Вариант 2

1. В ящике 2 белых и 4 чёрных шара. Один за другим вынимаются все имеющиеся в нём шары. Найти вероятность того, что последний шар будет чёрным.


Решение:
Обозначим: А – событие, заключающееся в том, что последний извлеченный из ящика шар – черный.

Вероятность испытания, заключающегося в том, что последний извлеченный шар – черный, равна вероятности обычного испытания, заключающегося в извлечении из ящика одного шара:

Тогда данное испытание имеет 6 равновозможных исходов: ,

Из них благоприятствуют событию А   элементарных исхода.

Тогда, используя классическое определение вероятности, имеем:



 - вероятность того, что последний извлеченный шар будет чёрным.

Ответ:
2.  В партии товара, состоящей из 30 мужских пальто, находится 20 изделий местного производства. Товаровед наудачу выбирает 3 изделия. Какова вероятность того, что все 3 изделия окажутся:

а) местного производства; б) не местного производства.
Решение:
а) Вероятность того, что из 3 отобранных изделий все три окажутся местного производства,

 найдем по формуле:

, где

 - число способов, которыми можно извлечь 3 изделия местного производства из 20 (это благоприятные исходы)

- - число способов, которыми можно извлечь 3 изделия из 30, (это все возможные исходы).

,

Вычисляем:  ,



Тогда :  - вероятность того, что из 3 отобранных изделий все три окажутся местного производства.
б) Вероятность того, что из 3 отобранных изделий все три окажутся не местного производства,

 найдем по формуле:

, где

 - число способов, которыми можно извлечь 3 изделия не местного производства из 30-20=10 (это благоприятные исходы)

- - число способов, которыми можно извлечь 3 изделия из 30, (это все возможные исходы).

,

Вычисляем:  ,


Тогда :  - вероятность того, что из 3 отобранных изделий все три окажутся не местного производства.
Ответ: а)   б)
3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 30% - другие банки, остальные - физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01, 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но в факсимильном сообщении имя клиента было неразборчиво. Какова вероятность, что данный кредит не возвращает какой-то банк?
Решение:
Обозначим через А событие «кредит не возвращен»

Выдвинем гипотезы:

H₁ –  кредит не возвратили государственные органы.

H₂ –  кредит не возвратил какой-то  банк.

H₃ –  кредит не возвратили физические лица.
Вероятности гипотез H₁  , H₂   и H₃  согласно условию, равны

   , ,  тогда

Условные вероятности события А при этих гипотезах, согласно условию  равны

  , ,  

Тогда используем формулу полной вероятности:



 - вероятность того, кредит не будет возвращен.

Вероятность того, что кредит не возвратил какой-то банк, найдем по формуле Байеса:

Ответ:
4. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях игральной кости?
Решение:
Обозначим через А событие «на игральной кости выпало 6 очков »

Вероятность этого события определяется следующей формулой:

, где  – число всех равновозможных исходов (выпадение 1,2,3,4,5, и 6 очков) ,  -  число благоприятных исходов (выпадение 6 очков).

Тогда   

Выпадение при трех бросаниях хотя бы двух шестерок означает выпадение двух или трех шестерок.

По теореме сложения вероятностей:

 

Для того, чтобы найти вероятность выпадения двух и трех шестёрок при трёх бросаниях игральной кости, воспользуемся формулой Бернулли

,   где

В нашем случае: ,

вероятность обратного события:

, ,

Вычисляем: 



Тогда:  - вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях игральной кости

Ответ:
5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженых семян: а) прорастёт ровно 700; б) число проросших заключено между 790 и 830.
Решение:


а) Найдем вероятность того, что прорастет ровно 700 семян:

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

,   

Вычислим: 

 и можно считать ,

Т.е. вероятность события,  что из 900 посаженных семян прорастет ровно 700, близка к нулю.



б) Найдем вероятность того, что число проросших семян заключено между 790 и 830:

По условию:  - вероятность всхожести семян,

 ,  ,

Так как значения  и  велики, воспользуемся неравенством Чебышева:

Вероятность того, что отклонение случайной величины  от ее математического ожидания  будет меньше некоторого числа :



В нашем случае:



Граничные значения ,   симметричны относительно , поэтому от неравенства  можем перейти к неравенству

              

Или ,  сравниваем с  и получаем:



Значение  найдем по формуле: , где





Тогда : 

       ,

Т.е.

Ответ:  а)  , б) 
6. Инвестор покупает ценные бумаги за счет займа, взятого с процентной ставкой г под залог недвижимости. Процентная ставка на ценные бумаги X - случайная величина с МХ=а, a>r, DX=<72. Какова вероятность того, что инвестор не сможет вернуть долг и лишится своей недвижимости? Указание. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность события (Х<г).

Решение:

Предположим, что инвестор взял  денег и на все эти деньги купил ценные бумаги. Тогда он должен отдать .

 Получит же инвестор от прибыли ценных бумаг  .

Инвестор не сможет он вернуть долг, в том случае, если N*(1+X) < N*(1+r), или X < r.

 или

Событие  влечёт событие  . Вероятность    можно оценить по неравенству Чебышёва:

             

По условию , тогда:

- оценка вероятности события, состоящего в том, что инвестор не сможет вернуть долг.

Ответ:
7. Ценная бумага может подорожать на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,6. Она также может подешеветь на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,4. Предполагая, что ежемесячные изменения цены независимы, рассчитайте:

а) вероятность того, что за три месяца цена станет равной от первоначальной;

б) вероятность того, что затри месяца цена станет равной  от первоначальной.

Решение:

По условию:

 - вероятность того, что в один отдельный месяц цена возросла на 1%

- вероятность того, что в один отдельный месяц цена упала на 1%

 - количество месяцев

Обозначим  - количество месяцев, в которые цена росла,

Тогда:

а)  Цена стала равной от первоначальной – значит, цена росла три месяца.

Воспользуемся формулой Бернулли:

,   где



 – вероятность того, что за три месяца цена станет равной от первоначальной.

б) Цена стала равной   от первоначальной – значит, цена росла два месяца и падала 1 месяц.



– вероятность того, что затри месяца цена станет равной  от первоначальной.

Ответ:  а)  , б) .
8. На крупном промышленном предприятии при проведении курса технической подготовки, предназначенного для всех принятых работников рабочих специальностей, было установлено, что имеется зависимость между возрастом работника и временем, необходимым для освоения определенных навыков и умений. В таблице приведен возраст 8 работников, выбранных произвольно, а также время, необходимое для выработки у них навыков в определенной области.
Работник

	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
Возраст (лет)	18	19	20	21	22	23	29	38
Время подготовки (часов)	4	3	4	6	5	8	6	7

а) с помощью метода регрессии определите продолжительность подготовки, необходимую для нового работника в возрасте 30 лет.

б) Определите коэффициент корреляции и прокомментируйте точность вашей оценки в том, что касается части (а).Какие другие факторы могут повлиять на продолжительность подготовки, необходимой для каждого работника?

Решение:

Обозначим  – возраст работника,  – время подготовки
б) Определим  коэффициент корреляции  по формуле:

, где

 - корреляционный момент, характеризуется следующим уравнением:



Математические ожидания и  определяем по формулам:

,

Вычисляем:







Определим дисперсии:





Тогда корреляционный момент:



Коэффициента корреляции :



Коэффициент корреляции отличен от нуля, следовательно, величины коррелируют.

9. Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в регионе А составило 26·104 у. е., в регионе В на 100 филиалов пришлось 18·104 у. е. Дисперсия величины страховых взносов в регионе А равна 39·108 (у. е.)2 , в регионе В – 25·108 (у. е.)2 . На уровне значимости а = 0,05 определите, существенно ли различается средняя величина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1 филиал.

Решение:

По условию нам известны следующие данные:

Для региона  A: ,  ,  

Для региона  B: ,  ,  

Для того чтобы при заданном уровне значимости   проверить нулевую гипотезу :  о равенстве  математических ожиданий двух нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

 

И по таблице функции Лапласа найти критическую точку  из равенства



Если  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если  - нулевую гипотезу отвергают.

Вычислим :

Сначала определим средние  и





Тогда:



из равенства   ,

используя таблицу Лапласа определим критическую точку  :

       

Сравнивая  и   ,  получаем:

      

Значит, нет оснований отвергать гипотезу о равенстве математических ожиданий данных распределений.

Гипотезу  :   принимаем.

Значит, различие  средних величин поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1 филиал не существенны.

Ответ: средние величины поступления страховых взносов

 различаются не существенно
10. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей (Х) и стоимостью ежемесячного технического обслуживания (Y). Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей.

Х	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Y	13	16	15	20	19	21	26	24	30	32	30	35	34	40	39

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при а = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

Решение:

График исходных данных:



Как видно по графику, зависимость между величинами X и Y  можно принять как линейную.

Выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона