Контрольная работа Прогноз среднего значения цены
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Задача 1
Магазин торгует подержанными автомобилями. Статистика их потребительских цен накапливается в базе данных. В магазин пригоняют на продажу очередную партию небольших однотипных автомобилей. Как назначить их цену? Статистический подход позволяет дать прогноз среднего значения цены и доверительных интервалов для него.
Цена автомобиля зависит от множества факторов. К числу объясняющих переменных можно отнести, например, модель автомобиля, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем двигателя, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем производителя, количество цилиндров, время разгона до 100 км/час, пробег, потребление горючего, год выпуска и т.д. Первые из названных переменных очень важны при ценообразовании, но они – качественные. Традиционный регрессионный анализ, рассматриваемый в этом задании, предназначен для количественных данных. Поэтому, не претендуя на высокую точность, не будем включать их в эконометрическую модель. Сделаем выборку, например, только для автомобилей одной фирмы-производителя. Пусть, например, оказалось, что продано n= 16 таких автомобилей. Для упрощения выберем из базы данных цены yi (i = 1......16) проданных автомобилей и только две объясняющие переменные: возраст хi1 (i = 1, …..16) в годах и мощность двигателя хi2 (i = 1, ….16) в лошадиных силах. Выборка представлена в таблице:
I номер | yi , цена, тыс. у.е. | хi1 возраст,лет | хi2, мощность двигателя |
1 | 11 | 5,0 | 155 |
2 | 6 | 7,0 | 87 |
3 | 9,8 | 5,0 | 106 |
4 | 11 | 4,0 | 89 |
5 | 12,3 | 4,0 | 133 |
6 | 8,7 | 6,0 | 94 |
7 | 9,3 | 5,0 | 124 |
8 | 10,6 | 5,0 | 105 |
9 | 11,8 | 4,0 | 120 |
10 | 10,6 | 4,0 | 107 |
11 | 5,2 | 7,0 | 53 |
12 | 8,2 | 5,0 | 80 |
13 | 6,5 | 6,0 | 67 |
14 | 5,7 | 7,0 | 73 |
15 | 7,9 | 6,0 | 100 |
16 | 10,5 | 4,0 | 118 |
1. Построить поля рассеяния между ценой y и возрастом автомобиля х1, между ценой y и мощностью автомобиля x2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от х1 и y от х2. Найти точечные оценки независимых параметров
а0а1 модели y = а0 + а1 х1 + ε и
β1β2 модели y = β0 + а1 х1 + δ
2. Проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также ценой и мощностью двигателя х2. Для этого рассчитать коэффициенты парной корреляции ryx1 и ryx2 и проверить их отличие от нуля при уровне значимости α = 0,1.
3. Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации, F- и t- критериев при уровне значимости α = 0,05 и α = 0,10.
4. Проверить полученные результаты с помощью средств Microcoft Excel.
5. С помощью уравнений регрессии рассчитать доверительные интервалы для среднего значения цены, соответствующие доверительной вероятности 0,9. Изобразить графически поля рассеяния, линии регрессии и доверительные полосы.
На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст х1 равен 3 года. Мощность двигателя х2 = 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по моделям y = а0 + а1 х1 + ε и y = β0 + а1 х1 + δ с доверительной вероятностью 0,9.
Решение:
На основе поля рассеяния, построенного на основе табл. 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста автомобиля x1 описывается линейной моделью вида
y = а0 + а1 х1 + ε
где а0 и а1 – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.
Рисунок 1 – Поле рассеяния «возраст автомобиля-цена»
Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. 2), также построенного на основе таблицы 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от мощности автомобиля x2 описывается линейной моделью вида
y = β0 + β1 х1 + δ
где β0 и β1 – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.
Рисунок 2 – Поле рассеяния «мощность автомобиля-цена»
На основе табл. 1 исходных данных для вычисления оценок параметров моделей составляется вспомогательная табл. 1.1. Воспользуемся формулами и левой частью таблицы 1.1. для нахождения оценок а0 и а1.
Так как n = 16, получаем
= 145/16=9.0625
= 84.0/16=5.25
= 27.5625
= 365
= 460
i | yi | xi1 | xi12 | xi1 yi | yi2 | i | yi | xi2 | xi22 | xi2 yi |
1 | 11 | 5.0 | 25 | 55 | 121 | 1 | 11 | 155 | 24025 | 1705 |
2 | 6 | 7.0 | 49 | 42 | 36 | 2 | 6 | 87 | 7569 | 522 |
3 | 9,8 | 5.0 | 25 | 49 | 96,04 | 3 | 9,8 | 106 | 11236 | 1038,8 |
4 | 11 | 4.0 | 16 | 44 | 121 | 4 | 11 | 89 | 7921 | 979 |
5 | 12,3 | 4.0 | 16 | 49,2 | 151,29 | 5 | 12,3 | 133 | 17689 | 1635,9 |
6 | 8,7 | 6.0 | 36 | 52,2 | 75,69 | 6 | 8,7 | 94 | 8836 | 817,8 |
7 | 9,3 | 5.0 | 25 | 46,5 | 86,49 | 7 | 9,3 | 124 | 15376 | 1153,2 |
8 | 10,6 | 5.0 | 25 | 53 | 112,36 | 8 | 10,6 | 105 | 11025 | 1113 |
9 | 11,8 | 4.0 | 16 | 47,2 | 139,24 | 9 | 11,8 | 120 | 14400 | 1416 |
10 | 10,6 | 4.0 | 16 | 42,4 | 112,36 | 10 | 10,6 | 107 | 11449 | 1134,2 |
11 | 5,2 | 7.0 | 49 | 36,4 | 27,04 | 11 | 5,2 | 53 | 2809 | 275,6 |
12 | 8,2 | 5.0 | 25 | 41 | 67,24 | 12 | 8,2 | 80 | 1600 | 656 |
13 | 6,5 | 6.0 | 36 | 39 | 42,25 | 13 | 6,5 | 67 | 4489 | 435,5 |
14 | 5,7 | 7.0 | 49 | 39,9 | 32,49 | 14 | 5,7 | 73 | 5329 | 416,1 |
15 | 7,9 | 6.0 | 36 | 47,4 | 62,41 | 15 | 7,9 | 100 | 10000 | 790 |
16 | 10,5 | 4.0 | 16 | 42 | 110,25 | 16 | 10,5 | 118 | 13924 | 1239 |
Сумма | 145,1 | 84.0 | 460 | 726,2 | 1393,15 | | 145,1 | 1611 | 167677 | 15327,1 |
Следовательно,
а1 =
а0 = 9,0625- (-1,844) * 5.25 = 18,74
Таким образом,
Аналогично находятся оценки коэффициентов второй регрессионной модели y = β0 + β1 х1 + δ. При этом используется правая часть таблицы
= 1611/16=100,6875
= 10137.97
= 153271,1
= 167677
β1 =
β 0 = 9,0625- 0,0099 * 100.6875= 2.0355
Окончательно получаем:
Подставляем соответствующие значения в формулу:
ryx =
ryx1 = = 0,915
ryx2 = = 0.8
В нашей задаче t0.95;14 = 1,761
Для ryx1 получаем
= = 0,955 <1.761
Условие не выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции не значим, гипотеза отвергается, между переменными отсутствует линейная связь
= = 4.98>1.761
Условие выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции значимый, гипотеза подтверждается, между переменными существует сильная линейная связь
Коэффициент парной корреляции ryx связан с коэффициентом а1 уравнения регрессии
следующим образом
ryx = a1 Sx/Sy
где Sx, Sy – выборочные среднеквадратичные отклонения случайных переменных х и y соответственно, рассчитывающиеся по формулам:
Sx1 = √ Sx12
Sx12 = 1/n ∑(xi - )2
Sy = √ Sy2
Sy2 = 1/n ∑(yi - )2
ryx1 = 0,915
ryx2 = 0,8
R2 = ryx12 = 0,8372
Вариация на 83,72 % объясняется вариацией возраста автомобиля
R2 = ryx22 = 0,64
Вариация на 64 % объясняется вариацией мощности двигателя автомобиля
Рассчитаем фактическое значение F- статистики Фишера по формуле:
F=
F== 0,768 для зависимости y от х1
F== 0,285для зависимости y от х2
Fт = 4,6
Поэтому для зависимостей y от х1 и y от х2 выполняется неравенство
Fт <Fф
гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t-критерий Стьюдента.
Для зависимости y от х1:
= √F = √0,768 = 0,876
Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а1
Для зависимости y от х2:
= √F = √0,285 = 0,533
Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а1
Проверка с помощью Microsoft Excel
Оценка параметра а1 | -1,87237 | Оценка параметра а0 | 18,89868 |
Среднеквадратическое отклонение | 0,200234 | Среднеквадратическое отклонение а0 | 1,073633 |
Коэффициент детерминации R2 | 0,861987 | Среднеквадратическое отклонение y | 0,872798 |
F-Статистика | 87,43972 | Число степеней свободы | 14 |
Регрессионная сумма квадратов | 66,60951 | Остаточная сумма квадратов | 10,66487 |
Оценка параметра а1 | 0,0698523 | Оценка параметра а0 | 2,0354973 |
Среднеквадратическое отклонение | 0,013746 | Среднеквадратическое отклонение а0 | 1,4271948 |
Коэффициент детерминации R2 | 0,648444 | Среднеквадратическое отклонение y | 1,3929996 |
F-Статистика | 25,822959 | Число степеней свободы | 14 |
Регрессионная сумма квадратов | 50,108105 | Остаточная сумма квадратов | 27,16627 |
Рассчитаем доверительный интервал среднего значения цены для y = a0 + a1x1/
: ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,
где ув, ун – соответственно верхняя и нижняя границы
доверительного интервала;
ŷ(х0) – точечный прогноз;
t1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;
(1-α/2) – доверительная верояность;
(n-2) – число степеней свободы;
: ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,
ta = 2,57
Доверительный интервал для уn:
Нижняя граница интервала:
= 18,74-1,844*5 = 9,52
Верхняя граница интервала:
= 18,74-1,844*7 = 5,832
Sx12 = 1/n ∑(xi - )2 = 19/16 = 1,1875
Sx1 = 1,089
xi1 | xi1 - хср1 | (xi1 - хср1)2 | х2 | х1х2 |
5.0 | -0,25 | 0,0625 | 155 | 775 |
7.0 | 1,75 | 3,0625 | 87 | 609 |
5.0 | -0,25 | 0,0625 | 106 | 530 |
4.0 | -1,25 | 1,5625 | 89 | 356 |
4.0 | -1,25 | 1,5625 | 133 | 532 |
6.0 | 0,75 | 0,5625 | 94 | 564 |
5.0 | -0,25 | 0,0625 | 124 | 620 |
5.0 | -0,25 | 0,0625 | 105 | 525 |
4.0 | -1,25 | 1,5625 | 120 | 480 |
4.0 | -1,25 | 1,5625 | 107 | 428 |
7.0 | 1,75 | 3,0625 | 53 | 371 |
5.0 | -0,25 | 0,0625 | 80 | 400 |
6.0 | 0,75 | 0,5625 | 67 | 402 |
7.0 | 1,75 | 3,0625 | 73 | 511 |
6.0 | 0,75 | 0,5625 | 100 | 600 |
4.0 | -1,25 | 1,5625 | 118 | 472 |
| | 19 | | 8175 |
myx= S1,089*√1/16 + 1,5625/19 = 0,414
5,832 – 2,57*0,414 ≤ yn ≤ 5,832 + 2,57*0,414
На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст xp1 = 3 года. Мощность двигателя xp2 = 165 л.с.
Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели
y = β0 + β1 х1 + δ
Подставляем xp1 в уравнение регрессии:
Получим точечный интервальный прогноз среднего цены.
(xp1) = 18,74 – 1,844*3 = 13,208 тыс. у.е.
Подставляем точечный интервальный прогноз среднего цены (xp1) = 12,3 тыс. и xp1 = 3 года в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,9
ŷв.н. = 13,208±2,57*0,414 или ŷн = 12,14 тыс. у.е.,
ŷв = 14,27 тыс. у.е.
Задача 2
Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов множественной регрессионной модели
y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε
Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации и F-критерия. Пояснить их содержательный смысл.
Проверить полученные в заданиях результаты с помощью средств Microcoft Excel.
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по множественной модели y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε с доверительной вероятностью 0,9. Как в задаче 1, возраст поступивших автомобилей х1 = 3 года, мощность двигателя х2 = 165 л.с.
На основе полученных в задачах 1-2 статистических характеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиля от возраста и мощности двигателя.
Сумма произведений ∑х1х2 равна: 8175
ХТХ = ХТY =
Найдем матрицу (Хт Х), обратную матрице ХТХ.
Для этого сначала вычислим определитель.
ХТХ = 16*460*167667+1611*84*8175+1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175 = 1234102720+1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548
Определим матрицу алгебраических дополнений
Задача 3
В таблице представлены ежегодные данные объема продаж автомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда. Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а0 а1t +ε с методом наименьших квадратов.
Таблица 2 Ежегодные объемы продаж
t годы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
zt, продажи, тыс.у.е. | 350 | 314 | 300 | 293 | 368 | 393 | 339 | 443 | 467 | 457 | 488 | 424 |
Для найденного уравнения тренда построить доверительную полосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальный прогноз среднего объема продаж.
В таблице 3 объемы продаж zt в тыс. у.е. детализированы по месяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж:
z1 = а0 а1t + а2cos (2πt/12) + а3sin (2πt/12) + εt
Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов.
По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогноз среднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объема продаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9.
Ежемесячные объемы продаж
t,годы | Zt | t | ytt | t2 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | 350 | 1 | 350 | 1 |
2 | 314 | 2 | 728 | 4 |
3 | 300 | 3 | 900 | 9 |
4 | 293 | 4 | 1172 | 16 |
5 | 368 | 5 | 1840 | 25 |
6 | 393 | 6 | 2358 | 36 |
7 | 339 | 7 | 2373 | 49 |
8 | 443 | 8 | 3544 | 64 |
9 | 467 | 9 | 3736 | 81 |
10 | 457 | 10 | 4570 | 100 |
11 | 488 | 11 | 5368 | 121 |
12 | 424 | 12 | 5088 | 144 |
78 | 4636 | 78 | 32027 | 650 |
∑t = Ѕ*12 (12+1) = 78
∑t2 = 1/6 *12 (12+1) (24+1)= 650
а0 = 515294/1716=283,61
а1 == 22716/1716=15,804
Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:
y= 283,61+15,84t
Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле:
ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,
где ув, ун – соответственно верхняя и нижняя границы
доверительного интервала;
ŷ(х0) – точечный прогноз;
t1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;
(1-α/2) – доверительная верояность;
(n-2) – число степеней свободы;
ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,
ta = 2,35
Доверительный интервал для уn:
Нижняя граница интервала:
y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*293 = 4179,61
Верхняя граница интервала:
y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*488= 6761,41
Sx12 = 1/n ∑(xi - )2 = 51804,7/12 = 4317,06
Sx1 = 65,704
zср = 386.33
z | zi - zср | (zi - zi ср)2 |
350 | -36.33 | 1319,87 |
314 | -72.33 | 5231,63 |
300 | -86.33 | 7452,89 |
293 | -93.33 | 8710,49 |
368 | -18.33 | 335,99 |
393 | 6.67 | 44,49 |
339 | -47.33 | 2240,13 |
443 | 56.67 | 3211,49 |
467 | 80.67 | 6507,65 |
457 | 70.67 | 4994,25 |
488 | 101.67 | 10336,79 |
424 | 37.67 | 1419,03 |
4636 | 24624 | 51804,7 |
myx= S65,704*√1/12+ 24624/51804,7 = 36,71
65,704 – 2,35*36,71 ≤ yn ≤ 65,704 + 2,35*36,71
Точечный прогноз среднего значения продаж по линейному тренду находится следующим образом:
ŷв.н. = 283,61+15,84*13 = 489,53
Окончательно получаем интервальный прогноз продаж
ŷв.н. = 489,5 ±2,353*36,71
Или ŷв= 489,5 ±2,353*36,71 = 575,89
Или ŷн= 489,5 ±2,353*36,71 = 403,12
Задача 4
Для регрессионных моделей:
y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε
z1 = а0 а1t + а2cos (2πt/12) + а3sin (2πt/12) + εt
проверить наличие или отсутствие автокорреляции, используя критерий Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05.
Для регрессионной модели y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε
Проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя критерии xи-квадрат (χ2) при уровне значимости α = 0,05.