Кафедра № 33
      
Математические модели физических процессов
“Реакция деления ядер. Жизненный цикл нейтронов”
Москва
1996
1. ОСНОВЫ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ    
1.1 Способы получения энергии
         В наше время, с каждым годом возрастают потребности человечества в энергии. На получение необходимого количества энергии затрачивается примерно 30% производственных усилий человека. Совершенно очевидно, что полный запас энергии в природе в соответствии с законом сохранения энергии не меняется. Поэтому процесс получения энергии представляет собой перевод энергии из связанной ( энергия покоя ) в свободную форму ( энергию относительного движения тел). Свободная энергия быстро рассеивается в пространстве, поэтому ее можно использовать.
         Итак мы приходим к тому, что необходимо уметь вызывать процессы, которые приводят к убыли массы тел и эквивалентному выигрышу свободной энергии. Конечно, получать энергию можно лишь при условии существования достаточного количества топлива. Пусть микрочастицы вещества топлива находятся в состоянии с энергией E₁ и существует другое возможное состояние этих частиц с энергией E₂ ( E₁ > E₂ ). В принципе есть возможность перехода во второе состояние, но ему препятствует существование энергетического барьера, то есть некоторого необходимого промежуточного состояния с энергией E’ ( E’ > E₁ ). Таким образом процесс сжигания топлива должен быть инициирован некоторым внешним возбуждением.
1.2 Способы организации реакции горения, цепные реакции
         Существует два способа возбуждения реакции горения топлива. Первый - использование кинетической энергии столкновения частиц ( термоядерный процесс ). Другой способ состоит в использовании энергии связи присоединяющихся частиц. Для возбуждения такой реакции нужно направлять в топливо активные частицы.
         Достаточно большое количество вещества может испытать превращение лишь при самоподдерживающейся цепной реакции. Цепная реакция обладает следующим важным свойством - акт реакции возбуждается при поглощении частицы, а в результате ее должны появляться вторичные активные частицы.
         При ядерных превращениях носителем цепного процесса может служить нейтрон, поскольку он не имеет электрического заряда и может беспрепятственно сближаться с атомными ядрами. Среди известных ядерных реакций лишь одна обладает свойством цепных реакций. Это реакция деления тяжелых ядер, которые легко  возбуждаются нейтроном и дают в среднем 2,5 на акт деления вторичных нейтронов. Основную трудность представляет собой не организация цепной реакции, а получение чистых делящихся веществ. Важной чертой цепных ядерных реакций является тот факт, что их скорости не зависят от температуры среды,  что является их главным преимуществом перед процессами с тепловым возбуждением.
2.  ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕЙТРОНОВ С ЯДЕРНЫМ ВЕЩЕСТВОМ, РЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР.
2.1. Общие сведения о ядерных реакциях взаимодействия нейтронов с ядрами
         В связи с вышесказанным совершенно очевидно, какое значение сегодня имеет использование ядерной энергии. Устройство, предназначенное для организации и поддержания цепной реакции деления ядер с целью получения энергии называется ядерным энергетическим реактором.
         В основе работы ядерного реактора лежат процессы взаимодействия нейтронов с ядерным веществом, наиболее важными из которых являются - реакция деления ядер,  реакция радиационного захвата (поглощения) и реакция рассеяния.
                                               деление (fission)
n                A                         поглощение (capture)
                                               рассеяние (scattaring)
Ядерные реакции подчиняются законам квантовой механики, поэтому можно говорить лишь о вероятности протекания той или иной из них. Мерой вероятности данного типа реакции является эффективное (микроскопическое) сечение.
2.2. Эффективные сечения ядерных реакций
         Рассмотрим тонкую пластинку, содержащую N_я ядер, на которую падает поток нейтронов со скоростью v и концентрацией n.
Найдем количество реакций того или иного типа.
         Пусть количество реакций равно R, тогда
         R = j N_я s                                               (1)
j = n v  - плотность потока нейтронов, s - микроскопическое сечение взаимодействия. s измеряется в барнах ( 1 б = 10^-24 см² ).
Можно записать уравнение (1 ) для трех основных ядерных реакций:
         R_f = j N_я s_f                 - реакция деления
         Rc = j N_я s_c                          - реакция радиационного захвата
         R_s = j N_я s_s            - реакция рассеяния
         s_total = s_f + s_c+ s_s
Вообще говоря, микроскопические сечения взаимодействия всех реакций зависят от массового числа ядра и от энергии нейтрона. При этом вид зависимости s(E_Н) определяется тем, к какой области принадлежит энергия нейтрона E_Н . В соответствии с этим принято делить область энергий на три части: Область тепловых нейтронов, где E < 0,625 эВ; область промежуточных нейтронов или резонансная область, где  0,625 эВ < E < 0.1 МэВ; область быстрых нейтронов, где E > 0.1 МэВ;
2.3 Реакция радиационного захвата и реакция рассеяния
         Рассмотрим коротко два важных типа ядерных реакций - захвата (поглощения) и рассеяния , а затем перейдем к подробному описанию третьего - реакции деления ядер, которая необходима для поддержания цепной реакции.
2.3.1 Реакция рассеяния
         Существует два типа реакций рассеяния: упругое взаимодействие, при котором суммарная кинетическая энергия взаимодействующих нейтрона и ядра не меняется после реакции и неупругое взаимодействие, при котором часть кинетической энергии идет на возбуждение конечного ядра и затем испускается в виде g-кванта.
                                                                                    
                            E₀                                             A                E₁
               n                  A                           
                                                      n                  E₂
                                                                                                                                                                            n
                               n                 A                   A₊₁                                           g          
 

                                                                                                       A
Нужно отметить, что реакция неупругого рассеяния происходит лишь при определенных значениях энергии нейтрона (E_пор » 0,1 МэВ), в то время как энергия упругого рассеяния возможна всегда.
         Значение реакции рассеяния в ядерной энергетике трудно переоценить, поскольку именно на ней основаны системы замедления нейтронов в реакторе. В качестве веществ-замедлителей обычно используют тяжелую и легкую воду, графит.
2.3.2 Реакция поглощения (захвата)
         Данная реакция играет важную роль в физике реактора, поскольку она является конкурирующей по отношению к реакции деления.                                                                                       
                                                                                                                                                                            g
                n                 A                   A₊₁                                                          
                                                                                                                                                                            A₊₁
В результате нейтрон выбывает из цепной реакции. s_c зависит от энергии нейтрона и от массового числа A. В области тепловых нейтронов сечение подчиняется закону  s_c(E) обратно пропорционально скорости нейтрона v (или квадратному корню  из E). При увеличении энергии нейтрона начинается резонансная область, в которой s_c имеет множество максимумов и минимумов.

2.4 Реакция деления ядер
         Данная реакция наиболее специфична для ЯР. Схематично эту реакцию можно представить так:
2.4.1 Общая схема реакции деления
                                                                                                                                                                      n                          
                                                                                                                               A₁                               g_оск
n           A           A₊₁                                           g_мгн                                                   b
                                                                                                                                                                            u
                                               n                           n                                               A₂        g_оск               
                                      n                                                              b     
                                                                                                                                                                            u
         Под действием нейтрона ядро тяжелого элемента делится на две части (осколка) отношение масс которых обычно (для часто используемых элементов) близко к 95/140. Нуклиды, которые делятся нейтронами - это тяжелые нуклиды. Некоторые из них делятся тепловыми нейтронами:  U²³⁵, Pu²³⁹, Pu²⁴¹ (в природе встречается только U²³⁵, содержание которого в естественном U²³⁸ составляет 0.714%). Другие нуклиды, например, естественный уран, делятся только быстрыми нейтронами. Вообще говоря, процесс не протекает по строгой схеме, поскольку существует много вариантов деления на различные осколки.
2.4.2 Энергетический баланс реакции деления
         Рассмотрим энергетический баланс реакции деления.
Пусть E_нач = 0.025 эВ - средняя энергия теплового движения при 20⁰ С. Тогда E_выдел= 200 МэВ.

продукт реакции_	вид получаемой энергии	E, МэВ
Кинетическая энергия осколков	тепло	167
Кинетическая энергия g	тепло	6
Кинетическая энергия n	тепло	5
Кинетическая энергия b	тепло	8
Кинетическая энергия u	энергия теряется	12

2.4.3 Сечение деления.

рис. 2                                                                 рис. 3

рис. 1

         Зависимость s_f(E) имеет достаточно сложный вид, поскольку на кривую E^-1/2 накладывается много резонансов. Если бы характер этой зависимости описывался формулой s_f(E) = E^-1/2, то график зависимости f(E) = s_f E^1/2 для U²³⁵ в области тепловых нейтронов_, изображенный на рис. 1 имел вид прямой, параллельной оси абсцисс. Однако на практике эта зависимость имеет приведенный на рис. 1 вид, с резонансом в точке E = 0,3 эВ.
         На рис. 2 приведена схематичная зависимость s_f и s_total от E в случае когда деление ядра элемента возможно и тепловыми нейтронами. На рис. 3 приведена зависимость сечения деления для U²³⁸, из которой видно, что деление этого ядра возможно только быстрыми нейтронами  (E_пор > 1). Сечения деления ядер нейтронами различных энергий можно определить по специальным таблицам.
2.4.4 Образование нейтронов
         Как видно из приведенной выше схемы, при реакции деления кроме новых ядер могут появляться g-кванты, b-частицы распада, g-кванты распада, нейтроны деления и нейтрино. С точки зрения цепной ядерной реакции наиболее важным является образование нейтронов. Среднее число появившихся в результате реакции деления нейтронов обозначают u_f . Эта величина зависит от массового числа делящегося ядра и энергии взаимодействующего с ним нейтрона. образовавшиеся нейтроны обладают различной энергией (обычно от 0,5 до 15 МэВ), что характеризуется спектром нейтронов деления. Для U²³⁵ среднее значение энергии нейтронов деления равно 1.93 МэВ.
         В процессе ядерной реакции могут появляться как ядра способствующие поддержанию цепной реакции (те которые испускают запаздывающий нейтрон), так и ядра, оказывающие неблагоприятное воздействие на ее ход (если они обладают большим сечением радиационного захвата).
2.4.5 Запаздывающие нейтроны
         Заканчивая рассмотрение реакции деления, нельзя не упомянуть о таком важном явлении как запаздывающие нейтроны. Те нейтроны, которые образуются не непосредственно при делении тяжелых нуклидов (мгновенные нейтроны), а в результате распада осколков называются запаздывающими нейтронами. Характеристики запаздывающих нейтронов зависят от природы осколков. Обычно запаздывающие нейтроны делят на 6 групп по следующим параметрам: T - среднее время жизни осколков, b_i - доля запаздывающих нейтронов среди всех нейтронов деления, b_i/b - относительная доля запаздывающих нейтронов данной группы, E - кинетическая энергия запаздывающих нейтронов.
         В следующей таблице приведены характеристики запаздывающих нейтронов при делении U²³⁵

№ группы	T, сек.	bi	bi/b , %	E, МэВ
1	80.0	0.21	3.3	0.25
2	32.8	1.40	21.9	0.56
3	9.0	1.26	19.6	0.43
4	3.3	2.52	39.5	0.62
5	0.88	0.74	11.5	0.42
6	0.33	0.27	4.2	-

 
В целом:
N_зап / (N_зап + N_мгн) = b = 0.0065;  T_зап » 13 сек.; T_мгн » 0.001 сек.
         На этом мы закончим рассмотрение реакции деления ядер и перейдем к изучению цепной реакции деления и жизненного цикла нейтронов.
3. ЖИЗНЕННЫЙ ЦИКЛ НЕЙТРОНОВ
3.1 Возможность цепной реакции
         В результате деления ядра появляется в среднем 2.5 нейтрона. Поэтому можно организовать цепную реакцию деления, при которой новые нейтроны, в свою очередь активируют реакцию деления ядер топлива. Однако помимо реакции деления всегда присутствуют конкурирующая реакция радиационного захвата и утечка нейтронов из активной зоны реактора. В состав АЗ всегда входят теплоноситель, конструкционные материалы и замедлитель, которые увеличивают захват нейтронов.
         Таким образом мы приходим к необходимости изучения того, при каких условиях возможна цепная реакция деления в ЯР на тепловых нейтронах (именно такие реакторы обычно применяются для энергетических целей). Нужно отметить, что мы будем рассматривать реакторы, использующие естественный U²³⁸, обогащенный U²³⁵. Кроме того для простоты будем считать, что активная зона реактора - бесконечная и гомогенная.
3.2 Основные характеристики цепной реакции
         Рассмотрим соотношения, характеризующие протекание цепной реакции деления.
3.2.1 Коэффициент размножения на быстрых нейтронах
         Пусть в среде есть N быстрых нейтронов, они будут взаимодействовать с ядрами среды, в том числе и с ядрами U²³⁸, те из них которые имеют энергию выше порога деления (1 МэВ) могут вызывать деление урана и образование новых быстрых нейтронов. При этом их энергия будет меньше порога деления.
         Коэффициент размножения на быстрых нейтронах m - число нейтронов ушедших под порог деления U²³⁸ на один быстрый нейтрон (появившийся в результате деления ядер U²³⁵).
         Ясно, что величина m тем больше, чем больше доля U²³⁸ в топливе. Можно оценить, что m_max = 1.35 (если доля U²³⁸ равна 100%). Для тепловых реакторов m = 1.01 - 1.03.
3.2.2 Вероятность избежать радиационного захвата
         Пусть в среде есть N нейтронов, энергия которых меньше порога деления U²³⁸. За счет рассеяния но ядрах среды они теряют свою энергию и попадают в область энергии, в которой находятся гигантские резонансы сечения захвата U²³⁸. Введем величину j - вероятность избежать радиационного захвата.
         j тем больше, чем быстрее нейтронам в процессе замедления удастся преодолеть резонансную область. j уменьшается при увеличении доли ядер U²³⁸ в среде. В гомогенном реакторе j » 0.65, а в гетерогенном j » 0.93.
3.2.3 Коэффициент теплового использования
         Пусть в среде есть N тепловых нейтронов, тогда в процессе диффузии часть из них захватится в топливе. Обозначим долю захваченных в топливе нейтронов q. Ясно, что коэффициент теплового использования можно увеличить, используя гетерогенную структуру активной зоны реактора.
3.2.4 Количество испускаемых U²³⁵ быстрых нейтронов
         Пусть в топливе поглотилось N тепловых нейтронов. Ясно, что не всякое поглощение приводит к делению и испусканию новых быстрых нейтронов. Введем величину u^т_эф равную количеству вторичных нейтронов деления на один тепловой нейтрон, поглощенный в топливе. Ясно, что u^т_эф тем больше, чем выше доля U²³⁵ в топливе.
3.3 Жизненный цикл нейтронов
         Рассмотрим жизненный цикл нейтронов в тепловом ЯР, активная зона которого бесконечна и гомогенна.
         Пусть на некотором этапе цепной реакции в рассматриваемой среде присутствует N₁ быстрых нейтронов деления 1 поколения. За счет взаимодействия с ядрами U²³⁸ под порог деления этих ядер (1 МэВ) уйдет m N₁ нейтронов (m - коэффициент размножения на быстрых нейтронах).
         В результате рассеяния на ядрах среды эти нейтроны будут замедляться и попадут в область промежуточных энергий. Миновать эту область, избежав поглощения ядрами U²³⁸ удастся m j N₁ нейтронам (j - вероятность избежать радиационного захвата).
         Часть из этих нейтронах, которые теперь стали тепловыми, захватится в топливе. Количество захваченных в топливе нейтронов будет равно  m j q N₁ (q - коэффициент теплового использования).
         Некоторые из нейтронов, захваченных в топливе инициируют деление ядер U²³⁵ и появление новых быстрых нейтронов. Количество нейтронов второго поколения N₂ = u^т_эф m j q N_1.
               

рис. 4

                Итак, мы видим, что реакция действительно является самоподдерживающейся и циклической. Цикл жизни нейтронов схематично представлен на рис. 4. На данной схеме, в отличие от вышеприведенного описания рассмотрение начинается со стадии тепловых нейтронов.
         Можно вывести коэффициент размножения нейтронов в бесконечной гомогенной среде:
K_¥ = N_i+1/N_i = u^т_эф m j q  - формула 4-х сомножителей.
Для конечных сред можно ввести коэффициент
K_эф = u^т_эф m j q P, где P - вероятность избежать утечки.
         На этом рассмотрение физических основ протекания цепной ядерной реакции в ЯР можно завершить. Используя описанную цепную ядерную реакцию, можно переводить энергию из формы энергии связи частиц в ядре в кинетическую энергию движения частиц, то есть в тепло. Как уже отмечалось ранее основную трудность представляет собой не организация цепной реакции, а получение чистых делящихся веществ и другие технические и технологические нюансы ядерной энергетики.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1.      Рудик А. П. Физические основы ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1980.
2.      Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. М.: Атомиздат, 1971.
3.      Нигматулин Н. Н., Нигматулин Б. Н., Ядерные энергетические установки. М.: Энергоатомиздат, 1986.
4.      Емельянов И. Я. и др. Конструирование ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1982
5.      Камерон И. Ядерные реакторы. М.: Энергоатомиздат, 1987
6.      Шихов С. Б., Троянский В. Б. Элементарная теория яднрных реакторов. М.: Атомиздат, 1978