Контрольная работа Новый метод решения кубического уравнения
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Автор: Фильчев Э.Г.
Решение кубического уравнения в системе mn параметров
Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы
- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )
- с помощью формулы Кардана
- применение специальных таблиц
(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).
В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!
Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.
Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.
Решение
На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид
(2
mn
)2 + ( 3
x
+
b
)(2
mn
) + 3
x
2
+ 2
bx
+с = 0 ( 1 )
где
x - любой из нулей ( корней) исходного уравнения
2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения
Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим
(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4+(3c – b2 )2(2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3 + ( 2b3 – 9bc + 27d )2]/27 = 0 ( 2 )
Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение
Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения
3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]
[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
где (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения.
x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "
1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение
D1
= -
2. Определяем значение
D
2
= - 2( 3c –
b
2
) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]
Из этих уравнений следует, что
- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов
-
и если при этом выполняется равенство
D
1
= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.
3. Определяем значение корней исходного уравнения
3
x
2
+ 2
bx
+
c = - (2mn
)1( 2
mn
)2
3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2
3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3
3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3
3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3
3
x
2
+ 2
bx
+
c = (2mn
)2( 2
mn
)3
Задача решена !
Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 9x2+ 23x - 15 = 0
где
a =1, b = - 9, c = 23, d = -15
Решение
1. Определяем значение D1 = = -
-→ D1 = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162
Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0
2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )
-→ D2 = - 2( 3∙23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4
Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно
имеем (2mn)1 = 2, (2mn)2 = 4, (2mn)3 = 2.
3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c
= - (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.
3.2 3x
2
+ 2
bx
+
c
= (2
mn
)1( 2
mn
)2
-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0
-→ X
1 = 3 + 2 = 5 , X
2 = 3 - 2 = 1
Здесь
X
1
= 5
- одно из решений исходного уравнения.
Здесь
X
2
= 1 второе решение исходного уравнения.
3.3 3x2 + 2bx + c
= - (2mn)1( 2mn)3
-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0
-→ X2 = 3
Здесь
X
= 3
- последнее из решений исходного уравнения.
3.4 3
x
2
+ 2
bx
+
c
= (2
mn
)1( 2
mn
)3
-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2 -→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.
Задача решена!
Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0
где
a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400
2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )
-→ D2 = - 2( - 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42 + 52 + 92
Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.
Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1 = 32400.
2.1 32 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400
2.2 42 ∙ 52 ∙ 92 = 32400 . Этот вариант подходит!
-→ (2mn)11 = 4, (2mn)12 = - 4,
(2mn)21 = 5, (2mn)22 = - 5,
(2mn)31 = 9, (2mn)32 = - 9.
3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5 -> 3x2 - 40x + 133 = 0.
-→ X
1 = 7, X2 =
4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 7, и кроме того, известны значения (2mn)11 ч (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1 Пусть (2mn)11 = 4 = (X
1
-
X
2) -→ X
2 = X
1 – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).
4.2 Пусть (2mn)12 = - 4 = (X
1
-
X
2) -→ X
2 = X
1 + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.
4.3 Пусть (2mn)21 = 5 = (X
2
-
X
3) -→ X
3 = X
2 - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.
Решением исходного уравнения будет X1 = 7, X2 = 2, X3 = 11.
Расчет закончен !
Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 10x2 - 49x + 130 = 0
где
a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996
2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )
-→ D2 = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22 + 72 + 212 = 72 + 112 + 182
Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 72 ∙ 112
-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 = - 7,
(2mn)21 = 11, (2mn)22 = - 11,
(2mn)31 = 18, (2mn)32 = - 18.
3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21
-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11 -> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!
3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22
-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.
-→ X1 =
= 2 – это один из корней исходного уравнения!
4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 2, и кроме того, известны значения (2mn)11 ч (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1 Пусть (2mn)11 = 7 = (X
1
-
X
2) -→ X
2 = X
1 – 7 = 2 – 7 = - 5. Это второй корень!
4.2 Пусть (2mn)12 = - 7 = (X
1
-
X
2) -→ X
2 = X
1 +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.
4.3 Пусть (2mn)21 = 11 = (X
1
-
X
3) -→ X
3 = X
1 - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.
4.4 Пусть (2mn)21 = -11 = (X
1
-
X
3) -→ X
3 = X
1 + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!
Решением исходного уравнения будет X1 = 2, X2 = - 5, X3 = 13.
Расчет закончен !
Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0
где
a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1
В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27
-→D1 = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500
2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )
-→ D2 = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950
В этом случае имеют место дробные значения для D1 и D2 . Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k .
При этом значение степени k должно определяться
- для D2 числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2 = 4 )
- для D1 = 3∙ (число знаков в мантиссе для D2 ). -→ k1 = 3∙ k2 ( для данного примера k1 = 12 ).
Для дальнейшего рассмотрения используем два числа
- D11 = 987539062500
- D21 = 132950.
3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D
21
= А2 + Б2 + Д2 и D
11
= А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .
Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики
- найти все варианты представления числа D21 в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D
21
= А2 + Б2 + Д2 и D
11
= А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .
- найти все варианты представления числа D11 в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D
21
= А2 + Б2 + Д2 и D
11
= А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .
Вариант D
11
= А2 ∙ Б2 ∙ Д2 следует считать более удобным.
Для рассматриваемого примера
D11 = 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152
D21 = 132950 = 2502 + 2652 + 152.
(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = - 2.5,
(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = - 2.65,
(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = - 0.15.
5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
5.1 3x
2
+ 2
bx
+
c = - (2mn
)11( 2
mn
)21
-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65) -> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.
-→ X1
= 4 – это один из корней исходного уравнения!
6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 4, и
кроме того, известны значения (2mn)11 ч (2mn)32. Этих данных достаточно для
определения двух остальных корней.
6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X
1
-
X
2) -→ X
2 = X
1 – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!
6.2 Пусть (2mn)12 = - 2.5 = (X
1
-
X
2) -→ X
2 = X
1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.
6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X
1
-
X
3) -→ X
3 = X
1 – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!
Решением исходного уравнения будет X1 = 4, X2 = 1.5, X3 = 1.35.
Расчет закончен !
Неприводимый случай формулы Кардана
Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.
Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.
Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".
Пусть а = 1.
Решение
Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы
D1= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
D2= - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],
где
- (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения
- D1 = -
- D2 = - 2( 3c – b
2
)
- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.
По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X
1
=
g
1) и два сопряженных мнимых корня X
2
= ( g
2
-
hi
),
X
3
= (
g
2
+
hi
). Тогда
(2
mn
)1 = (
X
1
-
X
2
) = (g
1
-
g
2
) +
hi
(2
mn
)2 = (
X
1
-
X
3
) = (g
1
-
g
2
) –
hi
(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - hi - g2 – hi = - 2hi
-→ D1= - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 - g2 ) - hi]2 ∙ [2 hi]2
-→ D
1
= [(
g
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2
Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место
- знак “ + “
- только действительные числа.
Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем
1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам
D
1
= -
D
2
= - 2( 3c -
b
2
)
определяются значения D
1 и D
2
.
2. Определяются D
1
- как произведение двух квадратов
D
2 - как удвоенная сумма двух квадратов.
3.
Определяются значения g
1
,
g
2
,
h
.
4. Определяются значения (2mn)11, (2mn)21, (2mn)31
5. Определяются значения корней исходного уравнения.
Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 9x2 + 73x – 265 = 0
где
a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265
В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344
2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.
-→D1 = [(g
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2 = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙72 ∙ 582
Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2 . Тогда можно записать
h
= 7, (g1 - g2 )2 + h2 = 58 -→ (g1 - g2 )2 = 58 – 49 = 9 -→( g1 - g2 ) = ± 3
3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения
- b = X1+X2+X3 -→ - ( - 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 9 = g1 + 2g2.
4. Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2) = 9, можно определить значения g1 и g2
Пусть ( g1 - g2 )= 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 9 -→ 3g1 = 15 -→ g
1
= 5 -→g
2
= 2.
-→ X
1
= 5,
X
2
= 2 + 7
i
,
X
3
= 2 – 7
i
Расчет закончен !
Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 30x2 + 322x – 1168 = 0
где
a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168
В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600
2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.
-→D1 = [(g
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2 = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 52 ∙342
Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2 . Тогда можно записать
h
= 5, (g1 - g2 )2 + h2 = 34 -→ (g1 - g2 )2 = 34 – 25 = 9 -→( g1 - g2 ) = ± 3
3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения
- b = X1+X2+X3 -→ - ( - 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 30 = g1 + 2g2.
4.Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2) = 30, можно определить значения g1 и g2
Пусть ( g1 - g2 )= - 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 30 -→ 3g1 = 24 -→ g
1
= 8 -→g
2
= 11.
-→ X
1
= 8,
X
2
= 11 + 5
i
,
X
3
= 2 – 5
i
Расчет закончен !
Новый метод решения кубических уравнений
Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут
иметь место следующие случаи
- три корня имеют одинаковые действительные значения
- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1 = g + h, то X2 = g – h или X1 =
- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1 = g + ih, то X2 = g – ih.
Первый случай – тривиальный . (x – a )3 = x3 – 3ax2+3a2x – a3= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.
Три разных действительных корня
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X
1
=
g
1) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g1 ), то получим квадратное уравнение вида
[ X – (g2 + h)]∙[ X – (g2 - h)] = 0
-→ X2 – 2g2X + (g22 – h2) = 0
-→ X1 = g1, X2,3 = g2 ± h -→ X2 = ( g2 - h), X3 = ( g2 + h)
-→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) + h
(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – h
(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - h - g2 – h = - 2h
-→ D1 = - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + h]2 ∙ [(g1 - g2 ) - h]2 ∙ [2h]2
-→ D1
= [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 (3)
-→ D2 = - [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = - [(g1 - g2 ) + h]2 + [(g1 - g2 ) - h]2 + 4h2
→ D2 = - [(g1 - g2 )2 + 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + (g1 - g2 )2 - 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + 4h2]
→ D
2
= - [ 2(
g
1
-
g
2
)2 + 6
h
2
] = - 2[(g
1
-
g
2
)2 +3
h
2
] (8)
На основании формул системы mn параметров имеем
D
1
= -
D
2
= - 2( 3c -
b
2
), (5)
где
b
,
c
,
d
- коэффициенты исходного кубического уравнения.
Три действительных корня и два одинаковых
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X
1
=
g
1) и два равных действительных корня. Тогда имеем h
=0 и (2mn
)
I
= 0
При (2mn
)
I
= 0 на основании уравнения (1) будем иметь
3
x
2
+ 2
bx
+с = 0 (6)
→ X
2
= ( g
2
-
h
),
X
3
= (
g
2
+
h
) → X
2
=
X
3
=
g
2
→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 )
(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 )
(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - g2 = 0
→ D1
= - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = 0
→ D2 = - [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = - [ (2mn)12 + (2mn)22 ]
→ D2 = 2 (2mn)12 = 2 (g1 - g2 )2 = - 2( 3c – b2 ) = 2( b2 – 3c )
→ (g1 - g2 )2 = ( b2 - 3c )
На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b
= X
1
+ 2
X
2
→ g
1
+ 2
g
2
= -
b
Решая систему из двух уравнений будем иметь g
2
= -
→ X11,12 = g11,12 =
→ X
21,22
=
g
21,22 =
b
±
Расчет закончен !
Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 41x2 + 475x – 1083 = 0
где
a =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083
1. X11,12 = g11,12 =
→ X11 =
X21,22 = g21,22 =
→ X21 = 19, X22 =
2
=
X
3
= 19
Расчет закончен !
Вывод основных формул
Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.
1. Определяем значение D
1
= -
2. Разделим
3. Представляем число
1
-
g
2
)2 -
h
2
]2 ∙
h
2
.
4. Меньший множитель принимаем за h
2 → [(g
1
-
g
2
)2 -
h
2
]2 =
→ (g
1
-
g
2
) =
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - h + g2 +h )
→ b
= - (
g
1
+ 2
g
2
) (7)
6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим
X1 = g1 =
→ X11 = g11 =
→ X12 = g12 =
Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.
7.
→ g2 = -
→ g21 = -
→ g
22
= -
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.
Задача решена!
Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 33x2 + 311x – 663 = 0
где
a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600
-→ D1 = [(g
1
-
g
2
)2 -
h
2
]2 ∙ 4
h
2 = 313600 = 4∙42∙72∙102 = 4∙402∙72 = 4∙702∙42 = 4∙282∙102
313600 = 4∙1402∙22 = 4∙72∙402 = 4∙52∙562
-→
2.
Пусть
h
1
2
= 72
→ X1 = g11 =
→ g11 = X11 = 13, X12 = 9.
→ g21 = -
→ X
2,3 = g
21
+
h
1 = 10 ± 7 → X
2
= 17,
X
3
= 3
Задача решена!
Неприводимый случай формулы Кардана
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X
1
=
g
1) и два мнимых сопряженных корня
X
2
= ( g
2
-
ih
),
X
3
= (
g
2
+
ih
).
-→ (2mn
)1 = (
X
1
-
X
2
) = (g
1
-
g
2
) +
ih
(2
mn
)2 = (
X
1
-
X
3
) = (g
1
-
g
2
) –
ih
(2
mn
)3 = (
X
2
-
X
3
) = g
2
-
ih
-
g
2
–
ih
= - 2
ih
Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.
1. Определяем значение D
1
= -
2. Разделим
3. Представляем число
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙
h
2
.
4. Меньший множитель принимаем за h
2 → [(g
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 =
→ (g
1
-
g
2
) =
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )
→ b = - ( g1 + 2g2 )
6. X1 = g1 =
→ X11 = g11 =
→ X12 = g12 =
7.
→ g2 = -
→ g21 = -
→ g
22
= -
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 6x2 + 58x – 200 = 0
где
a =1, b = - 6, c = 58, d = - 200
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344
-→ D1 = [(g
1
-
g
2
)2 -
h
2
]2 ∙ 4
h
2 = 659344 = 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292 = 4∙72∙582 = 4∙22∙2032
-→
= 2032∙22 = 582∙72 = 292∙142
Пусть
h
1
2
= 72
→ X1 = g11 =
- b ) = 
+ 6) = 
= 4
→ X1 = 4
→ g21 = -
= - 
= 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2
= 1 - 7i, X3 = 1 + 7i
Задача
решена
!
Пример 10 Дано уравнение
x3 - 6x2 + 21x – 52 = 0
где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168
→ D1 =[(g
1
-
g
2
)2 -
h
2
]2 ∙ 4
h
2 = 21168 = 4∙22∙72 ∙
= 4∙142∙ = 4∙
→ D1 =
Пусть
h
1
2
=
→ X1 = g11 = - b ) = 
+ 6) = = 4
→ X1 = 4
→ g21 = - = - = 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i
→ X2
= 1 + 2i
, X3 = 1 - 2i
Сравните метод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Вывод новых формул
Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2
mn
)2 + ( 3
x
+
b
)(2
mn
) + 3
x
2
+ 2
bx
+с = 0
Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим
(2
mn
)2 + ( 3
xi
+
b
)(2
mn
) + 3
xi
2
+ 2
bxi
+с = 0
→ (2mn
)2 + ( 3
x
1
+
b
)(2
mn
) + 3
x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0
→ (2mn
)2 + ( 3
x
2
+
b
)(2
mn
) + 3
x
2
2
+ 2
bx
2
+с = 0
→ (2mn
)2 + ( 3
x
3
+
b
)(2
mn
) + 3
x
3
2
+ 2
bx
3
+с = 0
Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2mn
)
I
обязательно найдется отрицательное значение (2
mn
)
j
. Поэтому общая сумма всех корней вида (2
mn
) будет равна нулю.
→ ( 3x
1
+
b
) + ( 3
x
2
+
b
) + ( 3
x
3
+
b
) = 0 → 3( x
1
+
x
2
+
x
3
) = - 3
b
→ ( x
1
+
x
2
+
x
3
) = -
b
.
Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотрим любых два уравнения, например,
→ (2mn
)2 + ( 3
x
1
+
b
)(2
mn
) + 3
x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0
(2
mn
)2 + ( 3
x
2
+
b
)(2
mn
) + 3
x
2
2
+ 2
bx
2
+с = 0.
Здесь в качестве свободных членов имеем 3x
1
2
+ 2
bx
1
+с и 3
x
2
2
+ 2
bx
2
+с. Их сумма равна
→ Σ = 3(x
1
2 + 3x
2
2
) + 2b
(
x
1
+
x
2
) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x
1
2 +x
2
2
) + 2b
(
x
1
+
x
2
) + 2 с = (
x
1
-
x
2
)2
→ (x
1 + x
2
)2 + b
(
x
1
+
x
2
) + с -
x
1
∙
x
2
= 0
Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь
→ (
x
1
+
x
2
)2 +
b
(
x
1
+
x
2
) + с -
x
1
∙
x
2
= 0
→ (
x
1
+
x
3
)2 +
b
(
x
1
+
x
3
) + с -
x
1
∙
x
3
= 0
→ (
x
2
+
x
3
)2 +
b
(
x
2
+
x
3
) + с -
x
2
∙
x
3
= 0
Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
В общем случае эта формула имеет вид
( xi + xj
)2 + b
(
xi
+
xj
) + с -
xi
∙
xj
= 0 ( 10 )
Пример 11 Проверить формулу ( 10 )
x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0
где a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Здесь X
1 = 7, X
2 = 2, X
3
= 11.
→ (
x
1
+
x
2
)2 +
b
(
x
1
+
x
2
) + с -
x
1
∙
x
2
= 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2 = 0
→ (
x
1
+
x
3
)2 +
b
(
x
1
+
x
3
) + с -
x
1
∙
x
3
= 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11 = 0
→ (
x
2
+
x
3
)2 +
b
(
x
2
+
x
3
) + с -
x
2
∙
x
3
= 0 → (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11 = 0
Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).
Три действительных корня и два одинаковых
При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn
) = 0.
Тогда из уравнения (2) следует 3x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0. Подставив значения коэффициентов
b
и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.
Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0 → 3
x
1
2
- 50
x
1
+ 203 = 0 →
x
1,2
=
) →
x
1
=
,
x
2
= 7.
Подставив значение
x
= 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
X
1 = X
2
= 7, X
3
= 11
Три действительных и одинаковых корня
В этом случае имеем для всех (2mn
) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0.
→
x
1,2
=
). При равенстве трех корней имеем 
= 0
→
x
1,2,3
= -
.
Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета
→ ( x
1
+
x
2
+
x
3
) = -
b
. При
x
=
x
1
=
x
2
=
x
3
→ 3
x
= -
b
→
x
= - .
Пример 12 Дано уравнение
x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 → b= - 24, с = 183, d = - 448
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188
-→ 1188= 4∙9∙33 = 4∙36∙
2.
Пусть
h
2
=
→
= [(g
1
-
g
2
)2 -
h
2
]2 ∙
h
2 → [(g
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 = 36 →[(g
1
-
g
2
)2 -
h
2
] = ± 6
→ (g
1
-
g
2
)2 = - 6 + = 
→ g
1
-
g
2
= ±
.
Второе уравнение ( x
1
+
x
2
+
x
3
) = -
b
→ (g
1
+
g
2
+
h
+
g
2
–
h
) = -
b
→ g
1
+ 2
g
2
= 24
Таким образом, имеем два уравнения
g
1
-
g
2
= ±
и
g
1
= 24 - 2
g
2
.
→ 24 - 2g
2
-
g
2
= ± → g
2
=
= 
→g
2 =
→g
1
= 24 - 2
g
2
→g
1
= 24 – 17→g
1
= 7
→ X
1
= 7,
X
2
=
( 17 + 
),
X
3
= ( 17 - )
Задача решена!
Внимание! В данном примере имеет место множитель в значениях
X
2
и
X
3
. Этот случай
обусловлен следующим
1. Разделим исходное уравнение x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 на (x – 7)
→
= - x2 + 17x – 64→ x3 – 24x2 + 183x – 448= (x – 7)∙( x2 - 17x + 64)=0.
кубическое уравнение формула кардан
2. В уравнении x2 - 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙ .
Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.
Размещено на http://www.allbest.ru/
E- Mail: [email protected]
Пусть
h
1
2
= 72
→ X1 = g11 =
→ X1 = 4
→ g21 = -
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2
= 1 - 7i, X3 = 1 + 7i
Задача
решена
!
Пример 10 Дано уравнение
x3 - 6x2 + 21x – 52 = 0
где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168
→ D1 =[(g
1
-
g
2
)2 -
h
2
]2 ∙ 4
h
2 = 21168 = 4∙22∙72 ∙
→ D1 =
Пусть
h
1
2
=
→ X1 = g11 =
→ X1 = 4
→ g21 = -
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i
= 1 + 2i
Сравните метод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Вывод новых формул
Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2
mn
)2 + ( 3
x
+
b
)(2
mn
) + 3
x
2
+ 2
bx
+с = 0
Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим
(2
mn
)2 + ( 3
xi
+
b
)(2
mn
) + 3
xi
2
+ 2
bxi
+с = 0
→ (2mn
)2 + ( 3
x
1
+
b
)(2
mn
) + 3
x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0
→ (2mn
)2 + ( 3
x
2
+
b
)(2
mn
) + 3
x
2
2
+ 2
bx
2
+с = 0
→ (2mn
)2 + ( 3
x
3
+
b
)(2
mn
) + 3
x
3
2
+ 2
bx
3
+с = 0
Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2mn
)
I
обязательно найдется отрицательное значение (2
mn
)
j
. Поэтому общая сумма всех корней вида (2
mn
) будет равна нулю.
→ ( 3x
1
+
b
) + ( 3
x
2
+
b
) + ( 3
x
3
+
b
) = 0 → 3( x
1
+
x
2
+
x
3
) = - 3
b
→ ( x
1
+
x
2
+
x
3
) = -
b
.
Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотрим любых два уравнения, например,
→ (2mn
)2 + ( 3
x
1
+
b
)(2
mn
) + 3
x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0
(2
mn
)2 + ( 3
x
2
+
b
)(2
mn
) + 3
x
2
2
+ 2
bx
2
+с = 0.
Здесь в качестве свободных членов имеем 3x
1
2
+ 2
bx
1
+с и 3
x
2
2
+ 2
bx
2
+с. Их сумма равна
→ Σ = 3(x
1
2 + 3x
2
2
) + 2b
(
x
1
+
x
2
) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x
1
2 +x
2
2
) + 2b
(
x
1
+
x
2
) + 2 с = (
x
1
-
x
2
)2
→ (x
1 + x
2
)2 + b
(
x
1
+
x
2
) + с -
x
1
∙
x
2
= 0
Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь
→ (
x
1
+
x
2
)2 +
b
(
x
1
+
x
2
) + с -
x
1
∙
x
2
= 0
→ (
x
1
+
x
3
)2 +
b
(
x
1
+
x
3
) + с -
x
1
∙
x
3
= 0
→ (
x
2
+
x
3
)2 +
b
(
x
2
+
x
3
) + с -
x
2
∙
x
3
= 0
Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
В общем случае эта формула имеет вид
( xi + xj
)2 + b
(
xi
+
xj
) + с -
xi
∙
xj
= 0 ( 10 )
Пример 11 Проверить формулу ( 10 )
x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0
где a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Здесь X
1 = 7, X
2 = 2, X
3
= 11.
→ (
x
1
+
x
2
)2 +
b
(
x
1
+
x
2
) + с -
x
1
∙
x
2
= 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2 = 0
→ (
x
1
+
x
3
)2 +
b
(
x
1
+
x
3
) + с -
x
1
∙
x
3
= 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11 = 0
→ (
x
2
+
x
3
)2 +
b
(
x
2
+
x
3
) + с -
x
2
∙
x
3
= 0 → (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11 = 0
Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).
Три действительных корня и два одинаковых
При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn
) = 0.
Тогда из уравнения (2) следует 3x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0. Подставив значения коэффициентов
b
и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.
Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0 → 3
x
1
2
- 50
x
1
+ 203 = 0 →
x
1,2
=
x
1
=
x
2
= 7.
Подставив значение
x
= 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
X
1 = X
2
= 7, X
3
= 11
Три действительных и одинаковых корня
В этом случае имеем для всех (2mn
) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0.
→
x
1,2
=
→
x
1,2,3
= -
Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета
→ ( x
1
+
x
2
+
x
3
) = -
b
. При
x
=
x
1
=
x
2
=
x
3
→ 3
x
= -
b
→
x
= -
Пример 12 Дано уравнение
x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 → b= - 24, с = 183, d = - 448
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188
-→ 1188= 4∙9∙33 = 4∙36∙
2.
Пусть
h
2
=
→
1
-
g
2
)2 -
h
2
]2 ∙
h
2 → [(g
1
-
g
2
)2 +
h
2
]2 = 36 →[(g
1
-
g
2
)2 -
h
2
] = ± 6
→ (g
1
-
g
2
)2 = - 6 +
1
-
g
2
= ±
Второе уравнение ( x
1
+
x
2
+
x
3
) = -
b
→ (g
1
+
g
2
+
h
+
g
2
–
h
) = -
b
→ g
1
+ 2
g
2
= 24
Таким образом, имеем два уравнения
g
1
-
g
2
= ±
g
1
= 24 - 2
g
2
.
→ 24 - 2g
2
-
g
2
= ±
2
=
2 =
1
= 24 - 2
g
2
→g
1
= 24 – 17→g
1
= 7
→ X
1
= 7,
X
2
=
X
3
=
Задача решена!
Внимание! В данном примере имеет место множитель
X
2
и
X
3
. Этот случай
обусловлен следующим
1. Разделим исходное уравнение x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 на (x – 7)
→
кубическое уравнение формула кардан
2. В уравнении x2 - 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙
Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.
Размещено на http://www.allbest.ru/
E- Mail: [email protected]
