богданович та О. Царінна запропонували розробку олімпіад для 2, 3, 4 класів (додаток 2). Вони пропонують систему задач для класної олімпіади, яка визначається 6 задачами для кожного класу, всього 18. Між задачами для різних класів, які йдуть за одним і тим же номером, є деяка подібність.
Перша задача у кожному класі присвячена принципам письмової нумерації натуральних чисел у десятковій системі числення.
Другі задачі пов’язанні з поняттям арифметичних дій, алгоритмами їх виконання чи правилами порядку виконання.
Треті задачі - це майже звичайні (програмові) для даного класу задачі, але вони містять деяку обставину, яка утрудняє процес розв’язування.
Четверті задачі - програмові для даного класу, зокрема, так звані типові задачі. Особливість їх виявляється в дещо ускладненій сюжетній ситуації.
П’яті задачі - майже всі не програмові для даного класу. Здебільшого це типові задачі, але дібрані за принципом випереджуючого навчання.
Шості - геометричного змісту. Це задачі на поділ і складання многокутників; задачі, пов’язані з периметром чи площею прямокутника.
Резервна задача 2 класу - це так звана логічна задача, яка розв’язується способом послідовного вилучення; у 3 класі резервними є задачі „на переливання" чи „зважування"; у 4 класі - задачі з комбінаторики (на обчислення числа комбінацій, розміщення, перестановок).
За сюжетом задачі наближені до діяльності самих учнів та їхніх інтересів, до реальних подій навколишнього життя. Є цікаві задачі, задачі з казковим чи історичним сюжетом, задачі з ігровими ситуаціями.
Саме такими, на думку дослідників, повинні бути класні олімпіади для досягнення поставленої мети.
Автори, провівши математичну олімпіаду у 1 класі, підтверджують доцільність такої форми роботи. Олімпіади подобаються, зацікавлюють і дітей, і батьків. Вчителю допомагають намітити, які завдання варто опрацювати на уроці додатково, і якими новими, оригінальними методами можна розв’язати задачу чи приклад. Цей вид математичних змагань сприяє розвитку не лише математичних здібностей, а й самостійності, впевненості, старанності учнів. Його варто починати практикувати з 1-ого класу, стверджують М.В. Богданович та О. Царінна.
Д.В. Клименченко у своєму досвіді запевняє, що твердження деяких науковців про те, що різноманітні види позакласної роботи потрібно проводити лише в старших класах, є безпідставним. Він з своїх досліджень наводить приклад, що діти 7-9-річного віку охоче займаються математикою в позаурочний час. Зупиняється він на математичній олімпіаді. Також свою версію математичних олімпіад в початковій школі запропонувала Олена Дюдіна. Вона свою систему завдань пропонує для 2-ого класу. Спершу діти проходять три відбіркових тури на класному рівні змагань. Переможці беруть участь у шкільній олімпіаді, що теж пропонується Оленою Дюдіною. А далі їх чекає міська олімпіада, рівень складності завдань якої набагато вищий за шкільну. Її зміст добирається таким чином, що, з одного боку, не виходить за рамки програми, а з другого - дає можливість учням спробувати свої сили у нестандартних завданнях підвищеної складності. Завдання для міської олімпіади пропонуються з посібника „Цікаві задачі логічного характеру”, складеного доцентом КДПУ ім.В. Винниченка Т.О. Фадєєвою. Ці завдання розділені на певні групи: задачі, пов’язані з віком та родинними стосунками; задачі, що мають логічну та обчислювальну частину; задачі, основою яких є нумерація багатоцифрових чисел; задачі на арифметичні дії та зв’язок між ними. Найдоцільніші з цих задач також пропонуються дослідницею.
Цікавим є досвід Л.Ф. Пікуль, що пропонує перед математичною олімпіадою перевірку готовності дітей до неї (Додаток 3). Так, її олімпіада проводиться на зимових канікулах, в гарно оформленому приміщенні. Тобто для дітей - це не лише змагання в розв’язуванні завдань, а й свято, де є ведуча - Королева Математики, що спершу пропонує їм розв’язати 3 завдання, мовляв, перевірити їхню готовність до олімпіади. А далі проводить звичайну олімпіаду.
Також ми маємо змогу ознайомитися із досвідом зарубіжних науковців. Так, нам пропонує свої заняття математичного гуртка Т. Вітанов з Болгарії. Ним та іншими дослідниками створений посібник „На допомогу керівнику математичного гуртка в 4-му класі середньої школи". Ця книжка складається з трьох розділів: арифметики, геометричного світу та математичної мозаїки.
Розділ „Арифметика", в свою чергу, складається з 6-ти параграфів: „Використання властивостей арифметичних операцій та розвиток навичок усної лічби"; „Виникнення чисел"; „Системи числення й різноманітні записи чисел"; „Задачі з дробами, проценти і діаграми"; „Текстові задачі"; „Подільність чисел"; „Рівність в цілих числах".
В розділі „Геометричний світ” лише дві теми: „Симетрія фігур та орнаменти”; „Прямокутний паралелепіпед, його об’єм та площа поверхні".
„Математична мозаїка" складається з 5-ти основних параграфів. Основні теми такі: „Логічні задачі”; „Елементи теорії графів”; „Принцип Діріхле"; „Числові ребуси”. Вибір тем в посібнику не є випадковим - він відповідає шкільній гуртковій програмі.
Михайло Богданович, Тетяна Хайруліна та Валентина Шпакова пропонують нам один із розроблених ними сценаріїв математичного ранку, що є невід’ємною частиною позакласної роботи в початкових класах (Додаток 4).
Дуже цікавим є досвід проведення математичних екскурсій Н.І. Багрія та З.М. Литовченко (Додаток 5), а також запропонований нам М.А. Циварєвою метод проектів в позакласній роботі з математики. Вона помічає, що в сучасній педагогічній літературі рекомендується використовувати проективну діяльність переважно у навчанні підлітків. Це обумовлено, перш за все тим, що при розробці проекту від учнів потрібна велика самостійність, вміння працювати з різними джерелами інформації, здібність до навчання й взаємодії, які в учнів початкових класів ще не сформовані. Але в той же час під керівництвом вчителя в процесі позакласної роботи молодші школярі поступово зможуть оволодіти необхідними якостями та вміннями, запевняє М.А. Циварьова. І тому пропонує нам можливості використання методу проектів при вивченні теми „Час та його вимірювання”.
Існує багато посібників які містять як зразки різних видів позакласної роботи з математики для початкових класів, так і методичні рекомендації щодо їх проведення. Так, можна назвати методичний посібник „Позакласна робота з математики у початкових класах”, складений Н.Д. Моциком та Л.С. Івановою, а також посібник „Позакласна робота з арифметики”, розроблений та складений Є.П. Морокішко та В.І. Чепелєвим. Також видані посібники з матеріалом для проведення позакласної роботи. Наприклад, посібник „Цікава математика” О.П. Корчевської та „Математична мозаїка" Б. Друзя.
Це є великим здобутком для вчителів початкових класів. Адже їм пропонується і методика проведення, і зразки різноманітних видів позакласної роботи. І хоч немає цілісної системи позакласних заходів, та вчитель повинен сам складати план своєї позакласної роботи. Адже це досить індивідуальна й зовсім не універсальна робота. Підбір позакласних заходів залежить від інтересів й рівня сформованості розумового розвитку дітей, від знань, умінь та навичок, які потрібно сформувати в учнів. Проте не всі вчителі використовують позакласну роботу у навчанні й вихованні. Більшість відговорюються тим, що діти й так завантаженні навчальним матеріалом, що їм вистачає й цього. Але в результаті отримують лише величезне небажання зі сторони учнів до навчання й відсутність будь-якого пізнавального інтересу і, як результат, - низький рівень навчання. Адже саме завдяки різним формам позакласної роботи можна досягти зацікавленості дітей тим чи іншим предметом, розвинути бажання займатися дослідженням позапрограмового матеріалу, насамперед, викликати пізнавальний інтерес у дитини і в підсумку отримати позитивні результати навчання учнів.
Що стосується роботи тернопільських вчителів, я провела анкетування у Тернопільській загальноосвітній школі №23, де проходила практику. Завдяки цьому анкетуванню я мала на меті з’ясувати стан проведення позакласної роботи з математики. Мене цікавили такі питання: чи використовують вчителі позакласну роботу з математики у своїй діяльності; які форми позакласної роботи з математики переважають у їх діяльності; у якому класі розпочинають позакласну роботу з математики; як часто використовують позакласну роботу; чи проводили самі дослідження ефективності цієї роботи; які способи та методи позакласної роботи найдоцільніші й найефективніші; з якими учнями переважно проводять позакласну роботу з математики; на розвиток якої якості потрібно робити акцент під час проведення позакласної роботи з математики; чи оцінюють учнів під час позакласної роботи.
Анкетуванням було охоплено 15 вчителів. Результати анкетування показали, що фактично всі вчителі початкових класів в тій чи іншій мірі проводять позакласну роботу з математики. Проте, я помітила, що цілеспрямовано, з проведенням підготовки, самостійною роботою учнів у позакласний час, з використанням змістовних, планових, масових видів позакласної роботи у повсякденній практиці працює досить незначна кількість учителів. Основна маса орієнтується на програму, а позакласну роботу використовує епізодично і безсистемно. Спостерігаючи за роботою вчителів та спілкуючись з ними безпосередньо, я виявила, що стаж і педагогічний досвід не є основною причиною відмінностей між учителями. Я дізналась, що багато з них ігнорують позакласну роботу через брак часу, через велику кількість слабких учнів у класі, через небажання дітей, через низьку заробітну плату.
Отже, проведений аналіз засвідчує, що позакласна робота з математики у початкових класах не повністю ведеться не через те, що немає методичних вказівок й зразків її проведення, а через те, що деякі вчителі не мають бажання її проводити з певних причин. Про це дуже сумно дізнаватися, адже робота такого вчителя вже не має потрібної ефективності, не зацікавлює дітей, а навпаки відбиває в них бажання вчитися. Звісно, таке навчання не призведе до повного всебічного розвитку молодої особистості.
Я вважаю, що кожен вчитель, який хоче справді навчити й виховати дітей, повинен віддаватись своїй роботі на 100%. Тобто, використовувати всі можливі форми і види роботи, у тому числі і позакласну роботу. Але, на жаль, проконтролювати проведення позакласної роботи неможливо, адже це лише справа вчителя та дітей.

Розділ 2. Методика організації позакласної роботи з математики в початкових класах

2.1 Особливості методики позакласної роботи з математики в початкових класах

Основні завдання позакласної роботи такі: поглиблювати і розширювати знання та практичні навички учнів; розвивати логічне мислення, кмітливість, математичну пильність, виявляти найбільш обдарованих і здібних дітей, сприяти їхньому дальшому розвитку, виховувати інтерес до математики; залучати дітей до цікавих занять; виховувати наполегливість, любов до праці, організованість і колективізм.
Учитель повинен детально продумувати організацію позакласної роботи з тим, щоб вона забезпечувала активність, ініціативу і самостійність учнів. Він може використовувати такі види позакласної роботи з математики як:
математичні олімпіади;
математичний гурток;
математичний ранок;
хвилини цікавої математики;
години цікавої математики;
математичні екскурсії;
випуск математичної газети;
створення математичного куточка.
Організація і проведення позакласної роботи з математики в початкових класах мають свої особливості:
розпочинаємо позакласну роботу з математики з хвилинок цікавої математики у ІІ півріччі 1-ого класу;
основними формами роботи на позакласних заняттях з математики є ігрова та практична діяльність учнів - використання дидактичних ігор; створення проблемних ситуацій, розв’язування задач-віршів, задачок - казочок; відгадування загадок, ребусів тощо;
наочність на заняттях повинна бути яскравою, привабливою, цікавою для дітей.
Позакласну роботу будують за принципом добровільності. Тут учням не виставляють оцінок, однак обґрунтованість суджень, кмітливість, швидкість обчислень, використання раціональних способів розв’язування треба заохочувати. Для позакласної роботи добирається доступний матеріал підвищеної складності або такий, що доповнює вивчення основного курсу математики, але з урахуванням наступності з класною роботою.
Своєрідно проводиться облік участі учнів у цій роботі і результатів її виконання. Певним звітом з позакласної роботи є олімпіади, математичні вечори, конкурси, спеціальні газети, альбоми та ін.
Учителю належить керівна роль у проведенні позакласної роботи, але це керівництво тут має певну специфіку. Учитель допомагає учням планувати позакласні заняття, підбирати необхідний матеріал і посібники, проводити окремі заходи, даючи їм можливість проявити власну ініціативу на всіх етапах підготовки і проведення занять.
Позакласні заняття дають широкий простір для самостійної роботи учнів, розвитку їх ініціативи, самодіяльності, виявлення творчих здібностей. Вони також допомагають у розвитку уваги і спостережливості, що є важливою умовою успішного навчання.
Розпочинають цю роботу вже з першого класу з проведення хвилинок цікавої математики. На цих заняттях учні граються в різноманітні ігри, які вже з перших днів перебування в школі вчать їх бути уважними і спостережливими, вимагають від них уваги і вміння спостерігати зміни в навколишньому середовищі.
Вже у другому класі добрим засобом для розвитку уваги дітей є усна лічба, яку бажано практикувати на кожному позакласному занятті. Вона також виховує у дітей почуття відповідальності за виконану працю. Особливо цьому сприяють позакласні заняття, на яких проводяться змагання за точні результати лічби. Наприклад, у класі проводять математичну естафету. Підсумовуючи результати роботи, легко побачити, хто неуважно лічив і яку допустив помилку. Між учнями виникає творче змагання за кращі результати лічби, вони здійснюють при цьому самоконтроль, вчаться перевіряти себе, свою роботу і знаходити в ній помилки та виправляти їх. А ці навички дуже корисні, і їх треба прищеплювати дитині.
Вже у третьому класі використовують розв’язування цікавих задач, задач-жартів і головоломок, що сприяє розвитку логічного мислення, кмітливості, мови учнів.
Також на позакласних заняттях формується уявлення у дітей про геометричні фігури. Дітей навчають будувати прямі кути, прямокутники, квадрати, вимірювати недоступні висоти, відстані, площі тощо. Для виконання практичних робіт потрібні прилади: екер, віхи, транспортир, польовий циркуль та ін. Усі ці прилади можна виготовити з учнями після уроків у шкільній майстерні, під час занять математичного гуртка, або індивідуальної позакласної роботи учнів.
Розглянемо методичні особливості організації та проведення окремих видів позакласної роботи з математики в початкових класах.
Хвилини цікавої математики.
Вся позакласна робота розпочинається з проведення хвилин цікавої математики. Вони проводяться з метою розвитку в учнів вже першого класу інтересу до предмету математики.
Компонувати матеріал для хвилин цікавої математики можна по-різному. Один раз запропонувати ребуси, другий головоломки, третій - задачі-жарти. Але, як показує практика, доцільно комбінувати різні види завдань. Ці завдання можуть бути присвячені певній темі, наприклад, закріпленню геометричного матеріалу, таблиць множення, розв’язуванню віршованих задач на дві дії тощо.
Години цікавої математики.
Щодо годин цікавої математики, то кожне заняття вчитель планує відповідно до вимог щодо підвищення інтересу дітей до математики та з урахуванням знань, умінь і навичок, які мають учні на час проведення цієї роботи. Проведення групових занять з цікавої математики бажано розпочинати з другого семестру першого класу. Тривалість таких занять може бути у першому класі - 15-20 хвилин, у другому - 20-25 хвилин, у третьому-четвертому класах - 30-35 хвилин.
Години цікавої математики у першому класі проводяться епізодично, а в других-четвертих їх бажано проводити систематично один-два рази на місяць.
Матеріал до занять підбирається різноманітний, але всі завдання мають бути цікавими як за змістом, так і формою їх проведення. Години цікавої математики можуть бути тематичними - всі завдання на занятті присвячені одній темі програми: "Таблиці додавання і віднімання у межах 10", "Прості задачі", "Таблиця множення" та інші. Проте найчастіше проводяться комбіновані заняття, до яких включається цікавий матеріал з різних тем програми.
Кожна година цікавої математики може складатися з трьох частин: вступної, основної і заключної. У вступній частині діти повинні відразу відчути незвичність заняття, його відмінність від уроку. Пропонуємо учням ребуси, задачі у віршах або розпочинаємо заняття від імені казкових героїв, які пропонують дітям цікаві завдання. В основну частину включаємо завдання, які вимагають більш напруженої розумової діяльності учнів. Це завдання з логічним навантаженням, різноманітні задачі підвищеної складності, задачі-загадки, задачі-жарти. До заключної частини включаємо математичні чи логічні ігри, загадки. Корисно закінчувати заняття на найцікавішому етапі, коли діти захоплені грою, це буде для них "зарядом цікавості" на наступне заняття.
Математичний гурток.
Для глибшої роботи з дітьми з предмету, починаючи з 2-3 класу, організовують математичні гуртки.
Гурток створюється за принципом добровільності. При наборі дітей до гуртка треба враховувати їхні нахили, можливості та інтереси. Не обов’язково, щоб членами гуртка були лише здібні і підготовлені учні. Треба прагнути викликати зацікавленість до гурткової роботи і з боку середніх та слабких учнів. Стимулом до організації математичного гуртка може стати спеціально проведена коротка бесіда вчителя про те, чим діти будуть займатись у цьому гуртку. Таку бесіду можна провести на уроці у зв’язку з вивченням тієї чи іншої теми, при розв’язуванні задач та ін.
У залежності від умов гурток можна створити або загальношкільний для учнів паралельних класів, або окремий для учнів одного класу.
Заняття математичного гуртка доцільно проводити не частіше 1-2 разів у місяць, оскільки кожне заняття вимагає детальної підготовки як з боку вчителя, так і учнів.
Методи проведення занять гуртка більш різноманітні, ніж інших занять. Це зокрема: короткі повідомлення членів гуртка чи вчителя з історії розвитку математики; вправи на розв’язування цікавих задач, ребусів, загадок, задач підвищеної складності; розв’язування логічних вправ; виготовлення наочних посібників; випуск газет; дидактичні ігри та ін.
Всі матеріали - результати роботи гуртка - повинні зберігатися у класі.
Члени гуртка періодично влаштовують виставки, на яких демонструють наочні посібники, математичні газети, збірники задач, які складені членами гуртка за числовими даними, що взяті з життя, матеріали цікавих повідомлень, екскурсій і т.д.
Підбиваючи підсумки роботи математичного гуртка, вчитель можне додати ще кілька математичних ігор, які можна використати як у позакласній роботі з учнями І-ІІ класів, так і на уроках. Разом з тим, вона є джерелом знань учнів на ранніх стадіях математичної освіти. Вибирати ігри треба відповідно до віку дітей, змісту матеріалу уроку і рівня знань учнів.
Математичні газети.
Математичні газети випускаються з метою зацікавити позакласною роботою й інших учнів, продемонструвати усім результати роботи тих, хто займається у математичних гуртках та інших формах цієї роботи.
У зв’язку з тим, що в класі можуть випускатись газети з різних предметів, математична газета може оформлятись двічі-тричі на півріччя.
Математична газета у 1-2 класах повинна стати дійовим помічником учителя у прищепленні дітям інтересу і любові до математики, у вихованні кмітливості, логічного мислення. Вона повинна бути агітатором математичного гуртка, висвітлювати матеріали і результати математичних конкурсів, вікторин. У ній варто розміщувати цікаві задачі-головоломки, задачі-жарти, логічні вправи у формі запитань, загадок, задач у віршах.
Оформлення математичної газети відіграє важливу роль. Яскраво ілюстрована, гарно написана газета притягує увагу дітей. Неабияке значення має назва газети. В її виборі діти повинні взяти активну участь. Це може бути "Чомучка", "Плюсик", "Математична веселка", "Юний математик" та ін.
Математичний куточок.
Математичний куточок створюється з метою заохочення дітей до збору цікавих матеріалів, складання своїх завдань для однокласників.
Від математичної газети він відрізняється тим, що висить у класі весь час і не створюється кожен раз наново, а містить окремі відділення, вміст яких весь час змінюється, поповняється самими дітьми.
Отже, в організації математичного куточка також беруть участь самі діти. Збирання числового матеріалу для його заповнення треба організувати так, щоб діти самостійно брали із життя, газет і журналів або при вивчені інших дисциплін цікаві для них числові дані. З метою заохочування учнів до цього слід відмічати тих, хто найчастіше поповнює куточок новими числовими даними. Можна використовувати матеріал математичного куточка на уроках, вказуючи при цьому, хто його надав.
Математичні екскурсії.
Досить рідкісною та не менш ефективною формою позакласної роботи є математичні екскурсії. Вони використовуються для застосування учнями своїх знань на практиці, отимання нових знань, збору інформації й використання її пізніше на заняттях, в оформленні математичних газет та поповненні математичного куточка.
Кожній екскурсії повинна передувати старанна підготовча робота. Учителю слід спочатку визначити мету екскурсії і, виходячи з цього, обрати для неї об’єкт. Потім він повинен оглянути місцевість або об’єкт, на який передбачено повести учнів, скласти план екскурсії. Якщо метою екскурсії є проведення вимірювальних робіт на місцевості, то вчителю слід спочатк виконати всі роботи самому з допомогою трьох-п’яти активістів математичного гуртка.
Після цього треба провести бесіду з учнями, щоб з’ясувати мету екскурсії та завдання гуртківців у підготовці до неї (виготовлення необхідних приладів тощо). Якщо, наприклад, метою екскурсії є вимірювання відстані на око, кроками, мірним шнуром і рулеткою, то треба під час бесіди запропонувати виготовити мірний шнур, віхи. Крім того, кожний учасник екскурсії повинен знати довжину власного кроку. Вчитель дає дітям поради, як саме її визначити. Слід також за годинником визначити, яку відстань проходить учень за певний час. Ці дані можна використати при вимірювані кроками великих відстаней.
Якщо діти ніколи не вправлялися у вимірюванні відстаней на око, то бажано спочатку на занятті математичного гуртка провести окомірне вимірювання невеликих розмірів (довжина і ширина зошита, довжина класної дошки, парти, довжина і ширина класу та ін).
Слід розробити форму запису даних, одержаних під час екскурсій, ознайомити з нею учнів і запропонувати їм заздалегідь підготувати цю форму.
Кожна екскурсія повинна закінчуватись заключною бесідою, в якій підсумовують роботу, відзначають кращих учнів, що успішно виконали завдання. Матеріал екскурсії після відповідного оформлення вміщують у математичному куточку. Теми екскурсій можуть бути і такі: "Ціна, кількість, вартість." - екскурсія в магазин, "Відстань" - екскурсія по дорозі, коли діти, щоб краще уявляти міри довжини, проходять самі метр, кілометр, "Швидкість" - де діти, за допомогою вчителя визначають свою швидкість та ін.
Математичні олімпіади.
Цей вид позакласної роботи проводиться з метою заохочення учнів до предмету шляхом змагання, які так цікавлять дітей молодших класів, перевірити їх знання, порівнюючи з іншими.
Істотною особливістю математичних олімпіад молодших школярів і необхідною умовою їх ефективності є масовість. Кожному учню повинна бути надана можливість взяти у ній участь. Реальним заходом забезпечення масовості є організація і проведення класних олімпіад.
Другою особливістю і другою необхідною умовою ефективності олімпіад молодших школярів є опосередкована та безпосередня участь батьків у їх підготовці. Реально цього можна досягти, якщо протягом певного часу учням у порядку підготовки пропонувати розв’язувати вдома деяку кількість "нестандартних " задач. Зрозуміло, що процес опрацювання нестандартних задач буде включати консультації і допомогу батьків чи старших братів і сестер.
Третьою особливістю і важливою умовою здійснення математичних олімпіад молодших школярів є повне забезпечення вчителя "задачним матеріалом" як до змісту завдань самої роботи олімпіади, так і до завдань підготовчої роботи.
Четвертою особливістю і необхідною вимогою є проведення олімпіади в умовах заохочувального режиму. Кожен учасник має виступити успішно, тобто розв’язати хоча б одну задачу. Більшість учнів має впоратися з двома-трьома задачами. Переможцями треба вважати третину школярів, яка має кращі результати у розв’язанні задач олімпіади. Виконання усіх завдань не є вимогою для переможців. Усім учасникам олімпіади оголошується подяка і даруються листівки з відповідними записами.
П’ятою особливістю можна вважати поступовість у нарощуванні турів олімпіад. У 2 і у 1 класі проводяться тільки класні олімпіади. У 3 проводяться класні і шкільні, а у 4 - класні, шкільні і міжшкільні (районні).
Всі класні олімпіади бажано провести 5-15 квітня, шкільні - 16-25 квітня. Якщо олімпіада буде продовжуватись і на міжміському рівні, то її можна провести 5-15 травня.
Підготовка до класних олімпіад здійснюється шляхом епізодичного розв’язування нестандартних задач учнями на уроках математики та вдома. Основний період підготовки - березень (три основні навчальні тижні третьої чверті). Підготовкою до шкільних олімпіад є аналіз результатів класних олімпіад та розв’язування відповідних задач. Отже, березень та квітень можна буде назвати місяцями "посиленої математики".
Класні олімпіади проводяться на одному з уроків математики або у позаурочний час, тобто на п’ятому уроці (після відпочинку учнів 15-20 хвилин). Класні олімпіади проводяться за двома варіантами. Задачі олімпіади мають бути заздалегідь записані на класних дошках. Найкраще, якщо їх надрукувати на комп’ютері чи зробити ксерокопії для кожного школяра.
Розв’язання задач учні записують на окремих сторінках учнівського зошита, дозволяється користуватися чернетками. Час виконання роботи - 40-50 хвилин. Задачі можна виконувати у будь-якому порядку. Хто впорається з усіма завданнями, може подумати і над резервними, записати їх розв’язання.
Учасниками шкільних олімпіад є третина учнів класних олімпіад - їх переможці. Завдання шкільної олімпіади пропонується в одному варіанті, але її учасники мають сидіти за окремими партами чи столами. Якщо у школі є багато паралельних класів, то учасників шкільної олімпіади варто розподілити на дві чи три групи. Але олімпіаду провести в один день.
Досвід проведення математичної олімпіади у 1 класі підтвердив доцільність такої форми роботи. Олімпіади подобаються, зацікавлюють і дітей, і батьків. Вчителю допомагають намітити, які завдання варто опрацювати на уроці додатково, і якими новими, оригінальними (часто запропонованими учнями) методами можна розв’язати задачу чи приклад. Цей вид математичних змагань сприяє розвитку не тільки математичних здібностей, а й самостійності, впевненості, старанності учнів. Його варто починати практикувати з першого класу. Проведення математичної олімпіади є підсумком вивченого матеріалу, набутих знань, умінь і навичок.
Математичний ранок.
Досить цікавим є такий вид позакласної роботи з математики як математичний ранок.
Проводиться з метою заохочення дітей до предмету, демонстрації умінь та навичок дітей, отриманих на уроках та інших позакласних заходах для батьків дітей, учителів та учнів інших класів.
Ранок може відбуватися в класі або в шкільному залі. Приміщення святково прикрашається. Проводиться ранок у двох паралельних класах, або один клас ділиться на дві групи.
Зміст і форми математичних ранків бувають різні, але треба домагатися, щоб кожен учень був не тільки глядачем свята, а й активним його учасником. Найчастіше при проведенні математичних ранків організовують змагання кількох команд, ставлять інсценівки із залученням казкових героїв, розв’язують задачі казкового характеру, задачі-жарти і т.д.
Необхідно визначити премії переможців. Це можуть бути кольорові листівки, грамоти тощо. Але бажано, щоб кожен учень отримав сувенір, наприклад, книжку з цікавими задачами і вправами з математики для даного класу.
Зміст позакласних заходів потрібно добирати так, щоб дати можливість учням вивчати в більш ранньому віці елементи сучасної науки в доступній та цікавій для них формі. Як правило, їх проводять систематично, за заздалегідь продуманим планом. Але це не виключає епізодичного проведення, особливо в 1 і 2 класах, окремих заходів: математичних ігор, годин цікавої математики та ін.

2.2 Розробка і обґрунтування системи позакласних занять у формі годин цікавої математики

Позакласна робота з математики у початкових класах проводиться для того, щоб зацікавити дітей до вивчення цього предмету вже з перших років навчання. Однією з форм цієї роботи є години цікавої математики, на доцільність використання яких і спрямоване наше дослідження та експеримент.
Ми розробили систему годин цікавої математики для 3-ого класу. За нашою системою вони проводяться систематично - один раз на місяць, в перший тиждень місяця.
Кожна година цікавої математики несе в собі цікаву інформацію, яка не входить в навчальний матеріал; містить цікаві задачі й загадки, які потребують від дітей швидкого мислення, добре розвинутої логіки. Дітям подобається щось нестандартне, тому їм цікаво на таких заняттях. А часто знання, які вони отримують на таких позакласних заняттях, стають у пригоді їм в повсякденному житті, що теж тішить учнів. Отже, години цікавої математики займають досить значну роль у зацікавленні дітей до вивчення цієї потрібної в житті науки.
Розглянемо розроблену нами систему годин цікавої математики. Кожне заняття містить теоретичну частину - цікавий матеріал, що або стосується окремої теми, або просто підібраний з пізнавальною метою для дітей і стосується математики. Також в заняття входить практична частина, що містить цікаві завдання, підібрані як до теоретичного матеріалу, так і просто для загального розвитку дітей.

Заняття 1.
(5 вересня)
"Про знаки арифметичних дій, рівності та нерівності."
З‘явилися вони, ці знаки, у такому вигляді, як ми їх знаємо, з поширенням у Європі арабського написання чисел. Звичайно, не всі зразу.
Першими народилися знаки додавання "+" і віднімання "-". Їх наприкінці XV століття застосував лейпцігський професор Ян Відман у творі "Швидка і красива лічба для всього купецтва".
Але ж люди вміли віднімати і додавати раніше! Як же позначали ці дії на письмі? У різних народів по-різному. Єгиптяни, наприклад, коли хотіли додати два числа, схематично малювали дві людські ноги, що "рухалися" вперед, а при відніманні ступні цих ніг скеровували в зворотному напрямку. У стародавніх греків додавання позначали вертикальною рискою, а віднімання - значком, схожим на кому. У Європі дію додавання ще позначали літерою "р" або "Р" (початкова літера латинського слова "плюс" - більше), а віднімання "m" або "М" (від латинського "мінус" - менше). Однак ці позначення не прижилися.
Знак множення "X" - навскісний хрест - знаходимо у праці англійського математика Уїльяма Оутреда "Математичний ключ" (1631-й рік). Згодом, у 1698 році, видатний німецький математик Готфрід-Вільгельм Лейбніц дію множення запропонував передавати крапкою (×), а трохи раніше, у 1684 році, впровадив дві крапки (:) для позначення ділення. Щоправда, ці знаки дістали загальне визнання і набули поширення лише у XVIII столітті завдяки підручникам німецького математика Крістіана Вольфа.
Знак рівності "=" ввів англійський учений Роберт Рекорд ще в XVI столітті. На його думку, ніщо не може передати рівність так, як два однакових паралельних відрізки. До нього в математиці користувалися іншими знаками рівності. Так, старогрецький математик Діофант відношення рівності позначав літерою "і" (початкова у слові "ізос" - рівний). Індійські і арабські математики, а також більшість європейських найчастіше, аж до XVII століття, вживали для цього повністю або скорочено слово "рівний".
Знаки " < " і " > " для позначення відношень нерівності систематично почав застосовувати англійський математик Томас Гаррієт. Його книжка, де він вживає ці знаки, побачила світ у 1631 році.
Дужки круглі знаходимо у математичних творах першої половини XV століття. До їхньої появи ставили риски над виразом, якого вони стосувалися, або ж під ним, що було дуже незручно під час друкування.
Знак ділення й дробу - горизонтальна риска - вперше зустрічається у італійського математика Леонардо Пізанського, який, мабуть, запозичив його з арабських рукописів. Для зручності в друкуванні англієць Август де Морган замінив горизонтальну риску навскісною.
Алфавіт сучасної математичної мови складається:
з грецьких, латинських та німецьких готичних букв; літер кирилиці;
з арабських та римських цифр;
з граматичних знаків;
з математичних знаків;
з деяких інших знаків.
Ось такі цікаві історії про наші математичні знаки. А зараз ми ще спробуємо трішки поміркувати.
Я читаю вам завдання, а ви старайтесь чимшвидше дати на нього відповідь.
1) До двоцифрового числа приписали зліва цифру 2. Як змінилося число? (Збільшилося на 200).
2) Сказати найменше трицифрове число, у якого всі цифри різні. (102)
3) Назвіть всі трицифрові числа, після зменшення яких у два рази утворюється знову трицифрове число, але з однаковими цифрами. (222, 444, 666, 888)
А тепер задачі на кмітливість:
1. Син мого батька, а не брат мені. Хто це? (Я сам)
2. Скільки у сім’ї дітей, якщо у кожного брата сестер і братів порівну, а в кожної сестри братів удвічі більше, ніж сестер? (7 дітей: 4 брати, 3 сестри).
3. Складіть з паличок або сірників таку фігуру і заберіть 4 палички так, щоб залишилось 3 квадрати.
Заняття 2.
(10 жовтня. До теми "Доба. Година. Хвилина. Секунда. Визначення часу за годинником.")
"Перший годинник".
Ми звикли до годинника. Навіть не віриться, що колись люди не знали його. А такий час був. Наші далекі предки розпізнавали тільки ніч, ранок, день і вечір. Потім час вимірювали за довжиною тіні. Подовжилась тінь людини на три ступні - незабаром вечір. Ти маєш прийти в гості "у чотири ступні" - чекай, бо ще рано. Проте цей спосіб був незручний: ступні ж у людей неоднакові, до того ж взимку тінь довшає швидше, ніж улітку. Треба було шукати іншого способу. І його, нарешті, було знайдено. На рівному, відкритому для сонця майданчику вкопали палицю, обвели колом і стали уважно спостерігати за рухом її тіні. Це був перший сонячний годинник. З часом його удосконалили.
Годиннику було дано назву гномон (від грецького "стовпчик"). У стародавньому Вавілоні на вершині найбільшої піраміди поставили глиняний стовп. Рівний майданчик під ним розкреслили на однакові сегменти. Коли тінь від сонця наближалася до однієї з ліній, жрець проголошував: "Волею бога минула ще одна голина від сходу сонця!"
За переказами, перший механічний годинник з’явився 996 року в давньому німецькому місті Магдебурзі. До нашого часу зберігся годинник на башті Вестмінстерського абатства в Лондоні. Ще у XIII столітті він показував час жителям цього міста.
На початку XVI століття нюрнберзький винахідник Петер Генлейн змайстрував кишенькового годинника, який називали "нюрнберзьке яйце". Через півстоліття годинник отримав хвилинну стрілку, а ще через двісті років - секундну.
Російські вмільці майстрували механізми не гірше від зарубіжних колег. Талановитий винахідник і механік Іван Петрович Кулібін, який жив у кінці XVIII століття, створив справжнє чудо техніки: його годинник показував і відбивав цілі години, половини і чверті.
Золоті руки були у Кулібіна, але, як і багатьом російським винахідникам, йому випала нелегка доля. Зараз його творіння виставлене в Ермітажі.
Опівночі, в кожну оселю Росії, долинає бій Кремлівських курантів. Шість століть вони ведуть рахунок часу.
Ось яка історія виникнення годинника. А зараз цікаві завдання.
1. Котра зараз година, якщо частина доби, яка залишилася, у 2 рази менша від тієї, що минула? (16-та година)
2. Стінний годинник відбиває цілі години і ще одним ударом кожні півгодини. Скільки ударів на добу робить цей годинник?
3. Сергійко думав, що прийшов на зустріч на 15 хв раніше від її початку, але його годинник відставав на 10 хв, а початок зустрічі затримався на 20 хв. Скільки часу чекав Сергійко початку зустрічі?
А зараз ми пограємо у дуже цікаву математичну гру. Називається вона "Ой" або "Не зіб’юсь".
Правила гри: зараз ми всі станемо в коло і будемо називати всі числа по порядку так, як стоїмо. Але є одна умова. Ми не повинні називати числа 2 і числа, куди входить цифра 2, а замість нього кажемо "Ой". Хто зіб’ється, той виходить з гри.

Заняття 3.
(14 листопада)
"Коротка мандрівка в історію чисел і цифр"
Кількасот років тому з цифрами мало справу небагато людей: вчені, збирачі податків, купці тощо. Нині ж цифри постійно нагадують нам про себе. Відрізки часу, температура повітря, номер будинку і квартири, номер школи тощо - все позначається цифрами.
Цифри - це символи чисел, знаки, за допомогою яких числа передають на письмі. Перше народилися числа, а вже потім - цифри. Спочатку люди навчилися лічити, "винайшли" число, а тоді знайшли спосіб записувати результати лічби.
Як же виникла лічба? З давніх-давен люди дошукувалися відповіді на це запитання. І в різних народів відповідь була однакова. Стародавні греки, наприклад, вважали, що людей навчив лічити Прометей. Той самий, що за легендою викрав у богів вогонь і віддав його людям. Взагалі більшість народів появу числа пов’язувала з "діяннями" богів або ж міфічних героїв. Щоправда, інколи цю заслугу приписували людям, які насправді жили колись. Автори староруських рукописів, наприклад, вважали, що лічбу винайшов Піфагор - старогрецький математик, який жив у VI столітті до нашої ери. Піфагор був великим математиком, але ж люди вміли лічити задовго до VI століття! І не просто вміли лічити, але й мали вчених, які писали математичні книги. Найдавніша математична книга дійшла до нас з другого тисячоліття до нашої ери. І цілком можливо, що книжки, написані ще раніше, до нас просто не дійшли…
Доведено, що був час, коли люди обходились без чисел. Наприклад, мешканці австралійських джунглів, бажаючи обмінятися продуктами, чинили так. Люди одного племені клали на землю в’язки їстівного коріння, а другого - навпроти кожної такої в’язки ставили кошик з рибою. Встановивши відповідність рівночисельних множин, провадили обмін.
Можна назвати винахідника, який сконструював ту чи іншу машину, можна назвати вченого, який відкрив той чи інший закон природи, але ніхто не може назвати того, хто поклав початок лічбі. Уміння лічити прийшло до людей з життєвим досвідом. Саме життя спонукало людину до цього.
Не можна назвати імені й того, хто навчив людей записувати результати лічби. Але ми можемо напевне сказати, що сталося це тоді, коли люди вже вміли писати.
Спочатку кількість передавали за допомогою малюнка. Приміром, щоб показати число 1, малювали 1 палець, 2 - два пальці, 10 - з’єднані руки, 100 - згорнуту вимірну мотузку, 1000 - квітку лотоса. Взагалі квітка лотоса була символом великого числа. Цей спосіб запису чисел застосовували в стародавніх країнах - Єгипті і Китаї. Греки ще в V столітті до нашої ери назвали такі знаки ієрогліфами - "священним різьбленням".
З розвитком писемності, зокрема буквеного письма, числа почали записувати словами. Спочатку записували повністю, потім скорочено, використовуючи лише першу літеру числівника. Стародавні математики прийшли до висновку: це не дуже зручно, і от у V столітті до нашої ери зароджується нова, алфавітна система нумерації: першими дев’ятьма літерами позначали одиниці (від 1 до 9), наступні дев’ять літер використовувалися для позначення десятків (від 10 до 90), а ті, що йшли за ними, дев’ять літер - для позначення сотень (від 100 до 900).
Проте у щойно згаданих систем нумерації - ієрогліфічній та алфавітній - був один досить суттєвий недолік: ієрогліфічні знаки й літери не мали чітко визначеного місця - позиції. Такий запис дуже ускладнював обчислення. Щоправда, ще у стародавньому Вавілоні, де користувалися своєрідним письмом - клинописом і де числа позначали тими ж значками-клинцями, вже намагалися закріпити за одиницями, десятками, сотнями певне місце. До цього вавілонян змушувала обмежена можливість їхнього письма. Клинці є клинці, багато їх не вигадаєш! От і додумалися закріпити за певними розрядами чисел певне місце. Значно пізніше, з другого століття нової ери, цю спробу самостійно почали розвивати в Греції, а незабаром позиційний запис чисел удосконалюють в Індії. Саме індійська система лягла в основу нашої нинішньої системи числення.
Систему числення, основану на позначенні всіх натуральних чисел десятьма знаками - цифрами, вперше описав і застосував у IX столітті талановитий син узбецького народу Магомет син Муси із Хорезму в рукописі "Арифметика індорум".
У Європі нова система нумерації стала відома на початку XIII століття завдяки італійському вченому Леонардо Пізанському, який описав її в 1202 році у своїй праці "Книга обчислень". Але утвердилася ця система в Західній Європі значно пізніше - у XV-XVI століттях.
На Русі про арабсько-індійську систему знали ще в XIII столітті. Так, на одному знайденому дзвоні, виготовленому у ті часи, знаходимо цю нову нумерацію. На початку XVII століття цими цифрами вже нумерують сторінки російських книг, їх карбують на золотих монетах. А в середині століття ними користуються в рукописних працях. В 1703 році в "Арифметиці" Леонтія Магницького, тій самій, з якої черпав свої перші знання з математики великий російський учений Михайло Ломоносов, усе арифметичне вчення викладене на основі позиційної системи числення, і тільки сторінки підручника позначені слов'янською нумерацією.
Наша мандрівка продовжиться на наступному занятті. А зараз розгадаємо декілька веселих віршованих загадок:
Три білки і сім зайчаток
Мов зграйка хлоп’ят і дівчаток.
Всі стали в кружок,
Пустилися у танок.
Підбігли ще до них
Шість мишок лісових.
Які ж прудкі звірята!
Лічімо їх, хлоп’ята.
Встала вранці мишка-мати
Дітям зерна роздавати.
6 дітей, і всім вона
Роздала по три зерна,
І собі взяла одно.
Скільки вас, питаю я,
Зернят з’їла вся сім’я?
Скільки трикутників на кожному малюнку?
 

 

Старовинна задача.
Один чоловік вип’є діжку води на 30 л за 10 днів, а разом із дружиною вип’є таку саму діжку води за 6 днів. За скільки днів таку діжку води вип’є дружина?
Заняття 4.
"Найдавніші цифри"
Сьогодні ми продовжимо нашу тему про стародавні цифри.
Про цифри досі ми тільки згадували. Мабуть, настав час познайомитися з ними ближче. Але передусім - як виникло саме слово "цифра"?
Походить воно від арабського слова "сифр", що в перекладі означає "порожнє, місце". Річ у тім, що індійці не мали чим позначати відсутність розрядного числа і там, де нині стоїть нуль, ставили крапку, яку називали "сифр". Коли ж з'явився нуль, його також стали називати цифрою. Так було до XVIII століття - поки він дістав своє наймення від латинського слова "нулюс", що означає "ніякий". А цифрами стали називати символи чисел взагалі.
Найдавніші цифри, які ми досі знаємо, - це числові символи вавілонян і єгиптян. Вавілоняни мали клинописні знаки для чисел 1, 10, 100 (або лише 1 і 10), решту ж натуральних чисел записували шляхом поєднання цих знаків між собою.
Єгиптяни мали значно різноманітніший набір знаків-ієрогліфів для позначення чисел.
У давньому єгипетському рукописі, що зберігається в Британському музеї в Лондоні, зустрічаються навіть дробові числа. Характерно, що єгиптяни визнавали такий дріб, у якого чисельник був одиницею, а знаменник - яким завгодно числом, та ще допускали дріб 2/3.
Якщо задача зводилася до відповіді у вигляді дробового числа, то його подавали як суму одиничних дробів.
Наприклад, 7/8 єгиптянин уявляв собі як 1/2+1/4+1/8 і записував без знаків додавання: 1/2 1/4 1/8.
Припустимо, треба 7 хлібин розділити на 8 рівних частин. Ми сказали б, що це буде 7/8 хлібини. Але ж тоді числа 7/8 не було і люди знали лише, що від ділення 7 на 8 одержують 1/2+1/4+1/8. Тому єгиптяни дійшли думки, що для поділу семи хлібин на вісім рівних частин треба мати 8 половинок, 8 чверток і 8 осьмушок. Вони розрізали 4 хлібини навпіл, 2 хлібини - на чвертки і 1 хлібину - на осьмушки. Отже, для такого поділу треба було зробити 17 (4+6+7) розрізів.
А як єгиптяни лічили? Є підстави гадати, що вони користувалися лічильною дошкою із накресленими на ній смугами. На кожній смузі розкладали камінці - їх було не більше дев'яти. Щоразу, коли доводилося класти десятий камінець, з цієї смуги скидали всі камінці і на сусідню, праву, смугу клали один камінець. Таким чином, єгиптяни лічили, як ми. Можна гадати, що їхня лічильна дошка була прообразом нашої рахівниці.
1) - А зараз розгадаємо декілька ребусів:

Па ‘ 3 ж

Ли 100 к

Кі 100 чка

Цікава віршована задача:
2) Ось перед вами два гравці,
У кожного в них у руці
По два червоних камінці.
А скільки всього камінців
В обох оцих гравців?
3) Намалювали Гриць та Гнат
Багато в зошиті троянд.
Ось 5 троянд, ось ще 15,Розфарбували з них 12.
Роботу треба ще кінчати.
Троянд ще скільки фарбувати?
5) Старовинна задача:
Летіла зграя гусей, а назустріч їм гусак. "Здрастуйте, сто гусей", - говорить гусак. А йому у відповідь: "Ні, нас не сто. Якби нас було ще стільки, та ще півстільки, та ще чверть, та ти з нами, тоді було б сто". Скільки гусей було у зграї?
Заняття 5.
(30 січня)
(До теми: "Міри довжини. Кілометр. Порівняння значень величин" та "Міри маси. Грам")
"Від ліктя до метра. Тлумачний словничок деяких мір"
В різних народів за різних часів існували свої міри довжини й ваги. У стародавніх арабів, наприклад, найменшою мірою довжини був поперечник макового зерняти. Сім макових зернят складали більшу одиницю вимірювання, що дорівнювала поперечнику гірчичного зерна. Міряли араби і ячмінними зернами, і фалангами великого пальця.
Римляни за одиницю міри площі - югер - брали площу, яку могла зорати за день пара волів. А в Сибіру була міра довжини бука. Це віддаль, на якій людина перестає розрізняти роги бичка.
На початку XII століття англійський король Генріх І видав грамоту про міри довжини. На вулицях Лондона оповісники по кілька разів голосно читали це королівське веління. В ньому говорилося, що віднині зразком міри служитиме рука його величності короля.
Такий наказ нікого не здивував, бо в ті часи населення країни вимірювало товари власними руками й ногами-ліктями й футами.
Лікоть - міра довжини, що дорівнювала віддалі від ліктя до кінця середнього пальця правої руки, - прийшов у Європу зі Сходу разом з арабами в раннє середньовіччя. Фут (в перекладі з англійської - "ступня") - це європейська міра довжини, яка дорівнює довжині людської ступні. Але ж руки і ступні в людей неоднакові. От і наказав король, щоб не було ніякого ошуканства, взяти мірою довжини його, королівську руку - від кінчика пальця до ліктя.
... У 1789 році було розв'язано дуже важливе для міжнародних торгових зв'язків питання. Французькі вчені вирішили, що за одиницю довжини найкраще взяти одну сорокамільйонну частину Паризького меридіана. Цій мірі дали грецьку назву - "метр". Від метра походить дециметр (1/10 його частина), сантиметр (1/100 частина) і міліметр (1/1000 частина).
У дореволюційній Росії була надзвичайно строката система мір. Та, власне, ніякої такої системи й не було. Поряд із старими слов’янськими мірами користувалися деякими англійськими, що прийшли ще за часів Петра І. Тут безборонно співіснували верста, сажень, аршин, вершок, фут, дюйм, географічна і морська милі. Масу визначали в пудах, фунтах, лотах, золотниках, долях, а місткість - бочками, відрами, штофами, пляшками, сотками.
І лише 14 вересня 1918 року Рада Народних Комісарів прийняла постанову про введення в нашій країні метричної системи мір.
Декрет, підписаний Леніним, зобов'язував повністю перейти на нові міри до 1 січня 1922 року.
Тлумачний словничок деяких мір.
Аршин - від персидського "арш" (лікоть), старовинна міра довжини. На Русь аршин прийшов 500 років тому разом з купцями з далеких східних країн.
Дюйм - від голландського "дюїм" (великий палець), міра довжини. Дорівнює 2,54 см.
Лінія - дуже маленька одиниця довжини, всього 2,54 міліметра. У Росії лініями вимірювали два види предметів: нижній діаметр стекол для гасових ламп І калібр гвинтівки або кулемета.
Метр - від грецького "метрон" (палиця для вимірювання). Це основна одиниця довжини, рівна одній сорокамільйонній частині Паризького меридіана.
Миля - від латинського "міліа" (тисяча). Колись милею називали відстань у тисячу подвійних кроків.
Сажень - від слова "саджати" (малося на увазі саджати молоді деревця). Означає відстань між великими пальцями витягнутих у сторони рук.
Фут - міра довжини, у перекладі з англійської означає "ступня".
Ярд - англійська одиниця довжини; 1 ярд дорівнює З футам.
Грам - від грецького "крамме" (дрібна міра маси). Кожна мідна монета важить стільки грамів, який ЇЇ номінал (позначення вартості на монетах): 5 копійок - 5 грамів, 3 копійки - 3 грами і т.д.
Золотник - російська одиниця маси. Нею вимірювалася маса золотих виробів.
Кілограм - головна одиниця маси; народився він наприкінці XVIII ст. у Франції.
Пуд - стародавня міра маси, дорівнює 16 кг.
Фунт - міра маси. Походить від латинського слова "пондус" (вага, гиря), становить 450 г.
Доба - це час, протягом якого Земля обертається навколо своєї осі; 1 доба = 24 год.
Календар - від латинського "календаріум", боргова книжка. За календарем можна полічити великі проміжки часу - місяці, роки, століття, можна одержати відповіді на запитання: "Яке сьогодні число?" і "Скільки минуло років?"
Місяць - одна з мір часу (від двадцяти восьми днів до тридцяти одного).
Рік - це час, за який Земля обертається навколо Сонця; за рік змінюють один одного чотири пори року; 1 рік =12 місяцям = 365 або 366 добам.
Тиждень - це сім днів, які йдуть один за одним. Кожен з днів має свою назву: неділя - коли "не роблять ніякого діла", тобто відпочивають, понеділок - одразу після неділі, вівторок - Другий (вторий) день, (Середа - середина, четвер - четвертий, п'ятниця - п'ятий, субота, по-єврейськи - шабаш, тобто день, коли не працюють.
Хвилина - проміжок часу; з 60 хвилин складається година.
Вузол - одиниця швидкості морських суден; вузол - це морська миля за годину або 1,85 кілометра за годину.
Гектар - від "гектон" (сто) і "ар" (площа, поверхня); 1 га = 100 арів = 10 000 м².
Градус - у перекладі з латинської означає "крок", "ступінь". Градусами вимірюють різні величини - кути і дуги, температуру.
Бал - з французької, означає "м'яч", "куля". Ним оцінюють знання і поведінку, силу землетрусу і густину льоду, майстерність спортсмена і хмарність неба, силу вітру, якість землі тощо.
Математика - у перекладі з грецької означає "знання", "наука". Розтлумачує кількісні та просторові поняття.
Ось такі цікаві відомості на сьогодні. А зараз поміркуємо.
1) Два брати пішли до школи. Коли пройшли 240 м, то старший брат згадав, що забув вдома лінійку і повернувся, а молодший продовжував свій шлях. Старший узяв лінійку і відразу пішов до школи. Коли він підійшов до того місця, звідки повертався, то молодший брат саме заходив до школи. Яка відстань від дому до школи? (Швидкість руху братів однакова)
2) З двох метрів полотна
Виходить простиня одна,
А скільки метрів слід купити,
Щоб 8 простиней пошити?

Сви 100 к

Е 100 нія

Ли 100к

3) - Розгадаємо декілька ребусів:
4) Стародавня задача.
Купив один чоловік трьох видів сукна 120 аршин, першого виду взяв на 12 більше від другого, а другого на 9 більше від третього. Скільки якого сукна було взято?
Заняття 6.
(6 березня)
"Римська нумерація"
Ця система нумерації склалася приблизно у II-І століттях до нашої ери, коли Римська держава досягла найвищого рівня розвитку культури.
За основу нової нумерації взяли всього сім літер, які означали: І - одиниця, V - п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, С - сто, D - п'ятсот, М - тисяча.
Решта чисел - похідні й утворюються шляхом додавання і віднімання основних знаків. Яким чином?
Якщо після символу більшого значення стоять один або кілька символів меншого значення, то вони збільшують значення першого на величину другого (других). Наприклад:
VI=5+1=6; ХV=10+5=15; МСХІ=1000+100+10+1=1111.
Якщо перед символом більшого значення стоїть символ меншого значення, то він зменшує значення більшого на відповідну величину. Наприклад:
ІV=5-1=4; СD=500-100=400; XС=100-10=90.
Символ, який повторюється двічі або тричі, відповідно подвоює своє значення. Наприклад:
III=1+1+1=3; ММ=1000+1000=2Ч1000; ССС=3Ч100=300; ХХ=2Ч10=20.
Римська система позначення чисел незручна, мало пристосована для обчислень, оскільки написання великого числа потребує великої кількості символів. Хоча нею користуються і в наш час. Римськими цифрами здебільшого позначають ювілейні та історичні дати, порядкові номери з'їздів, століть, розділи в книжках тощо.
Ось ви і ознайомились з римською нумерацією. А зараз виконаємо дуже цікаве завдання, для якого нам потрібно 12 сірників.
1) Із сірників складемо рівність,
VI-IV=XI
яка, як видно, неправильна. Як перекласти один сірник, щоб одержати
правильну рівність?
Відповідь:
VI+V=XI або VI+IV=X
2) А тепер уважно слухайте:
Шість вишеньок татко дав Марусі
У 9 разів більше у Катрусі,
4 вишні ще зірвали.
Скільки всіх вишень вони мали?
3) Ігор, Василь, Назар зайняли на олімпіаді з математики I, II, III місця. Василь зайняв не I, а Ігор - не II місця. Назар зайняв не II, а Василь - не III місце. Яке місце зайняв кожен з хлопчиків?
4) Старовинна задача:
Говорить дід онукам: "Ось вам 130 горіхів. Розділіть їх на 2 частини так, щоб менша частина, збільшена в 4 рази, дорівнювала б більшій частині, зменшеній у 3 рази". Як розділити горіхи?
Заняття 7.
(3 квітня)
"Арабські числа"
В Індії дуже полюбляли великі числа. Деякі з них і зараз викликають посмішку. Так загальна кількість богів тут становила не мало не багато, а 24 000 мільярдів. Будда мав 600 мільярдів синів - майже у сто разів більше, ніж нині живе людей на Землі. У битві людей з мавпами, яка згадується в одному з міфів, брало участь 10 000 секстильйонів мавп. Якби вся Сонячна система була заселена самими мавпами, вона ледве могла б вмістити таку кількість!
Усі ці числа ми знаходимо в індійських рукописних книгах. Передавали їх не якимись там хитромудрими громіздкими знаками, а досить простою, зручною системою невигадливих, легких для написання значків. Одні й ті самі значки могли означати кількість одиниць, десятків, сотень, тисяч і, звичайно, тих самих секстильйонів. Значення їхнє, тобто величина, залежало від місця, яке займав значок у числі.
Потім цю зручну систему перейняли араби, а від них вона проторувала шлях у Європу. За час мандрів по світах написання значків змінювалося. Сучасного вигляду вони набули з винайденням книгодрукування. Чимало людей намагалися пояснити форму арабських цифр. Що лягло в її основу? Цікавило це питання й Олександра Сергійовича Пушкіна. Він навіть знайшов своєрідну відповідь на нього.
Великий поет висував здогад, що в основу форми "шифрів", тобто цифр, покладено елементи чотирикутника. Це добре видно на малюнку 1.

Мал.1.
За свою історію людство знало чимало різних систем числення. Але винайдена в Індії десяткова позиційна система виявилася найзручнішою. Позиційною, ми знаємо, вона називається тому, що значення кожної цифри (символу) в ній змінюється залежно від її місця в числі.
А чому вона десяткова - здогадатися неважко: в її основі лежить число десять. І символів - цифр вона має стільки ж.
У десятковій системі одиниці, десятки й сотні становлять перший клас - одиниць; тисячі, десятки тисяч і сотні тисяч утворюють другий клас - тисяч. Потім ідуть мільйони, більйони (мільярди), трильйони, квадрильйони, квінтильйони, секстильйони, октальйони, новенльйони, декальйони, ендекальйони, додекальйони... А яке ж найбільше число? Яка його назва? Це число асанкхея. Дослівно воно переводиться як безмежне, але має певне значення, рівне 10^{140 (}тобто одиниця з 140-а нулями). На другому місті стоїть число гугол (10¹⁰⁰ - одиниця і сто нулів). Цікаво, що якщо всім числам можна підібрати відповідне число об’єктів, то гугол і асанкхея абсолютно "віртуальні". Річ в тому, що число електронів в Всесвіті, згідно деяких теорій, не перебільшує 10⁸⁷, що в 10 трильйонів раз менше гугола.
Усі недесяткові системи числення відійшли в минуле. Проте на сьогодні збереглися залишки дванадцяткової системи числення. Це від неї день у нас ділиться на 12 годин, доба - на 24 (12Ч2) години, рік - на 12 місяців Інколи деякі предмети ми ще лічимо дюжинами, тобто по дванадцять, - хустинки, ложки, виделки і таке інше. Дванадцяткова система була поширена у стародавніх римлян.
Як відомо, халдеї (стародавній народ, що заселяв узбережжя Персидської затоки) дуже захоплювалися астрономією. Вони лічили групами по 60: рік у них тривав 360 днів (60X6), коло містило 360 градусів, у градусі було 60 мінут, а кожну мінуту вони ділили на 60 секунд.
У мірах часу також знаходимо залишки шістдесяткової системи: година має 60 хвилин, хвилина - 60 секунд.
А тепер завдання.
1) У народності майя існував дуже цікавий спосіб запису чисел. На малюнку 2 показано, як цим способом записувати числа 11, 15, 17. Спробуй самостійно заповнити порожні клітинки для чисел другого десятка.
2) П’ять санчат униз летять,
В них по четверо малят.
Вася із санчат звалився,
У наметі опинився.
Скільки мчить малят вперед,
Проминувши цей намет?
3) Старовинна задача:
Дехто має 6 синів, один другого старший на 4 роки, а найстарший утричі старший молодшого. Який вік синів?
Заняття 8.
(8 травня)
"Числа слов’ян"
У слов'янській нумерації використовували не сім літер, а двадцять сім. За тим самим зразком, що й стародавні греки, про яких ми свого часу згадували. Знаків, як для нас, незвично багато, але ця система дозволяла виконувати математичні дії. Над літерами, що зображували числа, ставився особливий значок - титло. Одиниця, наприклад, позначалася першою літерою слов'янської азбуки - "аз", двійка - "буки", трійка - "веди", четвірка - "глагол" і так далі.
Десять століть тому на Русі не знали числа, більшого тисячі. Десять тисяч здавалося нашим предкам таким великим числом, що його позначали словом "тьма". Цікавою є назва числа 40: воно походить від того, що рахували в давнину мішками, куди вміщалось рівно 4 десятки соболиних шкурок.
Коли в Росію прийшло арабське числення, одночасно з ним почала розвиватися і слов'янська лічба. Поступово з'явилися назви великих чисел. У російських рукописах XVI століття "тьмою" вже не називають десять тисяч. Тепер воно означає тисячу тисяч, тобто мільйон. Крім того, з'являються такі назви, як "тьматем", або "легіон", тобто мільйон мільйонів, або трильйон. З'явився і квадрильйон - число з п'ятнадцятьма нулями.
В одному рукописі згадується слово "колода": "сего числа несть больше".

Лі 3 ‘

1 иця

2 цять

5 ‘ ниця

А зараз розв’яжемо декілька ребусів:
Будьте уважні:
Підійшла до Міли Алла:
Приклади ти розвязала?
Подивися, Мілочко, -
В прикладі помилочка.
Більше помилок нема.
Помилку знайди сама.
Де ж помилка у Людмили?
Може б ви перелічили:
16-9+5=12
8+7-6=9
20-14+8=15
17-5+7-19
3) У сім’ї сім братів і у кожного по одній сестрі. Скільки всього дітей у цій сім’ї?
4) - А тепер завдання із чарівними квадратами:
У чарівних квадратах однакова сума чисел і в стовпчиках, і в рядках, і по діагоналях. Перевірте, чи є перший квадрат чарівним. Які числа треба записати у порожніх клітинках другого квадрата, щоб він був чарівним?
5) Старовинна задача:
Собака побачила зайця у 150 саженях від себе. Заєць пробігає за 2 хвилини 500 саженів, а собака - за 5 хвилин 1300 саженів. За який час собака наздожене зайця?

2.2 Організація експериментального дослідження та його результати

Результативність проведеного дослідження вивчалася шляхом постійних спостережень, анкетування, контрольних робіт, які проводилися як у процесі констатуючого так і формуючого експерименту. Дослідження проводилося на базі 3 - іх класів початкової школи. Розглянемо окремо результати констатуючого і формуючого експериментів.
1. Основним завданням констатуючого експерименту було визначення стану використання позакласної роботи з математики в початковій школі. На основі анкетування вчителів початкових класів ЗОШ №23 м. Тернополя, було з’ясовано, що більшість вчителів в тій чи іншій мірі використовують позакласну роботу у своїй діяльності, але основна маса вчителів робить це епізодично.
У ході експерименту вивчалася і діяльність учнів на уроках математики. Щоб з’ясувати це питання, ми провели серію спостережень на таких уроках. Також проводились контрольні роботи, бесіди з учнями, вивчення зошитів, і, саме позакласна робота.
Проаналізувавши результати роботи учнів ще у 2-му класі протягом IV - ої чверті, ми побачили, що в середньому в класі зацікавленість до математики проявляється лише у 6-8 учнів, відповідно й їхня успішність була найкращою. На початку I - ої чверті 3-ого класу учитель провів контрольну роботу, яка містила 3 обов’язкових та 1 необов’язкове цікаве завдання. Це завдання взялося розв’язувати 15 учнів (із 30 учнів класу), але розв’язало її 10 учнів. Отже було видно, що у класі не дуже поширена цікавість до математики, а саме до позапрограмових завдань.
На основі матеріалів констатуючого експерименту значною мірою було визначено і питання добору матеріалу і змісту завдань годин цікавої математики.
2. Завдання формуючого експерименту полягало в тому, щоб обґрунтувати і перевірити ряд положень, рекомендацій і показників.
Потрібно було: перевірити і уточнити складену систему годин цікавої математики для 3-ого класу; визначити ефективність застосування розробленої системи годин цікавої математики.
Методика формуючого експерименту включала проведення вчителями спеціально розроблених нами годин цікавої математики; безпосереднє проведення занять самим дослідником; спостереження за діями вчителя та учнів у процесі роботи під час годин цікавої математики; аналіз усних відповідей та письмових контрольних робіт учнів; проведення бесід з учителями та учнями про зміст матеріалу та завдань годин цікавої математики.
Формуючий експеримент проводився в початковій школі ЗОШ №23 м. Тернополя. Він тривав 1 навчальний рік, протягом якого було охоплено 57 учнів початкових класів.
Експеремент складався з трьох етапів:
1) попереднього вивчення рівня успішності учнів;
2) формуючого етапу з елементами пошуку;
3) вивчення результативності дослідження.
Результативність дослідження оцінювалася на основі порівняння результатів початкового та кінцевого зрізів, а також бесід з учителями та безпосередніх спостережень.
У ході першого етапу експерименту була проведена контрольна робота, яка проводилася і в експериментальному і контрольному класі в вересні. Внаслідок цієї контрольної роботи ми проаналізували успішність обох класів. Результати цієї контрольної роботи узагальнено в таблиці 2.1
З таблиці видно, що результати цієї контрольної роботи приблизно однакові і в контрольному, і в експериментальному класах.
Табл. 2.1 Успішність учнів з математики на початку року в контрольному і експериментальному класах
У ході формуючого експерименту в нас виникли деякі труднощі. Так, було важко сконцентрувати увагу дітей, оскільки години цікавої математики проводились після уроків, коли діти вже змучені і не можуть повністю на чомусь зосередитись. В зв’язку з цим також часто ми зустрічались з нерозумінням поданого матеріалу дітьми, що вимагало спрощення способу подання матеріалу або й зміни завдань.
У ході експерименту порівняння ефективності навчання в експериментальному і контрольному класах здійснювалась за такими показниками:
1) за результатами засвоєння основного матеріалу програми з математики для початкових класів;
2) за наслідками виконання розроблених нами завдань;
3) за змінами в загальному розвитку дітей, їхніх інтересах, ставленні до навчання.
В травні в експериментальному і контрольному класах були проведені контрольні роботи. Результати цих робіт були проаналізовані та зведені у таблиці 2.2
Табл. .2.2 Успішність учнів з математики в кінці року в контрольному та експериментальному класах
Порівнюючи успішність у експериментальному і контрольному класах, можна сказати, що у класі, де проводився експеримент, успішність учнів з математики набагато краща, ніж у контрольному класі. Ми пояснюємо це тим, що внаслідок проведення годин цікавої математики, діти більш зацікавилися цим предметом, у них виникло бажання розв’язувати цікаві завдання, шукати й придумувати нові задачі й завдання, у учнів появився інтерес до математики, тому й покращився рівень знань з математики.
Спостерігаючи за роботою дітей на уроках математики протягом року, ми побачили, що з використанням позакласної роботи у дітей підвищився рівень розумового розвитку у всіх трьох аспектах. Тобто, діти стали більш здатні до навчання. Вони швидше почали засвоювати новий матеріал, процес мислення став гнучкішим та швидшим. Діти, завдяки логічним операціям, почали швидше узагальнювати, пов’язувати конкретні та абстрактні поняття. Рівень знань учнів, на кінець року, збагатився не лише програмовим, а й позапрограмовим матеріалом, отриманим під час позакласних занять - годин цікавої математики. Дуже добре в дітей розвинулось вміння розумової праці, що проявилось у їхній самостійній роботі з навчальним, як програмовим, так і позапрограмовим матеріалом, що має особливе значення при вивченні математики.
Таким чином, активність учнів у вивченні математики зросла протягом року, причому за рахунок збільшення ініціативи середніх та слабких учнів.
Результати експерименту, оцінки вчителів свідчать про те, що запропонована нами система годин цікавої математики є достатньо вагомим засобом підвищення загального інтересу до предмету зокрема та рівня вивчення математики в початкових класах загалом.

Висновки

Проведене теоретичне і експериментальне дослідження, присвячене проблемі проведення позакласної роботи з математики в початкових класах дозволило розв’язати поставлені задачі і сформулювати основні результати дослідження.
1. Вивчаючи стан досліджуваної проблеми в педагогічній теорії і практиці, ми прийшли до таких висновків.
Потреби сучасного суспільства вимагають вже в молодшому шкільному віці пошуків шляхів розвитку повноцінного мислення, здатного ефективно розв’язувати різноманітні життєві задачі. Одним із критеріїв повноцінного мислення є здатність використовувати отримані знання в нових умовах. Засобом для цього є позакласна робота в початкових класах.
Проведений аналіз наукових розробок, навчальної та методичної літератури, роботи вчителів-класоводів засвідчує, що і в теорії, і в практиці школи проблема проведення позакласної роботи з математики в початкових класах має певне відображення. Проте на сьогодні немає цілісного підходу вирішення цієї проблеми, хоч і присутні зразки систем позакласних заходів і є методика проведення цієї роботи у школі.
2. Під час вивчення психолого-педагогічних умов використання організації позакласної роботи з математики нами було проаналізовано концепцію розвивального навчання, виділено спільні і відмінні особливості дитячої психіки. З’ясовано, що в основу відмінності між дітьми можна покласти комплексну властивість - рівень розумового розвитку, який охоплює научуваність і знання дитини. На основі аналізу психолого-педагогічних умов організації і проведення позакласної роботи з математики були сформульовані вимоги до методики проведення цієї роботи:
методика повинна керуватися принципом повної реалізації вікових пізнавальних можливостей дітей;
вона повинна забезпечувати варіативність умов, у яких протікає робота вчителя та учня;
методика повинна сприяти оптимальному розвитку кожного школяра;
навчання за даною системою повинно забезпечувати кожному учневі фізичне і психологічне здоров’я.
3. Для досягнення поставлених задач розроблена система годин цікавої математики.
Сформульовано вимоги до годин цікавої математики:
практичні завдання цих занять повинні викликати в учнів відчуття трудності процесу їх розв’язання;
заняття повинні знайомити школярів з оригінальними методами розв’язування різноманітних завдань;
заняття повинні нести відомості про навколишнє середовище, знайомити на інтуїтивному рівні з розділами математики, які у початковій школі не вивчаються;
заняття повинні бути цікавими, сприяти розвитку позитивної мотивації до вивчення предмету математики;
завдання повинні відповідати навчальним можливостям учнів.
Сформульовано основні вимоги до системи годин цікавої математики:
система повинна сприяти розвиваючому навчанню, оптимальному розвитку кожної дитини зокрема;
система повинна забезпечувати зростання самостійності учнів, позитивно впливати на їх математичні вміння й навички;
система повинна здійснювати пропедевтичну функцію у вивчанні математики;
система повинна враховувати сучасні умови шкільної практики, бути зручною для роботи вчителя.
4. Такий підхід до занять годин цікавої математики, проведення формуючого експерименту дозволили визначити ефективність системи навчання. Результативність дослідження оцінювалася на основі виконання учнями контрольної роботи; порівняння успішності у навчанні на основі початкового і кінцевого зрізів у контрольному та експериментальному класах; бесід та спостережень.
Результати експерименту показали, що практична реалізація запропонованої системи дозволяє:
підвищити загальний рівень з математики;
розвивати інтерес учнів до математики;
активізувати самостійну пізнавальну діяльність молодших школярів;
формувати вміння доказово міркувати у процесі навчання;
розвивати такі якості мислення учнів, як глибина, гнучкість, стійкість, економність, усвідомленість.
Проведення годин цікавої математики дозволяє значно підвищити рівень научуваності не лише сильних учнів, а й середніх і навіть слабких.
Підсумовуючи загалом, відзначимо: поставленні завдання вирішені, мета дослідження досягнута.
В сучасній школі є всі можливості для створення нових ефективних засобів математичного розвитку молодших школярів, для вивчення закономірностей і тенденцій, що допомагають спрямувати їхню навчальну діяльність.

Список використаної літератури

1.     Амосова Н.В. Математические олимпиады школьников // Начальная школа. - 1995. - №5. - С.13-19.
2.     Багрій Н.І., Литовчинко З.М. Екскурсії з математики // Початкова школа. - 1991. - №1. - С.41-43.
3.     Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. - М.: Просвещения - 1971. - 462с.
4.     Бантова М.О., Бельтюкова Г.В., Полевщикова О.М. Методика викладання математики в початкових класах. - К.: Вища школа, 1977.
5.     Богданович М.В. Математика 3 кл. - К.: Освіта. - 2003.
6.     Богданович М., Козак М., Король Я. Методика викладання математики в початкових класах: Навчально-методичний посібник. - К.: А. С.К. - 1098. - 352с.
7.     Богданович М., Хайруліна Т., Шпакова В. Методика проведення математичних ранків // Початкова школа. - 1998. - №40. - С.18-21.
8.     Богданович М., Царінна О. Математичні олімпіади в початкових класах // Початкова школа. - 1999. - №2. - С.27-29.
9.     Вітанов Т. О работе математических кружков для младшых школьников // Математика в школе. - 1991. - №2. - С.72-74.
10.           Гришко О.І. Формування у молодших школярів умінь доказово міркувати в процесі навчання математики: Дис. … канд. пед. Наук: 13.00.01. - К., 1994. - 168с.
11.           Друзі Б.Г. Творчі вправи з математики для початкових класів. - К.: Радянська школа. - 1988. - 144с.
12.           Друзі Б. математична мозаїка. - К.: Веселка. - 1991.
13.           Друзь Б.Г. Формування пізнавальних інтересів до математики в учнів молодшого шкільного віку: Дис. … канд. пед. Наук: 13.00.02. - К., 1971. - 223с.
14.           Друзь З.В. Нестандартні завдання як засіб стимулювання пізнавальних інтересів молодших школярів: Дис. … канд. Пед. Наук: 13.00.01. - Кривий ріг, 1997. - 178с.
15.           Дутко Я.М. Зв'язок уроків і позакласних занять з математики - засіб підвищення знань учнів // Початкова школа. - 1998. - №4. - С.35.
16.           Дутко Я.М. Математичний ранок // Початкова школа. - 1984. - №7.
17.           Дюдіна О. Математичні олімпіади в початковій школі // Початкова школа. - 2003. - №3. - С.34-36.
18.           Злоцкий Г.В. Некоторые приемы организации внеклассной работы по математике: [Метод. рекомендации] // Начальная школа. - 1989. - №6. - С.29-32.
19.           Кислова Н.В. Организация и проведение предметных олимпиад в начальных классах // Начальная школа. - 1992. - №1. - С.27.
20.           Клименченко Д.В. Збірник вправ з математики для початкових класів. - к.: Радянська школа, 1987. - 96с.
21.           Клименченко Д.В. Математичні олімпіади // Початкова школа. - 1985. - №12. - С.29.
22.           Контрольні роботи з математики у 3 класі/ М.В. Богданович, М.В. Козак, О.П. Корчевська, К.П. Маланюк. - Тернопіль: Підручники і посібники, 1996. - 32с.
23.           Корчевська О.П. Цікава математика 1-4 класи. - Тернопіль: Астон. - 2002.
24.           Корчевська О.П., Кордуба Н.С. Диференційовані контрольні роботи з математики для 3 класу. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2000. - 32с.
25.           Ксенко О.В. Роль олімпіади в системі позаурочної роботи з математики // Математика в школах України. - Харків. - 2004. - №25. - С.22-23.
26.           Кушнерук Е.Н. Для внеклассной работы по математике // Начальная школа. - 1976. - №6.
27.           Кушнерук Е.Н., Айзенберг М.М. Для внекласно работы по математике // Начальная школа. - 1977. - №6.
28.           Лоповок Л.М. Сборник задач логического характера. - К.: Радянская школа, 1972. - 151с.
29.           Михайлик М.М. Алгебраїчні ігри в позаурочний час // Початкова школа. - 1986. - №4.
30.           Моляко В.А. Психология решения школьниками творческих задач. - К.: Радянская школа, 1983. - 94с.
31.           Морокішко С.П., Чепелєв В.І. Позакласна робота з арифметики. - К.: Радянська школа. - 1966.
32.           Моцик Н.Д., Іванова Л.С. Позакласна робота з математики у початкових класах. - Тернопіль: СМП "Астон". - 2001.
33.           О факультативах по математике // Математика в школе. - 1987. - №4. - С.14-16.
34.           Перькова О.И., Сезонова Л.И. Внимание, головоломка // Начальная школа. - 1991. - №6.
35.           Пичурин Л.Ф. Воспитание школьников в процессе обучения математике. Из опыта работы. - М.: Просвещение, 1981.
36.           Пікуль Л.Ф. Математична олімпіада // Початкова школа. - 1990. - №3.
37.           Савченко О.Я. Розвиток пізнавальної самостійності молодших школярів. - К.: Радянська школа, 1982. - 176с.
38.           Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. - М.: Просвещение, 1988. - 175с.
39.           Токар Н.Г., Вельдбрехт Д.О. Позакласна робота з математики як засіб оптимізації навчання учнів // Радянська школа. - 1986. - №2. - С.44-50.
40.           Фонин Д.С., Целищева Н.Н. и др. Для внекласных занятий по математике // Начальная школа. - 1981. - №6.
41.           Цыварьова М.А. Метод проектов во внеклассной роботе по математике // Начальная школа. - 2004. - №7. - С.45-46.
42.           Шустер Б. Материал для внеклассной работы. - К.: Радянська школа. - 1984.
43.           Шустер Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. Книга для учителя. - Изд.2-е, перев. - Мн.: Народная освета, 1984. - 224с.

Додатки

Додаток 1

Анкета для вчителів початкових класів
Школа______________ Клас _______________
1. Чи використовуєте Ви позакласну роботу з математики у своїй діяльності?
а) Так;
б) Ні.
2. Які форми позакласної роботи з математики переважають у вашій роботі?
а) факультативи;
б) гуртки;
в) математичні ранки;
г) олімпіади;
д) голини цікавої математики;
е) Ваша відповідь.
3. У якому класі варто розпочати позакласну роботу з математики?
а) у 1;
б) у 2;
в) у 3;
г) у 4.
4. Як часто Ви використовуєте позакласну роботу з математики?
а) регулярно;
б) епізодично;
в) дуже рідко;
г) ваш варіант.
5. Чи проводили Ви дослідження ефективності позакласної роботи з математики?
а) Так;
б) Ні.
5. Які, на вашу думку, форми й способи проведення позакласної роботи з математики найдоцільніші й найефективніші в початкових класах?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
6. З якими учнями Ви переважно проводите позакласну роботу з математики?
а) сильними;
б) слабкими;
в) середніми;
г) всіма.
7. На розвиток якої якості, на вашу думку, потрібно робити акцент під час проведення позакласної роботи з математики?
а) оволодіння матеріалом;
б) вироблення навичок самостійної роботи;
в) розвиток мислення;
г) закріплення умінь та навичок;
д) закріплення інтересу до предмету;
е) ваш варіант.
8. Чи оцінюються учні під час позакласної роботи?
а) Так;
б) Ні.

Додаток 2

Система задач для класної олімпіади, запропонована М. Богдановичем та О. Царінною.
2 клас.
1. Утвори двоцифрові числа, використовуючи тільки цифри 0, 2, 5 і 7. У кожному числі цифри повинні бути різні. Всі числа запиши у порядку від меншого до більшого.
2. Серед чисел 7, 10, 12, 15, 18, 23, 27, 30 знайди тільки три числа, сума яких дорівнюватиме 50.
3. Роман розповідав сестрі про зустріч з футболу команд "Шахтар" і "Карпати".
У першому таймі з рахунком 2: 1 виграли "Карпати", але у другому виграла команда "Шахтар" з рахунком 4: 2.
А яка ж команда перемогла? - запитала сестра.
Що мав відповісти Роман?
4. Від дуба до сосни 62 м. Їжак рухався у напрямку від дуба до сосни, а заєць - йому на зустріч. Хто з них був далі від дуба і на скільки метрів, якщо їжак пройшов 18 м, а заєць - 43 м?
5. До годівнички спочатку прилетіло 10 голубів, а потім горобців. Голубів було на 4 більше, ніж горобців. Скільки всього птахів прилетіло?
6. Накресли який-небудь прямокутник і поділи його двома відрізками на три трикутники і один п’ятикутник.
Резервна
Три дошкільниці - Галинка, Маринка й Олеся - прийшли на святковий ранок у платтях різного кольору: жовтому, рожевому й синьому. Галинка була не в жовтому, Маринка - не в жовтому і не в рожевому. В якому платті була кожна дівчинка?
3 клас.
1. Запиши всі трицифрові числа, використовуючи тільки цифри 0, 3 і 7. Повторювати цифри можна.
2. Використовуючи 4 рази цифру 5, знаки дій і дужки, запиши число 12.
3. На біговій доріжці рівномірно поставлені стовпчики. Від 1 до 4 стовпчика бігун добіг за 12 с. Через скільки часу після цього він буде біля 7 стовпчика? (Швидкість бігу однакова).
4. Дівчатка вирішили посадити 24 кущі аґрусу, малини і смородини. Кущів аґрусу має бути стільки, скільки кущів малини, а кущів смородини у 2 рази більше, ніж аґрусу. Скільки кущів кожного виду посадили дівчатка?
5. Двоє рибалок вирішили зварити на вогнищі юшку. Перший рибалка дав 5 рибин, а другий - 4. Тільки вони зварили юшку, як підійшов мисливець. За свою порцію юшки він дав їм 18 грибів. Як повинні рибалки поділити ці гриби між собою?
6. З чотирьох однакових квадратів склади один великий. Знайди його периметр, якщо периметр малого квадрата 8 см.
Резервна
Є дві каструлі - на 5 л і на 3 л. Як з їх допомогою набрати з річки 4 л води?
4 клас
1. Запиши всі чотирицифрові числа, які можна утворити з цифр 0 і 1.
2. У прикладі додавання однаковими буквами позначено однакові цифри:
АБВГ
+АБДГ
ВГДАГ
Знайди цифри, які відповідають буквам.
3. У токарному цеху виточують деталі з металевих заготовок. З однієї заготовки виходить одна деталь. Під час виточування відходять стружки. Зі стружок, одержаних при виготовленні 6 деталей, можна виплавити одну заготівку. Скільки всього деталей вийде з 36 заготовок?
4. Карлсон з’їв 800 г меду за 3 хв., Вінні-Пух - у 3 рази швидше. За скільки хв. вони можуть з’їсти цей мед разом?
5. До майстерні звезли 10 м червоного і білого шовку, всього на 88 грн. Скільки привезли окремо червоного і білого шовку, якщо ціна білого - 7 грн. за метр, а червоного - 10 грн. за метр?
6. На квадратній ділянці - 4 дерева. Треба цю ділянку поділити на 4 однакові частини, щоб на кожній було по одному дереву.