Задача 1

Магазин торгует подержанными автомобилями. Статистика их потребительских цен накапливается в базе данных. В магазин пригоняют на продажу очередную партию небольших однотипных автомобилей. Как назначить их цену? Статистический подход позволяет дать прогноз среднего значения цены и доверительных интервалов для него.

Цена автомобиля зависит от множества факторов. К числу объясняющих переменных можно отнести, например, модель автомобиля, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем двигателя, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем производителя, количество цилиндров, время разгона до 100 км/час, пробег, потребление горючего, год выпуска и т.д. Первые из названных переменных очень важны при ценообразовании, но они – качественные. Традиционный регрессионный анализ, рассматриваемый в этом задании, предназначен для количественных данных. Поэтому, не претендуя на высокую точность, не будем включать их в эконометрическую модель. Сделаем выборку, например, только для автомобилей одной фирмы-производителя. Пусть, например, оказалось, что продано n= 16 таких автомобилей. Для упрощения выберем из базы данных цены y_i (i = 1......16) проданных автомобилей и только две объясняющие переменные: возраст х_i1 (i = 1, …..16) в годах и мощность двигателя х_i2 (i = 1, ….16) в лошадиных силах. Выборка представлена в таблице:

I номер	yi , цена, тыс. у.е.	хi1 возраст,лет	хi2, мощность двигателя
1	11	5,0	155
2	6	7,0	87
3	9,8	5,0	106
4	11	4,0	89
5	12,3	4,0	133
6	8,7	6,0	94
7	9,3	5,0	124
8	10,6	5,0	105
9	11,8	4,0	120
10	10,6	4,0	107
11	5,2	7,0	53
12	8,2	5,0	80
13	6,5	6,0	67
14	5,7	7,0	73
15	7,9	6,0	100
16	10,5	4,0	118

1. Построить поля рассеяния между ценой y и возрастом автомобиля х₁, между ценой y и мощностью автомобиля x₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от х₁ и y от х₂. Найти точечные оценки независимых параметров
а₀а₁ модели y = а₀ + а₁ х₁ + ε и

β₁β₂ модели y = β₀ + а₁ х₁ + δ
2. Проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также ценой и мощностью двигателя х₂. Для этого рассчитать коэффициенты парной корреляции r_yx1 и r_yx2 и проверить их отличие от нуля при уровне значимости α = 0,1.

3. Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации, F- и t- критериев при уровне значимости α = 0,05 и α = 0,10.

4. Проверить полученные результаты с помощью средств Microcoft Excel.

5. С помощью уравнений регрессии рассчитать доверительные интервалы для среднего значения цены, соответствующие доверительной вероятности 0,9. Изобразить графически поля рассеяния, линии регрессии и доверительные полосы.

На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст х₁ равен 3 года. Мощность двигателя х₂ = 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по моделям y = а₀ + а₁ х₁ + ε и y = β₀ + а₁ х₁ + δ с доверительной вероятностью 0,9.

Решение:

На основе поля рассеяния, построенного на основе табл. 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста автомобиля x₁ описывается линейной моделью вида
y = а₀ + а₁ х₁ + ε
где а₀ и а₁ – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.


Рисунок 1 – Поле рассеяния «возраст автомобиля-цена»
Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. 2), также построенного на основе таблицы 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от мощности автомобиля x₂ описывается линейной моделью вида
y = β₀ + β₁ х₁ + δ




где β₀ и β₁ – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.


Рисунок 2 – Поле рассеяния «мощность автомобиля-цена»
На основе табл. 1 исходных данных для вычисления оценок параметров моделей составляется вспомогательная табл. 1.1. Воспользуемся формулами и левой частью таблицы 1.1. для нахождения оценок а₀ и а₁.

Так как n = 16, получаем

= 145/16=9.0625

 = 84.0/16=5.25

 = 27.5625

= 365

 = 460

i	yi	xi1	xi12	xi1 yi	yi2	i	yi	xi2	xi22	xi2 yi
1	11	5.0	25	55	121	1	11	155	24025	1705
2	6	7.0	49	42	36	2	6	87	7569	522
3	9,8	5.0	25	49	96,04	3	9,8	106	11236	1038,8
4	11	4.0	16	44	121	4	11	89	7921	979
5	12,3	4.0	16	49,2	151,29	5	12,3	133	17689	1635,9
6	8,7	6.0	36	52,2	75,69	6	8,7	94	8836	817,8
7	9,3	5.0	25	46,5	86,49	7	9,3	124	15376	1153,2
8	10,6	5.0	25	53	112,36	8	10,6	105	11025	1113
9	11,8	4.0	16	47,2	139,24	9	11,8	120	14400	1416
10	10,6	4.0	16	42,4	112,36	10	10,6	107	11449	1134,2
11	5,2	7.0	49	36,4	27,04	11	5,2	53	2809	275,6
12	8,2	5.0	25	41	67,24	12	8,2	80	1600	656
13	6,5	6.0	36	39	42,25	13	6,5	67	4489	435,5
14	5,7	7.0	49	39,9	32,49	14	5,7	73	5329	416,1
15	7,9	6.0	36	47,4	62,41	15	7,9	100	10000	790
16	10,5	4.0	16	42	110,25	16	10,5	118	13924	1239
Сумма	145,1	84.0	460	726,2	1393,15		145,1	1611	167677	15327,1

Следовательно,

а₁ =

а₀ = 9,0625- (-1,844) * 5.25 = 18,74

Таким образом,



Аналогично находятся оценки коэффициентов второй регрессионной модели y = β₀ + β₁ х₁ + δ. При этом используется правая часть таблицы

 = 1611/16=100,6875

 = 10137.97

= 153271,1

 = 167677

β₁ =

β ₀ = 9,0625- 0,0099 * 100.6875= 2.0355

Окончательно получаем:



Подставляем соответствующие значения в формулу:
r_yx =


r_yx1 = = 0,915

r_yx2 = = 0.8

В нашей задаче t_0.95;14 = 1,761

Для r_yx1 получаем

 = = 0,955 <1.761

Условие не выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции не значим, гипотеза отвергается, между переменными отсутствует линейная связь

 = = 4.98>1.761

Условие выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции значимый, гипотеза подтверждается, между переменными существует сильная линейная связь

Коэффициент парной корреляции r_yx связан с коэффициентом а₁ уравнения регрессии
 следующим образом

r_yx = a₁ S_x/S_y
где S_x, S_y – выборочные среднеквадратичные отклонения случайных переменных х и y соответственно, рассчитывающиеся по формулам:
S_x1 = √ S_x1²

S_x1² = 1/n ∑(x_i - )²

S_y = √ S_y²

S_y² = 1/n ∑(y_i - )²


r_yx1 = 0,915

r_yx2 = 0,8

R² = r_yx1² = 0,8372

Вариация на 83,72 % объясняется вариацией возраста автомобиля

R² = r_yx2² = 0,64

Вариация на 64 % объясняется вариацией мощности двигателя автомобиля

Рассчитаем фактическое значение F- статистики Фишера по формуле:
F=
F== 0,768 для зависимости y от х₁

F== 0,285для зависимости y от х₂

F_т = 4,6

Поэтому для зависимостей y от х₁ и y от х₂ выполняется неравенство

F_т <F_ф

гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t-критерий Стьюдента.

Для зависимости y от х₁:

 = √F = √0,768 = 0,876

Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а₁

Для зависимости y от х₂:

 = √F = √0,285 = 0,533

Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а₁

Проверка с помощью Microsoft Excel

Оценка параметра а1	-1,87237	Оценка параметра а0	18,89868
Среднеквадратическое отклонение	0,200234	Среднеквадратическое отклонение а0	1,073633
Коэффициент детерминации R2	0,861987	Среднеквадратическое отклонение y	0,872798
F-Статистика	87,43972	Число степеней свободы	14
Регрессионная сумма квадратов	66,60951	Остаточная сумма квадратов	10,66487

Оценка параметра а1	0,0698523	Оценка параметра а0	2,0354973
Среднеквадратическое отклонение	0,013746	Среднеквадратическое отклонение а0	1,4271948
Коэффициент детерминации R2	0,648444	Среднеквадратическое отклонение y	1,3929996
F-Статистика	25,822959	Число степеней свободы	14
Регрессионная сумма квадратов	50,108105	Остаточная сумма квадратов	27,16627

Рассчитаем доверительный интервал среднего значения цены для y = a₀ + a₁x₁/
: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,
где у_в, у_н – соответственно верхняя и нижняя границы

доверительного интервала;

ŷ(х₀) – точечный прогноз;

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;
: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,
t_a = 2,57

Доверительный интервал для уⁿ:

Нижняя граница интервала:

 = 18,74-1,844*5 = 9,52

Верхняя граница интервала:

 = 18,74-1,844*7 = 5,832


S_x1² = 1/n ∑(x_i - )² = 19/16 = 1,1875
S_x1 = 1,089

xi1	xi1 - хср1	(xi1 - хср1)2	х2	х1х2
5.0	-0,25	0,0625	155	775
7.0	1,75	3,0625	87	609
5.0	-0,25	0,0625	106	530
4.0	-1,25	1,5625	89	356
4.0	-1,25	1,5625	133	532
6.0	0,75	0,5625	94	564
5.0	-0,25	0,0625	124	620
5.0	-0,25	0,0625	105	525
4.0	-1,25	1,5625	120	480
4.0	-1,25	1,5625	107	428
7.0	1,75	3,0625	53	371
5.0	-0,25	0,0625	80	400
6.0	0,75	0,5625	67	402
7.0	1,75	3,0625	73	511
6.0	0,75	0,5625	100	600
4.0	-1,25	1,5625	118	472
		19		8175

m_yx= S1,089*√1/16 + 1,5625/19 = 0,414
5,832 – 2,57*0,414 ≤ yⁿ ≤ 5,832 + 2,57*0,414

На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст x^p₁ = 3 года. Мощность двигателя x^p₂ = 165 л.с.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели
y = β₀ + β₁ х₁ + δ
Подставляем x^p₁ в уравнение регрессии:

Получим точечный интервальный прогноз среднего цены.

 (x^p₁) = 18,74 – 1,844*3 = 13,208 тыс. у.е.

Подставляем точечный интервальный прогноз среднего цены (x^p₁) = 12,3 тыс. и x^p₁ = 3 года в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,9

ŷв.н. = 13,208±2,57*0,414 или ŷн = 12,14 тыс. у.е.,

ŷв = 14,27 тыс. у.е.

Задача 2

Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов множественной регрессионной модели
y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε
Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации и F-критерия. Пояснить их содержательный смысл.

Проверить полученные в заданиях результаты с помощью средств Microcoft Excel.

Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по множественной модели y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε с доверительной вероятностью 0,9. Как в задаче 1, возраст поступивших автомобилей х₁ = 3 года, мощность двигателя х₂ = 165 л.с.

На основе полученных в задачах 1-2 статистических характеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиля от возраста и мощности двигателя.

Сумма произведений ∑х₁х₂ равна: 8175

Х^ТХ =  Х^ТY =

Найдем матрицу (Х^т Х), обратную матрице Х^ТХ.

Для этого сначала вычислим определитель.

Х^ТХ = 16*460*167667+1611*84*8175+1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175 = 1234102720+1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548

Определим матрицу алгебраических дополнений

Задача 3

В таблице представлены ежегодные данные объема продаж автомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда. Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а₀ а₁t +ε с методом наименьших квадратов.
Таблица 2 Ежегодные объемы продаж

t годы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
zt, продажи, тыс.у.е.	350	314	300	293	368	393	339	443	467	457	488	424

Для найденного уравнения тренда построить доверительную полосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальный прогноз среднего объема продаж.

В таблице 3 объемы продаж z_t в тыс. у.е. детализированы по месяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж:
z_{1 =} а₀ а₁t + а₂cos (2πt/12) + а₃sin (2πt/12) + ε_t
Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов.

По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогноз среднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объема продаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9.
Ежемесячные объемы продаж

t,годы	Zt	t	ytt	t2
1	2	3	4	5
1	350	1	350	1
2	314	2	728	4
3	300	3	900	9
4	293	4	1172	16
5	368	5	1840	25
6	393	6	2358	36
7	339	7	2373	49
8	443	8	3544	64
9	467	9	3736	81
10	457	10	4570	100
11	488	11	5368	121
12	424	12	5088	144
78	4636	78	32027	650

∑t = Ѕ*12 (12+1) = 78

∑t² = 1/6 *12 (12+1) (24+1)= 650

а₀ = 515294/1716=283,61

а₁ == 22716/1716=15,804

Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:

y= 283,61+15,84t

Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле:




ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,
где у_в, у_н – соответственно верхняя и нижняя границы

доверительного интервала;

ŷ(х₀) – точечный прогноз;

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;
ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,
t_a = 2,35

Доверительный интервал для уⁿ:

Нижняя граница интервала:

y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*293 = 4179,61

Верхняя граница интервала:

y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*488= 6761,41


S_x1² = 1/n ∑(x_i - )² = 51804,7/12 = 4317,06
S_x1 = 65,704

zср = 386.33

z	zi - zср	(zi - zi ср)2
350	-36.33	1319,87
314	-72.33	5231,63
300	-86.33	7452,89
293	-93.33	8710,49
368	-18.33	335,99
393	6.67	44,49
339	-47.33	2240,13
443	56.67	3211,49
467	80.67	6507,65
457	70.67	4994,25
488	101.67	10336,79
424	37.67	1419,03
4636	24624	51804,7

m_yx= S65,704*√1/12+ 24624/51804,7 = 36,71
65,704 – 2,35*36,71 ≤ yⁿ ≤ 65,704 + 2,35*36,71

Точечный прогноз среднего значения продаж по линейному тренду находится следующим образом:

ŷв.н. = 283,61+15,84*13 = 489,53

Окончательно получаем интервальный прогноз продаж

ŷв.н. = 489,5 ±2,353*36,71

Или ŷв= 489,5 ±2,353*36,71 = 575,89

Или ŷн= 489,5 ±2,353*36,71 = 403,12

Задача 4

Для регрессионных моделей:
y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε

z_{1 =} а₀ а₁t + а₂cos (2πt/12) + а₃sin (2πt/12) + ε_t
проверить наличие или отсутствие автокорреляции, используя критерий Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05.




Для регрессионной модели y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε
Проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя критерии xи-квадрат (χ²) при уровне значимости α = 0,05.