На основе данных, полученных в результате выборочного взвешивания мальков лососевых:

1)                построить интервальных вариационных ряд относительно частот;

2)                построить гистограмму относительных частот;

3)                построить простой вариационных ряд относительных частот и изобразить его полигоном относительных частот;

4)                построить эмпирическую функцию распределения;

5)                вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение

1        Вычислим размах вариации по формуле

,

где Хmax, X min – максимальные и минимальные значения признака.

R=157-37=120

Число статичных иитервалов найдем по формуле

R=2Lnn

Где R – число частичных интервалов, n – объем выборки.

R = 2Ln50=8

Определим длину частичных интервалов по формуле





Разобьем общий интервал на 8 частичных и подсчитаем результаты, которые занесем в таблицу 1


Таблица 1

Интервал	Частота, m
37-52	4
52-67	6
67-82	11
82-97	9
97-112	11
112-127	6
127-142	2
142-157	1

                                                                           

Рассчитаем относительные частоты по формуле , результат запишем в таблицу 2, которая называется интервальным рядом относительных частот

Таблица 2

Интервал	Относительная частота, р
37-52	0,08
52-67	0,12
67-82	0,22
82-97	0,18
97-112	0,22
112-127	0,12
127-157	0,06

                                                                           

2.Построим гистограмму.

Для построения гистограммы рассчитаем относительную плотность , результаты занесем в таблицу 3

Таблица 3

Интервал	Относительная частота, р	Относительная плотность распределения, f
37-52	0,08	0.005
52-67	0,12	0.008
67-82	0,22	0.01
82-97	0,18	0.012
97-112	0,22	0.01
112-127	0,12	0.008
127-157	0,06	0.002

На основе данных таблицы построим гистограмму

f
0,012
0,01
0,008
0,005
0,002
	52	67	82	97	112	127	132	157

3.Построим простой вариационный ряд. Результаты запишем в таблицу

Поскольку различных значений случайной величины больше 10, то его строят исходя из интервального ряда распределения. Каждый интервал заменяют его серединой


Таблица 4

Х	44,5	59,5	74,5	89,5	104,5	119,5	142
m	4	6	11	9	11	6	3
p	0.08	0.012	0.22	0.18	0,22	0.012	0.006

Построим полигон


4        Построим эмпирическую функцию распределения.

Для построения эмпирической функции необходимы данные таблицы 4
                            
5        Определим выборочную среднюю  дисперсию по формуле





взяв х=88,96

Таблица 5

	р			р
44,5	0,08	-44,46	1976,6916	158,135328
59,5	0,12	-29,46	867,8916	104,146992
74,5	0,22	-14,46	209,0916	46,000152
89,5	0,18	0,54	0,2916	0,052488
104,5	0,22	15,54	241,4916	53,128152
119,5	0,12	30,54	932,6916	111,922992
142	0,06	53,04	2813,2416	168,794496

                                                                                                               

=642



Таким образом, в данной выборке средний вес малька составляет 89 единиц, отклонение веса от среднего значения составляет ±25,33 единиц.

Считая, что вес мальков починяется нормальному закону распределения , по данным случайной выборке

1                   определите точечные оценки параметров нормального распределения

2                   построить теоретическое нормальное распределение и изобразить его графически на рисунке, где построена гистограмми распределения

3                   исходя из геометрического изображения сделать вывод о согласованности эмпирического распределения с нормальым теоретическим.

1                   Функция плотности распределения в нашем случае имеет вид



В нашем случае



Для построения кривой теоретического нормального распределения рассчитаем ее значение в некоторых точках (см. табл.5)

0,003


0,013

0,016

0,013

0,008

0,002

Исходя из геометрического построения можно сделать вывод, что эмпирическое распределение согласуется с теоретическим нормальным.

Вычислим доверительный интервал, который  имеет вид

Все величины известны, кроме , которую определяем по приложению к учебнику В.Е.Гмурмана. Она равна 1,96



Делая необходимые расчеты, получили доверительный интервал

87,41 < а < 90,51
Задача 174.

Данные статистической обработки сведений двум основным показателям Х и У отражены в корреляционной таблице

Талица 6

У	Х
	18	28	38	48	58	68
3 6 13 18 23	5                 1                             3                  5                                                  2                 40               9                                                   6                  11              4                                                                         4               7                 3						6 8 51 21 14
	5                  4                    13                  56              20               3						N=100

1                   Написать ряды распределения для Х и У и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения

2                   Написать условные ряды распределения У/Х и вычислить условные средние

3                   Изобразить графически зависимость условных средних  от значений Х

4                   Рассчитать выборочный коэффициент корреляции У на Х

5                   Написать выборочное уравнение прямой регрессии

6                   Изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.

1                   Напишем ряд распределения для Х (У) . Для этого выпишем значения Х и соответствующие им частоты

Х       18      28      38      48      58      68

nx      5        4        13      56      20      3

y       3        6        13      18      23

ny      6        8        51      21      14

Вычислим



Точка распределения случайных величин находится в точке (47,5;14,3)

Вычислим  и . Результаты оформим в таблицу 9 и 10.

Таблица 7

х	nx
18	5	-29,5	870,25	4351,25
28	4	-19,5	380,25	1521
38	13	-9,5	90,25	1173,25
48	56	0,5	0,25	14
58	20	10,5	110,25	2205
68	3	20,5	420,25	1260,75

                                                                                                   =10525,5




Таблица 8

y
3	6	-11,3	127,69	766,14
6	8	-8,3	68,89	551,12
13	51	-1,3	1,69	86,19
18	21	3,7	13,69	287,49
23	14	8,7	75,69	1059,66

                                                                                                   =2750.6




2        Запишем условные ряды распределения У/Х и вычислим условные средние

          3                         

                            5

            3        6                

                            1        3

            6        13      18              

                            5        2        6

            13      18      23              

                            40      11      4

            13      18      23              

                            9        4        7

            23                        

                            3


3        Построим графическую зависимость  и значений Х


Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции по формуле

,

Расчет средней арифметической произведений ХУ оформим в таблицу.

Х	У	nху	Х у nху
18	3	5	270
28	3	1	84
28	6	3	504
38	6	5	1140
38	13	2	988
48	13	40	24960
58	13	9	6786
38	18	6	4104
48	18	11	9504
58	18	4	4176
48	23	4	4416
58	23	7	9338
68	23	3	4692

                                                                                70962



Вычисляем



Таким образом, между  и Х существует тесная линейная связь, т.к.

4        Напишем выборочное уравнение прямой регрессии. Оно имеет вид



Подставим имеющиеся данные







5        Изобразим графически данные корреляционной таблицы и прямую регрессии У и Х.



Поскольку прямая регрессии расположена среди экспериментальных точек, то можно сделать вывод, что расчеты выполнены точно