МИНЕСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра вычислительной математики, информатики и методики ее преподавания
КУРСОВАЯ РАБОТА
взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
Выполнил студент 146 группы: Вафин А.А.
Научный руководитель: д. ф. – м. н. Аганин А. А.
Казань – 2007

Содержание

Введение

1.                 Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

2.                 Математическая модель взаимодействия пузырьков

3.                 Методика решения

4.                Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

5.                 Заключение

6.                 Литература

7.                 Приложение. (Программа расчета).

Введение

К настоящему времени довольно хорошо изучена динамика отдельного пузырька газа в жидкости. Полученные в этом отношении результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение. Вместе с тем, в реальных жидкостях, как правило, присутствует не один, а множество пузырьков, так что свойства жидкостей существенно зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. В силу большей сложности этот вопрос является менее изученным, хотя он и имеет важное прикладное значение.
В данной курсовой работе исследуется взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели. В принципе, такое взаимодействие можно изучать и на основе широко известных уравнений Навье-Стокса методом прямого численного моделирования. Однако такой подход пока не используется в силу больших потребностей компьютерного времени даже на современных компьютерах с высоким быстродействием. В модели, использующейся в курсовой работе, жидкость считается невязкой несжимаемой, пузырьки – осесимметричными. Пузырьки расположены сносно. Их общая ось симметрии направлена вертикально вдоль действия силы тяжести. Пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания, а скорости их вертикального пространственного перемещения считаются малыми. Используются три системы отсчета, одна неподвижная и две подвижные. В качестве неподвижной системы приняты декартовые координаты, а в качестве подвижных систем – сферические координаты. Начало отсчета радиальных координат в подвижных сферических системах отсчета связано с центрами пузырьков. Поверхности каждого из пузырьков представляются в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам нулевой, второй, третьей, четвертой и т.д. степеней. При этом сферическая гармоника нулевой степени описывает радиальную составляющую поверхности пузырька, а гармоники второй, третьей и т.д. степеней – отклонения от сферической формы в виде соответствующей гармоники (второй степени – эллипсоидальные отклонения, третьей – грушеобразные и т.д.).
Созданная математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, пространственного положения их центров и амплитуды отклонений от сферической формы пузырьков в виде сферических поверхностных гармоник. При выводе этих уравнений используются частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат и интеграл Коши-Лагранжа.

Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

Рассматривается динамика двух газовых пузырьков в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости. Динамика жидкости описывается уравнениями
,   .            (1)
Здесь – время эйлеровых (неподвижных) систем координат , ,  (нижний индекс  означает частную производную), – вектор скорости, – плотность жидкости, – давление, , ,  ,  –направляющие векторы пространственных координат. Здесь и далее, если не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование (здесь от 1 до 3).

Рис.1

Пузырьки расположены вдоль вертикальной оси  неподвижной декартовой системы координат  (рис.1).

x

z

На поверхности каждого пузырька выполняются следующие условия:
кинематическое
,                                           (2)
и динамическое
.                                                     (3)
Здесь – скорость точки поверхности пузырька, – нормаль к поверхности пузырька, верхние знаки указывают на отношение к внешней (+) и внутренней (–) сторонам поверхности.
         Газ в пузырьках принимается гомобарическим (с однородным распределением давления) с давлением, изменяющимся по закону (Ван-дер-Ваальса)
,                         (4)
где – начальное давление газа в пузырьке, – текущий и начальный объемы пузырька, – постоянная, – показатель адиабаты.
         На бесконечном удалении от пузырьков давление жидкости  совершает гармонические колебания
,                                    (5)
где – статическое давление в жидкости, , – амплитуда и частота колебаний.
Рассматриваются случай, когда форма пузырьков в интересующем промежутке времени остается относительно близкой к сферической.

Математическая модель взаимодействия пузырьков

В пятом приближении относительно  уравнения динамики двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости представляют собой систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений относительно радиусов пузырьков , координат их центров
;
;
;
;

Методика решения

Имея четыре уравнения второго порядка относительно радиуса и положения центра пузырьков. Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:

Получаем систему 8-и уравнений 1-го порядка относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков.
;
( )/ ;
/ ;
/ ;
/ ;
/ ;
/ ;

;
( )/ ;
( )/ ;
( )/ ;
/ ;
/ ;
( )/ ;

;
/ ;
0;
( )/ ;
( )/ ;
/ ;
( )/ ;

;
/ ;
0;
( )/ ;
( )/ ;
/ ;
( )/ ;

Отсюда получаем данные уравнения в следующем виде:

Решим уравнение методом последовательных приближений.
  В нулевом приближении данные уравнения записываются относительно радиуса и положения центра пузырьков.

Подставляя  выражения, находим уравнения нулевого приближения:

В первом приближении уравнения записываются относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. Полученное первое приближение добавляем к нулевому приближению. И так находим до пятого приближения.






Исходя из этого, можем записать следующую систему:

Полученные дифференциальные  уравнения решаются методом Дортсмана–Принса восьмой степени точности. (Программа приведена ниже).

Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Для учета влияния вязкости и сжимаемости жидкости проводим следующую модификацию математической модели. (По аналогии с работой Дойникова[?]).
1.                С учетом сжимаемости жидкости получим следующие уравнения:
;
;

Решение для нулевого приближения для одного пузырька

;
Вводим замены:
;             ;         ;;
=  = ;
  - начальное давление газа в пузырьке;
  ; -давление газа в пузырьке.


А - константа Ван-дер-Ваальса;
- коэффициент поверхностного натяжения;
 - давление газа в пузырьке;
 - статическое давление в жидкости;
- Начальный радиус пузырька;
R - Радиус пузырька;
 - Центр пузырька;
u - Вектор скорости жидкости;
-давление в жидкости на большом удалении от пузырька, где
- амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний ( ).

- Плотность жидкости;
- Скорость звука в жидкости;
- Кинематический коэффициент вязкости
 - расстояние между пузырьками.
;
;
Обозначим слагаемые и сомножители через: , , , , :
; ; ;
; ;
  ;
   ;
Добавляем второе уравнение: =0 =>
;
;

Добавляем уравнение второго пузырька

;
; ;  ; =  = ;
;
;
; ; ;
; ;
;
;
Добавляем второе уравнение: =0 =>
;
;

Решение для первого приближения одного пузырька

;
;

;
;
( );
;

Добавляем уравнение второго пузырька

;
;

;
;
;

Решение для второго приближения одного пузырька

;
/
;
;
( );
;
;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;
;
;
;
;

Решение для третьего приближения одного пузырька

;
)/
;
;
;
;
;
;
;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;
;
;
;
;
;

Решение для четвертого приближения одного пузырька

;
)/
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;
;
;
;
;
;
;
;
;

Решение для пятого приближения одного пузырька

;
)/
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;
;
;

;
;

;
;
;
;



2.                Для исследования добавляем вязкость и решаем уравнение:


;

;
где , (j = 1,  i = 2);
 - Кинематический коэффициент вязкости;
,
, , ,
Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:
                                            

Для первого уравнения:
;
= ;
;
;
;
0;
;
;
;
;
Для второго уравнения:
;
= ;
;
;
;
0;
;
;
;
;
 

Рис.1. Изменение радиуса пузырька и  положения его центра во времени.