Обсяг або об’єм поняття – це певна сукупність, множина, клас предметів, кожний з яких має ознаки, відображені в змісті поняття. Так, обсяг поняття „квадрат ” становить множина всіх чотирикутників, які мають істотні ознаки квадрата.
Зміст і обсяг поняття тісно пов’язані між собою і залежать один від одного. Із збільшенням змісту поняття зменшується його обсяг і навпаки – зменшення змісту поняття збільшується його обсяг. Наприклад , в обсяг поняття „паралелограм” входять усі види паралелограмів, зміст цього поняття становлять ознаки : „чотирикутника” і „попарна паралельність несуміжних сторін”. Коли до цих істотних ознак додати ознаку „ рівність усіх кутів зазначеної фігури”, то обсяг поняття зменшиться – тепер до нього входить лише частина всіх паралелограмів, тобто лише прямокутники.
Зміст і обсяг поняття – це дві його сторони, невіддільні від нього. Залежність між змістом і обсягом понять добре розкривається через дії обмеження й узагальнення. Обмеження поняття – це логічна дія, внаслідок якої відбувається перехід від поняття з більшим обсягом ( роду) до поняття з меншим обсягом (виду) через додавання до змісту попереднього поняття ознак, які стосуються лише частини предметів, що входять в обсяг вихідного поняття.
Узагальнення – це логічна дія над поняттям, яка за своїм характером протилежна обмеженню. Результатом узагальнення є поняття, більші за обсягом, ніж вихідне. У процесі узагальнення думка йде від поняття меншої загальності (виду) до поняття більшої загальності (роду). Так, якщо у понятті „правильна піраміда” віднімемо ознаки „основою піраміди є правильний багатокутник” і „основа висоти збігається з центром цього багатокутника”, то дістанемо загальніше поняття „піраміда”; віднявши видові ознаки поняття „піраміда”, дістанемо ще ширше поняття – „багатогранник”
Таким чином, рух від загального до конкретного здійснюється за допомогою обмеження понять, а умовою розширення знань, виявлення все ширших зв’язків і відношень між предметами дійсності є узагальнення.
Важливу роль у встановлені відношення між поняттями відіграє порівняння, яке є важливим методом пізнання. На основі порівняння змісту і обсягу понять їх поділяють на дві великі групи  порівнянні і непорівнянні. Ті поняття, у зміст яких порівнянні поняття відображають предмети однієї предметної області, то вони можуть мати спільну частину обсягу. Ці поняття належать до одного й того самого найближчого роду.
Непорівнянні поняття не мають найближчого спільного родового поняття, оскільки вони відображають предмети різних, віддалених предметів галузей. Наприклад, поняття „трикутник” і „хоробрість” непорівнянні – вони відображають предмети, які не мають спільних ознак. Предметом дослідження нормальної логіки є порівнянні поняття, бо вони відіграють важливу роль у мисленні і пізнанні дійсності.
Порівнянні поняття поділяють на сумісні і несумісні. Якщо два порівняні поняття в своєму змісті не мають ознак, що виключають повний або частковий збіг обсягів цих понять, то їх називають сумісними.
Сумісність поняття включають у свій обсяг поняття, які перебувають у відношенні тотожності ( рівнозначності), підпорядкованості та часткового збігу(перерізу). У відношенні тотожності або рівнозначності перебуває поняття, які мають однаковий обсяг, але відрізняються одне від одного змістом. Це, наприклад, поняття перпендикуляра, проведеного в площині прямої, яка має той самий напрям і проходить через цю саму точку на колі. Обидва предмета мають різні ознаки, але один і той самий обсяг, бо такий перпендикуляр і така пряма збігаються.
У мові тотожні поняття називаються синонімами. У відношенні підпорядкування перебувають поняття, обсяг першого з яких повністю входить в обсяг другого тільки частково входить в обсяг першого. Перше поняття називається підпорядкованим, а друге – підпорядкованим.
Несумісні поняття –це поняття, обсяги яких зовсім не збігаються. Множини, відповідні цим поняттям, не мають спільних елементів. Зміст таких понять виключає будьяку можливість як повного, так і часткового обсягу. До несумісних належать поняття, які перебувають у відношенні співпідпорядкування, протилежнності і суперечності.
У відношенні співпідпорядкування перебувають поняття, обсяги яких входять у більш широке поняття якому вони однаковою мірою підпорядковуються. Множини співпідпорядкуваних понять не мають спільних елементів. Зміст цих понять має спільну родову ознаку але кожне з них має ще й свої власні видові ознаки.
У відношенні протилежності ( або супротивності, контрарності – від латинського слова contrarium – протилежність ) перебуває поняття, обсяги яких входять в обсяг підпорядковуючого, але повністю його не вичерпують. Зміст цих понять виключають зміст протилежного йому поняття. Між протилежними поняттями можливе третє. Прикладом понять, що перебувають у відношені протилежності, є „гострокутний трикутник”   „тупокутний трикутник”  (між ними можливе третє поняття – „прямокутний три кутник” , спільною родовою ознакою їх є поняття „трикутник”.
У відношенні суперечності перебувають такі два сумісні поняття, кожне з яких включає зміст іншої. Обсяги їх не збігаються і водночас вичерпують обсяг родового поняття. Між ними неможливе третє поняття. Такими поняттями будуть: „рівний”„нерівний”, „гострий”„негострий” , „ціле число”„неціле число”, „більше”„не більше” і так далі.
Поділ поняття – це логічна дія, яка полягає в мисленому поділі обсягу (роду) поняття на видові поняття, з яких відображені види предметів.
Особливим видом поділу є також кваліфікація. Тут не обмежується поділом поняття на класи, а класи поділяють на підкласи, підкласи –на ще дрібніші частини і так далі.
Логічний поділ ( утому числі і класифікація) має велике значення при вивченні будьякої науки, бо розчленовуючи обсяг поняття на окремі класи чи види, що мають і подібні, і відмінні ознаки, ми маємо можливість глибше вивчати поняття конкретної науки і зв’язки між ними.
Розглянемо означення понять
Поняття вводять за допомогою логічної операції означення.Особливу велику роль означення відіграють у математиці. Вони допомогають виділити даний предмет з множини інших об’єктів. Під означенням ми розуміємо таку логічну операцію, за допомогою якої розкривається зміст поняття. Отже, означити поняття – це перелічити всі істотні ознаки об’єктів, що входять у дане поняття. Словесне позначення поняття називається терміном. Наприклад ,
„кут”, „коло”, „переріз множини”терміни. Поняття, яке означується , називають означуваним, а те поняття чи групу понять, за допомогою яких вводиться означуване поняття , називають означуючими поняттями. Наприклад „Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні”. У цьому означенні „паралелограм” – означуюче, а „ромб” –означуване поняття.
У математиці існують різні види означень. Найпоширеніший з них – означення через найближчий рід і видову ознаку. Цей спосіб полягає в тому, що називаються, по перше, найближчий рід, до якого належить означуване поняття, і подруге,  особлива ознака ( або кілька ознак) даного поняття, що характеризує його як один з видів зазначеного роду. У курсі шкільної математики існують такі означення :
„Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною в центрі цього кола” (тут „плоский кут” – родове поняття, а властивість вершини плоского кута лежати в центрі кола – видова ознака);
„Паралелограм – це чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні” –(тут „чотирикутник” родове поняття, а властивість його протилежних сторін бути паралельними  видова ознака);
„Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом” (тут поняття „призма” – родове, а властивість призми мати в основі паралелограм  видова ознака) та інше.
Означення через найближчий рід і видову ознаку застосовується тоді, коли відомо, що означуване поняття є поняттям про предмет, який належить до одного з видів певного роду. При такому введені понять у самому означенні не вказується спосіб виникнення означуваного об'єкта. Але окремі означення можуть розглядати предмет і за способом його утворення або виникнення . При цьому ознаки змісту поняття розглядається як зумовлені самим способом виникнення предмета. Означення такого типу називаються генетичними ( від слова „генезис”, що означає „виникнення”). Прикладами таких означень у шкільній математиці є: „Бісектрисою кута –називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут пополам”; „пірамідою називається багатогранник, утворений усіма відрізками, які сполучають дану точку – вершину піраміди – з точками плоского багатокутника – основи піраміди” та інші. Генетичні означення задають можливий спосіб утворення предмета і водночас  властивості цього предмета. Окремим видом генетичних означень є індуктивні означення.
Нові математичні поняття вводять також за допомогою описування їх властивостей. Такі означення називають дескриптивними, або дескрипціями. Однією з дескрипцій числа  може бути така: „   це число, яке будучи помноженим на довжину діаметра, дає довжину кола”.
Коли означення якогось поняття через рід і вид здійснити важко, то часто звертаються до такого виду означень, як означення через абстракцію.
Також означення поняття можно виконати через аксіому.Так, у шкільному курсі геометрії система аксіом дає можливість встановити співвідношення між такими основними поняттями, як „точка”, „пряма”, „площина”, і цим самим дати їм неявне означення.
Щоб поняття стало надійним інструментом пізнання, були коректними, їх означення потрібно будувати, додержуючи ряду вимог, порушення яких призводить до логічних помилок. Розглянемо ці вимоги.
1.Означення повинно бути співмірним, тобто обсяги означуваного і означуючого понять мають бути рівними між собою. Так, в означенні „квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні” обсяги означуваного поняття („квадрат”) і означуючого поняття („прямокутник, усі сторони якого рівні”) збігаються, усі квадрати є такими прямокутниками і всі такі прямокутники є квадратами. Означення, в якому вимоги співмірності не виконується,  неправильне означення, тобто в ньому допущено логічну помилку. Наприклад, означення „Квадратом називається чотирикутник у якого всі сторони рівні” неправильне, бо воно неспівмірне: ромб теж рівносторонні чотирикутник. Помилковість цього означення полягає в тому, що за його допомогою не можна точно відрізнити квадрат від ромба.Таке помилкове означення, коли обсяг означуючого поняття більший від обсягу означуваного поняття називається занадто широким. Неспівмірне означення може бути й занадто вузьким. Так називається означення, коли обсяг означуючого поняття менший від обсягу означуваного поняття.
2.Означення не повинно містити в собі так званого порочного кола. Порочним колом називається такий спосіб означення, коли поняття начебто означується через інше поняття, однак це інше поняття може стати зрозумілим тільки через означуване поняття. Наприклад, якщо прямий кут означувати як кут, сторони якого взаємно перпендикулярні, а взаємно перпендикулярні
прямі – як прямі, що утворюють прямий кут, то виникнення порочного кола очевидне.
3. Означення не повинно бути лише заперечним.Заперечним називається таке означення, в якому задаються лише ознаки, що належать даному поняттю, але у книжці Евкліда „Начала” є таке означення поняття точки: „Точка це те, що не має частин”. З такого означення не можна дізнатия про істотні ознаки поняття точки. Тому це означення мало придатне для пізнання властивостей предмета. Це пояснюється тим, що точка – настільки простий і однорідний елемент простору, що доповнити його ознаками не вдається.
4. Родова ознака має вказувати на найближче ширше поняття. Напприклад, „Паралелепіпедом називається призма, основою якої є паралелограм” правильне, бо поняття „призма” є найближчим родовим поняттям щодо поняття „паралелепіпед”. Якщо б ми хотіли означити поняття „паралелепіпед” не через поняття „призма”, а через поняття „багатогранник”, то допустили б логічну помилку, бо перескочили б через поняття „призма”, яке є найближчим родовим поняттям щодо поняття „паралелепіпед”.
5. Видовою відмінністю повинна бути ознака або група істотних ознак, властивих тільки даному предметові і відсутніх в інших предметах, які належать до цього самого роду. Так, для родового поняття „трикутник” видовими поняттями є „прямокутний трикутник”, „гострокутний трикутник”, „тупокутний трикутник”. Означення „Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут” є правильним, бо відова відмінність „мати прямий кут” виконується тільки для прямокутних трикутників.
6. Означення має бути чітким і однозначним. Воно не повинно вводитися за допомогою взаємно суперечливих характеристик (типу „круглий квадрат”, „квадратне коло” і так далі).
Розглянемо формування понять за допомогою таких логічних прийомів, як порівняння, аналіз, синтез, абстрагування та узагальнення:
1. Порівнянняце логічний прийом , за допомогою якого встановлюється тотожність і відмінність ознак предметів і явищ дійсності.
2. Аналіз (розклад, розчленування) – це мисленне вичленення окремих властивостей предмета і дослідження їх як певних елементів цілого.
3. Синтез (з'єднання, складання, сполучення) – це мисленне поєднання тих частин цілого, які вичленені й вивчені впроцесі аналізу, встановлення взаємодії й взаємозв'язку їх та дослідження предмета як єдиного цілого.
4. Абстрагування (відволікання) – це мислене відволікання від ряду неістотних властивостей і зв'язків досліджуваного предмета і виділення найстотніших і найхарактерніших його ознак, зв'язвів і відношень з метою проникнення в суть цього предмета.
5. Узагальнення є продовженням і одночасно завершенням логічної дії абстрагування. Це поширення в думці загальних істотних ознак класу (множин) предметів виділених у процесі абстракції, на кожний предмет цієї множини.
1.3 Судження як другий ступінь логічних форм мислення
Окремими, ізольованими поняттями мислити неможливо. Найбільш простою, елементарною формою мислення є судження. У формі судження знаходять свій вираз знання про взаємозв'язки предметів з їхніми ознаками та взаємовідношення між ними. Судження (висловлення) – це форма мислення, в якій стверджується або заперечується щось про предмет, про певні зв'язки і відношення між предметами і явищами [10].
Судження як форма мислення істотно відрізняється від поняття. Це пов'язано з тим, що ці логічні форми по різному відображають навколишню дійсність. Якщо поняття відображає сукупність істотних ознак предмета, то судження відображають окремі відношення між предметами і їх ознаками, причому шляхом ствердження чи заперечення. Судження, таким чином, надає людській думці закінчену форму, де може бути безпосередньо виражена істинність чи хібність нашого висловлення.
Перевіркою істинності змісту конкретного судження займається та наука, до предметної області якої належить предмет цього судження. Судження бувають істинними і хибними.
Кожне судження має свою структуру (будову), яка залежить від того, що воно відображає  властивості чи відношення і взаємозв'язки між предметами. Судження, в яких стверджуються (або заперечується) наявність властивості у того чи іншого предмета, називаються судженнями про належність, або атрибутивними судженнями. Наприклад, „Тетраедр – просторове тіло”. Судження, в яких відображається відношення між двома і більше предметами, називаються судженнями про відношення, або релятивними судженнями. Наприклад „ ”.
Праналізуємо атрибутнє судженя: „Тетраедр є пірамідою”. Атрибутнє судження складаєть з трьох елементів : поняття про предмет думки („тетраедр”), поняття про властивість предмета думки ( відповідно „піраміда”), і
зв'язки ( „є”, „не є”) , що відображають відношення між предметом і його властивостями.
Поняття про предмет думки називається суб єктом судження і позначається великою латинською літерою . Поняття про ознаки (властивості) предмета називається предикатом судження і позначаеться літерою .Зв'язка в судженні виражається словами „є” , „не є”, „суть”, „не суть” і так далі.
Треба чітко розмежовувати поняття „предмет судження” і „суб'єкт судження”. Предмет судження – це предмет дійсності, про який йдеться в судженні, але який існує незалежно від мислення людини. Суб'єкт судження – це поняття про об'єктивно існуючий предмет, який став предметом судження. Ці два поняття пов'язані між собою, але вони не тотожні. Перший існує незалежно від другого, другий визначається першим. ( суб єкт) і ( предикат) називаються термінами судження.Наприклад судження про відношення „Сума кутів опуклого кутника дорівнює ”.
Релятивні судження відображають найрізномнітніші відношення між предметами об'єктивної дійсності: рівності, тотожності, протилежності, суперечності, простору, часу, розміру, кількості, якості і так далі. Властивості, притаманні окремим предметам (або множинам окремих предметів), тому їх називають одномісними предикатами. Відношення мають місце між двома, трьома і більше предметами (або множинами , що складаються з двох , трьох і так далі предметів), тому їх називають багатомісними предикатами( двомісними, тримісними).
Судження в мові виражається за допомогою речення. Речення відносно судження є його своєрідною матеріальною оболонкою, а судження, як форма відображення об єктивної дійсності, наповнює речення певним конкретним змістом. Тому якщо ми не можемо виразити якесь судження в реченні, то можна, що в нас іще не сформувалось нове судження.
Граматичною формою судження є розповідне речення. Так наприклад , речення „Об'єм кулі дорівнює ”, „Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину його бісектрис” виражають судження.
Судження і речення, як бачимо, взаємопов'язані. Однак цей зв'язок не дає підстав для ототожнення їх. Виступаючи в єдності в процесі мислення, кожне з них має свою специфіку і особливості. Поперше, судження відрізняється від речення своїм характером: судження – категрія логічна, ідеальна, а речення – категорія граматична, мовна. По – друге, судження – категорія інтернаціональна, загальнолюдська. Саме ця особливість робить можливим обмін думками між людьми різних націй. Речення природної мови – категорія національна. Воно підлягає специфічним законам граматики певної національної мови. По третє, судження за структурою завжди, тричленне: воно складається з суб'єкта, предиката і зв'язки. Якщо зв'язка явно не виражена в мові, це ще не означає, що її немає в судженні. Речення ж має невизначену кількість членів: воно може бути одночленним („Світає”, „Дощить”), двочленним („Прямі перетинаються”) і багаточленним („Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту”).
Усі судження залежно від їх структрури поділяються на дві групи: прості і складні, а в межах цих груп поділяються на окремі види.
Судження, структура яких описується формулами „ ” („ є ” або „ не є ” ) називаються простими судженнями. Жодна частина такого судження не є судженням, а предикат відображає ознаку, яка належить або не належить цим предметам чи виражає відношення між ними. Наприклад судження: „Циліндр – це просторове тіло”. За змістом предиката прості судження поділяються на:
1.     атрибутивні (про належність)
2.     релятивні (про відношення)
3.     судження існування
Судження існування (або екзистенціальні судження)  це судження, які стверджують, що існує певна річ, яка має певну властивість, або перебуває у певному відношенні щодо інших речей. Наприклад „Існує трикутник, що дорівнює даному”.
Судження, в якому стверджується або заперечуеться ознака за предметом, множиною ( класом) або частиною множини ( класу) предметів, незалежно від будь-яких умов, називається категоричним. Категоричні твердження поділяються на види: за якістю; за кількістю; за якістю і кількостю.
Якість судження – це відображення належності або неналежності певної властивості досліджування предмету. Формою вираження якості судження є стверджувальне або заперечне висловлення. Стверджувальним називається судження, в якому стверджується наявність ознаки у даного предмета.
Заперечним називаються судженя, в якому наявність ознаки у даного предмета заперечується. Формула заперечного судження: „ не є ”, „ не суть ”, „ є не ”, „ суть не ”.
Кількість судження визначається тією кількістю (множиною) предметів, про яку в ньому йдеться. а цією основою судження поділяються на одиничні, часткові та загальні.
Кожний предмет матеріальної дійсності може бути охарактеризований водночас і якісно, і кількісно. Категоричних суджень є чотири види: загальностверджувальні, частковостверджувальні, загальнозаперечні і частковозаперечні.
Загальностверджувальне – це судження, в якому стверджується якась ознака за множиною ( класом) предметів. Позначається воно великою літерою ( перша літера латинського слова affirmo – стверджую)
Частковостверджувальні – це судження, в якому ознака стверджується за якоюсь частиною множини ( класу) предметів. Позначається воно великою літерою ( друга голосна латинського слова affirmo – стверджую)
Загальнозаперечне  це судження, в якому ознака заперечується за множиною (класом) предметів, тобто за кількістю це судження загальне, а за якістю – заперечне. Позначається великою літерою (nego –заперечую).
Частковозаперечне – це судження, в якому ознака заперечується за частиною множини ( класу предметів), тобто це судження часткове за кількістю і заперечне за якістю. Позначається воно великою літерою ( друга голосна латинського слова nego –заперечую).
1.4 Умовивід як третій ступінь логічних форм мислення
Умовивід  це форма мислення, що дозволяє з одного або декількох суджень, називаних посилками, витягати за допомогою правил логіки нове судження – висновок [10].
В умовиводі розрізняють посилки  висловлення, що представляють вихідне знання, і висновок  висловлення, до якого ми приходимо в результаті умовиводу. У природній мові існують слова й словосполучення, що вказують як на висновок («значить», «отже», «звідси видно», «тому», «із цього можна зробити висновок» тощо), так і на посилки умовиводу («тому що», «оскільки», «тому що», «беручи до уваги, що...», «адже» тощо). Представляючи судження в деякій стандартній формі, у логіці прийнято вказувати спочатку посилки, а потім висновок, хоча в природній мові їхній порядок може бути довільним: спочатку висновок  потім посилки; висновок може перебувати «між посилками».
Поняття умовиводу як логічної операції тісно пов'язане з поняттям логічного проходження. З огляду на цей зв'язок, ми розрізняємо правильні й неправильні умовиводи. Умовивід, що представляє собою перехід від посилок до висновку, є правильним, якщо між посилками й висновком є відношення логічного проходження. У противному випадку  якщо між посилками й висновком немає такого відношення  умовивід неправильно. Природно, що логіку цікавлять лише правильні умовиводи. Що ж стосується неправильних, то вони привертають увагу логіки лише з погляду виявлення можливих помилок. У розподілі умовиводів на правильні й неправильні ми повинні розрізняти відношення логічного проходження двох видів  дедуктивне й індуктивне. Перше гарантує істинність висновку при істинності посилок. Друге  при істинності посилок  забезпечує лише деякий ступінь правдоподібності висновку (деяку ймовірність його істинності). Відповідно до цього умовиводи діляться на дедуктивні й індуктивні. Перші інакше ще називають демонстративними (достовірними), а другі  правдоподібними (проблематичними).
У силогізм входить рівно три термина:
S  менший термін: суб'єкт висновку (входить також у меншу посилку);
P  більший термін: предикат висновку (входить також у більшу посилку);
M  середній термін: входить в обидві посилки, але не входить на закінчення
Підлягаючий S (суб'єкт) – це те, щодо чого ми висловлюємо умовивід ділиться на два види:
1.                                                                                                          Певне: Одиничне, Частка, Множинне.
2.                                                                                                          Невизначене.
Присудок P (предикат) – те, що ми висловлюємо складається з 3 видів суджень:
Оповідальні  це судження щодо подій, станів, процесів або діяльності;
Описові  коли одному або багатьом предметам приписується яканебудь властивість. Суб'єктом завжди є певна річ.
Відношення між підметам і присудкам:
1.     Судження тотожності  поняття суб'єкта й предиката мають той самий обсяг. Приклад: «усякий рівносторонній трикутник є рівнокутний трикутник».
2.     Судження підпорядкування  поняття з менш широким обсягом підкоряється поняттю з більше широким обсягом.
3.     Судження відносини  саме простору, часу, відносин.
Висновок у чисто умовному умовиводі ґрунтується на правилі: наслідок наслідку є наслідок підстави.
Умовивід, у якому висновок виходить із двох умовних посилок, ставиться до простого. Однак висновок може випливати з більшого числа посилок, які утворюють ланцюг умовних суджень. Такі умовиводи називаються складними.
Умовнокатегоричним називається умовивід, у якому одна з посилок умовна, а інша посилка й висновок  категоричні судження.
Із чотирьох модусів умовнокатегоричного умовиводу, що вичерпують всі можливі комбінації посилок, достовірні висновки дають два: стверджуючий (modus ponens) (1) і заперечливий (modus tollens) (2). Вони виражають закони логіки й називаються правильними модусами умовнокатегоричного умовиводу. Ці модуси підкоряються правилу: твердження підстави веде до твердження наслідку й заперечення наслідку – до заперечення підстави. Два інших модуси (3 і 4) достовірних висновків не дають. Вони називаються неправильними модусами й підкоряються правилу: заперечення підстави не веде з необхідністю до заперечення наслідку й твердження наслідку не веде з необхідністю до твердження підстави.
Умовивід, у якому одна посилка умовна, а інша  розділове судження, називається умовнорозділовим, або лемматичним.
Розділове судження може містити дві, три й більше числа альтернатив, тому лемматичні умовиводи діляться на дилеми (дві альтернативи), трилеми (три альтернативи) і так далі.
Розрізняють два види дилем: конструктивну (творчу) і деструктивну (руйнівну), кожна з яких ділиться на просту й складну.
Індукція  це умовивід, у результаті якого на основі знання про окремі предмети якогонебудь класу робиться висновок про весь клас цих предметів.
Спостереження природних явищ і узагальнення отриманих результатів являють собою один з найпоширеніших методів збагнення навколишнього світу. Факти наштовхують людини на загальні закономірності, наводять на них. Тому Аристотель називав цей вид умовиводу наведенням.
Індукцію прийнято підрозділяти на повну й неповну; остання у свою чергу розпадається ще на два різновиди. Крім того, є також наукова індукція.
Найпростішим різновидом індуктивного процесу є повна індукція. У цьому випадку перераховуються все без винятку предмети даного класу. З повною індукцією досить часто доводиться зіштовхуватися в повсякденній практичній діяльності. Ми можемо робити узагальнюючі висновки про ціну на різноманітні товари якогось підприємства, про морозні дні минулого тижня, про поверховість будинків у даному кварталі. При неповній індукції поширені узагальнення, побудовані на основі знання тільки частини всієї сукупності речей, що цікавить нас. У всякому разі, багато наукових законів отримані за допомогою неповної індукції.
Методи наукової індукції розробляються на основі загального вчення про індуктивні умовиводи. Вона може бути повною й неповною у всіх різновидах останньої. Але наукова індукція спрямована на вивчення взаємозалежних явищ.
Аналогія в перекладі із грецького означає подібність, подобу. У логіці, однак, при проведенні аналогії не обмежуються вказівкою на подібність. Воно стає основою для одержання нових висновків про такі об'єкти, пізнання яких за якимись причинами утруднено.
Аналогія являє собою вид умовиводу, у якому знання про один предмет переносяться на предмет іншої природи на підставі наявності подібності між ними.
Говорячи формально, умовивід за аналогією будується в такий спосіб: два предмети володіють рядом подібних ознак a, b, c, причому один з них має ще й ознаку d. Тоді можна зробити припущення, що й у другого теж є ця ознака. Варто пам'ятати, що даний вид умовиводу не завжди приводить до обґрунтованих висновків. Як правило, вони є лише більшменш можливими; до них, тому найчастіше прибігають як до первісних орієнтовних робочих гіпотез, коли ще немає більше надійних способів одержати відповіді на питангня, що нас цікавлять. Вони можуть служити методологічними орієнтирами в наукових дослідженнях, звужують зону пошуку. Отримані за допомогою аналогії результати потім звичайно перевіряють іншими методами.
1.5 Основні закони логіки мислення
У логіці можна навести велику кількість прикладів тотожно істинних суджень. Але найзагальнішими з них, які лежать в основі логічних операцій над поняттями , в судженні й умовиводах, є класичні, основні закони мислення: закон тотожності, закон суперечності; закон третього і закон достатньої підстави [9].
1.Закон тотожності.
Згідно з цим законом логічний зв'язок між думками можливий лише за умови, що ми, міркуючи про якийсь предмет, розглядатимемо саме його і весь час надаватимемо одного й того самого змісту його властивостям (ознакам). Так, з двох суджень „Усі піраміди –просторові тіла” і „Тетраедр  піраміда” неминуче випливає висновок: „Тетраедр просторове тіло”. Але висновок цей випливає тільки тоді, коли ми в обох цих судженнях під словом „піраміда” розумітимемо один і той самий предмет і надаватимемо одного й того самого змісту його ознаками. Так само ми маємо мислити і про „просторові тіла” і про „тетраедр”.
Закон тотожності можна сформулювати так: кожна думка про конкретний предмет, про конкретну його властивість у конкретному міркуванні повинна зберігати один і той самий визначениий зміст. Формула цього закону: „ є ” або „ ” (читається: „ тотожно ”); його можна записати також у вигляді тотожно істинної формули „ ”. Закон тотожності поширюється на всі форми мислення: поняття, судження і умовиводи. Він найширше застосовується в практиці мислення, бо вимагає чіткості, визначеності наших думок.
2. Закон суперечності.
Закон суперечності говорить про суперечних один одному висловленнях (судженнях), тобто про такі судженнях, одне із яких є запереченням іншого. В одному із суперечних суджень щось затверджується, в іншому  це ж саме заперечується.
Якщо позначити буквою А довільне висловлення, то вираження неА, буде запереченням цього висловлення.
Ідея, що виражається законом суперечності, здається простою і навіть банальною: висловлення і його заперечення не можуть бути разом щирими.
Закон протиріччя говорить про суперечні висловлення – звідси його назва. Але він заперечує протиріччя, ідентифікує їх як помилку й тим самим вимагає несуперечності – звідси інше розповсюджене ім'я – закон непротиріччя.
3. Закон виключеного третього.
Закон виключеного третього, як і закон протиріччя, встановлює зв'язок між суперечними один одному висловленнями (судженнями). І зновтаки ідея, що виражається їм, представляється спочатку простою і очевидною: із двох суперечних висловлень одне є щирим.
Істинність заперечення рівнозначна хибності твердження. У силу цього закон виключеного третього можна передати й так: кожне висловлення є щирим або помилковим.
4. Закон достатньої підстави
Четвертий основний закон формальної логіки виражає ту фундаментальну властивість логічної думки, що називають обґрунтованістю або доведеністю. Формулюється він звичайно так: усяка думка щира або помилкова не сама по собі, а в силу достатньої підстави. Це значить: будьяке положення, перш ніж стати науковою істиною, повинне бути підтверджене аргументами, достатніми для визнання його твердо й незаперечно доведеним. Закон достатньої підстави був уведений математиком Лейбницем і не відразу одержав визнання логіків.

РОЗДІЛ 2
ВПЛИВ ВИБОРУ МЕТОДІВ НАВЧАННЯ НА РОЗВИТОК
ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ У ШКОЛІ
2.1 Традиційні методи навчання та їх класифікація
Метод навчання — це взаємопов'язана діяльність викладача та учнів, спрямована на засвоєння учнями системи знань, набуття умінь і навичок, їх виховання і загальний розвиток [11].
У вузькому значенні метод навчання є способом керівництва пізнавальною діяльністю учнів, що має виконувати три функції: навчаючу, виховну і розвиваючу. Він є складним педагогічним явищем, в якому поєднані гносеологічний, логікозмістовий, психологічний та педагогічний аспекти. Складовою методу навчання є прийом навчання.
Прийом навчання — це сукупність конкретних навчальних ситуацій, що сприяють досягненню проміжної (допоміжної) мети конкретного методу.
Методи навчання класифікують на загальні (можуть використовуватися в процесі навчання будьяких навчальних предметів) і спеціальні (застосовуються для викладання окремих предметів, але не можуть бути використані при викладанні інших предметів).
За іншою класифікацією їх поділяють на: методи готових знань (учні пасивно сприймають подану викладачем інформацію, запам'ятовують, а в разі необхідності відтворюють її) і дослідницький метод (передбачає активну самостійну роботу учнів при засвоєнні знань: аналіз явищ, формулювання проблеми, висунення і перевірка гіпотез, самостійне формулювання висновків), який найбільш повно реалізується в умовах проблемного навчання.
Залежно від походження інформації виділяють: словесні, наочні та практичні методи.
Залежно від мети виділяють: методи здобуття нових знань, метод формування умінь і навичок, метод застосування знань на практиці, методи творчої діяльності, методи закріплення знань, умінь і навичок, методи перевірки і оцінювання знань, умінь і навичок.
Досить розгалуженою є класифікація методів навчання за особливостями навчальнопізнавальної діяльності учнів, яку складають:
— пояснювальноілюстративний (інформаційнорецептивний) метод: викладач організує сприймання та усвідомлення учнями інформації, а учні здійснюють сприймання (рецепцію), осмислення і запам'ятовування її;
— репродуктивний: викладач дає завдання, у процесі виконання якого учні здобувають уміння застосовувати знання за зразком;
— проблемного виконання: викладач формулює проблему і вирішує її, учні стежать за ходом творчого пошуку (учням подається своєрідний еталон творчого мислення);
— частковопошуковий.(евристичний): викладач формулює проблему, поетапне вирішення якої здійснюють учні під його керівництвом (при цьому відбувається поєднання репродуктивної та творчої діяльності учнів);
— дослідницький: викладач ставить перед учнями проблему, і ті вирішують її самостійно, висуваючи ідеї, перевіряючи їх, підбираючи для цього необхідні джерела інформації, прилади, матеріали тощо.
Залежно від особливостей викладання та навчання, в яких поєднуються методи викладання (діяльність викладача) з відповідними методами навчання (діяльність учнів) методи навчання класифікуються як:
— інформаційноповідомляючий метод викладання і виконавчий метод навчання. Передбачають викладання навчального матеріалу без докладного пояснення, узагальнення й систематизації, а учні — заучують його без достатнього аналізу та осмислення;
— пояснювальний метод викладання і репродуктивний метод навчання. Викладач не тільки повідомляє певні факти, але й пояснює їх, домагаючись осмислення, засвоєння учнями;
— інструктивнопрактичний метод викладання і продуктивнопрактичний метод навчання. Викладач інструктує учнів словесними, наочними або практичними способами, як виконувати певні практичні дії; учні за допомогою вправ відшліфовують різні уміння і навички;
— пояснювальноспонукальний метод викладання і частковопошуковий метод навчання. Викладач частину навчального матеріалу подає в готовому вигляді, іншу частину — через проблемні завдання;
— спонукальний метод навчання і пошуковий метод навчання. Викладач ставить перед учнями проблемні питання і завдання, організовуючи їх самостійну діяльність; учні самостійно здобувають і засвоюють нові знання в основному без допомоги викладача.
Беручи за основу логіку побудови навчального матеріалу, розрізняють індуктивні, дедуктивні та традуктивні методи; логіку викладання — аналітичні, систематичні, аналітикосинтетичні, аналогічноіндуктивні, синтетичнодедуктивні; характеру пізнавальної діяльності — ілюстративні, продуктивні, творчі, акроматичні, катехізичні (запитальні) методи; ступінь самостійної роботи учнів у процесі навчання — подаючі методи (діяльність учнів в основному зводиться до сприймання словесної або наочної інформації), методи взаємодії викладача та учнів (наприклад, бесіда, дискусія тощо), методи самостійної роботи учнів; спосіб вирішення пізнавального завдання — емпіричні (засновані на досвіді, експерименті) і теоретичні (засновані на логічному аналізі) методи. Досить широко в педагогіці почали використовувати методи проблемного і програмованого навчання.
Так званий бінарний підхід до класифікації методів навчання, що враховує одночасно навчальну діяльність викладача і пізнавальну діяльність учнів, передбачає: методи організації і здійснення навчальнопізнавальної діяльності; методи стимулювання і мотивації навчальнопізнавальної діяльності; методи контролю і самоконтролю за ефективністю навчальнопізнавальної діяльності.
Така розгалуженість класифікаційних типів методів навчання цілком закономірна. Однак відсутність єдиної загальновизнаної системи методів спричиняє труднощі для обміну й поширення досвіду, невизначеність місця конкретного методу в різних класифікаційних системах.
2.2 Класифікація методів проблемнорозвиваючого навчання
Якість підготовки учнів залежить не тільки від глибини засвоєння теоретичних знань, практичних умінь та навичок, але й від розвитку їх творчих здібностей. Реалізації цього завдання сприяє впровадження в навчальний процес активних методів навчання, одним з яких є проблемнорозвиваюче навчання.
Проблемнорозвиваюче навчання — це система регулятивних принципів діяльності, цілеспрямованості та проблемності, правил взаємодії викладача та учнів, вибір і вирішення способів та прийомів створення проблемних ситуацій і вирішування навчальних проблем [12].
Полягає в пошуковій діяльності учнів, яка починається з постановки питань (створення проблемної ситуації), продовжуючись у розв'язанні проблемних завдань, у проблемному викладі знань учителем, у різноманітній самостійній роботі учнів. Передбачає належний рівень підготовленості, зацікавленості учня до пошуку невідомого результату.
Система методів проблемнорозвиваючого навчання ґрунтується на принципах цілеспрямованості (відображають передбачувані, плановані результати свідомо організованої діяльності), бінарності (складається з діяльності викладача й учнів) та проблемності (визначають рівень складності матеріалу і труднощі в його засвоєнні). ЇЇ складають показовий (показове викладання), діалогічний (діалогічне викладання), евристичний (евристична бесіда), дослідницький (дослідницькі завдання), програмований (програмовані завдання) методи.
1. Показовий метод викладання  це спосіб взаємодії викладача й учнів на основі створення інформаційнопізнавальної суперечності між раніше засвоєними знаннями та новими фактами, законами, правилами і положеннями з метою пояснення учням суті нових понять і формування уявлення про логіку вирішення наукової проблеми.
Викладач пояснює навчальний матеріал, формулює проблему, що виникла в історії науки, способи її вирішення вченими. Учні залучаються до активної репродуктивної діяльності, спостерігають, слухають, осмислюють логіку наукового дослідження, беруть участь у доведенні гіпотези, перевірці правильності вирішення навчальної проблеми. При цьому педагог формує низький (виконавчоінструктивний) рівень проблемності, властивий діяльності за інструкцією (як діяти в конкретній ситуації), розкриває логіку вирішення навчальної проблеми.
Цей метод використовують за невідповідності між раніше засвоєними учнями знаннями і необхідними їм для вирішення навчальної проблеми.
2. Діалогічний метод виявляє себе у взаємодії викладача й учнів на основі створення інформаційнопізнавальної суперечності між раніше засвоєними знаннями та новими практичними умовами їх використання з метою спонукання учнів до участі в постановці, вирішенні проблем, засвоєнні нових понять та способів дії.
Виклад навчального матеріалу відбувається у формі бесідиповідомлення. Вказуючи на суперечності між фактами, явищами, викладач створює проблемні ситуації, спонукаючи учнів до участі в постановці проблеми, висуненні припущень, доведенні гіпотези. Це сприяє формуванню в учнів умінь і навичок мовленнєвого спілкування та самостійної пізнавальної, пошукової діяльності.
Сутність діалогічного методу навчання полягає у створенні другого типу проблемної ситуації (рідше — першого типу) — суперечності між раніше засвоєними знаннями та новими практичними умовами їх використання. Цей метод є “перехідним” від методів викладання навчального матеріалу до методів організації самостійної пізнавальної діяльності учнів. При його застосуванні формують середній (виконавчодослідницький) рівень проблемності, характерний для діяльності з використанням дослідницьких і виконавчих процедур, необхідних для практичних робіт.
Використовують цей метод за незначної невідповідності між раніше засвоєними учнями знаннями, вміннями і необхідними для вирішення навчальної проблеми.
3. Евристичний метод полягає у взаємодії викладача й учнів на основі створення інформаційнопізнавальної суперечності між теоретично можливим способом вирішення проблеми і неможливістю застосувати його практично, з метою організації самостійної роботи учнів щодо засвоєння частини програми за допомогою проблемнопізнавальних завдань.
Викладач, визначивши обсяг, рівень складності навчального матеріалу, викладає його матеріал у формі евристичної бесіди, дискусії чи дидактичної гри, поєднуючи часткове пояснення нового матеріалу з постановкою проблемних питань, пізнавальних завдань чи експерименту. Це спонукає учнів до самостійної пошукової діяльності, оволодіння прийомами активного мовленнєвого спілкування, постановки й вирішення навчальних проблем.
Важливо при цьому пояснити матеріал, який учні не можуть засвоїти самостійно, формуючи високий (дослідницькологічний) рівень проблемності, властивий діяльності в новій ситуації, коли алгоритм дії невідомий. У такій діяльності мають переважати логічні процедури аналізу, порівняння, узагальнення.
Сутність евристичного методу навчання полягає у створенні третього типу проблемних ситуацій (рідше — другого) — суперечності між теоретично можливим способом вирішення проблеми і практичною його нездійсненністю. Його використовують у випадку значного обсягу в учнів опорних знань та вмінь, необхідних для вирішення навчальної проблеми.
4. Дослідницький метод реалізується через взаємодію викладача й учнів на основі створення інформаційнопізнавальної суперечності між теоретично можливим способом вирішення проблеми і неможливістю застосувати його практично з метою самостійного засвоєння учнями нових понять, способів інтелектуальних і практичних дій.
Викладач разом з учнями створює проблемну ситуацію, спонукає їх до самостійної практичної роботи зі збирання та систематизації фактів (фактичний матеріал учні добирають з книг або експерименту), пошукової діяльності (аналізу фактів, постановку проблеми і її вирішення), організовує творчу, самостійну роботу, дає проблемні завдання із зазначенням мети роботи (проблемні ситуації виникають під час виконання навчальних завдань, що мають не тільки теоретичне, але й практичне значення). При цьому формується високий (дослідницькоевристичний) рівень проблемності, властивий для діяльності в новій ситуації, алгоритм якої невідомий (у діяльності переважають евристичні процедури, пов'язані з висуненням гіпотез, пошуком та використанням аналогії у розміркуваннях).
Використовують цей метод за значної відповідності між раніше засвоєними знаннями та вміннями і тими, які необхідні учням для вирішення навчальної проблеми.
5. Програмований метод. Стрижнем його є взаємодія викладача й учнів на основі створення інформаційнопізнавальної суперечності між практично досягнутим результатом і нестачею в учнів знань для його теоретичного обґрунтування шляхом поетапного поділу навчального матеріалу на питання, задачі й завдання та організації самостійного вивчення нового (або повторення раніше вивченого) матеріалу частинами.
Викладач створює проблемну ситуацію на основі постановки запитань і проблемних завдань. Шляхом поетапного роздріблення навчального матеріалу з постановкою до кожної його частини питань і завдань він спонукає учнів до самостійної теоретичної роботи з визначення алгоритму пошуку вирішення проблеми, активної участі у створенні проблемної ситуації, висунення припущень, доведення гіпотези і перевірки правильності її вирішення.
Сутність цього методу полягає у створенні четвертого типу проблемних ситуацій (рідше — третього) — суперечності між практично досягнутим результатом і нестачею в учнів знань для його теоретичного обґрунтування. Використовують його за значної відповідності між раніше засвоєними знаннями та вміннями учнів і тими, які необхідні їм для вирішення проблеми.
2.3 Методи логічно  дидактичних ігор на уроках геометрії
У сучасній дидактиці існують різні класифікації уроків, залежно від взятих за основу ознак [8]:
1. За способами їх проведення виділяють: уроклекція, кіноурок, урокбесіда, урокпрактичне заняття, урокекскурсія, урок самостійної роботи учнів у класі, урок лабораторної роботи;
2. За загальнопедагогічною метою організації занять: урок вивчення нового матеріалу; удосконалення знань, умінь і навичок; контролю та корекції знань, умінь і навичок.
3. Залежно від дидактичної мети: спеціалізований урок (переважає одна мета), комбінований (дві або більше рівнозначні мети). Різновидами спеціалізованого уроку є: урок засвоєння нових знань; урок засвоєння умінь та навичок; урок застосування знань, умінь та навичок; урок контролю та корекції знань, умінь та навичок; урок узагальнення та систематизації знань.
Сучасним методом навчання і виховання, що сприяє оптимізації та активізації навчального процесу та дозволяє показати цікаві й захоплюючі грані математики, є дидактична гра.
Дидактична гра – це вид діяльності, залучившись до якої, діти навчаються. Поєднання навчальної спрямованості та ігрової форми дозволяє стимулювати невимушене оволодіння конкретним навчальним матеріалом.
Дидактична гра має чітку структуру, що вирізняє її зпоміж іншої діяльності. Основні структурні компоненти дидактичної гри: ігровий задум, правила, ігрові дії, пізнавальний зміст або дидактичне завдання, обладнання, результат гри.
На відміну від ігор взагалі дидактична гра має суттєву ознаку – наявність чітко визначеної мети навчання і відповідного їй педагогічного результату, що можуть бути обґрунтовані, подані наочно і характеризуються пізнавальною спрямованістю.
Ігровий задум – перший структурний компонент гри, закладений у дидактичне завдання, що необхідно виконати під час навчання. Ігровий задум найчастіше виступає у; вигляді питання або загадки, що ніби проектує хід гри. Це надає грі пізнавального характеру, висуває до її учасників певні вимоги щодо знань.
Суттєвими в дидактичній грі є дії, що регламентуються правилами гри, сприяють пізнавальній активності учнів, надають їм змогу виявити свої здібності, застосувати наявні знання, вміння і навички для досягнення цілей гри. Дуже часто ігровим діям передує розв'язання задачі.
Основою дидактичної гри є пізнавальний зміст, що полягає у засвоєнні тих знань і вмінь, які застосовуються під час розв'язування навчальної проблеми, поставленої грою. Цінність дидактичної гри полягає в тому, що діти, граючи, значною мірою самостійно набувають нових знань, активно допомагаючи одне одному.
Математичний бік змісту гри завжди повинен чітко висуватися на перший план. Лише за цієї умови гра буде виконувати свою роль у математичному розвитку школярів і вихованні їх інтересу до математики.
Під час організації дидактичних ігор математичного змісту перш за все необхідно продумати і врахувати такі питання методики:
1.Мета гри. Які математичні вміння й навички учні засвоять у ході гри? Якому моменту гри слід приділити особливу увагу? Які інші виховні цілі передбачити під час проведення гри?
2.Визначення кількості гравців. Кожна гра потребує певної мінімальної або максимальної кількості учасників. Це слід враховувати під час організації гри.
3.Добирання дидактичних матеріалів і посібників, що знадобляться для гри.
4.Продумування питання найменшої витрати часу для ознайомлення учнів з правилами гри.
5.Визначення тривалості гри.
6.Планування засобів забезпечення участі всіх школярів у грі.
7.Спостереження за учнями під час гри.
8.Передбачення можливих змін, що доведеться внести у хід гри, щоб підвищити зацікавленість і активність учнів.
9.Планування висновків, про які необхідно повідомити учнів по завершенні гри (найвдаліші моменти, недоліки, що трапилися у ході гри, результат засвоєння математичних знань, оцінювання учасників гри, зауваження щодо порушення дисципліни тощо).
Дидактичні ігри добре поєднуються із серйозним навчанням. Включення в урок дидактичної гри та ігрових моментів призводить до того, що процес навчання стає цікавим і захоплюючим, створює бадьорий, спрямований на роботу настрій в учнів, перетворює подолання труднощів на успішне засвоєння навчального матеріалу. Дидактичні ігри слід розглядати як один із видів творчої діяльності, що тісно пов'язаний з іншими видами навчальної роботи.
Дидактичні ігри на уроках математики мають включати: 1) об'єкт моделювання, введення в дидактичну гру; 2) опис основних способів взаємодії учасників гри; 3) правила взаємодії суб'єктів гри; 4) список командучасниць; 5) розподіл ролей і функцій учасників дидактичної гри; 6) інструкцію кожному учаснику або кожній команді щодо участі в грі; 7) загальну схему (етапи) проведення гри; 8) модифікацію; 9) способи, умови і критерії підбиття підсумків гри
Дослідники виділяють шість основних груп умов ефективності застосування дидактичних ігор на уроках геометрії в 79х класах основної школи: 1) умови, що забезпечують формування соціальної і пізнавальної активності як ключових особистісних характеристик підлітка; 2) умови, що забезпечують розвиток самостійності учнів: діалогова організація діяльності у процесі гри, наявність кінцевого та проміжних результатів на різних стадіях гри, варіативність вибору завдань та початкових умов; 3) умови, що забезпечують розвиток здатності до самореалізації та саморегуляції навчальної діяльності підлітків у процесі гри; 4) умови, що забезпечують гармонійну індивідуальність особистості підлітка; доцільне співвідношення образного і логічного компонентів мислення, рівня пізнавальних потреб та можливостей щодо їх реалізації під час виконання завдань гри; розумне поєднання емоційного і раціонального під час навчання; 5) умови, що забезпечують узгодженість особистих прагнень підлітків з суспільнокорисною спрямованістю їх діяльності; 6) умови, що забезпечують доцільне поєднання педагогічного керівництва і самостійної діяльності учнів, раціональне співвідношення безпосереднього і опосередкованого впливів педагога та колективу на учня.
Результати дослідження вказують на те, що під час організації дидактичних ігор на уроках геометрії в 79х класах необхідно дотримуватися таких положень: 1) правила гри мають бути простими, чітко сформульованими, а математичний зміст матеріалу – доступний розумінню учнів; 2) завдання гри повинні містити достатню кількість інформації для активної мислительної діяльності підлітків на уроці, що забезпечуватиме досягнення розвивальної та навчальної цілей уроку; 3) дидактичний матеріал, який використовується в процесі гри, має бути цікавим, педагогічно доцільним і зручним у користуванні; 4) якщо дидактична гра має характер змагання, то слід забезпечити справедливий і об'єктивний контроль її результатів; 5) кожен учень має бути активним учасником дидактичної гри; 6) якщо на уроці геометрії створюється кілька ігрових ситуацій, то їх варто чергувати за складністю математичного матеріалу, що до них входить, або характером розумових дій, які необхідні для їх виконання; якщо на кількох уроках підряд проводяться дидактичні ігри, які вимагають аналогічних мислительних дій від учнів, то за змістом математичного матеріалу вони мають задовольняти принцип: від простого до складного, від конкретного до абстрактного; 7) необхідно дотримуватися міри використання дидактичних ігор у навчанні, щоб підлітки не звикли в усьому бачити тільки гру; 8) під час дидактичної гри від учнів слід вимагати чіткого і грамотного вираження своїх думок, проведення послідовних логічних міркувань, обґрунтовування висновків; 9) дидактична гра буде результативнішою, якщо вона закінчиться на тому самому уроці, на якому і розпочалася
Найбільш ефективними для учнів 79х класів на етапі вивчення нового матеріалу з алгебри та геометрії виявилися такі дидактичні ігри: в процесуальному аспекті за рівнем пізнавальної самостійності – конструктивні і творчі, за логікою чергування кроків гри – традуктивні, за часом перебігу – довготривалі, ділові; в управлінському аспекті за способом визначення результатів – вільні, за формою проведення гри – колективні або групові; в соціальнопсихологічному аспекті за характером ігрового процесу – стратегічні, за включенням виду гри в навчання – художні, загадкововиграшні, за збігом цілей та інтересів суб'єктів гри – спільні за цілями, інтереси можуть збігатися, а можуть бути різними.
Класичним прикладом дидактичної геометричної гри освоєнні теми „Рівновеликість та рівноскладеність багатокутників” є древня китайська головоломка «Танграм” [5], яка виникла в Китаї 4 тис.років тому. Головоломка представляє собою квадрат 12*12 квадратів, які розрізаються на 7 окремих багатокутників  5 трикутників, 1 квадрат та 1 паралелограм (рис.2.1).

Рис. 2.1. Побудова структурних багатокутників головоломки „танграм”

Рис. 2.2. Декілька складених фігурок  багатокутників з 7 елементів головоломки „танграм”

Рис. 2.3. Розшифрування техніки складання фігурок  багатокутників на рис.2.2 за допомогою елементів „танграма”

Рис. 2.4. Рівновеликі та рівноскладені багатокутники з 7 елементів  елементарних багатокутників головоломки „танграм”
 
 

Рис. 2.5. Приклад комп'ютерного демонстраційно – дидактичного матеріалу „Перетворення рівноскладених та рівновеликих багатокутників (рівнобічний трикутник у квадрат)”[2]

РОЗДІЛ 3
РОЛЬ ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ШКІЛЬНОГО УЧБОВОГО
ПРОЦЕСУ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ У РОЗВИТКУ ЛОГІЧНОГО
МИСЛЕННЯ УЧНІВ
3.1 Роль геометричних означень та понять
Проведений аналіз змісту „Навчального матеріалу та державних вимог до рівня загальноосвітньої підготовки учнів з геометрії у 79 класах” (див.Додаток А) показав, що основою програми навчання є послідовнологічний шлях введення геометричних означень та понять, на яких учні навчаються будувати власні судження та умовиводи.
Спроби викласти найважливіші математичні знання в певному логічному порядку, зв’язку й послідовності належали Гіпократу Хіоському(близько 450–430 рр. до н. е.). Потім вони продовжувалися Леоном, Тевдієм (V ст. до н. е.). Лише Евкліду вдалося завершити роботи своїх попередників.
“Начала” Евкліда складаються із 13ти книг (глав), до змісту яких входить, насамперед, вивчення геометричних фігур на площині, і оскільки для цього потрібні числа, то і вчення про цілі (додатні) числа і дроби. Відношення просторових фігур не завжди виражається раціональними числами, тому вивчаються також несумірні геометричні величини. Потім дослідження переноситься у простір [13].
Таким чином, у “Началах” викладені основи планіметрії, стереометрії й арифметики. Головна особливість “Начал” у тому, що вони побудовані за єдиною логічною схемою, яку розробив Арістотель (384–322 рр. до н. е.).
Геометричне твердження, якщо воно повне, складається із шести частин: 1) формулювання в загальних виразах; 2) постановка, яка відзначає конкретні дані, як правило, зображені у вигляді фігури; 3) визначення або вказівка (діорисмос), в якій вказується, що треба зробити або довести; 4) побудова, до якої входять додатки, необхідні для доведення; 5) саме доведення; 6) висновок, який повертається до формулювання і так само висловлюється в загальних виразах. Висновок не залежить від часткової фігури, яка є лише представником цілого класу таких фігур. В окремих твердженнях можуть бути відсутніми деякі з шести частин, в яких суворо витримано виклад від загальних положень до часткових. Проте це зовсім не означає, що індукція в “Началах” відсутня, як стверджують окремі історики, математики й філософи.
Індукція, рух від часткового до загального, від одиничних даних чуттєвого досвіду до раціонального узагальнення, до абстракції неминуче брала участь у творенні основних понять, їх означень, постулатів і аксіом, адже всі геометричні поняття і логічні прийоми виникли в результаті багаторазового досвідного повторення як відображення предметів, властивостей і зв’язків дійсного матеріального світу. Індукція входить у неявному вигляді в будьяке геометричне доведення і побудову. У “Началах” прослідковується єдність аналізу й синтезу, використання апагогічного методу доведення (доведення від супротивного), який є різновидом аналізу.
“Начала” починаються з означень, постулатів і загальних понять. Характер означень у Евкліда різний. Переважно вони описують поняття, наприклад “точка є те, що не має частин” (гл. І). Проте трапляються і номінальні (словесні) означення, які, як і перші, не мають стосунку до доведень, вони логічно не дійові. Евклід використовує також генетичні та аксіоматичні означення.
У першій главі сформульовано п’ять постулатів і дев’ять аксіом, із яких Евклід повинен був розвинути всю геометричну систему виключно логічним шляхом. Із сучасної точки зору, відмінностей між постулатами й аксіомами немає, і всі вони можуть називатись аксіомами.
Далі у 13ти книгах доводиться 470 тверджень, які слідують одне за одним без будьяких пояснень і міркувань про значення тієї чи іншої теми, твердження або хід доведення. Ця одноманітна манера викладу, переобтяжена різними частковими випадками, є однією з причин негативного ставлення в нові часи до “Начал” Евкліда як до навчального посібника у шкільному викладанні.
Чи вдалося Евкліду побудувати геометрію чисто дедуктивним способом, без посилання на наочність і очевидність, не вводячи неявно допоміжних тверджень, які не були вказані в аксіомах? Із сучасної точки зору, ми знаходимо логічні недоліки як в означеннях, так і (найбільше) в системі аксіом. Усі геометричні поняття мають бути суворо поділені на дві категорії: основні, які приймаються без означень (потрібні їх властивості повинні описуватися в аксіомах), і похідні поняття, які вводяться за допомогою означень, що пов’язують ці поняття з основними. Евклід у “Началах” не виділяє основних понять. Він намагається означити всі поняття геометрії (означення понять точки, лінії, поверхні й багатьох інших туманні та беззмістовні, тому й не використовуються ніде в доведеннях).
Можна сказати, що міркування Евкліда − це суміш логіки та інтуїції. Що стосується недоліків “Начал”, то потрібно підкреслити, що ці недоліки у великому творінні Евкліда в основному були помічені критичною думкою лише у ХІХ ст. Критична переробка основ геометрії є однією з найглибших і найважчих проблем математичної думки й одним із найзначніших її досягнень. Тому, відзначивши те, чого із сучасного погляду не вистачає у творі Евкліда, ми не можемо звинувачувати його, якщо врахуємо стан науки в той час. Навпаки, ми повинні визнати цей твір стародавнього світу прекрасним для тієї епохи за своєю продуманістю й точністю. Вони є завершенням, вінцем усього нагромадженого працями кількох поколінь стародавніх грецьких математиків і філософів, у них, як у фокусі, зібрані досягнення геометрії за величезний період культурного розвитку людства.
Подруге, “Начала” послужили джерелом, з якого черпали і на якому формувались уми багатьох видатних учених у наступні два тисячоліття, і основою для подальшого розвитку геометричних ідей. “Начала” Евкліда тісно пов’язані із сучасною людською культурою: з одного боку, всі сучасні шкільні підручники геометрії, за якими вчаться у школах усіх країн, так чи інакше мають своїм прообразом “Начала”.
Нарешті, велике історичне значення “Начал” Евкліда, як підкреслював Ф.Клейн, полягає в тому, що вони передали наступним поколінням ідеал цілком логічної обробки геометрії. “Начала” органічно пов’язані з розвитком обґрунтування математики загалом й геометрії зокрема.
Найхарактернішою особливістю математики є логічно послідовний ряд тверджень. Ця характерна риса точної науки яскраво виявилася вже в найдавніших її розділах  арифметиці і геометрії.
Згодом з'явилися в математиці й формули  особлива мова для запису міркувань і теорем, мова зручна, точна і лаконічна. Наприклад, відому теорему Піфагора можна сформулювати словами: “Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів”. Але математик надасть перевагу короткій рівності:
Як бачимо, в теоремі Піфагора йдеться про властивість прямокутного трикутника. Узагалі, в будьякій теоремі чи формулі виражені властивості математичних об'єктів: чисел, фігур, математичних операцій, рівнянь, функцій...
З’ясуємо, як математики вводять у свої міркування нові об'єкти – означують математичні поняття.
Що таке квадрат? Згідно означення: це прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою. Поняття квадрата, як бачимо, подається через більш загальне поняття прямокутника. А що таке прямокутник? Це паралелограм, у якого всі кути прямі. Ще один крок до поняття більш елементарного. А паралелограм? Це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
Такий спосіб побудови математичних понять використовував ще Аристотель. Великий древньогрецький філософ назвав його так: означення через рід і видову відмінність.
Наприклад, прямокутник відноситься до роду паралелограмів, а його видова відмінність полягає в тому, що усі його кути прямі. Паралелограм відноситься до роду чотирикутників, а видова відмінність – паралельність протилежних сторін. Поняття чотирикутника, у свою чергу, визначається через поняття відрізка, а той визначається як частина прямої, що міститься між двома точками цієї прямої, включаючи і ці точки.
Так у ході свого аналізу ми добралися до основних геометричних понять, про які мова йде в аксіомах геометрії “точка” і “пряма”, “лежати” і “між”.
А як визначаються основні поняття? Подивимось як це робив батько геометрії Евклід.
Відкриємо знову його «Начала»: “Точка є те, що не має частин. Лінія  це довжина без ширини. Кінці ж лініїточка. Пряма лінія є та, що однаково розташована стосовно точок на ній...” [ ].
Чи задоволені Ви таким означенням? Мабуть, ні! Напевно, виникають питання: Хіба тільки про пряму лінію можна сказати, що вона однаково розташована відносно своїх точок? Адже такою ж властивістю володіє й коло. А що таке довжина? ширина? Хіба ці поняття теж не вимагають означень?
Особливо над цими питаннями математики стали замислюватися на межі XIX і XX століть. Глибокий аналіз Евклідової геометрії показав, що не такою вже і стрункою є ця древня споруда. Недоліки в її конструкції містяться у фундаменті. Почалася кропітка робота, спрямована на усунення цих недоліків.
То як же виглядають початки геометрії у сучасному викладі? Візьмемо книгу німецького математика Давида Гильберта ”Основи геометрії” [13]:
“Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками, речі другої системи ми називаємо прямими, речі третьої системи ми називаємо площинами. Ми мислимо точки, прямі й площини у визначених співвідношеннях і позначаємо ці співвідношення різними словами, а саме: належати, між, конгруентний (тобто такі, що суміщаються при накладанні), паралельний, неперервний”.
Як бачимо, Гильберт і не збирається означувати основні об’єкти геометрії  точку, пряму, площину. Ці поняття вважаються основними, неозначуваними.
3.2 Роль логічних доведень геометричних тверджень(лем та теорем)
Доведення – це логічна операція обґрунтування істинності якогонебудь судження за допомогою інших істинних та з’язаний з ним суджень. Другими словами,  це виведення одного знання з другого, істинність якого уже встановлена і перевірена практикою. Логічна структура доведення  у всякому доведенні є теза, яка доводиться, аргумент, що використовуються на підтвердження тези і демонстрація, якими чином логічно будується процес доведення [10].
Роль аргументів в доведенні виконують: 1.Встановлені в науці узагальнення. 2. Очевидні положення, які безсумнівні і не потребують окремого доведення. 3. Достовірні факти і зібрані дані. Демонстрація – це логічний зв’язок між аргументами і тезою. Обґрунтування тези може мати форму умовиводу дедуктивного, індуктивного чи аналогії. Дедуктивне обґрунтування здебільшого зводиться до підведення часткового випадку (тези) під загальне правило і висловлюється у вигляді умовнокатегоричного судження. При цьому теза одержує значення істини, що підтверджена достовірними аргументами. Індуктивне обґрунтування підтверджує загальну тезу перерахуванням ряду фактів, прикладів. При цьому достовірність тези тут залежить від міри повноти перерахованих фактів та від всебічності розгляду самої тези.В аналогічному обґрунтуванні теза доводиться посиланням на достовірні факти і положення в інших подібних явищах, предметах і подіях. Застосовується у витлумаченні конкретних історичних подій, в моделюванні.
Способи доведення є прямі і побічні. В прямому доведенні теза обґрунтовується безпосередньо, “на пряму”. В побічному доведенні істина доводиться з використанням протилежної тезі допущення (антитези). Це доведення використовується тоді, коли тезу неможливо довести в прямому значенні, безпосередньо.
Спростування – це руйнування доведення шляхом виявлення хибності тези, хибності обґрунтування (аргументів) і хибності самої логіки доведення. Воно може бути прямим чи побічним. Пряме спростування показує абсурдність тези (зведення до абсурду). Побічне спростування доводить істинність тези, що несумісна з висунутою тезою опонента. При доведеннях і спростуваннях, особливо в усній формі, велике значення має ерудиція опонентів, послідовність розгортання думки, красномовство, а також вміння подіяти на почуття художнім словом, ораторськими здібностями тощо. Навмисне логічне заплутування думки одержало назву софізму (пустого мудрствування), яке хоча і може справити враження, але немає ніякої ні формальнологічного, ні змістовного значення.
Розбудовуючи будьяку математичну теорію, ми рухаємося вперед. Тобто виявляємо і доводимо все нові й нові теореми. Однак можна рухатись й у зворотному напрямку. Якщо ми захочемо вияснити на які теореми спирається кожна теорема, то ми обов'язково доберемося до таких тверджень, істинність яких приймається без доведення. Їх називають аксіомами або постулатами.
Уже на перших сторінках свого трактату Евклід перераховує постулати, на які посилається надалі, виводячи геометричні теореми: 1. Від усякої точки можна провести пряму лінію. 2. Обмежену пряму можна нескінченно продовжувати до прямої. 3. З усякого центра довільним розхилом може бути описане коло. 4. Усі прямі кути рівні між собою. 5. Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за два прямі.
На такому фундаменті зводиться будинок Евклідової геометрії. Наприклад, за допомогою свого п'ятого постулату Евклід доводить теорему про рівність внутрішніх різносторонніх кутів, утворених паралельними прямими й січною. Використовуючи цю теорему, доводить теорему про суму внутрішніх кутів трикутника і т. д. Так і утворюється одна теорема за іншою.
У математиці розглядаються різні геометричні об’єкти: пряма, крива, кут, коло, многокутники та інші. Усе це математичні поняття. Щоб правильно організувати процес формування того чи іншого поняття у школярів треба, насамперед чітко визначити його місце у науці і його зміст у шкільному курсі, пам’ятаючи про те, що друге не повинне суперечити першому.
Поняття – це одна з основних форм мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознаках і відношеннях.
Отже, можна сказати, що поняття – це цілісна сукупність суджень про якийнебудь об’єкт, ядром якої є судження, що відображають істотні ознаки об’єкта. Розвиток сприйняття вимагає введення геометричного матеріалу, тому що сам геометричний матеріал – це образи, це символи. Отже, друга складова – це мова. Дані образи й символи є моделлю реальних об'єктів. Реальні об'єкти можуть бути створені в ході моделюючої діяльності. Ці моделі представлені поняттями (сторона, кут, трикутник, многокутник), які природно учні намагаються вивчити якомога найкраще. А засобом опису моделей є мова. Тому на уроках спочатку вводимо моделі (геометричні образи).
Третій компонент, розвиток уяви, закладається в безпосередній діяльності конструювання. Однак мова й у цьому випадку є засобом розвитку учнів. При цьому творча фантазія дітей нічим не обмежена, зміст геометричної уяви діти формулюють опираючись на науковий понятійний апарат і логічні прийоми сприймання мислення.
Головне спрямування геометричного матеріалу, визначеного програмою і реалізованого в системі ретельно дібраних задач, – сформувати достатньо повну систему геометричних уявлень (образи геометричних фігур, їх елементів, відношень між фігурами та їх елементами).
На цій основі формуються просторові уявлення й уява, розвивається мова й мислення учнів, а також організовується робота, спрямована на вироблення важливих практичних навичок.
Робота з формування геометричних уявлень має проводитися так: властивості фігур учні виявляють експериментально, одночасно засвоюють необхідну термінологію й дістають певні навички; головне місце в навчанні повинні посідати практичні роботи учнів, спостереження й робота з геометричними об'єктами.
Оперуючи різноманітними предметами, моделями геометричних фігур, розглядаючи їх у процесі численних дослідів, учні помічають найзагальніші їх ознаки (що не залежить від матеріалу, кольору, положення, маси і т.п.).
У методиці формування геометричних уявлень важливо іти від «речі» до фігури (до її образу), а також навпаки, – від образу до реальної речі.
При формуванні уявлень про пряму, криву, відрізок прямої у математиці в початкових класах, під час вивчення початкового курсу геометрії, що закладає основи планіметрії, чітко прослідковуються чотири основні лінії:
1) первісні (неозначувані) поняття – точка, пряма, площина, лежати, лежати між, лежати по один бік, довжина відрізка, градусна міра кута;
2) перші означення – відрізок, рівні відрізки, кут, рівні кути, трикутник, рівні трикутники, півпряма, паралельні прямі;
3) аксіоми планіметрії;
4) перші доведення.
Метод логічних доведень на основі аксіом та послідовному доведенню теорем дозволяє гаступним чином викласти тему „Розрахунок площ основних багатокутників (прямокутник, паралелограм, трикутник, трапеція) методом побудови рівновеликих геометричних фігур”.
Матеріал заснований на наступних аксіомах і теоремах [7]:
1. Про паралельні прямі
2. Про пересічу пряму для паралельних прямих і утворених нею кутах
3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції
4. Про площу прямокутника
1). Про паралельні прямі
Теорема. Мінімальна відстань між двома паралельними прямими на площині є величина постійна й визначається перпендикуляром, опущеним з будьякої точки однієї прямої на іншу.
Доведення.
Розглянемо дві прямі а й b, кожна з яких перпендикулярна до прямої с (рис.3.1). Якби прямі а й b перетиналися, то із точки їхнього перетинання були б побудовані два перпендикуляри до прямої с, що неможливо. Отже, прямі а й b не перетинаються, тобто паралельні. Отже, дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

Рис. 3.1
Сформульоване твердження виражає ознака (перпендикулярність двох прямих до третьої прямої), по якому можна зробити висновок про паралельність двох прямих, або, коротко говорячи, ознака паралельності двох прямих.
2. Про січну паралельних прямих і утворених нею кутах
Нехай a і b  дві паралельні прямі й c  третя пряма, що перетинає прямі a і b (рис.3.2). Пряма c стосовно паралельних прямих a і b називається січною.
Січна утворить із паралельними прямими дві пари внутрішніх одностронних і дві пари внутрішніх навхрест лежачих кутів.

Рис.3.2
Нехай відповідні кути 1 і 2 рівні: l = 2. Тому що 2 = 3 (як вертикальні кути), те l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а║ b.
Нехай сума однобічних кутів 1 і 2 дорівнює 180°. Тому що сума суміжних кутів 3 і 2 також дорівнює 180°, то l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а ║ b
3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції
Приведемо означення прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції.
Означення. Параллелограм  це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні й паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.
Означення.Прямокутник  це параллелограм, у якого всі кути прямі.
Означення.Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основагиями трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.
Означення.Трикутником називається фігура . яка складається із трьох крапок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків , попарно з'єднуючі ці точки. Точки називаються вершинами трикутника , а відрізки  сторонами.
4. Про площу прямокутника
Теорема. Площа прямокутника зі сторонами  дорівнює

На підставі вищевикладених аксіом і теорем, доведемо теореми про площі елементарних багатокутників методом рівновеликих і рівноскладених елементів багатокутників.
а) Площа паралелограма
Теорема. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.
Довести: SABCD=AD x BH
Доведення
1.                Перекроїмо паралелограм у прямокутник. Для цього розріжемо його по висоті BH , і трикутник ABH прикладемо праворуч як показано на рис.3.3. Одержимо прямокутник HBCH1 , рівноскладений з паралелограмом ABCD. Але рівноскладені фігури є рівновеликими, тобто SHBCH1=SABCD .
2.                SHBCH1=BC x BH. Але BC=AD по властивості паралелограма.
Тоді SABCD=AD x BH. Теорема доведена.

Рис.3.3 Дано: ABCDПаралелограм, ADпідстава, BHВисота

б) Площа трикутника
Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.

Рис.3.4. Дано: ABCТрикутник, AC основа, BH висота
Довести: SABC = ? AC x BH
Доведення
Перекроїмо трикутник у паралелограм. Для цього проведемо середню лінію MN і розріжемо трикутник ABC на дві частини. Трикутник MNC прикладемо до відрізка BM як показано на рис.3.4. Одержимо паралелограм ABDN, рівноскладений із трикутника ABC, а отже й рівновеликий. Тоді SABDN=SABC
SABDH=AN x BH. Але AH=1/2 AC
тому що NСередина AC.
Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.
в) Площа трапеції
Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.


Рис.3.5 Дано: ABCDТрапеція, AD і BC основи, BHВисота
Довести: SABCD=1/2 (AD + BC) x BH
Доведення
Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.3.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий , тобто SABN=SABCD
SABN=1/2 AN x BH, (3.1)
Але AN =AD + DN, а DN = BC.
Звідки AN=AD + BC.
Підставимо в (3.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.
г) Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника (рис.3.6).
Дано довільний 5кутник  [3].

Рис.3.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник
Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник :
1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника
2.Продовжуємо по стороні AE пряму FK
3.Через точку B будуємо пряму BF, що паралельна діагоналі AC.
4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF
5.Оскільки й  побудовані між паралельними прямими й мають загальну основу , то
їхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;
площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.
6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.
7.Через точку D будуємо пряму DK паралельну другій діагоналі СE
8. Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих DK і FK.
9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DK мають загальну основу CE – рівновеликі , тобто мають рівну площу.
10.Отриманий трикутник  є рівноскладеним і рівновеликим п'ятикутнику , оскільки:

3.3 Роль практичного розв’язування геометричних задач
У процесі навчання математики задачі виконують різноманітні функції. Навчальні математичні задачі є дуже ефективним і часто незамінним засобом засвоєння учнями понять і методів шкільного курсу математики, взагалі математичних теорій. Велика роль задач у розвитку мислення й у математичному вихованні учнів, у формуванні в них умінь і навичок у фактичних застосуваннях математики. Рішення задач добре служить досягненню всіх тих цілей, які ставляться перед навчанням математиці. Саме тому для рішення задач використовується половина навчального часу уроків математики (700800 академічних годин в IVX класах). Правильна методика навчання рішенню математичних задач відіграє істотну роль у формуванні високого рівня математичних знань, умінь і навичок учнів [8].
Рішення математичних задач привчає виділяти посилки й висновки, дані й шукані, знаходити загальне, і особливе в даних, зіставляти й протиставляти факти. При рішенні математичних задач виховується правильне мислення, і насамперед учні привчаються до повноцінної аргументації. Рішення задачі повинне бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необґрунтовані аналогії, пред'являється вимога повноти диз'юнкції (розгляд всіх випадків даної в задачі ситуації), дотримуються повнота й витриманість класифікації. При рішенні математичних задач в учнів формується особливий стиль мислення: дотримання формальнологічної схеми міркувань, лаконічне вираження думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки.
Варто виділити кілька видів задач по їхній навчальній ролі.
1) Задачі для засвоєння математичних понять. Відомо, що формування математичних понять добре проходить за умови кропіткої роботи над поняттями, їх визначеннями і властивостями. Щоб опанувати поняття, недостатньо вивчити їх визначення, необхідно розібратися в змісті кожного слова у визначенні, чітко знати властивості досліджуваного поняття. Таке знання досягається, насамперед, при рішенні задач і виконанні вправ.
2) Задачі для оволодіння математичною символікою. Однієї із цілей навчання математиці є оволодіння математичною мовою й, отже, математичною символікою. Найпростіші символи вводяться ще в початковій школі й в IVV класах (знаки дій, рівності й нерівності, дужки, знаки кута і його величини, паралельності й т.д.). Правильному вживанню досліджуваних символів треба навчати, розкриваючи при рішенні задач їхню роль і призначення.
3) Задачі для навчання доказам. Навчання доказам  одна з найважливіших цілей навчання математиці.
Найпростішими задачами, з рішення яких практично починається навчання доказам, є задачіпитання й елементарні задачі на дослідження. Рішення таких задач полягає у відшуканні відповіді на питання й доказі його істинності.
ЗадачіПитання звичайно вимагають для свого рішення (доказу істинності відповіді) установлення однієї імплікації, одного логічного кроку від даних до доказуваного. Доказ же при рішенні більше складної задачі або доказ теореми являє собою ланцюжок кроківімплікацій.
Метою рішення задачпитань є усвідомлення, уточнення й конкретизація досліджуваних понять і зв'язків між ними. ЗадачіПитання необхідні також для засвоєння учнями символики і використовуваної мови. Приклади задачпитань:
х > в. Чи обов'язково x2 > в2?
Чи можуть дві бісектриси трикутника бути перпендикулярними? А дві висоти?
Задачі є невід'ємною складовою частиною курсу геометрії в середній школі. Дійсно, позбавлений задач курс елементарної геометрії представляв би собою лише групу теорем розміщених більшменш послідовно. Користі від вивчення такого курсу дуже мало.
Як відомо, вправи в геометрії залежно від умови й завдання ділять на три групи: задачі на обчислення, доказ і на побудову.
У задачах на обчислення потрібно виразити невідомі величини (відрізки, кути, площі, об'єми) або їхні відносини через відомі параметри. Якщо параметри дані в загальному виді, то результат виходить у буквах; якщо ж умова містить числові значення параметрів, відповідь доводиться до числа.
У задачах на доказ необхідно встановити наявність певних співвідношень між елементами розглянутої фігури: рівність або нерівність відрізків, кутів, паралельність або перпендикулярність прямих, площин і т.д. Іноді задачі цього типу можуть бути оформлені і як задачі на обчислення; наприклад, довести, що деякий кут дорівнює 45°, що об'єм однієї фігури в стількито раз більше об'єму іншої фігури.
Менш поширені задачі на дослідження. У таких вправах результат заздалегідь не повідомляється. Потрібно з'ясувати чи лежить деяка крапка на даній прямій (на даній площині), чи перетинаються дані окружності, чи паралельні дані прямі й т.п., визначити, який з даних відрізків більше, до якій зі сторін трикутника ближче дана крапка, установити залежність між перерахованими в умову елементами фігури.