Министерство образования и науки Украины
кафедра “Учет и аудит”
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Общая теория статистики
Харьков, 2008 г.

Имеются данные по заводам, изготавливающим одноименную продукцию (табл. 1)
Таблица 1.
Для выявления зависимости между объемом производства продукции и ее себестоимостью сгруппируйте заводы по объему производства, образовав 4 группы с равными интервалами. По каждой группе и в целом по совокупности заводов подсчитайте:
1) число заводов;
2) средний объем производства;
3) средний уровень себестоимости единицы продукции.
Результаты представьте в виде таблицы. Сделайте выводы.
Решение:
1.                 Определим величину интервала.
i = (X_max – X_min) / n , где
Х_max – максимальный объем производства;
X_min – минимальный объем производства;
n – количество групп;
i = (18 – 2) / 4 = 4;
По каждой группе необходимо подсчитать количество заводов и оформить результаты в виде таблицы.
Таблица 1.2. Количество заводов по группам
Вычислим процент к итогу для каждой группы и занесем результаты в таблицу 2.
Для 1-й группы 5 / 22 * 100 = 22,7 %
Для 2-й группы 7 / 22 * 100 = 31,8 %
Для 3-й группы 6 / 22 * 100 = 27,3 %
Для 4-й группы 4 / 22 * 100 = 18,2 %.
Вывод: результаты группировки показывают, что более половины заводов, т.е. 59% имеют объем производства от 6 до 14 тыс. шт. Низкий процент заводов имеет объем производства до 6 тыс. шт. – 22,7%, и свыше 14 тыс. шт. – 18,2%.
2. По данным таблицы 1 для изучения зависимости между объемом производства и себестоимостью единицы продукции произведем группировку заводов по объему производства, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. Применяя метод группировок для взаимосвязи, необходимо прежде всего определить факторный признак, охватывающий влияние на взаимосвязанные с ним признаки. Таким факторным признаком является объем производства. По условию требуется выделить 4 группы заводов по объему производства с равными интервалами. В основание аналитической группировки возьмем те же группы.
Таблица 1.3. Сводная таблица данных по заводам
Определим средний объем производства:
С_ОПI = 18 / 5 = 3,6 тыс. шт.;
С_ОПII = 52 / 7 = 7,4 тыс. шт.;
С_ОПIII = 66 / 6 = 11 тыс. шт.;
С_ОПIV = 63 / 4 = 15,75 тыс. шт.;
С_ОП = 199 / 22 = 9 тыс. шт.;
Определим уровень себестоимости единицы продукции:
С_СПI = 2020 / 5 = 404 грн.;
С_СПII = 2410 / 7 = 344,3 грн.;
С_СПIII = 1670 / 6 = 278,3 грн.;
С_СПIV = 820 / 4 = 205 грн.;
С_СП = 6920 / 22 = 314,5 грн.;
Групповые показатели заводов таблицы 1.3 и исчисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу 1.4.
Таблица 1.4. Результаты расчетов

Группа	Группа заводов по объему производства	Число заводов	Объем производства, тыс. шт.	Себестоимость единицы продукции, грн.
I	2 – 6	5	3,6	404
II	6 – 10	7	7,4	344,3
III	10 – 14	6	11	278,3
IV	14 – 18	4	15,75	205
ИТОГО		22	9	314,5

Вывод: из таблицы 1.4, мы видим, что с увеличением объема производства себестоимость единицы продукции снижается, следовательно, можно предположить, что между изучаемыми признаками существует обратная зависимость.
Задача № 2
Данные об издержках производства и себестоимости изделия «В», выпускаемого однородными предприятиями, за I и II кварталы представлены в таблице 2.
Таблица 2

Номер предприятия	I квартал		II квартал
	Издержки производства, тыс. грн.	Себестоимость единицы продукции, гр.	Количество продукции, тыс. шт.	Себестоимость единицы продукции, грн.
1	25857,0	50,7	550,0	49,5
2	4073,5	48,3	10,8	45,3
3	5450,0	49,0	120,0	48,1
4	10612,0	47,9	235,0	47,5

Определить среднюю себестоимость изделия «В» по всем заводам. Дать краткое обоснование применения соответствующих формул средних величин. Сделать краткие выводы.
Решение:
1.                 Определим среднюю себестоимость изделия «В» за I квартал. За I квартал статистическая информация содержит Х_i – признак, f_i – его частоту. Следовательно вычисления ведем, используя формулу среднеарифметической взвешенной.
Х = å х_i * f _i / å f _i  ,
где х_i – себестоимость единицы продукции, гр.;
f _i – издержки производства, тыс. гр.
Каждое значение признака называют вариантой (х_i). Имеем ряд распределения, в котором одинаковые варианты объединены в группы и определены их частотой (f _i), то есть числами, показывающими сколько раз встречается данная варианта в совокупности.
Х = (25857 * 50,7 + 4073,5 * 48,3 + 5450 * 49 + 10612 * 47,9) / (25857 + 4073,5 + 5450 + 10612) = 2283064,75 / 45992,5 = 49,6 гр.;
2.                 Определим среднюю себестоимость изделия «В» за II квартал. Статистическая информация не содержит частоты, а содержит (Х_i * f_i). Следовательно, вычисления ведем, используя формулу среднегармонической взвешенной.
Х = åМ_i  / å(М _i / Х_i) , где  М _i = Х _i * f _i
Х _i – себестоимость единицы продукции, гр.;
М _i – в данном случае количество продукции, тыс. шт..
Х = (550 + 10,8 + 120 + 235) / ((550 / 49,5) + (10,8 / 45,3) + (120 / 48,1) + (235 / 47,5)) = 915,8 / 18,79 = 48,7 гр.
Вывод: средняя себестоимость изделия «В» за II квартал ниже, чем средняя себестоимость изделия «В» за I квартал.
Задача №3.
Для изучения качества пряжи была проведена 2%-я механическая выборка, в результате которой обследовано 100 одинаковых по весу образцов пряжи и получены следующие результаты (таблица 3).
Таблица 3

Крепость нити, г	140-160	160-180	180-200	200-220	220-240	240-260
Число образцов	2	7	24	40	20	7

На основе полученных данных вычислите: 1) по способу моментов: а) среднюю прочность нити; б) дисперсию и среднее квадратичное отклонение;
2) коэффициент вариации; 3) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых можно ожидать среднюю крепость нити по всей партии пряжи.
Решение:
1. Для определения средней прочности нити по способу моментов воспользуемся следующей формулой:
Х = m₁ * i + A, где
m₁ – момент первого порядка;
Х – варианта;
i – величина интервала;
f – частота;
А – постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака;
m₁ = (å((X – A) / i)) * f) / åf;
X = ((å((X – A) / i)) * f) / åf) * i + A;
i = 20;
В вариационных рядах с равными интервалами в качестве А принимается варианта ряда с наибольшей частотой: А = 210;
Таблица 3.1

Крепость нити, г	Число образцов	Х’	Х – А = Х’ – 210	((Х – А) / i  )	((Х – А) / i  ) * f
140-160	2	150	-60	-3	-6
160-180	7	170	-40	-2	-14
180-200	24	190	-20	-1	-24
200-220	40	210	0	0	0
220-240	20	230	20	1	20
240-260	7	250	40	2	14

å = 100 å = -10
m₁ = (å((X – A) / i)) * f) / åf = -10 / 100 = -0,1;
Х = m₁ * i + A = -0,1 * 20 + 210 = 208 г.
2.                 Определим дисперсию способом моментов:
s² = i² * (m₂ – m₁²);
m₁ = (å((X – A) / i)) * f) / åf;
m₂ = (å((X – A) / i)²) * f) / åf;
m₁ = -0.1;
m₂ = 118 / 100 = 1.18;
s² = 20² * (1,18 – (-0,1)²) = 468;
Определим среднее квадратичное отклонение:
s = √s² = 21,6;
3. Отношение среднего квадратичного отклонения к средней называют квадратичным коэффициентом вариации:
V = (s / X ) * 100 %;
V = (21,6 / 208) * 100% = 10,38%;
4. Предельная ошибка выборки средней вычисляется по формуле:
Dх = t * Ös² / n ,
где n – объем выбранной совокупности, n = 100;
s² – дисперсия;
t – коэффициент доверия (табличное значение для вероятности 0,997 соответствует t = 3);
DХ = 3 * Ö468 / 100 = 6,49 г.
тогда: 208 – 6,49 < Х < 208 + 6,49
201,51 < Х < 214,49
Для бесповторной выборки :
D = t * Ö(s² / n ) * (1 – (n / N))  ,
где n = 100; N = 5000;
D = 3 * Ö468 / 100 * (1 – (100 / 5000)) = 3 * Ö4,68 * 0,98 = 6,42 г.
тогда : 208 – 6,42 < Х < 208 + 6,42
201,58 < Х < 214,42
Задача №4
Имеются данные об урожайности нового сорта пшеницы из ферм области (таблица 4).
Таблица 4.

Год	1999	2004	2005	2006	2007
Урожайность, ц\га	35	40	39	40	42

Для анализа динамики урожайности пшеницы вычислите:
1)                Абсолютный прирост, темпы роста и прироста по годам и к 2004 году; абсолютное содержание 1% прироста (полученные данные представьте в виде таблицы);
2)                Среднегодовой темп роста и прироста урожайности:
а) с 1999 по 2005 гг.;
б) с 2004 по 2007 гг.;
в) с 1999 по 2007 гг.
Постройте график динамики урожайности пшеницы. Сделайте выводы.
Решение:
1.                 Абсолютный прирост (D_i) определяется как разность между двумя уровнями ряда и показывает насколько данный уровень превосходит уровень, принятый за базу.
Базисный прирост:       D = у _i – у _б
где  у _б = 40 ц\га; примем за базисный год – 2004 г.
D ₉₀ = 35 – 40 = -5 ц\га
D ₉₇ = 39 – 40 = -1 ц\га
D ₉₈ = 40 – 40 = 0 ц\га
D ₉₉ = 42 – 40 = 2 ц\га
Цепной прирост: D = у _i – у  _i-1
D ₉₆ = 40 – 35 = 5 ц\га
D ₉₇ = 39 – 40 = -1 ц\га
D ₉₈ = 40 – 39 = 1 ц\га
D ₉₉ = 42 – 40 = 2 ц\га
Темп роста определяется делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень или базовый, определяется в %.
Цепной:
Т = (у_i / у_i-1 ) * 100 %;
Т₉₆ = (40 / 35) * 100% = 114,3%;
Т₉₇ = (39 / 40) * 100% = 97,5 %;
Т₉₈ = (40 / 39) * 100% = 102,6%;
Т₉₉ = (42 / 40) * 100% = 105%;
Базисный
Т = (у _i / у  _б ) * 100 %;
Т₉₀ = (35 / 40) * 100% = 87,5%;
Т₉₇ = (39 / 40) * 100% = 97,5%;
Т₉₈ = (40 / 40) * 100% = 100%;
Т₉₉ = (42 / 40) * 100% = 105%;
Темпы прироста: DТ_пр = Т_пр  - 100%;
Цепной:
Т_пр96 = 114,3 – 100 = 14,3%
Т_пр97 = 97,5 – 100 = -2,5%
Т_пр98 = 102,6 – 100 = 2,6%
Т_пр99 = 105 – 100 = 5%
Базисный: 
Т_пр90 = 87,5 – 100 = -12,5%
Т_пр97 = 97,5 – 100 = -2,5%
Т_пр98 = 100 – 100 = 0%
Т_пр99 = 105 – 100 = 5%
Для того, чтобы правильно оценить значение полученного темпа роста его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста.
Результат выражают показателем, который называется абсолютным значением 1% прироста:
А_i = D_i / DТ_прi или А_i = 0,01 * у_i-1
А₉₆ = 35 * 0,01 = 0,35;
А₉₇ = 40 * 0,01 = 0,4;
А₉₈ = 39 * 0,01= 0,39;
А₉₉ = 40 * 0,01 = 0,4;
Расчетные данные представим в виде таблицы 4.1.

Год	Урожайность, ц\га	Абсолютный прирост, Di		Темп роста, Тр   %		Темп прироста, Тпр   %		Абс. Знач. 1% прироста, Аi
		Базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
1999	35	-5	-	87,5	-	-12,5	-	-
2004	40	Б	5	Б	114,3	-	14,3	0,35
2005	39	-1	-1	97,5	97,5	-2,5	-2,5	0,4
2006	40	0	1	100	10,26	0	2,6	0,39
2007	42	2	2	105	105	5	5	0,4

2.                 Среднегодовые темпы роста и прироста урожайности:
с 1999 по 2005 гг.;
с 2004 по 2007 гг.;
с 1999 по 2007 гг.;
Т = ^n-1Ö у_n / у_i ,
где  n – количество значений
с 1999 по 2005 (n = 8)
Т = ^8-1Ö 39 / 35 =  ⁷Ö 39 / 35 = 1,02;
c 2004 по 2007 (n = 4)
Т = ^4-1Ö 42 / 40 = ³Ö 42 / 40 = 1,02;
c 1999 по 2007 (n = 10)
Т = ^10-1Ö 42 / 35 = ⁹Ö 42 / 35 = 1,02;
Темп прироста: Т_пр = Т_р – 1  (%) ,
1999 – 2005 гг. Т_пр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;
1969 – 2007 гг. Т_пр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;

1999 – 2007 гг. Т_пр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;
Вывод: график динамики урожайности имеет тенденцию к росту. Объем бытовых услуг в 2007 г. по сравнению с 1999 г. повысился на 42 – 35 = 7 ц\га.

Задача №5
В таблице 5 представлены данные о выработке тканей на ткацкой фабрике.
Таблица 5.
Определить на основе индексного метода абсолютное изменение стоимости продукции, в том числе за счет изменения оптовых цен и количества произведенных тканей.
Решение:
1.                  Общий индекс стоимости рассчитывается по формуле:
I_z = åq₁ * z₁ / åq₁ * z₀  ,
где q₁, q₀ – количество продукции данного вида соответственно в отчетном и базисном периоде;
z₁, z₀ – стоимости единицы продукции соответственно в отчетном и базисном периоде.
I_z = (5400 * 14 + 4200 * 20) / (5400 * 15 + 4200 * 24) = 159600 / 181800 = 0,878;
I_z = 0,878 * 100 = 87,8%;
Общая стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным уменьшилась на 12,2%.
Разность между числителем и знаменателем агрегатных индексов характеризует в абсолютном выражении изменение сложного показателя:
åq₁ * z₁ - åq₁ * z₀  = 159600 – 181800 = -22200 гр.
Общая стоимость продукции снизилась на 22200 гр.
Для выявления влияния факторов на изменение стоимости продукции строится общий индекс физического объема (количества) продукции.
2.                 Рассчитаем общий индекс физического объема продукции:
I_q = å q₁ * z₀ / å q ₀ * z₀ 
I_q = (5400 * 15 + 4200 * 24) / (5000 * 15 + 3800 * 24) = 181800 / 166200 = 1,094  ~  109,4 %
Физический объем продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 9,4% или на 15600 гр.
åq₁ * z₁ - åq₀ * z₀  = 181800 – 166200 = 15600 гр.
Задача №6
Имеются следующие данные по заводам города (таблица 6)
Таблица 6
Определить:
1)                индексы производительности труда по каждому предприятию;
2)                общие индексы производительности труда переменного и фиксированного состава по 2 предприятиям вместе;
3)                через взаимосвязь индексов – индекс структурных сдвигов.
Решение
1)                Рассчитаем индексы производительности труда по каждому предприятию
i_q = q₁ / q₀ ,
i_q = 58000 / 50800 = 1,14;
i_q = 42600 / 40500 = 1,05;
2)                Рассчитаем общие индексы производительности труда переменного и фиксированного состава по двум предприятиям вместе
I_{z пер. состава} = (å(z₁ * q₁) / åq₁) / (å(z₀ * q₀) / åq₀);
I_{z пер. состава} = (((9000*58000)+(8200*42600)) / (9000+8200)) / (((7600*50800)+(8000*40500)) / (7600+8000)) = 50658,1 / 45518 = 1,11;
I_{z пост. состава} = (å(z₁ * q₁) / åq₁) / (å(z₀ * q₁) / åq₁);
I_{z пост. состава} = (((9000*58000)+(8200*42600)) / (9000+8200)) / (((9000*50800)+(8200*40500)) / (9000+8200)) = 50658,1 / 45889,5 = 1,10;
3)                Рассчитаем индекс структурных сдвигов через взаимосвязь индексов
I_z = I_z * I_{стр. сдвигов} ,
I_{стр. сдвигов} = I_z / I_z ,
I_{стр. сдвигов} = 1,11 / 1,10 = 1,009;

Задача №7
По исходным данным задачи 1 для изучения тесноты связи между себестоимостью продукции и объемом производства вычислить коэффициент корреляции.
Решение:
Используя данные задачи №1, примем объем производства за «у», а себестоимость единицы продукции за – «х».
Тогда для оценки параметров линейного уравнения регрессии создают систему  нормальных уравнений, которая имеет вид:
å у = n  * b₀ + b₁ * å x
å уx = b₀  å x + b₁ * å x²
Расчетные данные для решения системы нормальных уравнений приведены в таблице 1.
Подставив значения переменных из таблицы, получим систему уравнений:
199 = 22  * b₀ + b₁ * 6920
56160 = 6920* b₀  + b₁ * 2305600
После решения системы уравнений имеем:
у = 24,8 – 0,05х
Таблица 7

№ п/п	у	х	Yх	x2	у2	i
1	16	240	3840	57600	256	12,8
2	8	330	2640	108900	64	8,3
3	6	380	2280	144400	36	5,8
4	3	420	1260	176400	9	3,8
5	7	400	2800	160000	49	4,8
6	4	330	1320	108900	16	8,3
7	10	280	2800	78400	100	10,8
8	12	260	3120	67600	144	11,8
9	5	400	2000	160000	25	4,8
10	14	160	2240	25600	196	16,8
11	7	380	2660	144400	49	5,8
12	9	260	2340	67600	81	11,8
13	7	340	2380	115600	49	7,8
14	15	220	3300	48400	225	13,8
15	10	280	2800	78400	100	10,8
16	12	300	3600	90000	144	9,8
17	8	320	2560	102400	64	8,8
18	4	410	1640	168100	16	4,3
19	2	460	920	211600	4	1,8
20	10	270	2700	72900	100	11,3
21	12	280	3360	78400	144	10,8
22	18	200	3600	40000	324	14,8
	199	6920	56160	2305600	2195

При увеличении объема производства, себестоимость единицы продукции снижается в среднем на 0,05 гр. На основании уравнения регрессии вычисляем теоретическое значение «у» для всех элементов совокупности.
Например:
у₁ = 24,8 – 0,05 * 240 = 12,8;
Коэффициент корреляции определяем по формуле:
r = (n * å уx  - å x *  å у) / Ö(n * åх² – (å x)² ) * (n * åу² – (å у)² )
где    х – факторный признак;
 у – результативный признак;
 n – 22 шт.
Подставим значения из таблицы 7 получим, что коэффициент корреляции :
r = (22 * 56160 - 6920 * 199) / Ö(22 * 2305600 – 47886400) * (22 * 2195 – 39601) = -0,9;
Значение коэффициента корреляции отрицательное (-0,9), следовательно, зависимость – обратно пропорциональная.
Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее корреляционная зависимость.
-1 < r < 1
В нашем случае  r = -0,9 – это свидетельствует о достаточно тесной зависимости факторного и результативного признаков.

Литература
1.     Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 310 с.
2.     Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 280 с.
3.     Практика по теории статистики. Под ред. Проф. Шмойловой Л.А. М.: Финансы и статистика, 2007.