Контрольная работа Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024

Контрольна робота

З дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика

Прізвище,ім’я, по-батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прізвище та ініціали викладача

Степахно Ірина Василівна

Київ 2009 рік

Зміст

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Список використаної літератури

Завдання 1

В ящику 50 куль: 36 жовтих і 14 синіх. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:

а) жовта; б) синя.

Розв’язання:

Ймовірність того, що з ящика наймання виймають жовту кулю становить відношення кількості жовтих кульок до загального числа кульок:

а) Рч = 36/50 = 0,72

Ймовірність того, що з ящика наймання виймають синю кулю становить відношення кількості синіх кульок до загального числа кульок:

б) Рс = 14/50 = 0,28.

Відповідь: а) 0,72; б) 0,28.

Завдання 2

Імовірність несплати податку для кожного з n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m₁ і не більше m₂ підприємців.

n=300; p=0,05; m₁=25; m₂=60

n=500; p=0,05; m₁=10; m₂=250

Розв’язання:

Якщо випадкова величина попадає в інтервал .

Позначимо шукану імовірність Р_n (m).

Ми доведемо що має місце наступна формула Бернуллі:

Позначимо через В_m складна подія, що полягає в тому, що в n досвідах подія А відбулося точно m раз. Запис буде означати, що в першому досвіді подія А відбулося, у другі і третьому - не відбулися і т.п. Тому що досвіди проводяться при незмінних умовах, те

Подія В_m можна представити у виді суми всіляких подій зазначеного виду, причому в кожнім доданку буква А без риси зустрічається точно m раз. Доданки в цій сумі несумісні й імовірність кожного доданка дорівнює Щоб підрахувати кількість доданків, помітимо, що їх стільки, скільки є способів для вибору m місць для букви А без риси. Але m місць з n для букви А можна вибрати способами. Отже,

Завдання 3

Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію D (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ _Х.

Х	1	3	5	7	11
p	0,10	0,15	0,42	0,25	0,08

Розв’язання.

а) Математичне сподівання величини визначається як:

Запишемо результати в таблиці.

Х	1	3	5	7	11
P	0,10	0,15	0,42	0,25	0,08
Х*Р	0,10	0,45	2,10	1,75	0,88

б) Дисперсія визначається як:

Х	1	3	5	7	11
Р (Х)	0,10	0,15	0,42	0,25	0,08
Х - М (Х)	-4,28	-2,28	-0,28	1,72	5,72
(Х - М (Х)) ²	18,32	5, 20	0,08	2,96	32,72
P (Х) * (Х - М (Х)) ²	1,83	0,78	0,03	0,74	2,62

Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.

D (Х) =6,00.

в) середнє квадратичне відхилення δ_х знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.

Завдання 4

Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію D (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ _Х.n=3; p=0,5

Розв’язання.

Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:

Підставивши значення параметрів, отримаємо:

Запишемо ряд розподілу цієї величини:

Таблиця 1

m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P_n (m)

Таблиця 2

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P_n (Х)	1.29E-01	9.68E-03	4.84E-04	1.82E-05	5.45E-07	1.36E-08	2.92E-10	5.47E-12	9.12E-14	1.37E-15

Рис.1. Графік біноміального розподілу

а) Математичне сподівання величини визначається як:

Запишемо результати в таблиці 3.

Таблиця 3

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P_n (Х)	1.29E-01	9.68E-03	4.84E-04	1.82E-05	5.45E-07	1.36E-08	2.92E-10	5.47E-12	9.12E-14	1.37E-15
ХP (Х)	1.29E-01	1.94E-02	1.45E-03	7.26E-05	2.72E-06	8.17E-08	2.04E-09	4.38E-11	8.21E-13	1.37E-14

б) Дисперсія визначається як:

Таблиця 4

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Сума
Х-M (Х)	0.850	1.850	2.850	3.850	4.850	5.850	6.850	7.850	8.850	9.850	53.500
(Х-M (Х)) ²	0.723	3.423	8.123	14.823	23.523	34.223	46.923	61.623	78.323	97.023	368.725
P_n (Х)	0.129	0.010	4.84E-04	1.82E-05	5.45E-07	1.36E-08	2.92E-10	5.47E-12	9.12E-14	1.37E-15	0.139
(Х-M (Х)) ²P (m)	0.093	0.033	3.93E-03	2.69E-04	1.28E-05	4.66E-07	1.37E-08	3.37E-10	7.14E-12	1.33E-13	0.131

Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.

D (Х) =0,131.

в) середнє квадратичне відхилення δ_х знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.

Завдання 5

Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки.

a=5

x	1	2	4	5
f (x)	0,033	0,081	0,081	0,033

a=2

x	0,5	1	3	3,5
f (x)	0,13	0,24	0,24	0,13

Розв’язання.

а) М (Х) =5.

Нормальний закон розподілу описується формулою:

Знайдемо середньоквадратичне відхилення.

Дисперсія визначається як:

де М (Х) - математичне сподівання.

Математичне сподівання обчислюється за формулою:

Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 5.

Таблиця 5

Допоміжні розрахунки

Сума

	1	2	4	5	12,00
f (x)	0,033	0,081	0,081	0,033	0,228
	16,000	9,000	1,000	0,000	26,000
	0,528	0,729	0,081	0,000	5,928

Отже, D (X) = 5,928

Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:

б) М (Х) =2.

Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 6.

Таблиця 6

Допоміжні розрахунки

					Сума
x	0,5	1	3	3,5	8,00
f (x)	0,13	0,24	0,24	0,13	0,74
	2,25	1	1	2,25	6,50
	0,29	0,24	0,24	0,29	1,07

Отже, D (X) = 1,07.

Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:

Завдання 6

Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисячах гривень).

скласти варіаційний ряд вибірки.

побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.

обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Розв’язання.

Складемо варіаційний ряд.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
73	68	70	65	73	71	66	69	78	70	67	67	67	76	71	72	68	74	73	70

Побудуємо інтервальний ряд (4 інтервали) з рівними інтервалами. Ширина інтервалу ряду визначається співвідношенням:

де і - відповідно максимальне та мінімальне значення реалізацій випадкових величин.

; ; n = 4.

Таблиця 7

І							ІІ							ІІІ						ІV
65,00 - 68,25							68,25 - 71,50							71,50 - 74,75						74,75 - 78,00
65	66	67	67	67	68	68		69	70	70	70	71	71		72	73	73	73	74		76	78
f=7							6							5						2
S=7							13							18						20

Побудуємо гістограму розподілу.

Рис.1. Гістограма розподілу

Побудуємо полігон частот як лінію, що сполучає середини інтервалів

Рис.2. Полігон частот

3) Обчислимо моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Мода М_о - найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту.

Мода визначається, як:

де х_о та h - відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу;

- частоти модального, передмодального та післямодального інтервалу.

З таблиці 2.1 найбільше число реалізацій величини з інтервалу 65,00 - 68,25. Це модальний інтервал, ширина якого h=3,25, нижня межа x_o=65,00, частота f_mo=7, передмодальна частота f_mo-1=0, післямодальна частота f_mo+1=6. Маємо:

Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його дві рівні за обсягом частини:

де f_me - частота медіанного інтервалу;

S_fme-1 - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу:

В інтервальному ряду медіанним буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує або дорівнює половині обсягу сукупності.

Кумулятивна частота S_me3= 13, S_me2-1= 7, f_me= 6, х_о= 68,25, h=3,25.

Підставивши у (2.2), маємо:

Середнє арифметичне обчислюється за формулою:

Дисперсія обчислюється за формулою:

Тому знайдемо спочатку середній квадрат значень.

Ексцес Ek характеризує крутизну кривої розподілу.

де - центральний момент четвертого порядку.

У нашому випадку:

Отже, крива розподілу має лівосторонній нахил.

Результати обчислень наведені у табл.8.

Таблиця 8

	65,00 - 68,25	68,25 - 71,50	71,50 - 74,75	74,75 - 78,00	Сума
x	66.63	69.88	73.13	76.38	286.00
x²	4 438.89	4 882.52	5 347.27	5 833.14	20 501.81
f	7	6	5	2	20.00
S	7	13	18	20	58.00
dj	0.35	0.30	0.25	0.10

1.00

xjdj

23.32

20.96

18.28

7.64

70.20

xj2dj

1 553.61

1 464.75

1 336.82

583.31

4 938.50

(xcp-m) 3

-45.69

-0.03

25.03

235.46

214.76

(xcp-m) 3dj

-15.99

-0.01

6.26

23.55

13.80

(xcp-m) 4

163.34

0.01

73.20

1 453.94

1 690.50

(xcp-m) 4dj

57.17

0.00

18.30

145.39

220.87

Завдання 7

Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності за даними вибірки:

x_i	2	5	9	11	12	15	18	19	21
m_i	1	2	3	8	19	18	16	13	9

Рис.1.

Нормальний розподіл задається функцією:

Розрахуємо значення середньоквадратичного відхилення (таблиця 9.1).

Таблиця 9.1

x_i

Всього

m_i

p_і

0,01

0,02

0,03

0,09

0,21

0, 20

0,18

0,15

0,10

1,00

Σх_ір_і

0,02

0,11

0,30

0,99

2,56

3,03

3,24

2,78

2,12

	15,16
(х_і - х_ср)	-13,16	-10,16	-6,16	-4,16	-3,16	-0,16	2,84	3,84	5,84	-24,42
(х_і - х_ср) ²	173,11	103,17	37,91	17,28	9,97	0,02	8,08	14,77	34,14	398,46

За методом χ²-критерію узгодженості Пірсона порівнюється з критичним значенням відносна сума квадратів відхилень дослідного числа попадань в кожний інтервал h_k від теоретичного їх числа fp_k, де p_k -ймовірність попадання величини х в k-й інтервал.

Теоретичний розподіл можна вважати правдоподібним при рівня значущості α, якщо буде виконуватись нерівність:

де -квантиль χ²-критерію розподілу Пірсона, що відповідає значенню параметра f=k-3;

p_j=F (b_k - a_k) = -

теоретичне значення попадання параметру в к-й інтервал

Параметри теоретичного розподілу вибираємо, виходячи з принципу максимальної правдоподібності: .

Таблиця 9.2

Результати обчислень перевірки гіпотези про нормальний розподіл

k	Значення	p_k	f_j	(f_j-np_k) /np_k
1	2	0,425	1	0,177
2	5	0, 193	2	1,077
3	9	0,092	3	2,619
4	11	0,073	8	8,971
5	12	0,067	19	22,579
6	15	0,060	18	18,997
7	18	0,066	16	12,523
8	19	0,071	13	8,651
9	21	0,088	9	3,856
Сума	112	1,134	89	79,451

Рис.1. Емпіричні дані розподілу

=== 10,48773.

Оскільки 79,45 > 10,4873, то гіпотеза про нормальний закон розподілу не справджується.

Список використаної літератури

Дідиченко М.П. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. - Харків, 1996. - 208 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. для студ. вузов. - 7. изд., стереотип. - М.: Высшая школа, 2001. - 479 с.
Задорожня Т.М., Коляда Ю.В., Мамонова Г.В. Збірник задач з теорії ймовірності та математичної статистики (для студентів економічних спеціальностей): Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Державна податкова адміністрація України; Академія держ. податкової служби України. - Ірпінь: Академія ДПС України, 2001. - 76 с.
Колемаев В.А. Теория вероятностей в примерах и задачах. Учеб. пособие. - М.: ГУУ, 2001. - 87 с.
Малайчук В.П., Петренко О.М., Рожковський В.Ф. Основи теорії ймовірності і математичної статистики: Навч. посібник / Дніпропетровський національний ун-т. - Д.: РВВ ДНУ, 2001. - 163 с.
Салтыкова О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / Восточный ин-т экономики, гуманитарных наук, управления и права. - Уфа: Восточный университет, 2001. - 77 с.
Тимченко Л.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів економічних спеціальностей. Харків: ХДПУ, 1999. - 140 с.
Трошин Л.И. Теория вероятностей: Учеб. - практ. пособие / Государственный комитет РФ по статистике; Межотраслевой ин-т повышения квалификации руководящих работников и специалистов в области учета и статистики - М.: МИПК учета и статистики, 2001. - 232 с.
Фетисова Т.М., Тарасова О.Ю., Потапов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие по решению задач / Южно-Уральский гос. ун-т. Златоустовский филиал. Кафедра высшей математики №3. - Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. - 82 с.
Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. естеств. спец. вузов. - Минск: Новое знание, 2000. - 206 с.
Филиппенко В.И. Элементы теории вероятностей: Учеб. пособие по курсу "Теория вероятностей" / Криворожский гос. педагогический ин-т. - Кривой Рог, 1993. - 40 с.

1. Реферат Субъекты РФ конституционная характеристика типология и основы организации
2. Реферат на тему Good Country People Essay Research Paper Damian
3. Реферат Система кадрового обеспечения как элемент кадровой политики предприятия
4. Реферат на тему Антропология как наука
5. Реферат Управленческий учет затрат на содержание рабочей силы
6. Курсовая Государственный бюджет формирование и использование
7. Реферат на тему Federalism Essay Research Paper Federalism When the
8. Реферат на тему Рационализм Декарта
9. Реферат Война Коньякской лиги
10. Конспект на тему Опыт анализа насилия в семье за 2000 г