Задание 1
Раскрыть сущность экономико-математической модели. Привести классификацию экономико-математических моделей; дать понятие экономико-математического моделирования и рассмотреть его этапы.
С понятием «моделирование экономических систем» (а также математических и др.) связаны два класса задач:
задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная область будущего моделирования.
Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).
Модель – изображение, представление объекта, системы, процесса в некоторой форме, отличной от реального существования.
Различают физическое и математическое моделирование.
Классификация моделей:
— вещественные
— символьные
— словесно-описательные
1.     математические
2.     аналитические
·        имитационные
·        структурные
= формальные
= функциональные
Этапы практического моделирования
1.                Анализ экономической системы, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования.
2.                Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации.
3.                Верификация модели и уточнение ее параметров
4.                Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их необходимая валидация (исправление, корректирование).
Задание 3
В качестве примера построим модель оптимального размещения активов для некоторого гипотетического банка, работающего более двух лет, баланс которого приводится в таблицах ниже.
Пассив баланса

Наименование статей баланса	Сумма, млн. руб.	Риск одновременного снятия, %
Средства банков на корреспондентских счетах	5,1	25
Кредиты и депозиты банков (включая НБ РБ)
Кредитные ресурсы, полученные от других банков, депозиты других банков до востребования	2,8	55
Кредитные ресурсы, полученные от других банков, и депозиты других банков с договорными сроками	3,4	0
Средства клиентов
Остатки на текущих (расчетных) счетах юридических и  физических лиц	196	25
Вклады (депозиты) юридических и физических лиц:
до востребования	5,8	25
с договорными сроками	85
Прочие пассивы	7,6
Итого пассивов	305,7
Собственный капитал банка	68

Актив баланса

Наименование статей баланса	Сумма, млн. руб.	Доход-ность, %	Степень риска, %	Ликвид-ность, %
Касса и приравненные к ней средства	х1	0	0	100
Средства на корреспондентских счетах в банках
Средства в НБ РБ	х2	0	0	100
Средства в банках стран – членов ОЭСР до востребования	х3	5	30	75
Средства в банках стран, не являющихся членами ОЭСР, до востребования	х4	7	65	55
Обязательные резервы в НБРБ	33,5	0	0	0
Кредиты и депозиты банкам
Кредиты банкам-резидентам РБ под обеспечение государственных ценных бумаг РБ в бел. руб.	х5	32	0	100
Депозиты в банках-резидентах РБ под гарантии НБ РБ	х6	25	0	100
Кредиты юридическим и физическим лицам:
обеспеченные залогом ценных бумаг, эмитированных  юридическими лицами	х7	38	100	0
обеспеченные гарантийными депозитами в бел. руб. и СКВ	х8	33	0	0
обеспеченные залогом имущества	х9	39	100	0
обеспеченные гарантиями и поручительствами юридических лиц	х10	34	100	0
Государственные ценные бумаги РБ, номинированные в бел. руб.	х11	25	0	100
Основные средства и нематериальные активы	12,4	0	100	0

Запишем целевую функцию, в данной модели представляющую процентный доход банка от размещения активов, который следует максимизировать:
f(x)= 0,05х₃ + 0,07х₄ + 0,32х₅ + 0,25х₆ + 0,38х₇ + 0,33х₈ + 0,39х₉ + 
+ 0,34х₁₀ + 0,25х₁₁→max
Первое ограничение следует из условия баланса: сумма активных статей баланса должна быть равна сумме пассивных его статей + собственный капитал
х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + 33,5 + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ + х₉ + х₁₀ + х₁₁ + 12,4 = 373,7
Второе ограничение следует из норматива по достаточности капитала, при этом предположим, что R = 0

Третье ограничение следует из норматива мгновенной ликвидности, которое представляет собой отношение балансовых сумм активов и пассивов до востребования и с просроченными сроками:

Четвертое ограничение следует из норматива краткосрочной ликвидности, которое представляет соотношение фактической и требуемой ликвидности:

Пятое ограничение запишем исходя из минимально допустимого значения соотношения ликвидных и суммарных активов баланса:

Шестое ограничение следует из ограниченности совокупной суммы крупных рисков.
Пусть х₅≥0,1Ч68 и х₆≥0,1Ч68, тогда
х₅ + х₆≤6Ч68
Седьмое ограничение следует из ограниченности средств, размещенных в банках стран — не членов ОЭСР
х₄≤68
Далее запишем ограничения, вытекающие из норматива максимального размера риска на одного клиента, считая для простоты, что одна статья баланса соответствует одному клиенту:
х₃≤0,25Ч68; х₄≤0,25Ч68; х₅≤0,25Ч68;
х₆≤0,25Ч68; х₇≤0,25Ч68; х₈≤0,25Ч68;
х₉≤0,25Ч68; х₁₀≤0,25Ч68
В завершение напишем условие неотрицательности:
х_j ≥ 0, j = 1,11 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Таким образом, все вышеперечисленные ограничения представляют собой модель оптимального распределения активов банка с рассмотренным выше балансом.
Задание 4
Построить уравнение регрессии, описывающее зависимость прибыли банка (у) от объема межбанковских кредитов и депозитов (х), оценить ее качество и степень зависимости. С помощью построенной регрессии прогнозировать, какой будет средняя прибыль банка при достижении объема межбанковских кредитов и депозитов величины 53 млн. руб.

№ банка	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Кредиты и депозиты	18	23	28	29	34	36	37	42	44	45	49	50
Прибыль	12	17	15	25	20	32	25	35	30	40	41	45

Решение
Информацию, представленную в исходных данных представим графически:
\s
Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов носит линейный характер. Кроме того, исследуется зависимость прибыли банка только от одного фактора — объема межбанковских кредитов и депозитов, поэтому регрессию будем строить в виде
у = а + bх
т.е. это будет простая линейная регрессия. Для расчета ее параметров воспользуемся известными формулами:

Для этого в рабочей таблице рассчитаем нужные суммы:

i	xi	yi	xiyi	xi2	yi2
1	18	12	216	324	144
2	23	17	391	529	289
3	28	15	420	784	225
4	29	25	725	841	625
5	34	20	680	1156	400
6	36	32	1152	1296	1024
7	37	25	925	1369	625
8	42	35	1470	1764	1225
9	44	30	1320	1936	900
10	45	40	1800	2025	1600
11	49	41	2009	2401	1681
12	50	45	2250	2500	2025
∑	435	337	13358	16925	10763

Подставим результаты, полученные в таблице в формулы:


Таким образом, уравнение регрессии, описывающее зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов, имеет вид:
у = –7,71 + 0,987х
Оценим качество построенной регрессии. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации, используя формулу:

Значение коэффициента детерминации достаточно близко к единице, поэтому качество построенной регрессии хорошее. Можно утверждать, что изменение прибыли банка на 86,8% зависит от изменения межбанковских кредитов и депозитов, и на 13,2% – от прочих факторов.
Степень зависимости между исследуемыми показателями оценивается на основании коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому имеем достаточно сильную линейную зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов.
Так как качество построенной регрессии хорошее, ее можно использовать для прогнозирования. Подставим прогнозное значение х_пр = 53 в построенное уравнение регрессии:
у_пр = –7,71 + 0,987Ч53 = 44,623 (млн. руб.)
Таким образом, если объем межбанковских кредитов и депозитов достигнет 53 млн. руб., то средняя прибыль коммерческого банка составит 44 млн. 623 тыс. руб.
Задание 5
За компаниями A, B и С проводились наблюдения в течение трех периодов. Данные в процентах приводятся в таблице ниже. Оценить ожидаемую доходность и риск каждой акции, на основании этих оценок дать сравнительную характеристику. Рассчитать ковариации доходностей акций друг с другом. Дать определение эффективного портфеля ценных бумаг и построить модели, позволяющие определить структуру эффективных портфелей.

Период наблюдения	Доходность компании А	Доходность компании В	Доходность компании С
1	27	25	22
2	30	20	18
3	33	26	16

Решение
Оценим ожидаемую доходность каждой акции:

Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:

Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными для инвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самую высокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собой компании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемую доходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора к риску.
Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:



Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний А и С отрицательна, т.е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разных направлениях. Ковариации доходностей акций компаний А и В, В и С положительные, что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этих компаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одном направлении.
Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющий минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.
пусть х_А, х_В, х_С — доли капитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Сумма долей равна единице, т.е.:
х_А + х_В + х_С = 1
Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С, выражается формулой:

а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой

то, подставляя рассчитанные значения вариаций, ковариаций, получаем модели, определяющие структуру эффективных портфелей:


х_А + х_В + х_С = 1


х_А + х_В + х_С = 1
Задание 6
Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведения операций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено 500000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75% годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношение курсов валют было следующее: RUR/€ = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операции прогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/€ = 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/€ = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб. Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.
Решение
В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающее решения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банка определило для себя три стратегии:
А₁ — разместить 500000 руб. на еврорынке;
А₂— разместить 500000 руб. на рынке США;
А₃— разместить 250000 руб. на рынке США и 250000 руб. на еврорынке.
У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозам курсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ее размерность будет 3Ч2 в соответствии с количеством стратегий.
Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банк в каждой из возможных ситуаций.
Рассчитаем элемент платежной матрицы а ₁₁:
1. Конвертируем валюту:
500000/37,7 = 13262,6 €
2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынке на месяц:
13262,6Ч(1+0,077/12) = 13347,7 €
3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегии природы:
13347,7Ч36,3 = 484,521 руб.
4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнем рынке:
500000Ч(1+0,075/12) = 503125 руб.
5. Находим чистый доход от операции
484521,6 – 503125 = –18603,4 руб.
Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате расчетов она принимает вид:

	П1	П2
A1	-18603,45	6757,18
A2	7344,87	-21617,96
A3	5629,29	7430,39

Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:
1.     Критерий Вальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду, стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей. Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А₃, т.е. разместив по 250000 тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29 руб.

2.     Критерий Сэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу, считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ее определения построим дополнительную матрицу R:
Стратегия А₃ соответствует минимальному из максимальных рисков, т.е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250000 руб. на обоих рынках.
3.     Критерий Гурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр γ в нашем случае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:
a₁ = 0,4Ч(-18603,45) + 0,6Ч6757,18 = -3387,07
a₂ = 0,4Ч (-21617,96) + 0,6Ч7344,87 = -4240,26
a₃ = 0,4Ч5629,29 + 0,6Ч7430,39 = 6709,95
Таким образом при γ = 0,4, если руководство банка настроено оптимистично оно принимает решение вложить по 250000 руб. на обоих рынках.
4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известны вероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска. Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу. Рассчитаем а₁, а₂, а₃:
a₁ = 0,4Ч (-18603,45) + 0,6Ч 6757,18 = -3387,07
a₂ = 0,4Ч7344,87 + 0,6Ч (-21617,96) = -10032,82
a₃ = 0,4Ч5629,29 + 0,6Ч7430,39 = 6709,95
Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А₃.
Задание 7
Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах, соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальные инвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных. Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображений сумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должно превышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, так как они располагаются достаточно близко друг к другу.
Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам, в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставка дисконта равна 15%.

Номер проекта	I0	Доходы по годам
		первый	второй	третий	четвертый	пятый
первый	1250	-200	600	1200	1300	1400
второй	1300	100	830	700	570	720
третий	1400	500	250	400	320	710
четвертый	2200	-330	1000	1150	1600	1800

Решение
Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:
 i = 1,2,3,4
Отсюда:
NPV₁ = 1258,12
NPV₂ = 558,68
NPV₃ = 22,78
NPV₄ = 835,05
Введем переменные. Пусть х_i, i = 1,2,3,4 характеризует i-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если х_i = 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если х_i = 1, то i-й проект следует инвестировать.
Используя введенные переменные запишем целевую функцию:
NPV = 1258,12х₁ + 558,68х₂ + 22,78х₃ + 835,05х₄
Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.
Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционных возможностей компании:
1250х₁ + 1300х₂ + 1400х₃ + 2200х₄≤5600
Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторые проекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами от других проектов:
-200х₁ + 100х₂ + 500х₃ - 300х₄≥0
Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммы расстояний:
100х₁ + 90х₂ + 120х₃ + 160х₄≤450
Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общее количество работников филиалов ограничено:
100х₁ + 120х₂ + 120х₃ + 150х₄≤450
Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалы одновременно строить нельзя:
х₂ + х₃ ≤1
Модель оптимального распределения инвестиций по проектам состоит в максимизации целевой функции при ограничениях, т.е.
NPV = 1258,12х₁ + 558,68х₂ + 22,78х₃ + 835,05х₄ (max)
1250х₁ + 1300х₂ + 1400х₃ + 2200х₄≤5600
-200х₁ + 100х₂ + 500х₃ - 300х₄≥0
100х₁ + 90х₂ + 120х₃ + 160х₄≤450
100х₁ + 120х₂ + 120х₃ + 150х₄≤450
х₂ + х₃ ≤1
0, если i-й проект не инвестировать
 x_i =
1, если i-й проект инвестировать, i=1,2,3,4