Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
КУРСОВАЯ РАБОТА
Дисциплина: Математические и численные методы

 механики сплошных сред

Тема: Кручение упругопластического стержня
Санкт-Петербург

2008 

Содержание

Содержание. 2

1. Физическая мотивация. 3

2. Математическая корректность. 5

2.1 Существование решения. 5

2.2 Единственность решения. 6

2.3 Устойчивость решения. 6

3. Аппроксимация. 7

4. Численный метод. 8

5. Тесты.. 9

Выводы.. 16

Список литературы.. 17

1. Физическая мотивация

В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины  из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.


                                Рис.1 Стержень длины h  
 – основание стержня, описываемое уравнением ,

 – основание стержня, описываемое уравнением ,

 – боковая поверхность стержня.

 

Сделаем следующие предположения:

1.      стержень сделан из изотропного материала;

2.      на стержень не действуют объемные силы;

3.      боковая поверхность свободна от нагружений;

4.       на   и ;

5.       на ;

6.       на ;

7.       на ;
Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:

                                                                                                                      (1.1)

Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству

 (1.2)

Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси , где  – угол закрутки на единицу длины.

В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле  минимизирует функционал

                                                                                   (1.3)

Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты , кроме  и , равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:

                                                      (1.4)

Введем функцию тока  и положим:

                    

Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.

Уравнения  на части границы  можно представить в виде:

                                                                                           (1.5)

С другой стороны,                                                                              (1.6)

Следовательно,  , т.е.  на границе . Не умаляя общности, можем положить  на . Значит, .
Рассмотрим условие пластичности Мизеса:

,  – предел текучести материала.                           (1.7)

В данном примере, . Отсюда,  почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах , получаем

                                                                                                                            (1.8)     
В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:
З1: Найти  такое, что достигает минимума функционал

,

где ,                                                                       (1.9)

 – коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить .

Если ввести билинейную форму , элемент  и скалярное произведение , то задача З1 запишется в виде

                                                                                                            (1.10)

или в форме вариационного неравенства:               (1.11)

2.3 Устойчивость решения

Решение  должно удовлетворять неравенству   (2.3.1)

Перепишем неравенство (2.3.1) как                         (2.3.2)

Неравенство (2.3.2) выполняется для :                           (2.3.3) 

Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:

                                                                            (2.3.4)

Левую часть (2.3.3) оценим снизу:

                                                                                      (2.3.5)

Тогда                                                      (2.3.6)

              - первое основное неравенство

3. Аппроксимация

, иначе

Рассмотрим семейство конечномерных пространств , каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства .

Будем строить  по схеме метода конечных элементов.

Построим триангуляцию области . В результате получим область, где  – число треугольников в разбиении,  – i-тый треугольник разбиения.

Для каждого узла триангуляции  построим аффинную функцию , обладающую следующими свойствами:

1.     

2.      , где  – вершины, смежные с      

3.      , где  – семейство полиномов первого порядка.

Составим пространство  из построенных функций .

Теперь необходимо аппроксимировать множество , заданное формулой (1.9).

Пусть . Тогда .

Покажем, что множество  аппроксимирует .

1)        

От противного: Пусть  такие, что  

            Но, по свойству предельной плотности  

            . Следовательно, , т.е. .   

Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств  требуемое свойство выполнено.

2)    слабо.

       (конечномерное пространство), значит  сильно,   

  
Запишем задачу З1: найти такое, что  

Наряду с ней сформулируем задачу З2:

найти  такое, что 

При сделанных предположениях относительно  .

4. Численный метод

Для решения задачи З2 будем использовать метод штрафа.

Исходная вариационная задача:                    (4.1)

Построим вспомогательный функционал

                        (4.2)

 – функция штрафа.                                                    (4.3)

, если

, если

Тогда вместо решения задачи (4.1) можем решать задачу . По свойствам  функционала  ее решение  существует и единственно.
Кроме того,  – выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].

Производная Гато функции :  

  

Тогда задача  эквивалентна решению уравнения

                                                                         (4.4)

         (4.5)

Можно показать, что  – монотонный оператор и , если  [3].

Следовательно, решение вариационной задачи  .

 

Замечания по реализации:

Неизвестную функцию решения будем искать в виде:

                                                   ,                                                                (4.6) где  – число узлов триангуляции, 

        – значение функции в i-том узле,

        – базисная функция из пространства . 

Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по :

5. Тесты

Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.

Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.

В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.
 




1) . Точное решение задачи .

На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .  


Рис.2 Число узлов = 29

        



Рис.3 Число узлов = 146



Рис.4 Число узлов = 270


Рис.5 Число узлов = 549
Для оценки погрешности решения введем величину , характеризующую относительную погрешность.

Здесь  – точное решение,  – численное решение;

, где  – число узлов.

В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.

№ теста	Число элементов	Число узлов	Относит.погрешность
1	40	29	0.03035
2	258	146	0.00631
3	490	270	0.01735
4	1032	549	0.00219

                                  

                                         Таблица 1 Результаты сравнения (1).
2) . Точное решение задачи .

На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях . 


Рис.6 Число узлов = 29


Рис.7 Число узлов = 146


Рис.8 Число узлов = 270



Рис.9 Число узлов = 549

 

Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.  

№ теста	Число элементов	Число узлов	Относит.погрешность
1	40	29	0.18035
2	258	146	0.08561
3	490	270	0.04981
4	1032	549	0.03484

                                                Таблица 2 Результаты сравнения (2).
3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,

Рис.10 Число узлов = 27



Рис.11 Число узлов = 177
4)      На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,  



Рис.12 Число узлов = 144

Выводы

В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.
Показано, что решение задачи существует и единственно.
Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала.
Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое решение задачи, вычислена относительная ошибка численного решения по сравнению с точным.

Список литературы

1. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
2. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.