Задача 1
Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса

Решение:
1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера

Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D₁, D₂, D₃, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество




Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
                        
Ответ: получили решение:
2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы

Примем первую строку за направляющую, а элемент а₁₁ = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.

Матрице  соответствует множество решений системы линейных уравнений 
Ответ: получили решение:
Задача 2
Даны координаты вершин треугольника АВС
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты CD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.
А(1; -1),     В(4; 3).       С(5; 1).
Решение
1) Расстояние между точками А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) определяется по формуле

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂)  имеет вид

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент k_АВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.
У нас , то есть  откуда
Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.
Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:

Угловой коэффициент k_ВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.
У нас , то есть
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.
Подставив ранее вычисленные значения k_ВС и k_АВ  в (3), находим:

Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.
4) уравнение медианы АЕ;
Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС
                
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:


5) уравнение и длину высоты CD;
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х₀; у₀) с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид

и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением k_ABk_CD = -1, откуда k_CD = -1/k_AB = - 3/4
Подставив в (4) вместо k значение k_СD = -3/4, а вместо x₀,  y₀ ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты  CD

Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х₀; у₀) до заданной прямой с уравнением Ax + By + С = 0 , которая имеет вид:

Подставив в (5) вместо х₀; у₀ координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то k_EF = k_AB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х₀; у₀ координаты точки Е, а вместо k значение k_EF получаем уравнение прямой EF'.

Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.

Таким образом, М(5,48; 0,64).
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М₀(х₀; у₀) имеет вид

Имеем
Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на  рис.1.
\s
Рис. 1
Задача 3
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат

Решение

Пусть М (x, у) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то

Pиc. 2





Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).
Задача 4
Найти указанные пределы:
а)

Ответ:
б)

Ответ:
Задача 5
Найти производные dy/dx, пользуясь правилами и формулами дифференцирования
Решение:
а)


Ответ:
б)




Ответ:
в)



Ответ:

Задача 6

Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
а) ; б)

 

Решение

а)
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х:  хÎ(-¥, +¥)}, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных  асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:



Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х₁ =  1, х₂ = 2.
Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:


3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:
Значение  х = 1,5  является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:

4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  y = kx – b воспользуемся формулами


Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) построим график функции

б)
1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х

D(y) = хÎ(-¥, 0) È (0, +¥).
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:


Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота.
3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода.
Так как y’ < 0 для всех х, то функция убывает  во всей области определения
4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем область определения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной:
5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  y = kx + b воспользуемся формулами


Таким образом, у графика заданной функции есть наклонная асимптота
y = 0*x + 1 = 1.
6) построим график функции